MATEMÁTICA D D Módulo I: Análisis de Variable Compleja Unidad Funciones de variable compleja Mag. María Inés Baragatti - Funciones de variable compleja Si a todo número z de un conjunto D de números complejos lo relacionamos con un único número complejo w, decimos que hemos definido una función de dominio D codominio C. Para indicar que f es una función de D en C, anotamos f : D C z w f(z Si f está en las condiciones anteriores, decimos que f es una función de variable compleja. Si z w se escriben en forma binómica suponemos que z + i, w u + iv entonces w f(z puede escribirse mediante la igualdad: u + i v f( + i por lo tanto u v, que son reales, dependerán de las variables reales e, es decir u u(,, v v(, Ejemplos - f(z z es una función de dominio C que a cada complejo lo relaciona con su cuadrado que verifica : w f(z z ( + i + i u(, v(, - g(z i / z es una función de dominio C {} que verifica: w g(z i / z i / ( + u(, v(, / ( +
3- h (z arg(z no es una función, pues cada complejo z no nulo tiene infinitos valores del argumento, en cambio h (z Arg(z es una función de dominio C {} pues el es el único complejo que no tiene argumento cada complejo tiene un único argumento principal. 4- Sabemos que en variable real f ( es una función con dominio [,, en variable compleja z no es una función pues para cada complejo z, su raíz cuadrada tiene dos resultados. Recordar que en variable real se define como aquel número positivo cuo cuadrado es igual a, así 4 Actividad : Indicar el dominio más amplio eplicitar la parte real la parte imaginaria de las siguientes funciones: a z f (z b Re(z (z f i c z f 3 (z i z z - Límite Se denomina entorno de radio r de un complejo z al conjunto {z / z z < r} que representa un círculo abierto centrado en z. Si a dicho círculo le sacamos el punto z tenemos lo que se denomina entorno reducido. z z Entorno de z Entorno reducido de z Si en todo entorno de z ha infinitos puntos pertenecientes a un conjunto D, decimos que z es un punto de acumulación de D. Sea z un punto de acumulación del dominio D de f(z, decimos que f(z tiene ite L cuando z tiende a z e indicamos f(z L sí sólo sí f(z - L z z Como f(z L es una función a valores reales, sabemos que f(z L significa que : para todo número positivo ε, podemos encontrar un número positivo δ, que depende ε, tal que f(z L < ε para todos los z de D que verifican < z z < δ Actividad : a Justificar usando la definición que : f(z f(z z b Usando a justificar que : z z z z z z z
Actividad 3: Dada f(z cos + i sen, comprobar que f(z z z z f(z z Este ejemplo muestra que en general f(z L z z no es equivalente a f(z L z z Ξ Teorema de intercalación (también llamado del sandwich Si en un entorno reducido de z se verifica que g(z f(z h(z g(z h(z A entonces f(z A z z z z Actividad 4: Dada f(z u(, + i v(, z + i, justificar que: z z f(z L L z z + i L u(, L (, (. v(, L (, (. Tener en cuenta las indicaciones que se dan a continuación Como la parte real la parte imaginaria de un complejo son menores que su módulo, podemos afirmar que: u(, L f(z - L v(, L f(z - L, usando el teorema de intercalación se obtiene lo buscado. Como el módulo de un complejo es menor o igual que la suma del valor absoluto de la parte real el valor absoluto de la parte imaginaria, podemos considerar que : f(z L u(, L + v(, L, usando el teorema de intercalación se obtiene lo buscado. Observación Teniendo en cuenta lo afirmado en la actividad 4, podemos decir que el cálculo de un ite en variable compleja puede reducirse al cálculo de los ites dobles de sus componentes real e imaginaria. Ejemplos - z i z z - i z - i z i (z + i(z i z i z + i + i i - z?, en este caso puede buscarse la parte real e imaginaria de la función luego z z calcular los ites dobles de cada una de ellas para (, (,. Como esto es bastante largo podemos analizar el módulo de la función observar que: 3
z z z, si tomamos g(z, h(z z llamamos f(z a la función dada z z vemos que g(z f(z h(z como g(z h(z z f(z z teorema de intercalación obtenemos afirmar que f(z z z entonces usando el usando a de la actividad podemos Actividad 5: Calcular los siguientes ites z - Re(z a b z z z z c Im(z z z 3- Continuidad en un punto en un dominio Una función f(z es continua en z sí sólo sí f(z f(z z z Una función f(z es continua en un dominio D si es continua en cada punto de D. Actividad 6: Dada f(z u(, + i v(, z + i, justificar que: f(z es continua en z u(, v(, son continuas en (, Usar el resultado de la actividad 4 la definición de continuidad. Observaciones ejemplos: Dado que la definición de continuidad es idéntica a la definición de continuidad de una función de una variable real, podemos enunciar las siguientes proposiciones, cuas demostraciones son eactamente las mismas que las utilizadas en el caso real. - La suma, resta producto de funciones continuas es continua. El cociente de funciones continuas es continua salvo en los puntos en que se anula el denominador. - La composición de funciones continuas es una función continua. 3- Los polinomios complejos f(z a + a z + a z + + a n z n son continuos para todo z Actividad 7: - Justificar porqué las siguientes proposiciones son verdaderas: a g (z Re(z es continua en C 4
b g (z z es continua en C c g 3 (z Im(z 3-3 es continua en C d g 4 (z Arg(z no es continua en el conjunto {(, / } e g 5 (z Arg(z- no es continua en el conjunto {(, / } 4- Derivada Hemos visto que los ites la continuidad de las funciones complejas se reducen a los ites la continuidad de pares de funciones reales de dos variables reales. Podría creerse que la derivabilidad de una función f(z es reducible a la de sus partes real e imaginara, pero veremos que esto no es así son esas diferencias las que dan interés a la teoría. Si f(z está definida en un entorno de z, entonces la derivada de f(z en z, a la que f(z + z - f(z indicamos f '(z, está dada por f'(z cuando este ite eiste. z z Observaciones: Dado que la definición de derivada tiene la misma forma que la definición de derivada de una función de una variable real, podemos enunciar las siguientes proposiciones, cuas demostraciones son eactamente las mismas que las utilizadas en el caso real. - La función constante f(z k es derivable para todo z f '(z. - Si n es un número natural, f(z z n es derivable para todo z, si n es un número entero negativo, f(z z n es derivable para todo z. En ambos casos se cumple f '(z nz n. 3- Si f(z es derivable en z entonces f(z es continua en z. 4- Si f(z g(z son derivables en un dominio D entonces f(z ± g(z, f(z. g(z, f(z /g(z, con g(z no nula en D f(g(z son derivables en D se cumple: a [f(z ± g(z]' f '(z ± g'(z b [f(z. g(z]' f '(z g(z + f(z g'(z c [f(z / g(z]' [f '(z g(z f(z g'(z] / [g(z] d d [f(g(z]' f '(g(z g'(z Ejemplos - Los polinomios complejos f(z a + a z + a z + + a n z n son derivables para todo z 5
- Las funciones racionales, es decir aquellas que son cociente de polinomios en z, son derivables en todos los complejos que no anulen el denominador. 3- Si queremos saber si f(z z es derivable, calculamos f(z + z - f(z z + z z z z z los siguientes dos casos : - z (, como este ite es indeterminado analizamos - Si z es real, es decir si z + i, entonces z + - z ( + + - ( + + ( - Si z es imaginario puro, es decir si z + i, entonces ( z + i i - z + ( + - ( i + + i i i Si - i entonces el ite ( no eiste por lo tanto f(z z no es derivable. Como la igualdad - i sólo es verdadera si e, podemos afirmar que si z entonces f(z z no es derivable. Si - i, es decir si o z, entonces los dos ites anteriores son iguales, pero esto no alcanza para afirmar que el ite ( eiste. Para averiguar si es derivable en z calculamos el ite ( en dicho punto: f( + z z z - f( z - z z z z z z z z z z z Luego podemos afirmar que f(z z sólo es derivable en z se verifica f '( Como f(z z es continua para todo z, este ejemplo nos muestra que una función puede ser continua no ser derivable. Este ejemplo también nos muestra que si z + i entonces la función f(z z +, es un polinomio en las variables,, parece inofensiva sin embargo sólo tiene derivada en z Nos preguntamos: es posible averiguar si una función tiene o no derivada sin usar la definición? Los teoremas que se desarrollan a continuación nos darán la respuesta a este interrogante. 6
Ξ Condición necesaria de eistencia de derivada Si f(z u(, + i v(, es derivable en z + i entonces u(, v(, verifican en u(, v(, (, las condiciones de Cauch Riemann : (C.R u(, v(, u(, v(, v(, u(, Además se verifica que f '(z + i i Demostración Por ser f(z derivable en z, sabemos que f'(z f(z z independientemente del modo en que z tienda a cero. + z z - f(z este ite eiste Considerando z + i, es decir tomando, el ite anterior toma la forma: f'(z u( +, + i v( +, - u(, i v(, agrupando las partes reales e imaginarias teniendo en cuenta que el ite eiste se obtiene u(, v(, f'(z + i (* Considerando z + i, es decir tomando, el ite toma la forma: f'(z u(, operando convenientemente se obtiene + + i v(, f'(z + i v - u(, i v(, (, u(, i (** Comparando (* (**, tenemos la igualdad entre dos complejos, por lo tanto sus partes reales son iguales entre sí también sus partes imaginarias las igualdades obtenidas son justamente las condiciones de CR, que queríamos demostrar. Observación: Si u(, v(, no satisfacen las condiciones de (C.R en (, entonces f(z no es derivable en z + i (Contra recíproco del teorema anterior Ejemplo Si queremos saber donde es derivable la función f(z - i entonces buscamos su parte real e imaginaria, en este caso u(,, v(, - planteamos las condiciones de CR : 7
u v - ( + u -v Como la primera ecuación es el producto de dos factores igualado a cero, alguno de ellos deberá ser cero, por lo tanto ó -/. Reemplazando en la segunda ecuación vemos que : si entonces, si -/, entonces se obtiene -/, que no tiene solución pues es real Por lo tanto las condiciones de CR sólo se verifican en z + i, podemos afirmar entonces que la función dada no es derivable si z, pero no podemos afirmar si es o no derivable en dicho punto pues el teorema anterior sólo indica una condición necesaria de derivabilidad pero no una condición suficiente. Ξ Condición suficiente de eistencia de derivada Si u(, v(, tienen derivadas parciales continuas en (, verifican (C.R en dicho punto entonces f(z u(, + i v(, es derivable en z + i Demostración Considerando que z + i, tenemos que demostrar que eiste el siguiente ite u( +, + + i v( +, + - u( (, (, + i, i v(, (# Como las derivadas parciales de u(, v(, son continuas en (,, entonces dichas funciones son diferenciables en (, por lo tanto pueden aproimarse en un entorno de dicho punto por el plano tangente, así podemos escribir : u(, u(, + u' (, ( - + u' (, ( - + E (, v(, v(, + v' (, ( - + v' (, ( - + E (, donde E E tienden a cero más rápido que la distancia que separa los puntos (, (, Si consideramos, usamos las condiciones de (CR, las epresiones anteriores pueden escribirse como: u( +, + - u(, u' (, - v' (, + E (, ( v( +, + - v(, v' (, + u' (, + E (, ( E j(, donde (, (, +, para j, 8
pues + es la distancia entre los puntos ( +, + (, tiende a sí sólo sí (, tiende a (, Reemplazando ( ( en (# agrupando convenientemente tenemos: E(, + ie(, (# u' (, + i v' (, + (, (, i + u (, + i v (, pues el ite del último cociente vale cero pues podemos acotarlo de la siguiente manera E (, + ie (, + i E (, E (, + usando el teorema de + + intercalación concluimos que el ite (# eiste por lo tanto f(z es derivable en z Antes de dar algunos ejemplos definimos el concepto más importante de las funciones de variable compleja: la analiticidad. 5- Analiticidad Si f(z es derivable en z en todo un entorno de z, se dice que f(z es analítica en z Observaciones: - Si u(, v(, tienen derivadas parciales continuas en un entorno de z cumplen (C.R en dicho entorno entonces f(z es analítica en z. - Si u(, v(, tienen derivadas parciales continuas en un dominio abierto D cumplen (C.R en D entonces f(z es analítica en D. Ejemplos Si queremos hallar el dominio de continuidad, derivabilidad analiticidad de las siguientes funciones, procedemos de la manera que se indica a continuación: - f(z 3 z 4 iz + 4 i En este caso sencillamente decimos que f es continua, derivable analítica para todo z, por ser suma producto de funciones continuas, derivables analíticas en todo C. - f(z + i ( u(,, v(, Como u(, v(, son continuas para todo par de números reales (, el dominio de continuidad de f es el conjunto C. 9
Para averiguar dónde es derivable, plantemos las condiciones de (C.R: u u v v resolvemos el sistema de ecuaciones obtenido: ( o o - combinando los resultados obtenidos, podemos afirmar que: si se satisfacen ambas ecuaciones (sin importar el valor de, también se satisfacen si (, (-,, por lo tanto: - Si o (, (-,, las condiciones de (C.R no se verifican por lo tanto f no es derivable en dichos puntos( teorema de condición necesaria - El conjunto formado por la recta el punto (-, es el dominio de derivabilidad de f pues en ellos, además de cumplirse las condiciones de (C.R las funciones u(, v(, tienen derivadas parciales continuas (teorema de condición suficiente - El dominio de analiticidad de f es vacío pues es imposible encontrar entornos de derivabilidad. ( ( u, v, Además su derivada vale: f '(+ i + i + i u(, v(, f '(- + i + i i 3- f(z ( + i u(,, v(, El dominio de continuidad es todo C, pues u(, v(, son continuas para todo (, por ser polinomios. Si plantemos las condiciones de (C.R obtenemos :, u u v v rápidamente podemos afirmar que este sistema no tiene solución pues la ecuación - no se satisface para ningún número real. Por lo tanto el dominio de derivabilidad es vacío el de analiticidad también es vacío. 4- f(z e cos + i e sen u(, e cos, v(, e sen El dominio de continuidad de f es el conjunto C pues tanto u(, como v(, son continuas para todo par de números reales (, Planteando las condiciones de (C.R obtenemos el sistema:
u u v v e e cos e cos sen e sen que lo satisfacen todos los pares (, de números reales, como además u v tienen derivadas parciales continuas podemos afirmar que f es derivable analítica en todo C. Además su derivada es f ' (z u + i v e cos + i e sen. Es interesante observar que esta función verifica que f '(z f(z z 5- f(z + z En este caso reconocemos que tanto el numerador como el denominador son continuos, derivables analíticos en todo C por ser polinomios en variable z, por lo tanto f es continua, derivable analítica en todo C salvo en los puntos ± i, donde se anula el denominador que además no pertenecen a su dominio. z 6- f(z + z Los puntos ± i anulan el denominador por lo tanto no pertenecen al dominio, fuera de ellos f es continua por ser cociente de continuas, por lo tanto el dominio de continuidad de f es C { i, -i}. Como sabemos que + z es derivable para todo z z sólo en derivable en z, podemos afirmar que f es derivable en z por ser cociente de derivables el denominador no se anula. Analicemos si f puede ser derivable en algún otro punto del dominio, para ello supongamos que eiste un complejo z, con z z ± i, tal que f sea derivable en z, entonces razonando del siguiente modo: f { (z. ( + z { z 443 derivable en z derivable en z no es derivable en z 444 4443 esderivable en z,por ser producto dederivables obtenemos una contradicción, por lo tanto no puede eistir ese complejo z. Concluimos entonces que f sólo es derivable en z por lo tanto el dominio de analiticidad es vacío. Ejercicios - Calcular usando la definición, la derivada de: a h (z Im(z b h (z z. Re(z c h 3 (z z d h 4 (z z - Indicar el dominio derivar las siguientes funciones usando reglas:
a k (z 3 z /z b k (z z. (-i + z 4 3 4 (z c k 3 (z (z 3- Si f(z es derivable, calcular la derivada de a w z. [f(z] b w f(z 3 f(3z 4- Dadas las funciones f(z z, g(z Re(z, h(z Im(z, comprobar que: a f(z no es derivable en ningún punto pero F(z z f(z es derivable en el origen. bg(z no es derivable en ningún punto pero G(z f(z (g(z es derivable en (,,.. b h(z no es derivable en ningún punto H(z f(z g(z + ih(z es derivable z. c Sacar conclusiones. 5- Si f(z es continua en z g(z z - z, demostrar que h(z f(z. g(z es derivable en z verifica h (z z f(z 6- Hallar graficar el dominio de derivabilidad de analiticidad de las siguientes funciones calcular f (z en los puntos donde eista a F (z 3 + i ( 3 3 b F (z - + 6 + i ( +6 c F 3 (z z (sen - i d F 4 (z e (4 + i 7- Demostrar: a Si f(z f(z son ambas analíticas en D f(z es una función constante en D. b Si g(z g (z son ambas analíticas g(z es constante c Si h(z u(,+ i [u(,] es analítica h(z es constante 8- Mostrar que no eiste una función f(z analítica en todo el plano tal que f (z 3 3 3 3 + 9- Dada f(z + i si (, (, f(, ; mostrar que satisface + + las condiciones de Cauch Riemann en (, pero no es derivable en z - Si f(z u(, + i v(, epresamos e en coordenadas polares tenemos que f(z u(r cos θ, r senθ + i v(r cos θ, r senθ U(r, θ + i V(r, θ, demostrar que si f es derivable en z r e iθ, entonces se verifican las siguientes condiciones de (C.R: U V iθ r r θ iθ U V e V U, (C.R en polares f'(z e + i i, r V U r r r θ θ r r θ - Si f(z es analítica en un conjunto abierto D z pertenece a D justificar que la función f(z f(z si z D - {z } g (z z z es analítica en D {z } es continua en z f'(z si z z
6- Funciones elementales En variable real se tienen las funciones e. sen, cos, ln, podrán etenderse dichas funciones a la variable compleja? A continuación encontraremos la respuesta. Función Eponencial Se pretende definir la eponencial compleja f(z e z de modo que si z es real coincida con la eponencial real, es decir debemos eigirle que f( + i e. Como la derivada de e es igual a e, es natural imponer que f '(z f(z para todo z. Hemos visto en el ejemplo 4 de la sección anterior que la función f(z e (cos + i sen verifica que f '(z f(z para todo z además cumple que f( + i e, por ello la eponencial compleja se define como se indica a continuación resulta ser analítica en todo el plano complejo. Función eponencial: ep(z e z e (cos + i sen Actividad 8: Justificar las siguientes propiedades: a e z es analítica z, se cumple (e z e z b e z e c e z, z d e i, para real e e z z i kπ, con k entero z f z e e z z i kπ, con k entero z + z z z g e e. e Función Logaritmo En variable real, la función logaritmo es la inversa de la función eponencial si >, vale : ln e Pretendemos definir w ln z, de modo que e w z, será posible? Como la eponencial compleja nunca se anula de entrada pedimos que z si consideramos w u + i v, entonces: e w z e u (cos v + i sen v z e u z, v arg(z θ + kπ, con k, ±, ±,. De la epresión real e u z podemos obtener que u ln z, por lo tanto : w ln z u + i v ln z + i (θ + kπ, con k, ±, ±,. 3
que evidentemente no es función pues para complejo z obtenemos infinitos valores del logaritmo Esta observación inicial permite dar la siguiente definición: Logaritmo complejo : ln z ln z + i (θ + kπ para z Si fijamos el valor de k en la definición anterior especificamos el valor del argumento θ transformamos al logaritmo en una función, por ejemplo: Si k, podemos definir las siguientes funciones : f (z ln z + i θ,con -π < θ π f (z ln z + i θ,con θ < π f 3 (z ln z + i θ,con π θ < 3 π Si k, podemos definir las siguientes funciones : f 4 (z ln z + i (θ +π con -π < θ π f 5 (z ln z + i (θ +π con θ θ < θ + π De las infinitas funciones que pueden definirse a partir del logaritmo complejo, se distingue una, que se denomina rama principal del logaritmo, se indica Ln z se define como: Rama principal de la función logaritmo: Ln z ln z + i Arg(z, con z -π < Arg(z π Observar que: a El dominio de Ln z es C {} b Como ln z es continua para z Arg(z es continua salvo en el eje real negativo, el dominio de continuidad de Ln z es C {z + i, } c Como Ln z no es continua en el eje real negativo, no puede tener derivada sobre dicho semieje, pero puede verse fácilmente usando (C.R en polares analizando la continuidad de las derivadas parciales de la parte real e imaginaria que el dominio de derivabilidad analiticidad es C {z + i, } se cumple ( Ln z' / z Ejemplos - ln i ln i + i arg (i ln + i ( ½ π + kπ i (½ π + kπ, k, ±, ±,. - Ln i ln i + i Arg (i i ½ π 3- ln (- + i ln - + i + i arg(- + i ln + i ( ¾. π + kπ, k, ±, ±,. 4- Ln (- + i ln - + i + i Arg(- + i ln + i ¾ π 4
Observación: Es sabido que en variable real vale: logaritmo de un producto de factores positivos es igual a la suma de los logaritmos de cada factor, valdrá esta propiedad en los logaritmos complejos?, para responder calculemos: Ln i + Ln (- + i i ½ π + ln + i ¾. π ln + i (½ π + ¾.π ln + i 5/4 π Ln [ i. (- + i] Ln [- i ] ln - i + i Arg(- i ln - i ¼ π Por lo tanto: Ln i + Ln (- + i Ln [ i. (- + i] Funciones trigonométricas e hiperbólicas Sabemos que si α es real valen las igualdades : e iα cos α + i sen α e iα cos α - i sen α cua suma resta son respectivamente: e iα + e -iα cos α, e iα - e -iα i sen α. Despejando cos α sen α de estas últimas obtenemos: cos e i α + e iα α, i e α iα e senα, con α real i Teniendo en cuenta que estas epresiones, se define: Coseno el Seno de un número complejo z: iz iz e + e cos z, e senz e i iz iz Observar que si z es real, es decir si z entonces cos z sen z coinciden con el cos el sen, a conocidos de la variable real. Ambas funciones son analíticas en todo el plano complejo por ser suma resta de analíticas es sencillo verificar que : (cos z' - sen z, (sen z' cos z Actividad 9: Justificar que los ceros de las funciones sen z cos z son los mismos que los de las funciones sen cos de variable real, es decir probar que: a sen z z k π + i, k, ±, ±,.., b cos z z (½ π + k π + i, k, ±, ±,.., 5
Tangente, cotangente, secante cosecante de un complejo: sen z tg z, cos z cot g z, sec z, cos ec z tg z cos z sen z El dominio de cada una de estas funciones son todos los complejos que no anulan el denominador todas son analíticas en dichos dominios. Seno hiperbólico Coseno hiperbólico de un complejo: z z e e sh z, e ch z + e z z Observar que si z es real vale z entonces ch z sh z coinciden con el ch el sh a conocidos de la variable real. Ambas son analíticas en todo el plano complejo vale que : (ch z sh z, (sh z ch z Eponencial generalizada En variable real se define a e ln a denomina eponencial generalizada. para a > que resulta ser una función, a la que se En C se define la potencia generalizada de manera similar, pero no resulta ser función: Potencia generalizada : a z e z ln a, con a Si en la epresión anterior se toma la rama principal del logaritmo, se obtiene una función denominada eponencial generalizada que se define por: Función eponencial generalizada: a z e z Ln a, con a Ejercicios - Epresar en forma binómica los siguientes complejos: a e iπ/ b e (3-πi/3 cln( + i d ln(- e Ln ( 3 + i 3- Mostrar que: a ln(e z z b e ln z z para z 4- Epresar en forma binómica los siguientes complejos: 6
a cos(-i b sen( π i c sh(-i d ch ( ½ πi 5- Demostrar: z z a e e b e -z / e z c e iz cos z + i sen z d e z ch z + sh z e sen z sen z f sen(iz i sh z 6- Demostrar : a sen( + i sen ch + i cos sh b cos( + i cos ch - i sen sh c sh( + i sh cos + i ch sen d ch( + i ch cos + i sh sen 7- Hallar todos los valores de z que verifican las siguientes ecuaciones: a e z - b e iz cln z iπ/4 d cosz i e chz - f cos z sen z g e z i h sen(iz sh z 8- Epresar en forma binómica los siguientes complejos: a (- -i b i i c (- i 3-5i 9- Hallar el dominio de derivabilidad analiticidad de : a g (z Ln z i - sen(iz b g (z z + z + iz cos z c g 3 (z z 7- Funciones armónicas Una función g(, de dos variables reales se dice que es armónica en un dominio D si g g tiene derivadas segundas continuas verifica en D la ecuación diferencial +, denominada ecuación de Laplace. Observaciones: a La ecuación de Laplace es importante en física a que está conectada, por ejemplo, con el flujo de calor o de fluidos, o cualquier sistema aislado que involucre el cálculo de funciones potenciales. g g b La epresión + se denomina laplaciano de g(, es interesante observar que resulta ser la divergencia del gradiente de g por ello se suele indicar: 7
g + r r r div(grad g.( g g g Ejemplo g(, 3 3 es armónica para todo par de números reales pues: g 3 3 g 6, g 6 g - 6 por lo tanto g + g 6 6 Como g satisface la ecuación de Laplace tiene derivadas segundas continuas entonces g es armónica en todo el plano,. Ξ Teorema- Condición necesaria de analiticidad Si f(z u(, + i v(, es analítica en un dominio D entonces las funciones u(, v(, son armónicas en D. Demostración Para hacer esta demostración vamos a suponer que : si f(z es analítica en D entonces eisten las derivadas segundas de las funciones u(, v(, son continuas en D, por ello las derivadas segundas cruzadas son iguales (u u, v v Más adelante esta suposición será justificada cuando veamos que una función analítica admite derivada de todo orden todas sus derivadas son analíticas. Por ser f(z analítica en D, se cumplen en D las condiciones (CR : u v u - v derivando la primera igualdad respecto de derivando la segunda respecto de obtenemos: u u v v u u v v sumando miembro a miembro las últimas igualdades obtenemos: por lo tanto u(, es armónica en D. u + u v + (- v Repitiendo los pasos, pero derivando la primera respecto a derivando la segunda respecto de restando miembro a miembro, se prueba que v(, es armónica en D. Observación: Saber que u(, v(, son armónicas en D, no es suficiente para asegurar que la función f(z u(, + i v(, es analítica en D. Por ejemplo u(, v(, - son armónicas pero f(z u(, + i v(, i z no es analítica en ningún punto. 8
Conjugada armónica Si dos funciones u(, v(, son armónicas en D satisfacen las condiciones de (C.R en D, se dice que v(, es conjugada armónica de u(,. También puede decirse así: Si f(z u(, + i v(, es analítica en un dominio D, entonces v(, es la conjugada armónica de u(,. Ejemplos - Como f(z z + i es analítica en C, podemos decir que v(, es la conjugada armónica de u(, u(, es la conjugada armónica de v(,? Para responder debemos averiguar si v(, + i u(, + i ( es analítica. Planteando las condiciones de (C.R tenemos: -, -. Como sólo se satisfacen en el origen, esta función tiene dominio de analiticidad vacío, por lo tanto u(, no es la conjugada armónica de v(,. Es interesante observar que - u(, es la conjugada armónica de v(,, pues la función v(, - i u(, + i (- + es analítica en C. - Hallar, si es posible, una función v(, de modo que f(z 3 + e cos + i v(, sea analítica. Como u(, 3 + e cos no satisface la ecuación de Laplace (comprobar que u + u entonces u(, no es armónica por lo tanto, recordando la condición necesaria de analiticidad, es imposible hallar una función analítica f(z que tenga a u(, como componente real. 3- Hallar, si es posible, una función v(, de modo que f(z 3 - e cos + i v(, sea analítica. En este ejemplo la parte real es u(, 3 - e cos, que satisface u + u, por lo tanto la parte real de f(z es armónica. Queremos hallar v(v, para que f(z sea analítica, por lo tanto deberán verificarse las condiciones de (C.R: u v - e cos v u - v -3 + e sen - v Estas ecuaciones nos permiten conocer las dos derivadas parciales de v(,, integrando la primera respecto de la variable manteniendo fija encontramos: v(, ( e cos d 9 e sen + g( donde g es una función arbitraria que depende sólo de, es decir es constante respecto de
Sabemos ahora que v(, e sen + g( cua derivada respecto de es: v - e sen + g'(, además por la segunda ecuación de (C.R sabemos que v 3 e sen, por lo tanto igualando obtenemos : e sen + g ( 3 e sen g ( 3 g( constante arbitraria. 3 d 3 + k, donde k es una Reemplazando este valor de g( en la epresión de v obtenemos: v(, e sen + 3 + k Se deja como ejercicio la verificación que f(z 3 - e cos + i ( e sen + 3 + k es analítica. La parte real la parte imaginaria de una función analítica, además de ser armónicas verifican una relación de ortogonalidad. Actividad : Demostrar que : Si f(z u(, + i v(, es analítica en un dominio D P (, pertenece a D entonces las curvas de nivel u(, u(, c, v(, v(, k, se cortan ortogonalmente en P (el ángulo entre los vectores tangentes o los vectores normales a ambas curvas trazados en P es recto Auda: Calcular el gradiente de ambas curvas de nivel en P comprobar que el producto escalar entre ambos es igual a cero (usar CR por lo tanto los vectores son ortogonales. Recordar que : Si una función de dos variables g(, es derivable en un dominio D entonces su gradiente, que se r ( ( define como g g' i + g' j, evaluado en P es un vector normal a la curva de nivel g(, g(, c, siempre que en dicho punto el gradiente no sea nulo. u(,u(, v(,v(, Ejemplo Dada f(z z, teniendo en cuenta su epresión equivalente u(, + i v(, - + i, las curvas de nivel de su parte real e imaginaria que pasan por (, son : u(, u(, - o -, v(, v(, Si llamamos c o - k entonces las curvas de nivel tienen ecuación u(, - c v(, k, que representan hipérbolas. Si calculamos el gradiente de cada curva lo evaluamos en (, obtenemos un vector r ( ( normal a cada una de ellas, en este caso los vectores normales son u i j,
r ( ( v i + j si los evaluamos en (, hacemos el producto escalar obtenemos r r ( ( ( ( (P. v(p i j. i + j 4 4 ( ( u Como los vectores normales son ortogonales, las curvas se cortan ortogonalmente en P Ejercicios - Comprobar que las siguientes funciones son armónicas en todo R construir una función f(z u(, + i v(, que sea analítica z a u(, e - cos + b u(, 3 + c v(, cos (ch + sh d v(, 3 3 4 3 + - Hallar, si es posible, una función h(, de modo que f(z sea analítica en todo el plano a f(z h(, + i b f(z Re[z 3 z ] + i h(, r r - Si f(z u(, + i v(, es analítica en z a + i b, demostrar que u(a,b v(a,b 3- Hallar las curvas de nivel de f(z, representarlas gráficamente comprobar su ortogonalidad en los puntos de contacto: a f(z 3 z + i b f(z z c f(z Ln z d f(z /z Ejercicios adicionales - Representar gráficamente los complejos z que verifican las relaciones siguientes: a Im(z > Re(z- b z i < 4 c z > Re(z d z < Re(z e z z - i f z < z + i < z - i - Hallar graficar el dominio de derivabilidad de analiticidad de las siguientes funciones calcular la derivada en los puntos donde eista a F(z ( ( + i b G(z 3 + + i ( + c H(z { z + i } d K(z e 3 ( cos (3 + i sen (3 i 3- Confirmar que: a Ln(- i Ln i Ln b Ln(i 3 3 Ln i i 4- Demostrar que a cos(iz ch z b senz + cos z z es real 5- Demostrar:
a Si sen ( + i a, donde a es un número real que verifica a entonces sen ( + i sen, por lo tanto arc sen a + kπ, b Si sen ( + i b, donde b es un número real que verifica b > entonces sen ch b, por lo tanto π/ + kπ, arg ch b c Si sen ( + i c, donde c es un número real que verifica c < - entonces sen - ch -c, por lo tanto -π/ + kπ, arg ch (-c 6- Si f(z u(, + i v(, es analítica en un dominio D, averiguar si las siguientes funciones son analíticas en D a g(z v(, + i u(, b h(z v(, - i u(, 7- Si u(, v(, son armónicas en D, demostrar que f(z (u + v + i (v u es analítica en D.