Unidad Límites y continuidad
Una vista preinar Qué es el cálculo? Los dos problemas fundamentales El área del conocimiento que llamamos Cálculo gira en torno a dos problemas geométricos fundamentales que las personas han estudiado desde hace más de 000 años. Cada problema está relacionado con la gráfica y f() de una función dada. El primer problema es el de la tangente: Dado un punto P(, f()) sobre la curva y f(), cómo calcular la pendiente de la recta tangente en P? P(, f()) y f()
El problema de la tangente es un problema geométrico, pero su respuesta (en la forma de derivadas) es la clave para la solución de diversos problemas de aplicación en muchas áreas científicas y técnicas. y f() El segundo problema es el del área: Si f() 0 para en el intervalo [a,b], cómo calcular el área A de la región A plana que está bajo la curva y f() y sobre este intervalo? a b En el curso Calculo II aprenderemos que el área A es la integral definida en [a, b] de la función f. El primer problema lo resolveremos con el concepto de derivada pero previo a eso necesitamos estudiar un concepto fundamental, el de la convergencia o del límite de una función.
El concepto de límite El límite de una función en un cierto numero c describe lo que le sucede a esa función a medida que la variable se aproima a c. Suponga que se desea conocer qué le sucede a la función f de la figura, a medida que se acerca a. f() 4
Aunque f no está definida en, la situación puede resolverse calculando f() para valores de que se acercan cada vez más a por la izquierda y por la derecha. se aproima a se aproima a por la izquierda por la derecha 0,8 0,9 0,95 0,99 0,999,00,0,05, f(),8,9,95,99,999,00,0,05, El límite de f(), a medida que tiende a es igual a f( ) 5
Definición: Se escribe f() L c y se dice que el límite de f() es igual a L cuando tiende a c si podemos acercar arbitrariamente los valores de f() a L, aproimando a c pero sin igualar a c. Tres funciones para las que f() c L 6
f ( ) Dos funciones para las que no eiste c 7
Ejercicio: Determine. Grafique la función involucrada en la calculadora utilizando distintas ventanas de visualización. Qué puede observar?. t f(t) t 0 -,0 0.68-0,5 0.655-0, 0.666-0,05 0.6666-0,0 0.6667 0,0 0.6667 0,05 0.6666 0, 0.666 0,5 0.655,0 0.68 t 0 t t 9 t t t Conforme t tiende a cero, las imágenes de la función se acercan a /6 (apro. 0,666). t 9 8
Ejercicio: Grafique la función y sen(π/) en la ventana [-, ] [-.5,.5] y luego estime si eiste el límite: π sen 0 Ejercicio: Grafique la función y sen(π/) en la ventana [-, ] [-.5,.5] y luego estime si eiste el límite: π sen 0 9
Revisando el concepto de límite Si f es una función definida en un intervalo abierto que contiene al número c, ecepto quizás a c mismo, se dice que el límite de f() es L, cuando tiende a c si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f() aproimando lo suficiente a c. Esto se epresa con más precisión así: Definición: c f() L ε > 0, f() - L < δ ε > 0 tal siempre que que 0 < - a < δ Teorema de unicidad: Si f() eiste, entonces este es único. c 0
Límites laterales Límite lateral izquierdo f () c El límite lateral izquierdo de f() cuando tiende a c ( o límite de f() cuando tiende a c por la izquierda) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f() aproimando lo suficiente a c, con menor que c. Límite lateral derecho f () L c El límite lateral derecho de f() cuando tiende a c ( o límite de f() cuando tiende a c por la derecha) es igual a L si podemos acercar arbitrariamente a L los valores de f() aproimando lo suficiente a c, con mayor que c. L
Ejemplo: Considere la función f definida por f ( ) si si < f() ( ) 5 f() ( ) Eiste el límite de f en?
Teorema: f() c L si y sólo si c f() L c f() Ejercicio: Muestre que los siguientes límites no eisten [] Ejercicio: Determine el o los valores de a de modo que el siguiente límite eista. a a a a
El cálculo de límites Para calcular límites no siempre es posible disponer del gráfico de la función. Por esta razón, es conveniente saber determinar el límite de una función mediante procedimientos algebraicos. Para esto es necesario conocer algunos límites básicos y el algebra de límites. k c k, k IR y c c 4
Si k es una constante y eisten los límites entonces [f() a g()] [k f()] a a Álgebra de límites k [f() g()] a a a f() f() f() f() a a a g() y g() g() a Además, a f() g() a a f() g(), siempre que a g() 0 y [f()] a n [ a f()] n 5
6 Ejercicio: Calcule, si es que eisten, los siguientes límites. 4 0 y a a ) (a d) 4 4 6 c) y y y b) a) < > > < -4 si 7 6-4 si 4 8 6 f() si f() f ) si si 0 si h() si h() e) 4
Ejercicio: Demuestre usando el álgebra de límites que p() p(a) si p() a a a.... a o Ejercicio: Analice por qué se produce la siguiente contradicción a n n ( ) ( ) 0 Ejercicio: Calcule, si es que eisten, los siguientes límites. h 0 sen ( h) h sen ( ) 7
V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique. Si los límites f() y g() no eisten, entonces a (f a g)() a no eiste.. Si f() eiste y g() no eiste, entonces (f g)() a a a no eiste. Los siguientes límites no eisten: y ( ) 0 8
Ejercicio: Grafique en la calculadora f (), g() sen( ) y h() Observe que f() g() h(), para todo. Puede determinar gráficamente g()? 0 9
Teorema: Si f() g() para toda en un intervalo abierto que contiene a c (ecepto quizás a c) y eisten los límites de f y g cuando tiende a c, entonces f() c g() c Teorema de Sandwich: Si f() g() h() para toda en un intervalo abierto que contiene a c (ecepto quizás a c) y f() c c h() L entonces g() L. c El teorema anterior nos permite afirmar que 0 sen( puesto que sen ( ), 0 ) 0 0
Ejercicio: Demuestre, utilizando el teorema del sandwich y gráficamente, que sen sen( a ) 0, a IR, y 0 0 0 sen 0 sen
Teorema de Sustitución El ejercicio anterior y el siguiente teorema de sustitución nos permitirá calcular una gran cantidad de límites. Sean A, B IR y f: A IR, g: B IR funciones tales que f(a) B. Supongamos que f() b y que c eiste I c un intervalo abierto en torno a c tal que f() b para todo I c {c}. Si g(u) L entonces g(f()) L. u b c Es decir, g(f()) g(u) L c u b
Ejercicio: Calcule, si eisten, los siguientes límites. ) ) 5) 7) 9) ) 0 t 0 t sen t sen t sen( ) tan( π) sen( πt) (t ) cos( πt) cos π ) 4) 6) 8) 0) ) sen 0 sen( - π) π π 0 0 u 0 π π sen - 4sen tan sen sen (u cot u sen u) u π cos
Ejercicio: Calcule, si eisten, los siguientes límites. ) ) 5) 7) 7 u 4 6 u u 4 49 4 ) 4) 6) 8) t 64 8 4 t 8 t 4 8 Ejercicio: Determine si eiste f() 8 4 8 si si > < 4 4 4 f() para f la función, 4
Límites infinitos Sea f una función definida en un intervalo abierto en torno al numero c que, quizás, no contiene a c mismo. f () c significa que para cada número positivo M, f() > M, cuando está suficientemente cerca de c. f() c significa que para cada número negativo N, f() < N, cuando está suficientemente cerca de c. 5
0 0 0 5 ln( ) 6
Asíntotas verticales La recta a se llama asíntota vertical de la curva y f() si se cumple al menos una de las siguientes afirmaciones: a a f f ( ) ( ) a - a - f ( ) f ( ) a a f ( ) f ( ) Ejemplo: La recta es una asíntota vertical de la función f ( ) ( ) 7
Ejercicio: Determine, si ellas eisten, todas las asíntotas verticales de las funciones siguientes: f ( ) j( ) 9 sen ( ) g( ) k( ) a a h( ) sen( ) ( ) (analizar para a IR, a IR a 0) Ejercicio: Analice la veracidad de las siguientes afirmaciones. Justifique en cada caso si son verdaderas o falsas.. La gráfica de y tan() tiene una infinidad de asíntotas verticales.. La gráfica de un cuociente siempre tiene una asíntota vertical a en los puntos a que anulan el denominador. o 8
Límites al Infinito Qué ocurre con la gráfica de la función f cuando tiende a infinito? f ( ) f ( ) Sea f una función definida en un intervalo (a, ); entonces f ( ) significa que los valores de f() se pueden acercar arbitrariamente a L si se incrementa lo suficiente. L 9
Si f es una función definida en un intervalo (-, a), entonces - f ( ) L indica que los valores de f() se pueden acercar arbitrariamente a L haciendo que sea lo bastante grande y negativa. Asíntotas horizontales La recta y L se llama asíntota horizontal de la curva y f() si se cumple cualquiera de las dos condiciones siguientes: f() L o - f() L 0
Por ejemplo, la recta y es una asíntota horizontal de la curva y Ejercicio: Determine las asíntotas horizontales y verticales de la gráfica de la función f() 5
El álgebra de límites vista anteriormente también es válida para los límites al infinito si se reemplaza a con o con - Teorema: Si r >0 es un número racional, entonces r 0 Si r >0 es un número racional tal que r está definido para toda, entonces r 0 Ejercicio: Grafique en la calculadora la función y evalué f ( ). 6 5 f()
Problema: Un tanque contiene 5000 litros de agua pura. Se le bombea una salmuera con 0 grs de sal por litro, a una tasa de 5 lt/min. La concentración de sal, pasados t minutos, en gramos 0 t por litro es C(t). Qué sucede 00 t con la concentración cuando t? Ejercicio: Calcule, si eisten, los siguientes límites. a ) c) 4 4 b)
4 Algunos límites especiales ( ) e 8) e k 7) e 6) a 0, a ln(a), a 5) e 4) IR k, 0 sen(k) ) IR a, a ) IR k k, k ) 0 k 0 0 >
Ejercicio: Calcule los siguientes límites y verifique con la calculadora. ) ) ) sen 4 4) 5) 5 4 6) 4 4 5 5
Asíntotas Oblicuas Algunas curvas no tienen ni asíntotas horizontales ni verticales pero sí tienen asíntotas oblicuas. ( ) 0 Si f() (m b), la recta y m b se llama asíntota oblicua, porque la distancia vertical entre la curva y f() y la recta y m b tiende a 0. En las funciones racionales se tienen asíntotas inclinadas cuando el grado del numerador es el del denominador más uno. Cómo determinar una asíntota oblicua? 6
f() Sea m y b ( f() m) ; entonces la recta y m b es una asíntota oblicua (derecha) del gráfico de la función y f(). La recta y m b es una asíntota oblicua (izquierda) de la f() función y f(), donde m y b ( f() m). Ejemplo: Determinemos las asíntotas oblicuas de f() m (, b ) 0 Por lo tanto, la recta y es la asíntota oblicua del gráfico de f. 7
Representación gráfica: 8
9 0 y 4 y 4 y 4 9 y y y 4 4 Ejercicio: Encuentre todas las asíntotas posibles de cada curva. Compruebe su respuesta graficando con la calculadora. y y y 4
Continuidad Una función f es continua en el número a si f ( ) f ( a) a La definición anterior requiere, implícitamente tres cosas:. Que f(a) esté definida; esto es, que a esté en el dominio de f.. Que eista el límite f (), de modo que f debe estar definida en un intervalo abierto que contenga a a.. Que f ( ) f ( a) a a Si f no es continua en a se dice que es discontinua en a o que tiene una discontinuidad en a 40
Cómo se ven gráficamente una función continua y una función discontinua? Tres funciones continuas Tres funciones discontinuas a) f(c ) no está definida b) No eiste f ( ) c) f() f(c) c c 4
La gráfica de una función continua se puede trazar sin despegar el lápiz del papel. La gráfica de una función discontinua tiene algún salto o vacío. Ejercicio: Analizar la continuidad de las funciones: f ( ) g() h() - si si < a) Continua para 0 b) Continua para - c) Continua para 4
Una función f es continua por la derecha en un número a si a f() f(a) y f es continua por la izquierda en a si f() f(a) a Ejemplo: En cada entero n, la función f() [] es continua por la derecha, pero discontinua por la izquierda. n f() n [] n f(n) n f() n [] n 4
Ejercicio: Sea f la función dada por f 7 ( ) 9 6. Determine el dominio de la función y grafique la función en la calculadora.. Estudie la gráfica de f en torno de.. Cómo debemos definir a f en para einar la discontinuidad? 4. Calcule el límite de f cuando tiende a. 5. Muestre que la función etendida g es continua en. Grafique en la calculadora 7 6 g( ) 9 0/ 44
Discontinuidades remediables e irremediables La figura muestra distintos tipos de discontinuidad. La primera gráfica muestra una discontinuidad infinita. La segunda muestra una discontinuidad de salto. En ambos casos el ite no eiste, no hay forma de mejorar la situación para hacer la función continua y se dicen discontinuidades irremediables. La tercera discontinuidad es removible o remediable pues el límite L de la función eiste en el punto de discontinuidad. Podemos remediar la discontinuidad redefiniendo f(c) como el valor L del límite. a) f(c ) no está definida b) No eiste f ( ) c) f() f(c) c c 45
46 Ejercicio: Estudie la continuidad de la función en los puntos p indicados. Si eiste discontinuidad remediable redefina de modo que la función f sea continua en p. 0 7 9 6 0 9 f() 0 cos 0 y p p ) ( < > y p p y p p - ) (f() f
Una función f es continua en un intervalo si es continua en todo número del intervalo. En el etremo del intervalo se entiende por continua cuando es continua por la derecha o por la izquierda. Ejercicio: Demuestre que la función f ( ) 6 es continua en el intervalo [-4, 4]. Para comprobar la continuidad de una función muchas veces es más cómodo aplicar el siguiente teorema, que muestra cómo formar funciones continuas complicadas a partir de otras más simples 47
Teorema: Si f y g son continuas en el punto a y k es una constante real, entonces las siguientes funciones también son continuas en a: ) fg ) f-g ) kf 4) fg 5) f/g si g(a) 0 Observaciones: a) Cada una de las cinco partes de este teorema es consecuencia del álgebra de límites. b) Como consecuencia del teorema y de la definición anterior, si f y g son continuas en un intervalo, también lo son las funciones fg, f-g, kf, fg y f/g (si g nunca es cero). Ejercicio: Utilizando álgebra de límites pruebe que f() sen es continua en IR. 48
Teorema: a) Todo polinomio es continuo en IR. b) Toda función racional es continua donde está definida; o sea, es continua en su dominio. Ejercicio: En qué intervalos es continua la función f() 4? Teorema: Si n es un entero positivo par, entonces f () n es continua en [0, [. Si n es un entero positivo impar, entonces f es continua en IR. Ejercicio: En qué intervalos es continua la función f()? 49
Podemos simplemente mover el límite dentro del radical? Por ejemplo, 5 9 9-5 Teorema: Si f es continua en b y g() b, entonces a a f (g()) f(b) f ( a g() ) Una consecuencia del último teorema es que, efectivamente, se puede mover el límite dentro del radical. Más concretamente, n g ( ) n g ( ) a a 50
Teorema: Si g es continua en a y f es continua en g(a), entonces la compuesta f o g es continua en a. Ejercicio: Demuestre el teorema precedente y utilícelo para mostrar que las siguientes funciones son continuas en IR. f() sen, g() cos ( 5 7) y h() e sen Ejercicio: Estudie la continuidad de la función f: ]-, [ IR definida por cos( ) si < 0 f() 0 si 0 si 0 < < sen 5
Ejercicio: Hallar los valores de c y d para los que h es continua en IR V o F f ( ) c 4 d si si si < > Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique su respuesta.. La función f() [] es discontinua sólo en los enteros.. Si fg es continua en a y f es continua en a entonces g es continua en a.. Si f y g son discontinuas en a entonces fg es discontinua en a. 5
Teorema del valor intermedio: Si f es continua en el intervalo cerrado [a, b] y L es cualquier número estrictamente entre f(a) y f(b), entonces eiste un número c en (a, b) tal que f( c ) L. f(c) L para algún valor c entre a y b La continuidad de f en el intervalo [a, b] juega un papel esencial en el teorema. Si f fuese discontinua aún en un único punto del intervalo, no podría darse la conclusión del teorema. 5
Puede haber más de un valor c tal que f(c) L; por ejemplo, L En este caso, f(c) f(c ) f(c ) L c c c Ejercicio: Use el teorema del valor intermedio para demostrar que hay un número positivo c tal que c. Observe que el ejercicio anterior demuestra la eistencia de. 54
Ejercicio: Eiste algún número real eactamente una unidad menor que su cubo? El problema equivale a demostrar la eistencia de un real que satisfaga cierta ecuación Corolario: Si f es continua en el intervalo [a,b] y si f(a) y f(b) tienen signos opuestos (uno positivo y el otro negativo), entonces f( c) 0 para al menos un número c entre a y b. f(b) a c f(a) c b 55
Ejercicio: Demuestre que eiste una raíz de la ecuación en el intervalo dado y luego resuelva gráficamente usando calculadora. 5 4 0, (, ), (, ) Ejercicio: Un punto fijo de una función f es un número c en su dominio tal que f(c ) c. a) Trace la gráfica de una función continua cuyo dominio sea [0, ] y cuyo recorrido también sea [0, ]. Localice un punto fijo de f. b) Intente trazar la gráfica de una función continua cuyo dominio y recorrido sean [0, ], que no tenga un punto fijo. cuál es el obstáculo? c) Use el teorema del valor intermedio para demostrar que toda función continua cuyo dominio y recorrido sean [0, ] debe tener un punto fijo. 56
V o F Ejercicio: Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas. Justifique f ( ) a) Sea con f(-) -0,5 y f(). Por teorema del valor intermedio, eiste al menos un valor c [-,] talque f()0. a) Si g( ) 5, entonces eiste un valor c IR tal que g(c) -. b) Sea f ( ) - 0 < 0 4 El teorema del valor intermedio garantiza la eistencia de un punto c [-,4] tal que f(c) 0. 57