Semn 1: Tem 1: Vectores 1.1 Vectores dición de vectores 1.2 Componentes de vectores 1.3 Vectores unitrios 1.4 Multiplicción de vectores
Vectores Los vectores son cntiddes que tienen tnto mgnitud como dirección sentido que siguen cierts regls de cominción. Ejemplos: fuerz, velocidd, celerción, cmpo eléctrico, cmpo mgnético, etc.
Representción gráfic de un vector
Componentes rectngulres
En tres dimensiones
SUMA DE VECTORES (GRÁFICAMENTE)
SUMA(RESTA) DE VECTORES (GRÁFICAMENTE)
Propieddes de l Sum de Vectores ) (le commuttiv) ) d ( e f ) (d e) f (le socitiv)
Vectores unitrios Todo vector que teng mgnitud igul l unidd de medid se define como vector unitrio. Ejemplo: En generl todo vector un vector unitrio n n u es
Ejemplo 1.1: Cuáles son ls componentes de un vector en el plno si su dirección es de 252 ntihorrio del eje positivo su mgnitud es de 7.34 uniddes?
Dtos: El es gráfic Respuest : 252, Solución decir, Pr entender lo que piden podemos hcer l : : si M gnitud 7.34 Uniddes prolem est pidiendo ls nuestro vector es componentes, deemos rectngulres, hllr siguiente.
7.34sen(18 oteniendo : 2.27 Respuest: ) A prtir de l gráfic tenemos : sustituendo vlores : 7.34 cos(252 oteniendo : cos( ) 2.27 6.98 2.27 i 6.98 0 sen( ) ) 6.98 7.34 cos(18 j ) 7.34sen(252 Oserven que tmién podemos trjr con el ángulo de18, en este cso deemos tener presentelos signos de ls componentes puesen los cálculo no slen, es decir 0 0 0 )
Ejemplo 1.2: L componente de cierto vector es de -25 uniddes l componente es de 43 uniddes. Cuál es l mgnitud del vector el ángulo entre su dirección?
que Respuest: Dtos: Si considermos nuestro vector como : 25 Solución : Deemos ser que : 43, nos piden tenemos 2 2 2 25 43 tn 1 ( ) tn 1 ( 43 ) 25 2 59.83 49.74
Hgmos un representción gráfic del prolem : Como nuestr respuestes desde el eje positivo tenemos : 180 0 180 Respuest: 49.74 0 59.83 120.17 0 120.17 0
Ejemplo 1.3 Un piez pesd de mquinri es elevd deslizd lo lrgo de 13 m en un plno inclindo orientdo 22 de l horizontl, como se muestr. () A qué ltur de su posición originl es levntd? () A qué distnci se movió horizontlmente?
Dtos: Solución Como Como Respuest L 13m; 22; ) : es lo que vnz l piez se puede relcionr con el cteto dcentel ángulo ddo por lo que : L 13cos(22) 12m es lo que sue se puede relcionr con el cteto opuesto en este cso tenemos : L L L? ) L 13sen(22) 4.86 5m Respuest: ) 5m ) 12 m. L?
Ejemplo 1.4: Un prtícul vij 20 km hci el norte después 35 km en dirección 60 l oeste del norte. Encuentre l mgnitud dirección del desplzmiento resultnte.
Dtos: Respuest: 20km; 90; 35km; 60 l Oestedel Norte es decir que si tommos el ángulo de desde el eje positivode ls, estrímos hlndo de un ángulo 90 150. Nos piden mgnitud dirección de un desplzmiento c
km j i c c c sen 48.02 37.5 30 37.5 30 37.5 30 : decir es 17.5 (150) 35-30 35cos(150) 20 0 : Solución 2 2
Pr hllr l dirección del vector desplzmiento emplemos el hecho de que : c 1 1 37.5 tn ( ) tn 51.34; Respectol c 30 positivootenemos :180-51.34 128.66 Respuest: 48km;129 eje
Ejemplo 1.5: Dos vectores están ddos por i j 4k. Hlle: 4 i3 j k (), (), c ( c) un vector tl que. c 0
Respuest:. 3k 4 j 5 i k 4 1 j 1 3 i 1 4 4k j i k 3 j 4 i ) 5k. 2 j 3i k 4 1 j 1 3 i 1 4 4k j i k 3 j 4 i ) : Solución 0 c que : tl Hllr c c)? )?; ) 4k; j i k 3 j 4 i Dtos:
c) c 0 c 5 i 4 j 3k
Ejemplo 1.6: Hllr el vector unitrio u que se encuentr en l dirección del vector n 3i 3 j k.
Dtos: u?; Respuest: se en cuentr en l dirección de n Solución : L ide gráfic ud ilustrr lo que se pide: 3i 3 j k
Hllemos l mgnitud de n : n 2 2 3 3 1 2 4.36 1, luego n no es un vector unitrio. Pr hllr un vector unitrio en l dirección de de l siguiente mner : u n n 3i 3 j k 4.36 0.69 i 0.69 j 0.23k n, procedemos
Ángulos directores
Ejemplo 1.7: Hllr los ángulos directores del vector n 3i 3 j k.
Respuest: 76.74 ) 4.36 1 ( cos 46.52 ) 4.36 3 ( cos Análogmen te: 46.52 ) 4.36 3 ( cos : decir es ) ( cos ) cos( ) cos( Como : Solución k 3 j 3i vector n del ; Dtos: Hllr 1 1 1 1 n n n n n n
Multiplicción de vectores Un vector por un esclr Producto punto o producto esclr Producto cruz o producto vectoril
Un vector por un esclr El producto de un esclr por un vector, escrito c, se define que es un nuevo vector cu mgnitud es c c. El nuevo vector tiene el mismo sentido que si c es positivo el sentido opuest si c es negtivo. c
Producto punto o producto esclr Se define como: cos( ) z z
Ejemplo 1.8: Use ls ecuciones nteriores pr clculr el ángulo entre los dos vectores 3i 3 j 3k 2 i j 3k.
Respuest: Dtos: Hllr?, comprendido entre los vectores 3i 3 j 3k cos Solución cos( ) cos 1 : Conocemos que : 1 32 31 33 5.23.74 2 i j 3k. cos( ), despejndo : cos 1 cos 1 18 19.45 3i 3 j 3k 2 2 2 2 3 3 3 2 1 3 22.26 2 i j 3k. 2
Producto cruz o vectoril Se define como: c i j k z z c sen( )
Ejemplo 1.9: Tres vectores sumn cero, como se ilustr. Clcule (), () c, c ( c ).
Respuest: Dtos: c sen(90) k 12k 0, hllr ) ; ) c Solución : ) Suponiendo que están en el plno : Otr ví :Suponiendo el origen en el inicio c) de, c tenemos : 4 i 3 j luego i 4 j 0 k 0 12k 0 3 0
) c?, pr estecso es conveniente poner los sliendo del mismo origen, es decir : vectores 1 3 Oserv que tn ( ) 36.87, demás 180, 4 luego 180-180 -36.87 143.13 Luego : c csen(143.13) k 45 sen(143.13) k 12k
c) c?, pr estecso es conveniente poner los sliendo del mismo origen, es decir : vectores En estecso 90 36.87 126.87; luego : c 11.99 k csen(126.87) k 35 sen(126.87) k
Ejemplo 1.10: Se tienen dos vectores en el plno, cu sum es el vector c=(3, -5), de tl form que uno de los vectores sumndo tiene un mgnitud de 3 su ángulo director es de 1.3 rd. Determine el ángulo, en rd, que hce el vector resultnte con el segundo de los vectores.
Respuest: j i j sen i j sen i z z 2.89 0.8 (1.3) 3 3cos(1.3) ) ( ) cos( : decir es vector, del rectángulres coordends podemos hllr ls, Con : Solución. c que hce en rdines, Hllr 1.3 rd. 3, se c, que tl 0, donde, vectores dos los Dtos:Se
0.26 rd. ) 5.83 8.19 46.05 ( cos ) ( cos otenemos : despejndo ), cos( : decir es productoesclr, el empler vectores deemos entre dos ángulo hllr el Pr 7.89 2.2 : luego, 7.89 2.2 ) 2.89 (0.8 5 3 decir es, 5 3 2.89 tenemos que 0.8, Como -1-1 c c c c j i j i j i j i j i c
Ejemplo 1.11: El producto vectoril de dos vectores es c=(-4, 2, 0),de tl form que uno de los fctores es =(0,0,-1), determin l segundo de los fctores si su mgnitud es igul 5.
Respuest:? 4 2, se conclue que: de quí 2 4 ) ( 1 0 0 : Solución 5. si hllr, c, que tl, vectores Dtos:Sen los z z j i j i i j k j i
Como Respuest: Eisten dos dds 1 5 2 2 z por el i 5 4 es 5 decir vectores que stisfcen ls prolem : j 5 k 4 16 : z 2 2 z 5 2 25 i condiciones 4 20 j 2 z 5 k
Ejemplo 1.12: Cp3 Serve N 4. Dos puntos en el plno tienen coordends polres (2.50m;30.0 ) (3.80m;120.0 ). Determine ) ls coordends crtesins de estos puntos ) l distnci entre ellos. Ejemplo 1.13: Cp3 Serve N 10. Un vión vuel desde su cmpmento se hst el lgo A, un distnci de 280 km en un dirección de 20.0 l norte del este. Después de dejr cer provisiones vuel hci el lgo B, uicdo 190 km 30.0 l oeste del norte desde el lgo A. Determine gráficmente l distnci l dirección desde el lgo B l cmpmento se. Ejemplo 1.14: Cp3 Serve N 14. Un perro que usc un hueso cmin 3.5 m hci el sur, después 8.2 m en un ángulo de 30.0 l norte del este finlmente 15.0 m l oeste. Encuentre el vector desplzmiento resultnte del perro utilizndo técnic gráfics.
Ejemplo 1.15: Cp3 Serve N 30. El vector A tiene componentes de -8.70 cm 15.0 cm, respectivmente; el vector B tiene componentes de 13.2 cm -6.6 cm, respectivmente. Si A - B + 3C=0, Cuáles son ls componentes de C? Ejemplo 1.16: Cp3 Serve N 36. Un mriscl de cmpo tom el lón desde l line de golpeo, corre hci trs 10 rds después recorre 15 rds en prlelo l mism líne de golpeo. En este punto lnz un pse recto de 50 rds dentro del cmpo, perpendiculr l líne de golpeo. Cuál es l mgnitud del desplzmiento resultnte del lón de futol?
Ejemplo 1.17: Cp3 Serve N 40. Usted se encuentr de pie sore el piso en el origen de un sistem coordendo. Un eroplno vuel sore usted con velocidd constnte prlel l eje un ltur constnte de 7.6010 3 m. En t = 0 el eroplno está directmente encim de usted, por lo que el vector desde usted l eroplno está 3 ddo por P 0 (7.6010 m) j. En t = 30.0 s, el vector de posición que prte de usted l eroplno es de 3 3 P30 (8.0410 m) i (7.6010 m) j Determine l mgnitud orientción del vector posición del eroplno en t = 45 s.
Vectores El profesor orientrá l tre cundo deerás hcer el emen correspondiente est Tre. Fin del Tem 1