Trigonometría 14/10/13

Transcripción

1 63 Trigonometrí LECTURA INICIAL L primer civilizción en medir el pso del tiempo, utilizndo el ángulo solr y l longitud de l sombr que proyect un vr clvd en el suelo, fue l civilizción chin. 14/10/13

2 Aplicciones trigonométrics Busc en l web Ángulos Construye un strolbio

3 Esquem de contenidos Trigonometrí Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Relciones entre rzones trigonométrics Rzones trigonométrics 30º 45º 60º Rzones trigonométrics de un ángulo Reducir l primer cudrnte Resolución de triángulos Complementrio, opuesto y suplementrio Identiddes y ecuciones trigonométrics Aplicciones De l trigonometrí

4 Conocimientos previos Un rzón es el cociente entre dos números o cntiddes comprbles : Llmmos proporción l iguldd entre dos rzones: c b d b Dos ángulos son complementrios si l sum de sus mplitudes es 90º: α+β90º Dos ángulos son suplementrios si l sum de sus mplitudes es 180º: α+β180º Semejnz de triángulos. Dos triángulos son semejntes cundo se cumple que: * Sus ángulos son igules: * Sus ldos son proporcionles: Dos triángulos rectángulos son semejntes cundo tienen igul uno de sus ángulos gudos

5 Conocimientos previos Relciones métrics en el triángulo: Ddo un triángulo ABC, siempre se cumple que: El ldo myor es menor que l sum de los otros ldos. El ldo menor es myor que l diferenci de los otros dos ldos L sum de los tres ángulos de un triángulo es igul 180º

6 Medid de ángulos Se llm rdián l mplitud del ángulo centrl de un circunferenci cuyo rco mide lo mismo que su rdio. El rdián es l unidd de ángulo plno en el Sistem Interncionl de Uniddes, y su símbolo es rd. Cuántos rdines hy en un circunferenci? Como l longitud de un circunferenci de rdio r es L r un circunferenci complet mide: L r rd r r Cuál es l equivlenci entre grdos y rdines? 360º rd 180º rd 180º 57º 17 ' 45 ' ' Cómo se ps de grdos rdines, y vicevers? Cunto vle un rdián? 60º 1 rd 60º rd rd 180º 3 rd 4 rd 180º45º 4 rd

7 Medid de ángulos Los ángulos pueden medirse en tres sistems: Sistem sexgesiml (En l clculdor MODE DEG) Sistem centesiml (En l clculdor MODE GRAD) Rdines (En l clculdor MODE RAD) Ángulo completo Ángulo llno Ángulo recto SEXAGESIMAL 360º 180º 90º CENTESIMAL RADIANES

8 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. b c ' b' c'

9 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. Hipotenus b c ' b' c' Cteto opuesto Cteto contiguo

10 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. Hipotenus seno α cteto opuesto de α b hipotenus b c ' b' c' Cteto opuesto Cteto contiguo

11 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. Hipotenus seno α cteto opuesto de α b hipotenus coseno α Cteto opuesto cteto contiguo de α c hipotenus b c ' b' c' Cteto contiguo

12 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. Hipotenus seno α cteto opuesto de α b hipotenus coseno α cteto contiguo de α c hipotenus tngente α Cteto opuesto Cteto contiguo b c ' b' c' cteto opuesto de α b cteto contiguo de α c Ls rzones trogonométrics de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido

13 Rzones trigonométrics de un ángulo gudo Llmmos rzones trigonométrics de un ángulo α ls rzones obtenids entre los ldos de culquier triángulo rectángulo que teng un ángulo de α grdos. Hipotenus seno α cteto opuesto de α b 1 hipotenus c oseno α cteto contiguo de α c 1 hipotenus tngente α Cteto opuesto Cteto contiguo b c ' b' c' cteto opuesto de α b cteto contiguo de α c Ls rzones trogonométrics de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido

14 Otr rzones trigonométrics de un ángulo gudo Hipotenus Cteto opuesto 1 cosecnte αcosec b sen 1 secnte de α c cos c 1 cotngente de α b tg Cteto contiguo b c ' b' c' Ls rzones trogonométrics de un ángulo no dependen del triángulo rectángulo elegido

15 Rzones trigonométrics del ángulo gudo Ejemplo: Clcul el seno, coseno y tngente de los ángulos sen α α y β cteto opuesto 6 0,6 hipotenus 10 cos α cteto contiguo 8 0,8 hipotenus 10 sen β cteto opuesto 8 0,8 hipotenus 10 cos β tg α cteto opuesto 6 0,75 cteto contiguo 8 tg β cteto opuesto 8 1,34 cteto contiguo 6 cteto contiguo 6 0,6 hipotenus 10 Comprueb con l clculdor que α 36º 5' 1'' y β 53º 7' 48''

16 Relciones entre ls rzones trigonométrics del ángulo gudo Si en el triángulo rectángulo ABC, plicmos el teorem de Pitágors, tenemos: b + c C Si dividimos l expresión nterior entre : b c Expresándolo de otr form: b c 1 B A sen α b cos α c O lo que es lo mismo: sen cos 1 Se denomin relción fundmentl

17 Otrs relciones entre ls rzones trigonométrics del ángulo gudo b sen b b tg cos c c c tg sen cos C sen cos sen 1 1 tg 1 sec cos cos cos B 1 tg sec sen α b cos α c A Comprueb que se cumple tmbién: 1 cotg cosec

18 Rzones trigonométrics de 30º, 45º y 60º C Se ABC un triángulo equilátero. Es decir, cd uno de sus tres ángulos mide 60º. Trzmos un ltur h. A B Podemos clculr h en función de l, plicndo el teorem de Pitágors l h + l 4l l h 4 3l h 4 l h l 4 3l h 4 h () h l 3

19 Rzones trigonométrics de 30º, 45º y 60º l l 1 sen 30º l l l 3 l 3 l 3 3 cos30º l l tg 30º Ls rzones trigonométrics de los ángulos de 30º y 60º son: l 3 l 3 3 sen 60º l l l l 1 cos60º l l 3 tg 60º Observ que: sen 60º cos 30º sen 60º 3 3 cos 60º 1 cos 60º sen 30º

20 Rzones trigonométrics de 30º, 45º y 60º B Se ABCD un cudrdo. Es decir, cd uno de sus cutro ángulos mide 90º. A Trzmos l digonl d. D C Podemos clculr d en función de l, plicndo el teorem de Pitágors d l + l d l h l hl

21 Rzones trigonométrics de 30º, 45º y 60º Ls rzones trigonométrics del ángulo de 45º son: l 1 sen45º l l cos 45º l l 1 l tg 45º 1 l Observ que: sen 45º cos 45º

22 Circunferenci goniométric: rzones de un ángulo culquier Trzmos un circunferenci de rdio 1 y centro en el origen de un sistem de coordends. Y A est circunferenci l llmremos circunferenci goniométric. O r1 1 X Uno de los ldos del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de ls x, el vértice estrá en el origen de coordends y el otro ldo donde correspond.

23 Circunferenci goniométric: rzones de un ángulo culquier Cd ángulo qued determindo por sus coordends, (,b), que indicn un punto sobre l circunferenci, y se cumple que: b b sen b r 1 Y cos r 1 r1 O cos α Uno de los ldos del ángulo deberá coincidir con el semieje positivo de ls x, el vértice P estrá en el origen b sen α de coordends y el otro ldo donde correspond. 1 P (, b)( cos α, sen α ) X Est form de definir ls rzones trigonométrics de un ángulo nos permite generlizr ls rzones de culquier ángulo de otro cudrnte.

24 Circunferenci goniométric: rzones de un ángulo culquier Y cos γ sen γ -1 1 sen α 1 1 cos α 1 A cos β cos α cos δ O sen α 1 sen δ sen β B El seno y el coseno de culquier ángulo tom vlores myores o igules 1 y menores o igules 1 1 X + _ + + _+ SIGNO DEL SENO SIGNO DEL COSENO D C -1

25 Rzones trigonométrics de los ángulos que coinciden con los ejes Ls rzones trigonométrics que coinciden con los ejes coordendos: 0º o 360º, 90º, 180º y 70º vienen dds en l siguiente tbl: ÁNGULO >>> 0º 0 rd 90º rd 180º rd 70º 360º 3 rd rd SENO COSENO TANGENTE 0 No existe 0 No existe 0

26 Reducción de ángulos l primer cudrnte II CUADRANTE α β180º α Si un ángulo β está en el segundo cudrnte se puede poner como 180º α, siendo α un ángulo del primer cudrnte. sen sen cos cos tn tn Suplementrios { sen 10ºsen 60º 10º180º 60º cos10º cos60º tg 10º tg 60º

27 Reducción de ángulos l primer cudrnte III CUADRANTE α Si un ángulo β está en el tercer cudrnte se puede poner como 180º +α, siendo α un ángulo del primer cudrnte. sen sen cos cos tg tg β180º +α Difieren en 180º { sen 10º sen 30º 10º180º 30º cos 10º cos 30º tg 10ºtg 30º

28 Reducción de ángulos l primer cudrnte IV CUADRANTE α Si un ángulo β está en el curto cudrnte se puede poner como 360º α, siendo α un ángulo del primer cudrnte sen sen cos cos tg tg β360º α α Opuestos { sen 315º sen 45º 315º360º 45º cos 315ºcos 45º tg 315º tg 45º

29 Ángulos complementrios, suplementrios y opuestos El ángulo complementrio de un ángulo α mide (90º α). 90º α α β 90º α

30 Ángulos complementrios, suplementrios y opuestos El ángulo complementrio El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igul mplitud pero que se mide en sentido de un ángulo α mide (90º α). inverso, α. 90º α α α α β 90º α β 360 º α

31 Ángulos complementrios, suplementrios y opuestos El ángulo complementrio El ángulo suplementrio de de un ángulo α mide (90º α). un ángulo α mide (180º α). El ángulo opuesto de un ángulo es otro ángulo de igul mplitud pero que se mide en sentido inverso, α. 90º α α 180º α α α α β 90º α sen 90º cos cos 90º sen tg 90º cotg β 360 º α β 180 º α sen sen cos cos tg tg sen 180º sen cos 180º cos tg 180º tg

32 Línes trigonométrics: seno, coseno y tngente α senα tg α cosα -+ +1er Cudrnte SIGNO DE LA TANGENTE Todos los Cudrntes

33 Aplicciones de l trigonometrí Clculmos l distnci entre ls embrcciones. 60º 3 d1 cos 30º b 30º 3 sen 30º d d d sen 60º 1 64 cos 60º 3 b d 36, m d1 55,43m b 3695m, b d 1 36,95 d 18,48m d1 d d 55,43 18,48 d 36,95 m distnci

34 Rzones de l sum y l diferenci de dos ángulos Áre de un triángulo El áre de un triángulo es l mitd del producto de un bse por l ltur correspondiente. 1 1 A bse ltur h h hb sen C y como sen C b A b 1 A b sen C c h C B El áre de un triángulo es el semiproducto de dos de sus ldos por el seno del ángulo que formn. 1 1 b c sen A 1 c sen B A b sen C

35 Rzones de l sum y l diferenci de dos ángulos 1 S1 p q sen A B 1 S 1 p h sen A 1 S q h sen B p q sen A B p h sen A q h senb h h Multiplicmos por sen A B sen A senb p q q p h h y como cos B y cos A : sen A B sen A cos B cos A senb q p S 1 S1 S

36 Rzones de l sum y l diferenci de dos ángulos sen ( A B)sen [ A+( B) ] sen A cos ( B)+cos A sen ( B ) sen A B sen A cos B cos A sen B Por otr prte sbemos que cos x sen (90º-x), sí que utilizndo l fórmul nterior del seno y est relción podemos obtener: cos ( A+ B)sen [90º ( A+ B)]sen [(90º A)+( B)] sen 90º A cos B cos 90º A sen B cos A cos B sen A sen B cos A cos B sen A sen B Es decir: cos A B cos A cos B sen A sen B Anlogmente: cos A B cos A cos B sen A sen B

37 Rzones de l sum y l diferenci de dos ángulos (otro modo) sen BP MN NA AM β β β OA sen AB cos cos sen cos sen sen sen cos cos sen α cos OPON PN ON BM OA cos AB sen cos cos sen sen cos cos cos sen sen

38 Tngente de l sum y l diferenci de dos ángulos tg sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen Dividiendo numerdor y denomindor por cos α cos β sen cos cos sen cos cos cos cos tg tg tg cos cos sen sen 1 tg tg cos cos cos cos tg tg tg tg 1 tg tg sen sen cos cos sen cos cos cos sen sen Dividiendo numerdor y denomindor por cos α cos β sen cos cos sen cos cos cos cos tg tg tg cos cos sen sen 1 tg tg cos cos cos cos tg tg tg 1 tg tg

39 Rzones del ángulo doble y el ángulo mitd Usndo ls rzones de l sum de dos ángulos: sen sen cos cos sen 1 cos sen ± sen sen cos cos cos cos sen sen cos αcos α sen α sen α tg α cos α { (1 sen α) sen α1 sen α cos α (1 cos α) 1+ cos α sen α cos α senα cos α cos α cos α sen α cos α sen α cos α cos α tg α 1 tg α α α 1 cos cos ± tg 1 cos ± 1 cos

40 Identiddes trigonométrics Un identidd trigonométric es un iguldd que se verific pr culquier vlor de l vrible, x. Relizremos operciones en uno de los miembros hst llegr obtener el otro miembro: Ejemplos: sen x cos x 1 sen x sen x cos x sen x cos x sen x cos x1 sen x cos x1 sen x 1 cos x tg x senx 1 cos x sen x sen x tg x sen x sen x cos x cos x

41 Ecuciones trigonométrics Ls ecuciones trigonométrics son ecuciones en ls que l incógnit es un ángulo que prece socido un rzón trigonométric. Pr resolverls conviene relizr trnsformciones que consign expresr todos los términos en función de un mismo ángulo y de un sol rzón trigonométric, o bien fctorizrl. Expresd en función de un mism rzón y ángulo (inmedit): x45º 360ºk, k ℤ tg x tg x1 x { x5º 360ºk, k ℤ Fctorizndo: sen x0 x180ºk, k ℤ sen xsen x sen x cos xsen x sen x cosx 1 0 cos x 1 x x60º 360ºk, k ℤ {x300º 360ºk, k ℤ Ecución de segundo grdo: x no tiene sentido pues 1 sen x 1 cos x 3 sen x3 1 sen x 3sen x3 sen x 3sen x 0 { sen sen x 1 x 70º 360ºk, k ℤ IMPORTANTE: Es necesrio comprobr ls soluciones porque lguns de ells pueden no ser válids

42 Seno y coseno del ángulo triple: sen3x y cos3x Vmos buscr un fórmul simplificd pr clculr ls rzones del ángulo triple: sen3x y cos3x sen 3xsen x x senx cosx cosx senx senx cos x sen x cosx senxcosx senx cos x sen x cos x senx 3 senx cos x sen x 3 senx 1 sen x sen x senx 3sen x sen x 3 senx 4sen x cos 3xcos x x cosx cosx senx senx cosx cos x sen x senx senx cosx cos x cosx sen x sen x cos x cos x 3cosx sen x cos x 3cosx 1 cos x cos x 3cosx 3cos x 4cos x 3cos x

43 Resolución de triángulos rectángulos Pr resolver triángulos rectángulos hy que tener en cuent que: 1. Conocemos uno de sus ángulos, el ángulo recto. C A90º. Sus ldos cumplen el teorem de Pitágors b +c B A 3. Sus dos ángulos gudos son complementrios C 90º B+ 4. Utilizremos ls rzones trigonométrics de sus ángulos gudos sen B b cos B c b tg B c c sen C b cos C c tg C b

44 Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es obtener sus elementos desconocidos (longitud de sus ldos y mplitud de sus ángulos, el áre) prtir de otros elementos conocidos. RECUERDA QUE: ) Conocidos dos ldos Uno de sus ángulos es recto. Podemos plicr el Teorem de Pitágors. Sus dos ángulos gudos son complementrios. Aplicndo el T.Pitágors: bc b 13,75 7,5 b 13,8111,5 m A rcsen rcsen 7,5 33º 3 ' 1' ' sen A c c 13,75 B90º A B90º 33º 3 ' 1 ' ' º 56º 56 ' 39 ' ' b) Conocidos un ldo y uno de los ángulos gudos 38 m 48º h Utilizremos l rzón trigonométric que relcion el ángulo y el ldo conocido: h sen 48º h38 sen 48º 8,4 m 38 Aplicndo el T.Pitágors: 38 x h x 38 8,4 x 38 8,4 646,505,43 m x 48º N90º N90º 48º4º

45 Teorem del seno (con l ltur hc) b c sen B sen C sen A Como y sbes por l definición de ls rzones trigonométrics: hc hc b sen A En el triángulo rectángulo AMC: sen A b En el triángulo rectángulo BMC: sen B hc h C sen B Como b sen A sen B Usndo l ltur hc obtenemos b sen B sen A L otr se obtiene igul considerndo otr de ls lturs del triángulo, por ejemplo h A: ha h A b sen C b h A h A c sen B sen B c sen C ha b c sen C sen B ha b c sen B sen C sen A

46 Teorem del seno (con l ltur hb) b c sen B sen C sen A Como y sbes por l definición de ls rzones trigonométrics: hb hb h B c sen A c hb sen C hb sen C sen A luego c sen A sen C hb c sen C sen A L otr se obtiene igul considerndo otr de ls lturs del triángulo: h C hc b sen A sen A b hc sen B h C sen B hc b c sen B sen C sen A b sen A sen B

47 Interpretción geométric del teorem del seno El teorem del seno se cumple tnto pr el triángulo rojo ABC, como pr el verde A'BD. En este último observ que el ldo opuesto C es el diámetro de l circunferenci, luego R, por tnto tenemos: R R sen A ' sen 90º Por otro ldo observ que AA' pues brcn el mismo rco BC R sen sen A A' Es decir, que en culquier triángulo l relción entre un ldo y el seno del ángulo opuesto es igul l diámetro de l circunferenci circunscrit dicho triángulo. b c R sen A sen B sen C

48 Teorem del coseno Ddo un triángulo culquier, trzmos un ltur que dividirá el triángulo en dos triángulos rectángulos. En el triángulo rectángulo AMC: sen A hc hc b sen A b cos A m mb cos A b Si plicmos el teorem de Pitágors l triángulo rectángulo CMB se tiene: (c m) + hc sustituyendo los vlores de h y m hlldos nteriormente, tenemos: b sen A c b cos A b cos A+ b sen A c bc cos A+ fctor común b b (sen A+cos c bc cos A+ A) sen α +cos α 1 c b bc cos A De form nálog se obtendrín ls igulddes: b c c cos B c b b cos C

49 Teorem del seno vs coseno cundo clculmos ángulos de un triángulo b c sen B sen C sen A 1; A puede ser un ángulo Si el sen A er gudo u obtuso (pertenecientes l 1 o º cudrntes). 30º I Cudrnte 1 A Si sen A 150º II Cudrnte { Slvo que tengmos dtos suficientes del ejercicio, el TS nos oblig discutir ls soluciones. Además si sen A 1 o sen A 1 solución c b bc cos A b c c cos B c b b cos C El TC nos permite conocer perfectmente el ángulo si conocemos los tres ldos del triángulo. 1 puede ser un ángulo que ; A Si el cos A er pertenezc l 1 o 4º cudrntes: 1 A 60º I Cudrnte Si cos A 300º IV Cudrnte > Σ αi 180º { 1 puede ser un ángulo Si el cos A ; A que pertenezc l º o 3er cudrntes: 1 10º II Cudrnte Si cos A A 40º III Cudrnte > Σ αi 180º { Con el TC no hce flt discutir ls soluciones.

50 Resolución de triángulos culesquier 1 Se conocen tres ldos : 4, b 4.5 y c 3. Nº de soluciones: Si existe es únic (Existirá si el ldo myor es menor que l sum de los otros ldos) TC-TC Aplic 1º el teorem del coseno pr hllr el primer ángulo. Serí buen ide clculr primero el ángulo opuesto l ldo myor, que es el que puede ser obtuso. Pr hllr el º ángulo vuelve plicr el teorem del coseno. Pr el º ángulo puedes, si prefieres, utilizr el teorem del seno; directmente si y hs clculdo el ángulo que puede ser obtuso, si no, empiez clculndo el ángulo más pequeño (el opuesto l ldo más pequeño) pr segurrnos que es gudo.

51 Resolución de triángulos culesquier Se conocen dos ldos y el ángulo comprendido: c 3, b 4 y A 60º Nº de soluciones: únic TC-TC Aplic el teorem del coseno pr hllr el ldo. Ahor y conocemos tres ldos y podemos proceder como el cso nterior.

52 Resolución de triángulos culesquier 3 Se conocen un ldo y dos ángulos: c 3.6, A 45º y B 105º Nº de soluciones: Si existe es únic ( Si A + B<180º ) TS-TS B+ C 180º. Determinmos el otro ángulo pues A+ Con el teorem del seno clculmos los otros ldos.

53 Resolución de triángulos culesquier 4 Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: c 4 A 45º Nº de soluciones: 0 TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C Si sen C >1 no tiene solución.

54 Resolución de triángulos culesquier 4b Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: 3 Nº de sol.: c 4 A 35º TS-TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C Si sen C >1 tenemos dos soluciones, uno de ellos obtuso. En cd un de ells clculmos el ángulo B y con el teorem del seno el ldo b.

55 Resolución de triángulos culesquier 4c Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: 3 c 6 A 30º Nº de sol.:1 TS-TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C. Si sen C1, C90º y por tnto l solución es únic. Aplicndo A+B+C180º obtenemos B y con el teorem del seno el ldo b.

56 Resolución de triángulos culesquier 4d Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: 3 b 6 A 30º Nº de sol.:1 TS-TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B. Aplicndo de nuevo el teorem del seno obtenemos el ldo b.

57 Resolución de triángulos culesquier 4e Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: 3 c 4 A 15º Nº de sol.:0 TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C. Si sen C>1 no tiene solución.

58 Resolución de triángulos culesquier 4f Se conocen dos ldos y el ángulo opuesto uno de ellos: 3 c A 15º Nº sol.:1 TS-TS Medinte el teorem del seno determinmos el ángulo C, y posteriormente el ángulo B. Aplicndo de nuevo el teorem del seno obtenemos el ldo b

59 Aplicciones de l trigonometrí: T. Rectángulo Doble tngente Hll l ltur, x, que h lcnzdo l comet. Hll l ltur, y, del árbol que se encuentr l otro ldo del río. (Método de l doble tngente) sen 48º x x 38 sen38º 38 } y 15+ x 15 tg 3º+ x tg 3º x tg 50º y tg 50º x 15 tg 3º 15 tg 3º x tg 50º x tg 3º x tg 50º tg 3º tg 3º

60 Aplicciones de l trigonometrí: TS Doble tngente b c60 Hllr l ltur, h, de los viones. (Método de l doble tngente) } h + x tg 30º+ x tg 30º x tg 55º h tg 55º x tg 30º tg 30º x tg 55º x tg 30º x tg 55º tg 30º tg 30º Hll el áre del triángulo si C38º. Recuerd que S 1 b sen C, es decir, el semiproducto de dos de sus ldos por el seno del ángulo comprendido por ellos sen 11º 90,36 u sen 11º sen 38º sen 38º ,36 60 sen 30º1355,4 u S c sen B Como c60

61 Aplicciones de l trigonometrí: TS Doble tngente h Determin l superficie del pentágono, conocido el ldo 3 m. OJO EL TRIÁNGULO NO ES EQUILÁTERO! Como 3 R 3 R,55 m sen 54º sen7º 1 1 S R sen54º 3,55 sen 54º3,09 m x Desde un punto rs de suelo, los ángulos de elevción que presentn l bse y l punt de un mástil de 6 m de ltur (h), colocdo sobre un cntildo, son 38 y 46. Clcul l ltur del cntildo. (Método de l doble tngente) Llmndo x l distnci observdor-cntildo: h+6 x h tg 38º x tg 46º }

62 Aplicciones de l trigonometrí: TC Un jugdor de golf lnz l pelot desde l posición de slid de un hoyo, distnte 350 m, y lcnz un distnci de 180 m. Pero el golpe h sido defectuoso y l dirección de l pelot form un ángulo de 0 respecto de l dirección hci el hoyo. A qué distnci del hoyo h queddo su pelot? x Pr fijr l nten AB, se recurre los tirntes BC y BD. Si l nten mide AB 3 m, l longitud del tejdo es AC AD 11 m, y si el ángulo de l nten con ls dos vertientes del tejdo es BAD130º, hllr l longitud que se precis pr los tirntes BC BD. Si x BC BD x cos 130º 1,63 m TC : x cos 0º191,05 m

63 Aplicciones de l trigonometrí: TS 56 m Se dese hllr l distnci entre dos puntos A y B del terreno; A no es ccesible y B si lo es. Se recurre un punto C y se mide CB 56 m, BCA55º y ABC70º. Hllr l distnci AB x 56 sen 55º sen 55º x 56 m( En este cso se trt de un triángulo isósceles) Como A180º 55º 70º55

64 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Ertóstenes nció en Cirene ( ntigu ciudd grieg en l ctul Libi) en el ño 76. C (S III. C) y se cree que er de origen cldeo. Fue mtemático, strónomo y geógrfo. Alrededor del ño 55. C fue nombrdo director de l Bibliotec de Alejndrí por el rey Ptolomeo Evegetes. Trbjó con problems de mtemátics, como l duplicción del cubo y los números primos. Hemos podido conocer lgo de sus trbjos, merced comentrios y cits de otros utores. Un de sus principles contribuciones l cienci y l stronomí fue su trbjo sobre l medición de l Tierr. Estndo en l Bibliotec de Alejndrí (Egipto), encontró un informe de observciones sobre Sien (ctulmente Asuán, Egipto), ciudd situd unos 800 Km. l sur de Alejndrí, en el que se decí que el dí del solsticio de verno (1 de junio) mediodí, los objetos (como por ejemplo, los obeliscos) no producín sombr y en el fondo de los pozos podí verse l luz del sol. Esto se debe que est ciudd está sobre l líne del trópico (en relidd, 33' l norte del Trópico de Cáncer

65 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Como hemos dicho sbí que un dí determindo, l mediodí, en Sien (ctulmente Aswn, Egipto), un ciudd ubicd un distnci considerble de Alejndrí hci el sur, l luz del sol entrb de form totlmente verticl dentro de un pozo profundo. Ertóstenes tmbién sbí que mientrs que esto ocurrí en Sien, no sucedí lo mismo en Alejndrí. Los ryos del Sol son todos prlelos entre sí, teniendo en cuent l grn distnci que hy entre el Sol y l Tierr. Los ryos del Sol entrn de modo perfectmente verticl dentro del pozo ubicdo en Sien, cundo el sol está exctmente sobre est ciudd (el 1 de junio l mediodí). En el mismo momento que en Sien los ryos del Sol entrn l pozo como en l figur, en Alejndrí los ryos entrn formndo un ángulo con l verticl; el gnomon (obelisco en l figur) proyect ciert sombr. Ertóstenes usó este procedimientor clculr el perímetro de l Tierr: midió l sombr del gnomon en Alejndrí. Conociendo l ltur del gnomon, l longitud de su sombr, y l distnci entre Sien y Alejndrí, clculó el perímetro terrestre.

66 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Sbemos que: L longitud de rco entre Sien y Alejndrí es d S A Est distnci er de estdios α El ángulo correspondiente este rco es El ángulo que formn los ryos del Sol con el gnomon es α 1α α1 por ser ángulos lternos-internos Este ángulo resulto ser de 7º 1'7,º El rdio de l Tierr es R. Los ryos del Sol llegn en form prlel l Tierr. L longitud de l sombr es l sombr

67 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Conociendo l tngente del ángulo, de α tg α, y sbiendo que α<90º podemos obtener el vlor con un clculdor. Por otro ldo, l proporción del perímetro totl de l Tierr, π R, que represent l longitud de rco, d, que une los puntos S (Sien) y A (Alejndrí) sobre l superficie de l Tierr, es igul l proporción que represent el ángulo α respecto del ángulo que d un vuelt enter, 360º. De quí se deduce d 360 d 180 d α R π α π R 360º πα R 360º 5000 estdios estdios π 7, º Aunque no se tienen dtos exctos, se sbe que el estdio equivle unos 160m (ctulmente se suele tomr 158m). Por tnto, estdios son proximdmente *160/ Km. Esto equivle un rdio de Km. o 6.86 si tommos los 158m, contr los Km. que son los dmitidos hoy en dí.

68 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Ertóstenes tuvo suerte porque conocí un lugr en donde el sol cí en form exctmente verticl l mediodí. Se podrí hcer el experimento sin sber dónde hy un lugr sí? Vemos: Ls ciuddes, A y B, ubicds proximdmente sobre un mismo meridino terrestre, están seprds por un distnci, d, en l dirección norte-sur. Mediremos, el mismo dí, el ángulo que formn los ryos del sol con l verticl l mediodí en cd ciudd, llmmos estos ángulos αa y αb El ángulo que subtiende el rco que une los puntos A y B es l diferenci entre. Por lo tnto, α α B d 360 d A R π R 360º π(α A α B )

69 Cómo midió Ertóstenes el rdio de l Tierr? Proyecto Ertóstenes. Medición del rdio de l Tierr El proyecto consiste en l medición conjunt y simultáne del rdio terrestre por prte de docentes y lumndo de escuels de nivel medio de Ltinoméric. El método de medición está bsdo en el que usr Ertóstenes de Cirene hce dos mil trescientos ños. El desrrollo del Proyecto Ertóstenes es un propuest conjunt del Deprtmento de Físic de l Fcultd de Ciencis Excts y Nturles de l Universidd de Buenos Aires, del Lbortorio Pierre Auger, Universidd Tecnológic Ncionl, Regionl Mendoz (Argentin) y de l Asocición Físic Argentin. Est ctividd es sencill, no demnd gstos y es muy ric pr desrrollr los tems de Mtemátics, Físic, Astronomí, Geogrfí e Histori. Cd escuel debe registrrse en l web del proyecto y seguir ls instrucciones de l medición simultáne previst pr ls escuel prticipntes. Cd cálculo del rdio terrestre requiere de l menos dos escuels que midn sombrs y longitudes de gnomones, cd un en su punto geográfico, durnte el mediodí solr de un mismo dí, cerc de los equinoccios, o eventulmente de dís diferentes, cerc de los solsticios. En este proyecto prticipn cd ño escuels de Argentin, Brsil, Uruguy, Bolivi, Perú, Venezuel, Colombi y México. L intención de los coordindores del proyecto es sumr este ño escuels de Espñ y Portugl. Informción Proyecto Ertóstenes:

70 Enlces de interés Acertijos mtemáticos Problems mtemáticos IR A ESTA WEB IR A ESTA WEB

71 Actividd: Medición de rcos Dirección: En l sección chilen de l Editoril Sntilln, en l figur de est ctividd precen trzds dos circunferencis concéntrics. Observndo los puntos móviles se deben resolver ls Pr desrrollrl, sigue ctividdes. este enlce.