CÁLCULO DIFERENCIAL Límite de una función real. Definición de límite. Teoremas fundamentales. Teorema del Sándwich Semana 5 Sesión 1
LOGRO DE LA SESIÓN Al finalizar la sesión de aprendizaje el estudiante conoce, interpreta y aplica la noción y el concepto del Límite de una función y su continuidad en las soluciones de problemas relativos a la ingeniería.
ESQUEMA DE LA CLASE LIMITES DE UNA FUNCION DEFINICION DE LIMITES TEOREMAS FUNDAMENTALES TEOREMA DEL SADWICH.
Introducción Alguna vez ha estado Ud. en una competencia de atletismo donde participan docentes, en la cuál dos de ellos llegaron a la menta prácticamente juntos, pero uno de ellos ganó el premio?. Esta noción de estar cada vez más cerca de algo, pero sin tocarlo, es muy importante en matemáticas y en la cual está involucrada el concepto de límite, en el que descansa el fundamento del cálculo.
Noción de límite Cuando una variable se aproima a un valor particular, podemos eaminar el efecto que tiene sobre los valores de la función.
LÍMITE DE UNA FUNCIÓN REAL Resulta adecuado empezar el estudio del cálculo diferencial, investigando los límites y sus propiedades. El concepto fundamental de límite es muy importante para precisar otros tales como la continuidad y la derivación. Punto de acumulación: se dice que es un punto de acumulación del dominio de una función D f, si todo intervalo abierto que lo contiene, también contiene puntos del D f.
Límite de una Función f - Definición Si es un punto de acumulación del D f, se dice que el límite de f () cuando tiende a es igual a L y se simboliza así: lím f ( ) L Si es posible aproimar arbitrariamente los valores de f() hacia L (tanto como se desee), escogiendo a suficientemente cerca de, pero no igual a.
Límite de una función real Ejemplo: 1 Por ejemplo para hallar el límite: lim 1 2 1 Podemos obtener valores de la función f = 1 2 1 para valores de que se aproiman a 1 sin ser nunca iguales a 1. En la tabla dada a continuación, observamos que el valor de f() se aproima a 1/2. f(),9,5263,99,525,999,525...... 1 1/2 f() 1,1.476 1,1,4975 1,1,49975...... 1 1/2
TEOREMAS FUNDAMENTALES 1.- Teorema de la Unicidad del Límite: Si el límite de una función eiste, entonces es único. Si : Lim f ( ) L L L L a 1 y Lim f ( ) a 2 1 2
2.-Teorema de la compresión (del Sandwich) Sean f, g y h funciones tales que: a) Si f ( ) g( ) h( ), N( ) con y b) lim f ( ) lim h( ) L Entonces se cumple que: y lim g( ) L h() g() f() N : es una vecindad de
TEOREMAS FUNDAMENTALES 3.- Teoremas sobre propiedades operacionales: Suponiendo que c es una constante y que: eiste Lim f ) ( eiste Lim g ) ( ) ( ) ( )] ( ) ( [ ) Lim g Lim f g f Lim a ) ( ) ( ) clim f f Lim c b
3.- Teoremas sobre propiedades operacionales: El límite de un producto de funciones, es igual al producto de los límites de dichas funciones. c) Lim[ f ( ). g( )] Lim f ( ). Lim g( ) El límite del cociente de funciones, es igual al cociente de los límites de dichas funciones, siempre que el límite de la función denominador sea diferente de cero. d) Lim[ f ( ) / g( )] Lim f ( ) / Lim g( )
Teorema del cambio de Variable Si lim f = L, entonces haciendo = + h, se cumple: lim f + h = L h Observación: En la práctica este procedimiento consiste en hacer el cambio de variable de la siguiente forma: L = lim f = lim f = lim f( + h) h Donde: = h = + h
Ejemplos 1. 1 Hallar : lim 2 2 8 12 3 Solución.- efectuando la epresión dentro del paréntesis resulta: lim 2 2 + 2 8 (2 )( 2 + 2 + 4) = lim 2 Como 2 entonces (2 ) 2, por tanto: (2 )( + 4) (2 )( 2 + 2 + 4) lim 2 (2 )(+4) (2 )( 2 +2+4) = lim 2 (+4) 2 +2+4 = 6 12 = 1 2
Ejemplos t 2. Calcular : lim t 2 9 2 t 3 Solución.- racionalizando el numerador resulta: lim t t 2 + 9 3 t 2 = lim t ( t 2 + 9 3)( t 2 + 9 + 3) t 2 ( t 2 + 9 + 3) Como t entonces: lim t t 2 t 2 ( t 2 +9+3) = lim t 1 t 2 +9+3 = 1 6
OBSERVACIÓN: Aplicando las propiedades operacionales, pueden establecerse los siguientes límites útiles: 1. Lim[ f ( )] n Lim f ( ) n,( n ) n n 2. lim n 3. lim n 4. Lim n f ( ) n Lim f ( ) (Para n = par se requiere: lim f() > :
Ejercicio reto 1.- Calcular el siguiente límite: 6 3 lim 3 4 1 a)2 / 3 b)1/ 3 c)1 d) 1/ 3 e) 2 / 3
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