Primer Prcil de Introducción l Investigción de Operciones Fech: 8 de bril de 00 INDICACIONES Durción del prcil: hrs. Escribir ls hojs de un solo ldo. No se permite el uso de mteril ni clculdor Numerr ls hojs. Poner nombre y número de cédul en el ángulo superior derecho de cd hoj Escribir en l primer hoj el totl de hojs entregds. Ls prtes no legibles del exmen se considerrán no escrits. Justifique todos sus ronmientos. Pregunt (,,,, ) Puntos Contestr Verddero (V) o Flso (F) ls siguientes pregunts (no se requiere justificción). Cd respuest correct sum un punto, cd respuest incorrect rest un punto. A) Sen C y D dos conjuntos convexos, C D es un conjunto convexo. B) Sen f y g dos funciones convexs en un conjunto convexo C, l función f + g es un función convex C) Un función f: C R en un conjunto convexo C es convex si y solmente si f (( λ) x + λy) ( λ) f ( x) + λf ( y) x, y C, λ 0, λ D) Un función f dos veces diferencible en un intervlo I R es convex si y solmente si f en I. E) L función f ( x, y, ) x + y es un función convex en R. A) Verdder B) Verdder C) Verdder D) Verdder E) Fls
Pregunt 0 Puntos Usr ls condiciones de Krush-Kuhn-Tucker pr determinr un solución óptim pr el siguiente problem: ( x ) min + x s. x x x + x x, x L función objetivo es convex y l región fctible es convex, por lo tnto ls condiciones de Krush-Kuhn-Tucker (KKT) son suficientes pr un solución óptim globl. Los grdientes son f ( x,), g (, ), g (, ). Agregndo los multiplicdores λ y λ pr cd restricción, ls condiciones de KKT quedn de l siguiente mner: (i) x x x + x (ii) λ x x ) 0 λ ( ( x + x ) 0 (iii) λ libre y λ 0 (iv) x λ + λ 0 + λ + λ 0 Pr encontrr el óptimo globl debemos determinr vlores de x y λ que stisfgn ls condiciones (i) (iv) nteriores. Comenmos suponiendo que λ 0. Entonces por (ii), tenemos que se tiene que cumplir que x + x. Esto, > junto con (i) implic que x / y x /. Por medio de (iv) se deduce que λ y que λ. Estos vlores de x y λ stisfcen tods ls condiciones (i) (iv) y por lo tnto es un óptimo globl del problem
Pregunt (, 6) Puntos Ddo el siguiente problem de Progrmción Linel: min x + x s. x + x 6 x + x x, x A) Determinr l solución óptim en form gráfic B) Determinr l solución óptim con el Método Simplex. A) L representción gráfic de l región fctible es l siguiente: A (0,6) Región Fctible B (,) C (,0) Evlundo los puntos extremos de l región fctible, A, B y C, vemos que el óptimo se d en el punto A (0,6), con un vlor óptimo igul 6. Por lo tnto l solución óptim es x 0 y x 6. B) Primero psmos el problem form estándr, gregndo ls vribles de holgur x y x :
min x + x s. x + x x 6 x + x x x, x, x, x Pr inicil el simplex necesitmos un solución básic fctible inicil. Por lo tnto gregmos ls vribles rtificiles y, y y resolvemos el problem de Fse I correspondiente. min x + x s. x + x x + y 6 x + + x x y x, x, x, x, y, y Armmos el siguiente tbleu inicil: x x x x y y b - 0 0 6 0-0 Fse II 0 0 0 0 0 Fse I 0 0 0 0 0 Pr comenr, restmos ls fils () y () de l fil () pr dejr el costo reducido de ls vribles básics igules cero, y de est mner poder comenr con l Fse II. Iterción : x x x x y y b - 0 0 6 0-0 Fse II 0 0 0 0 0 Fse I - - 0 0-0 Elegimos l vrible x pr entrr l bse, y que es l que tiene costo reducido menor. Sle l vrible básic y, y que se cumple que min { i : b /, > 0}. Iterción : i i ij ij x x x x y y b / -/ 0 / 0 0 / / - -/ Fse II 0 -/ / 0 -/ 0-9 Fse I 0 -/ -/ / 0 - Elegimos l vrible x pr entrr l bse, y que es un de ls que tiene costo reducido menor. Sle l vrible básic y, y que se cumple que min { i : b /, > 0}. i i ij ij
Iterción : x x x x y y b 0 - - 0 - - Fse II 0 0 - - -8 Fse I 0 0 0 0 0 Terminmos con l Fse I, y que no hy costos reducidos negtivos (últim fil), y tenemos un solución básic fctible inicil pr comenr l Fse II. Elegimos l vrible x pr entrr l bse, y que es un de ls que tiene costo reducido menor. Sle l vrible básic x, y que se cumple que min i { i : bi / ij, ij > 0}. Iterción : x x x x b 0 - - 0 6 Fse II 0 0-6 No hy costos reducidos negtivos, por lo tnto l solución básic ctul es óptim Por lo tnto l solución óptim del problem originl es x 0 y x 6, con un vlor óptimo de 6.
Pregunt 7 Puntos Un pequeñ empres petroler es dueñ de dos refinerís. L refinerí I cuest 0.000 dólres por dí en costo de operción y produce 00 brriles de petróleo de lto octnje, 00 de medio octnje y 00 de bjo octnje por dí L refinerí II tiene.000 dólres de costos opertivos dirios y puede producir 00 brriles de lto octnje, 00 brriles de medio octnje y 00 brriles de bjo octnje por dí L compñí tiene órdenes por.000 brriles de lto octnje, 7.000 brriles de medio octnje y 0.000 brriles de bjo octnje. Formulr un modelo de Progrmción Linel que determine l cntidd de dís que l compñí debe mntener ls refinerís funcionndo pr minimir los costos y stisfcer l demnd (no es necesrio solucionr el problem). Sen x y x l cntidd de dís que ls refinerí I y II están operndo, respectivmente. El modelo de Progrmción Linel serí el siguiente: min 0000x + 000x s. 00x + 00x 000 00x + 00x 7000 00x + 00x 000 x, x
Pregunt (7, ) Puntos Dd l siguiente Red - con un Flujo - signdo.,,,,0 6,,, 6,,, A) Hllr el flujo máximo y un corte mínimo, plicndo el lgoritmo de Ford-Fulkerson, prtiendo del flujo ddo. B) Si l cpcidd del rco u (,) fuer k (con k > ) cmbi el flujo máximo? Justifique. Not: ls etiquets sobre los rcos son: (Cpcidd del rco, Flujo ctul) A) Aplicmos el lgoritmo de Ford-Fulkerson, prtiendo de l signción de flujo dd Iterción : (+,), (+,),,,0 6, (-, ), (+,) (+,), (+,) 6,,, (+,) Cmino de umento:, con vlor. Iterción : (+,),,,,0 6, (-, ), (+,) (+,), (+,) 6,,, (+,)
Cmino de umento:, con vlor. Iterción : (+,),,,,0 6, (-, ), (+,) (+,), (+,) 6,,, (+,) Cmino de umento:, con vlor. Iterción : (+,),,,,0 6, (-, ), (+,) (+,), (+,) 6,,, (+,) No es posible estblecer un cmino o cden de umento. Por lo tnto se h encontrdo un flujo máximo y un corte C C de cpcidd mínim, con ϕ k( P, P ) 8, P {,,, } y { P, P } {(,), (,)} B) No cmbi, y que l rist (,) no pertenece l corte mínimo, y por lo tnto el umento de cpcidd no redund en un umento del flujo. Por otro ldo, ls entrds l nodo y están sturds y no es posible umentr el flujo sliente mnteniendo l conservción del flujo, por lo cul no sirve de nd umentr l cpcidd de l rist sliente (,).