TEMA Nº 1 TEOÍA DE EOES INTODUCCIÓN Los errores numéricos se genern con el uso de roximciones r reresentr ls oerciones y cntiddes mtemátics, estos incluyen errores de: cifrs significtivs, de redondeo, de truncmiento y de rogción. NÚMEO APOIMADO Se dice que es un número roximdo, si difiere ligermente de un número excto. - Si <, se dice que es un roximción or defecto (l ms equeñ) de. - Si >, se dice que es un roximción or exceso (myor) de. Se el número excto. El número 1.73 es un roximción or defecto. El número 1.74 es un roximción or exceso. Y que 1.73 < π < 1.74 Si es un vlor roximdo del número, se escribe. DE EO Se entiende or error ε de un número, l diferenci entre el número excto y el número roximdo, es decir: ε si si >, entonces el error es ositivo; ε > 0. <, entonces el error es negtivo; ε < 0. or lo tnto el número excto será: + ε 1
Se el número excto 5 y el número roximdo 4. 999 Hllr el error ε 5 4.999 EO ABSOLUTO 0.001 El error bsoluto de un número excto y el número roximdo es el vlor bsoluto de l diferenci entre el número excto y el número roximdo. Deben considerrse dos csos: ) el número es conocido, y entonces el error bsoluto se determin en form inmedit rtir de l formul. b) El número es desconocido, cso ms corriente, y or tnto el error bsoluto.. no uede encontrrse rtir de l formul. esult conveniente entonces introducir el error suerior estimdo, denomindo cot del error bsoluto, en lugr del error bsoluto teórico desconocido. LA COTA DE EO ABSOLUTO L cot del error bsoluto de un número roximdo, es culquier número no menor que el error bsoluto de dicho número. Por tnto, si es l cot del error bsoluto de un número roximdo tomndo en lugr del número excto. de quí se deduce que el número excto est dentro del mrgen: + or tnto es un roximción or defecto de. + es un roximción or exceso de. 2
Pr myor brevedd, uede escribirse: ± Hllr l cot del error bsoluto del número 3. 14 usndo en lugr de π. Como 3.14 < π < 3. 15, se deduce que 0 < π 3.14 < 3.15 donde π 3.14 < 0.01 or tnto, un cot del error bsoluto es: 0. 01 si 3.14 < π < 3. 142, se tiene un mejor roximción, donde 0. 002. Hllr l cot del error bsoluto del número roximdo 2. 718 r el número e. Como 2.718 < e < 2.719 0 < e 2.718 < 2.719 Donde e 2.718 < 0.001 or tnto, un cot del error bsoluto es: 0. 001. El error bsoluto (o cot del error bsoluto) no es suficiente r definir l exctitud de un medid o un cálculo. Suongmos que l medir ls longitudes de dos vribles se tiene: L 100.8cm 0. 1cm y L 5.2cm 0. 1cm 1 ± 2 ± Indeendientemente del hecho de que los errores bsolutos limites coincidn, l rimer medid es mejor que l segund. 3
Un error es un centímetro es mucho ms significtivo si se est midiendo un remche que un uente. Un uente esencil en l exctitud de ls medids (medir mgnitudes de ls cntiddes) es el error bsoluto reltivo l unidd de longitud. Este se denomin error reltivo. EO ELATIVO El error reltivo de un número roximdo es l relción entre el error bsoluto número y el vlor bsoluto del vlor excto ( 0 ). or tnto: del donde, Not Pr fines rácticos, es conveniente exresr este error en orcentje r l cul se debe multilicr or 100, es decir: 100% LA COTA DEL EO ELATIVO L cot del error reltivo de un número roximdo que el error reltivo de dicho número. Por definición se tiene esto es de donde Por tnto, como cot del error bsoluto de un número como, entonces ddo es culquier número no menor se uede escribir o bien 4
De est formul, conociendo l cot del error reltivo se obtienen los límites del número excto. A + ( 1 + ) ( 1 ) A Esto signific que, el número excto ce entre ( 1 ) y ( + ) 1 ; Es decir: 1 ( ± ) Suongmos que es un número roximdo que tom el lugr de un número excto, y suongmos que es l cot del error bsoluto de Hgmos > 0, > 0 y < entonces uede tomrse, or tnto, el número como cot del error reltivo del número. nálogmente se tiene de donde ( + ), 1 si, como sucede comúnmente, << y << 1 (el símbolo << signific mucho menor que ), uede tomrse entonces roximdmente. 5
3 El eso de 1dm de gu 0 ο C viene ddo or 999.847gf ± 0. 001gf (gf grmo (fuerz)). Determinr l cot del error reltivo del resultdo del so del gu. Donde 0. 001gf 999. 847gf Evidentemente se tiene En consecuenci 999. 846gf 0.001 999.847 0.001 0.001 999.846 0.000001 10 10 10 4 % 2 6 1.10. 2 Al determinr l constnte gseos del ire se obtuvo 29. 25. Conociendo que el error ο reltivo de este vlor es 1 % (rtes or mil), encuéntrese los limites dentro de los cules est. Tenemos 0. 001 y or tnto En consecuenci: 29.25 0.001 0.02925 0.03 + 29.25 0.03 29.25 + 0.03 29.22 29.28. 6