TRIGONOMETRÍA (Primer prte) Relizdo por Mª Jesús Arruego Bgüés
INTRODUCCIÓN Trigonometrí signific, etimológicmente, medid de triángulos. En los trbjos topográficos y de l construcción es necesrio conocer cots, desniveles de terreno, etc., pr lo cul se hce imprescindible medir el vlor de los ángulos que permiten clculr distncis. El instrumento que se utiliz pr medir ángulos en tierr firme es el teodolito. Conociendo lgunos elementos de un triángulo- lgún ldo, lgún ángulo-, podremos determinr los restntes. Tles de Mileto (60-550. J.C.) en uno de sus vijes Egipto midió l ltur de un pirámide provechndo el momento en que su propi sombr medí tnto como su esttur
NOCIONES PREVIAS SISTEMAS DE MEDIDA DE ÁNGULOS. RADIÁN. RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO. R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º, 5º Y 60º. RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA.
NOCIONES PREVIAS.. Proporcionlidd de segmentos y semejnz b.teorema DE TALES. TEOREMA DE PITÁGORAS
.. Proporcionlidd de segmentos y semejnz Ls sombrs de los dos árboles son proporcionles ls respectivs lturs H A h S. árbol pequeño (s) Sombr del árbol grnde (S) s S h H OB' OA' H A BB' AA' S h B B k (rzón de proporcionlidd) s O Tles de Mileto (60-550. J.C.) en uno de sus vijes Egipto midió l ltur de un pirámide provechndo el momento en que su propi sombr medí tnto como su esttur 5
.b. TEOREMA DE TALES Si vris prlels determinn segmentos igules sobre un rect r, determinn tmbién segmentos igules sobre culquier otr rect r l que corten A B B C C E D E D r O O A B C D E r A A B TEOREMA DE TALES: OA OB B OA' OB' o tmbien AB OB A'B' OB' Los segmentos determindos por rects prlels en dos rects concurrentes son proporcionles. 6
Medid de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistems: Sistem sexgesiml (En l clculdor MODE DEG) Sistem centesiml (En l clculdor MODE GRAD) Rdines (En l clculdor MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llno Ángulo recto Un grdo Un minuto SEXAGESIMAL 60º 80º 90º 60 60 CENTESIMAL 00 g 00 g 00 g 00 m 00 s RADIANES / 7
Expres los siguientes ángulos en los tres sistems de medid S.sexgesiml 60 º 0º S. centesiml 50 g 60 g 00 g Rdines / 5/6 S.sexgesiml 0º 0º S. centesiml 50 g 90 g 5 g Rdines 7/8 8
Ángulos en los tres sistems de medid S.sexgesiml 60 º 5º 0º 5º 0º 90º 50º S. centesiml 66 g 66 m 66 s 50g g m s 60g g m s 00 g 66 g 66 m 66 s Rdines 0 7 6 5 6 S.sexgesiml 0º 5º 57º 0 8º 0º º 0 7º 5 S. centesiml 55 g 55 m 55 s 50 g 75 g 90g 66 g 66 m 66 s 5 g 90 g 98 m 59 s Rdines 8 7 7 8 9 0 8 9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) B B` Los triángulos ABC, A B C y A B C son semejntes B porque tienen los ángulos igules. En consecuenci los ldos son proporcionles : A A` A C AB BC AC BC AB AC A'B' B'C A'C B'C A'B' A'C A"B" B"C A"C B"C A"B" A"C senĉ cosĉ tgĉ BC AB BC AC AC AB B'C A'B' B'C A'C A'C A'B' B"C A"B" B"C A"C A"C A"B" cosec Ĉ sec Ĉ cot gĉ 0
B c A RAZONES TRIGONOMÉTRICAS (R.T.) DE UN ÁNGULO AGUDO Cteto opuesto de C Cteto dycente o contiguo C b cteto opuesto sen Ĉ hipotenus c Se ABC un triángulo rectángulo en A. Se definen seis rzones trigonométrics C hipotenus sec Ĉ cteto dycente b sec Ĉ cosĉ cteto dycente cos Ĉ hipotenus b hipotenus cos ec Ĉ cteto opuesto c cos ec Ĉ senĉ cteto opuesto tg Ĉ cteto dycente c b cteto dycente cot gĉ cteto opuesto b c cot gĉ tgĉ
B c A Cteto opuesto de C RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO sen Ĉ cos Ĉ c b c c tg Ĉ b b senĉ cosĉ Cteto dycente o contiguo C b Se ABC un triángulo rectángulo en A. C sec Ĉ b b cosĉ cos ec Ĉ c c senĉ b b cosĉ cot gĉ c c senĉ tg Ĉ cot gĉ sec Ĉ cos ec Ĉ cot gĉ sen Ĉ cos Ĉ cosĉ senĉ cosĉ senĉ tgĉ
VALORES QUE PUEDEN TOMAR LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO AGUDO B C En todo triángulo rectángulo los ctetos son menores que l hipotenus. Es decir: 0 < c < 0 < b < En consecuenci: A b c 0 senĉ C sec Ĉ b b 0 cosĉ cosec Ĉ c c b 0 < tgĉ < + 0 < cot gĉ < + b c
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º, 5º y 60º. R.T. DE 0º y 60º. R.T. DE 5º
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º y 60º () C Se ABC un triángulo equilátero Es decir, cd uno de sus tres ángulos mide 60º l l Trzmos un ltur CH En el triángulo CHB, rectángulo en H el ángulo B mide 60º y el ángulo C mide 0º El ldo BH mide l/ Podemos clculr x en función de l, plicndo el Tª de Pitágors A H l C B x + l l l l x x l x 0º l x l l x l x l H 60º l/ B 5
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º y 60º () C l l sen 60º l l l l sen 0º l l l 0º l l l cos 60º l l l l cos 0º l l H 60º l/ B sen 60º tg 60º cos 60º tg 0º Observ que: sen 60º cos 0º cos 60º sen 0º tg 60º cotg 0º cotg60º tg 0º sec 60º cosec0º Cosec 60º sec0º sec 60º cos 60º cos ec 60º sen 60º cot g60º tg60º sec 0º cos 0º cos ec 0º sen0º cot g0º tg0º 6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 5º () Se ABCD un cudrdo D C Es decir, cd uno de sus cutro ángulos mide Trzmos l digonl AC 90º l En el triángulo ABC, rectángulo en B, el ángulo A mide A l B 5º y el ángulo C mide 5º C Podemos clculr x en función de l, plicndo el Tª de Pitágors x l + l x l x 5º l x l x l A 5º l B 7
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 5º () C l sen 5º l l cos 5º l l 5º l l tg 5º l sec 5º cos 5º cos ec 5º sen 5º A 5º l Observ que: sen 5º cos 5º tg 5º cotg 5º B cot g5º tg5º sec 5º cosec5º 8
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS α y 90 º α C Se ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α grdos, el ángulo C mide 90 º α 90 º α b α B c A sen(90º α) c cosα sec ( 90º α) cos ( 90º α) sen α cosecα cos b ( 90º α) senα cosec ( 90º α) sen ( 90º α) cos α sec α tg c b ( 90º α) cot gα cot g ( 90º α) tg ( 90º α) cot gα tgα 9
R.T. DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS α y α C Se ABC un triángulo rectángulo ABC, rectángulo en A Si el ángulo B mide α rdines, el ángulo C mide sen( α) cos tg α α c b c b cos α senα cot gα α B α c sec α cos α cos ec α sen α cot g α tg α sen cos α α A cos ecα sec α α cot gα tgα b 0
RELACIÓN FUNDAMENTAL DE TRIGONOMETRÍA sen α + cos α Si en el triángulo rectángulo BAC, plicmos el teorem de Pitágors, tenemos: b + c Si dividimos l expresión nterior por b c + Expresándolo de otr form: b + c O lo que es lo mismo: B α c ( senα) + ( cosα) A C b Que normlmente expresremos de l form: sen α + cos α
OTRAS RELACIONES FUNDAMENTALES Si en el triángulo rectángulo BAC, plicmos el teorem de Pitágors, tenemos: Si dividimos l expresión nterior por b o por c b b c + b b Expresándolo de otr form: b + c B b c α c + c c c C b A ( cot gα) ( cosec ) + α ( tgα) ( sec ) + α + cot g α cosec α + tg α sec α
R.T. DE LOS ÁNGULOS 0º Y 90º Observ que l ir umentndo el ángulo hst 90º el seno v creciendo, hst llegr ser. Por lo tnto Y sen 90º A su vez el coseno v disminuyendo hst vler 0 cos 90º 0 O sen α sen α α sen α sen α P(x,y) sen α rdio X Observ que l ir disminuyendo el ángulo hst 0º el seno v disminuyendo, hst llegr ser 0, mientrs que el coseno v umentndo hst vler. Es decir, sen 0º 0 cos 0º cos α
Circunferenci goniométric. R.T. DE ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO DEL SENO Y DEL COSENO DE UN ÁNGULO. VALORES Y SIGNO DE LA TANGENTE Y DE LA COTANGENTE. R.T. DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS 5. R.T. DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 80º 6. R.T. DE ÁNGULOS QUE SUMAN 60º 7. R.T. DE ÁNGULOS OPUESTOS
CIRCUNFERENCIA GONIOMÉTRICA Trzmos un circunferenci de rdio y centro en el origen de un sistem de coordends Y Uno de los ldos del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de ls x, el vértice en el origen de coordends y el otro ldo donde correspond O X A est circunferenci donde situremos los ángulos l llmremos circunferenci goniométric. 5
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO CUALQUIERA Y ordend y' y sen α rdio r y O P(x,y) Q(x,y ) r X bscis x' x cos α rdio r x ordend y' tg α bscis x' y x A prtir de hor trbjremos con l circunferenci de rdio (Circunferenci goniométric) 6
SENO Y COSENO DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. B Y El seno y el coseno de culquier ángulo tom vlores myores o igules y menores o igules - sen γ sen β cos γ g cos β d O b cos α cos δ sen δ sen α A X - 0 senα cosα C D + + _ ++ _ - SIGNO DEL SENO 7 SIGNO DEL COSENO
TANGENTE Y COTANGENTE DE UN ÁNGULO CUALQUIERA. VALORES Y SIGNO. cotg δ cotg β Y cotg γ cotg α B tg γ A g O b tg α X tgα + cot gα + C L tngente y l cotngente de un ángulo puede tomr culquier vlor. d D tg δ tg β _ + + _ TANGENTE Y COTANGENTE 8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º A Y A En l circunferenci goniométric dibujmos 0º (quitmos 60º 80º) Dibujmos el ángulo de 60º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. - y 60º -x 0º O 60º x y sen 0º y sen 60º cos 0º x cos60º X y y tg 0º x x tg60º sec0º - cos ec0º cot g0º 9
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 5º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 5º (quitmos 5º 80º) - A y -x 5º 5º O 5º x A y Dibujmos el ángulo de 5º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. sen 5º y sen 5º cos 5º x cos5º X y y tg 5º x x tg5º sec5º - cos ec5º cot g5º 0
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 50º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 50º (quitmos 0º 80º) - A y -x 0º 50º O 0º x A y Dibujmos el ángulo de 0º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. sen 50º y sen 0º cos 50º x cos0º X y y tg 50º x x tg0º sec50º - cos ec50º cot g50º
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS SUPLEMENTARIOS Y y y 80º- p- En l circunferenci goniométric dibujmos y 80º- - A y -x 80º- O x A y X ( 80º α) y sen cos ( 80º α) x senα cos α tg ( 80º α) y x y tgα x - sen ( α) senα cos ( α) cosα tg( 80ºα) tgα
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 0º (ñdimos 0º 80º). Dibujmos el ángulo de 0º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. - -y -x 0º 0º O 0º x A y sen0º X cos0º y sen0º x cos0º A tg0º y x y tg0º x - sec 0º cos ec 0º cot g0º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 5º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 5º (ñdimos 5º 80º). Dibujmos el ángulo de 5º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. - -y -x 5º 5º O 5º sen 5º y sen 5º cos 5º x cos5º X y y tg 5º x x tg5º - sec 5º cos ec 5º cot g5º
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 0º (ñdimos 60º 80º). Dibujmos el ángulo de 60º y ls línes que representn sus rzones trigonométrics. 0º sen 0º sen60º - O X cos 0º cos60º tg 0º tg60º sec 0º - cos ec 0º cot g0º 5
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 80º Y y 80º+ y p+ En l circunferenci goniométric dibujmos y 80º+ - -y -x 80º+ O x A y X sen cos ( 80º α) y + senα ( 80º α) x + cos α A tg ( 80º +α) y x y tgα x - sen sen ( + α) α cos ( + α) cosα tg( + α) tgα 6
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 00º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 00º (quitmos 60º 60º). 00º sen 00º sen60º - O X cos 00º cos 60º tg tg 00º 60º sec 00º - cos ec 00º cot g00º 7
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 5º Y En l circunferenci goniométric dibujmos 5º (quitmos 5º 60º). - 5º O X sen 5º sen 5º cos 5º cos 5º tg5º tg5º - sec 5º cos ec 5º cot g5º 8
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE 0º (ls misms que ls de 0º) Y En l circunferenci goniométric dibujmos 0º (quitmos 0º 60º). - O X sen 0º sen0º cos 0º cos0º tg 0º tg0º - sec 0º cos ec 0º cot g0º 9
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE SUMAN 60º Y y y 60º- p- En l circunferenci goniométric dibujmos y 60º- A sen ( 60º α) y senα - 60º- O x y -y A X tg ( 60º α) x cos ( 60º α) y x cosα y tgα x - α sen sen ( ) α cos ( α) cosα tg( α) tgα 0
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS OPUESTOS Y y - En l circunferenci goniométric dibujmos y - A sen ( α) y senα - O - x y -y X ( α) x cos cosα A tg ( α) y x y tgα x - sen ( α) senα cos ( α) cos α tg( α) tgα
- RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE UN ÁNGULO MAYOR DE UNA CIRCUNFERENCIA Y p+α O x A y Ls rzones trigonométrics de un ángulo myor que un circunferenci ( +60ºk, donde k es un número entero) son ls misms que ls del ángulo X α + 60º k, α + k, sen( + α) cos ( + α) tg( + α) k Ζ senα cosα tgα k Ζ - 60º+ α sen sen ( ) α cos ( 60º+ α) cosα tg( 60º+ α) tgα
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS QUE DIFIEREN EN 70º Y α y y 70º+ + α En l circunferenci goniométric dibujmos y 70º+ A sen ( 70º α) x + cos α - 70º+ O y x y X ( 70º α) y cos + senα -x tg ( 70º +α) x x cot gα y y sen + α - cosα A cos + α senα tg + α cot gα
RELACIÓN ENTRE LAS RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPLEMENTARIOS Y A α y 90º - α En l circunferenci goniométric dibujmos y 90º- y - O 90º- y x x A y X ( 90º α) x sen ( 90º α) y cos cosα senα ( 90º α) tg x y cot gα sen α - cosα cos α senα tg α cot g α
SENO DE 0º, 90º,80º, 70º y 60º Y Observ que l ir umentndo el ángulo de 0º 90º el seno v creciendo, de 0. sen 0º 0 sen 90º Al ir umentndo el ángulo de 90º 80º el seno v decreciendo, de 0. - O - X sen 80º 0 Al ir umentndo el ángulo de 80º 70º el seno v decreciendo, de 0 -. sen 70º - Al ir umentndo el ángulo de 70º 60º el seno v creciendo, de - 0. sen 60º 0 5
COSENO DE 0º, 90º,80º, 70º y 60º Y Observ que l ir umentndo el ángulo de 0º 90º el coseno v decreciendo, de 0. cosen 0º cosen 90º 0 Al ir umentndo el ángulo de 90º 80º el coseno v decreciendo, de 0 -. - O - X cosen 80º - Al ir umentndo el ángulo de 80º 70º el coseno v creciendo, de - 0. cosen 70º 0 Al ir umentndo el ángulo de 70º 60º el coseno v creciendo, de 0. cosen 60º 6
TANGENTE DE 0º, 90º,80º, 70º y 60º - Y O X Observ que l ir umentndo el ángulo de 0º 90º l tngente v decreciendo, de 0 +. tg 0º 0 tg 90º +. Al ir umentndo el ángulo de 90º 80º l tngente v creciendo, de -. 0. tg 90º - tg 80º 0 Al ir umentndo el ángulo de 80º 70º el tngente v creciendo, de 0 +.. - tg 70º +. Al ir umentndo el ángulo de 70º 60º el coseno v creciendo, de - 0. tg 70º - tg 60º 0 7
COTANGENTE DE 0º, 90º,80º, 70º y 60º Observ que l ir umentndo el ángulo de 0º 90º l cotngente v decreciendo, de + 0 - Y O - X cotg 0º + cotg 90º 0 Al ir umentndo el ángulo de 90º 80º l cotngente v creciendo, de 0 - cotg 80º - Al ir umentndo el ángulo de 80º 70º l cotngente v decreciendo, de + 0 cotg 80º + cotg 70º 0 Al ir umentndo el ángulo de 70º 60º l cotngente v decreciendo, de 0 - cotg 60º - 8
VALORES Y SIGNO QUE TOMAN LAS RAZONES TRIGONOMETRICAS DE UN ANGULO senα cosα cosec α sec α cosec α sec α < tg α < + < cot gα < + + + ++ + _ + _ SIGNO DEL SENO Y DE LA COSECANTE SIGNO DEL COSENO Y DE LA SECANTE SIGNO DE LA TANGENTE Y COTANGENTE 9
FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS. FUNCIÓN N SENO. FUNCIÓN N COSENO. FUNCIÓN N TANGENTE. FUNCIÓN N COTANGENTE 5. FUNCIÓN N SECANTE 6. FUNCIÓN N COSECANTE
5 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)sen x 6 6 5 6 7 5 5 7 0 sen 0 0 0 6 6 5 6 7 5 5 7 0
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SENO f(x)sen x 5
5 GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)cos x 6 7 5 6 5 6 7 5 0 COS 0 0 6 6 5 6 7 5 5 7 0
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSENO f(x)cos x 5
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)tg x 0 6 5 6 7 6 5 5 7 55
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN TANGENTE f(x)tg x 56
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)cotg x 0 6 5 6 7 6 5 5 7 57
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COTANGENTE f(x)cotg x 58
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)sec x 0 6 5 6 7 6 5 5 7 59
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN SECANTE f(x)sec x 60
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)cosec x 0 6 5 6 7 6 5 5 7 6
GRÁFICA DE LA FUNCIÓN COSECANTE f(x)cosec x 6
Trigonometrí es es l l rm de de ls ls Mtemátics que que trt ls ls relciones entre los los ldos y los los ángulos de de un un triángulo. L L Trigonometrí yud determinr distncis ls ls que que no no se se puede cceder directmente. Se Se us us en en l l nvegción, en en Agrimensur y en en Astronomí.. Tiene plicción en en Físic, en en Químic y en en Ingenierí, en en especil en en el el estudio de de fenómenos periódicos como l l vibrción del del sonido, en en el el flujo de de l l corriente ltern,... L L Trigonometrí comenzó con con ls ls civilizciones bbilónic y egipci y se se desrrollo en en l l Antigüedd grcis los los griegos e hindúes. A prtir del del siglo VIII VIII d.c., strónomos islámicos perfeccionron los los conocimientos descubiertos por por griegos e hindúes. L L Trigonometrí modern comenzó con con el el trbjo de de mtemáticos en en Occidente prtir del del siglo XV. XV. L L invención de de los los logritmos por por el el escocés John Niper y del del cálculo diferencil e integrl por por Isc Newton yudron l l progreso de de los los cálculos trigonométricos. 6
PÁGINAS WEB http://pessol.sercomtel.com.br/mtemtic/trigonom/trigonometri.htm http://www.eneyuds.cl/trigentrd.htm#ejyej http://www.sectormtemtic.cl/proyectos/como_prender.htm http://www.polito.it/didttic/polymth/htmls/rgoment/appunti/testi/mr_0/ APPUNTI.HTM http://www.dm.unibo.it/mtemtic/trigonometri/trigono.htm http://www.viltte.net/ertostene/cosmimetri/metodo.htm http://www.univie.c.t/future.medi/moe/glerie/trig/trig.html http://descrtes.cnice.mecd.es/ http://www.nuticortiglio.lu.it/trigsfer/trigsferic.htm http://stro.if.ufrgs.br/trigesf/trigesf.htm 6