em 7.- SERIES DE FOURIER Amplición de Mtemátics. Ingenierí écnic Industril. Especilidd en Electrónic Industril. Índice. Series trigonométrics y series de Fourier. Coeficientes de Fourier. Series de Fourier de funciones pres y de funciones impres 3. Convergenci puntul de ls series de Fourier 3. Series de cosenos y series de senos 3 5. OtrsformsdeexpresióndelsseriesdeFourier.Formexponencil. 6. Espectro de línes y síntesis de forms de ond 6. Series trigonométrics y series de Fourier. Coeficientes de Fourier od serie funcionl que se pued expresr en l form + X µ n cos πn x + b n sen πn x donde R +,,,,...,b,b,... n,b n son los coeficientes de l mism. son constntes reles, se denomin serie trigonométric ylos Ddo un número rel x, observemos que si en l serie se sustituye l vrible x por culquier número de l form x + k con k Z, l serie numéric obtenid es l mism culquier que se k, puesto que: n cos πn (x + k)+b n sen πn (x + k) = µ µ πn πn = n cos x +knπ + b n sen x +knπ = n cos πn x + b n sen πn x Por est rzón, se puede firmr que si l serie trigonométric converge en el punto x, entonces tmbién converge en todo punto de l form x + k, y que su sum es l mism en culquier de dichos puntos. En consecuenci, si l serie trigonométric converge, su sum será un función periódic, de período. Definición. Se f un función integrble en [,]. Sellmncoeficientes de Fourier de f los números n = Z f(x)cos πn xdx n =,,, 3,... b n = Z f(x)sen πn xdx n =,, 3,...
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. L serie trigonométric que tiene estos coeficientes se denomin serie de Fourier de f en [,]. Cundo l función f es demás periódic de período, l serie citd se denomin simplemente serie de Fourier de f. Pr construir l serie de Fourier de un función sólo hy que clculr sus coeficientes, y pr ello, de cuerdo con l Definición, bst con que f se integrble. Pero hst hor no se h expuesto ningún rgumento que permit decidir nd cerc de l convergenci de est serie, ni tmpoco, si l sum es onolfunciónf. Es decir, un cos es obtener l serie de Fourier de un función, y otr muy distint determinr su convergenci y eventulmente su sum. Dejremos pr más trde ests últims cuestiones. Obsérvese que, en el cso de ser f un función -periódic, los integrndos serín funciones de período, y entonces, de cuerdo con l Proposición A. del Apéndice, es posible reemplzr el intervlo de integrción por culquier otro intervlo de longitud (como por ejemplo, el intervlo [ /,/]), lo que en cierts circunstncis puede fcilitr el cálculo de los coeficientes de Fourier.. Series de Fourier de funciones pres y de funciones impres En el cálculo de l serie de Fourier correspondiente un función f, es posible evitr trbjo innecesrio l determinr los coeficientes de l serie cundo l función f considerd se o bien un función pr o bien un función impr, como veremos continución: Si f es un función integrble en [,], y demás periódic de período,suseriedefourieres + X µ n cos πn x + b n sen πn x y sus coeficientes se obtienen emplendo ls fórmuls Z n = f(x)cos πn xdx n =,,, 3,... b n = Z f(x) sen πn xdx n =,, 3,... que tmbién se pueden expresr (considerndo l periodicidd de f) enlform Así, se tiene que: n = b n = Z / / Z / / f(x)cos πn xdx n =,,, 3,... f(x) sen πn xdx n =,, 3,... i) Cundo f es pr, l clculr los coeficientes n ls funciones integrr son funciones pres, y que tnto f como los cosenos lo son; sin embrgo, l clculr los b n ls funciones integrr son impres, porque f es pr y los senos impres, de hí que de cuerdo con l Proposición A.3 del Apéndice resulte n = Z / f(x)cos πn xdx n =,,, 3,... b n = n =,, 3,... y por tnto l serie de Fourier obtenid es un serie cosenoidl, esdecir,esdelform + X n cos πn x
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 3 ii) Cundo f es impr, lclculrloscoeficientes n ls funciones integrr son funciones impres, y que f es impr y los cosenos pres; sin embrgo, l clculr los b n ls funciones integrr son pres, porque tnto f como los senos son impres, de hí que de cuerdo con l Proposición A.3 del Apéndice resulte n = n =,,, 3,... b n = Z / f(x) sen πn xdx n =,, 3,... y por tnto l serie de Fourier obtenid es un serie senoidl, es decir, es de l form X b n sen πn x. 3. Convergenci puntul de ls series de Fourier Siendo f un función integrble en [,], y demás periódic de período, podemos hblr de l serie de Fourier de f en [,]. Sin embrgo, como hemos clrdo ntes, no hemos dicho que l serie converj hci l función f, nisiquierqueseconvergente. Un teorem importnte sobre l convergenci puntul de l serie de Fourier de un función f, que cubre l myorí de ls situciones en ls que se encuentrn ls funciones considerr en ls plicciones, es el que exponemos después de l siguiente definición. Definición 3. Se dice que un función f es monóton por trmos en un intervlo [, b], siexisteun prtición { = x <x <...<x n = b} del intervlo (, b) x x x x n x n de modo que l función f es monóton en cd subintervlo (x i,x i ). b eorem 3. Si l función f es cotd y monóton trmos en el intervlo [,], y periódic de período, entonces l serie de Fourier de f es convergente en cd punto x de R, y su sum es f x + + f x donde f(x + ) y f(x ) denotn respectivmente los límites por l derech y por l izquierd de f en x, es decir f(x + )= lím f(x + h) y h f(x )= lím f(x h). + h +. Series de cosenos y series de senos A veces en ls plicciones, surge l necesidd de representr medinte un serie de Fourier un función dd, que sólo está definid sobre cierto intervlo cotdo de l rect rel. Supongmos que l función f está definid en el intervlo [, ], y que se dese representr por un serie de Fourier. Puesto que tod serie de Fourier, cundo converge, represent un función periódic, resolveremos el problem si considermos un nuev función periódic, que coincid con l función f en el intervlo [, ], y hllmos su serie de Fourier. Así si l serie de Fourier de l función construid prtir de f, represent dich función, tmbién representrá f en el intervlo [, ] en el que está definid. Con est ide, se podrín doptr distints forms de proceder, como ls tres que se sugieren continución.
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. i) Construir un nuev función f,periódicdeperíodo, tlqueenelintervlo(, ) coincid con l función f. L serie de Fourier de f representrálfunciónf en el intervlo (, ), si estmos en ls condiciones del teorem de convergenci. ii) Construir un nuev función f p,periódic,deperíodo, que en el intervlo [, ] se defin como ½ f (x) si x [, ] f p (x) = f ( x) si x [, ) L función f p sí definid es un función periódic, de período, y demás es pr. Por ello f p tienesocidunseriedefouriercosenoidl.dichserie,quesedenominseriedecosenosde f, representrá l función f en el intervlo [, ], si estmos en ls condiciones del teorem de convergenci. iii) Construir un nuev función f i, periódic, de período, que en el intervlo [, ] se defin como ½ f (x) si x [, ) f i (x) = f ( x) si x (, ) L función f i sí definid es un función periódic, de período, y demás es impr. Por ello f i tiene socid un serie de Fourier senoidl. Dich serie, que se denomin seriedesenosde f, representrá l función f en el intervlo [, ], si estmos en ls condiciones del teorem de convergenci. 5. Otrs forms de expresión de ls series de Fourier. Form exponencil. En términos de los coeficientes n y b n, ls series de Fourier doptn l form + X µ n cos πn x + b n sen πn x pero veces se utilizn otros coeficientes A,A n, ψ n relciondos con éstos medinte ls igulddes A = n = A n cos ψ n n =,, 3,... b n = A n sen ψ n siendo A n y ψ n < π, lo que permite escribir n cos πn x + b n sen πn x = A n cos ψ n cos πn = A n cos µ πn x ψ n sí que l serie qued A + X µ πn A n cos x ψ n. Si hor introducimos el prámetro ω medinte l iguldd ω = π x + A n sen ψ n sen πn x,
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 5 ls series de Fourier se pueden escribir + X A ( n cos nωx + b n sen nωx) obien + X A n cos (nωx ψ n ) Ahor, usndo un terminologí muy común en Físic, llmremos ¾ n cos nωx + b n sen nωx rmónico de orden n A n cos (nωx ψ n ) A n mplitud del rmónico nωx ψ n fse del rmónico nω pulsción o frecuenci ngulr del rmónico ψ n constntedefsedelrmónico nω frecuenci del rmónico π FORMA EXPONENCIAL DE LAS SERIES DE FOURIER L form trigonométric de l serie de Fourier de un función f, periódic de período, dd por + X µ n cos πn x + b n sen πn x donde los coeficientes son los de l Definición, puede doptr otr expresión menudo más cómod en término de funciones exponenciles complejs como mostrremos seguidmente. Si escribimos cos πn x = e πinx + e πinx tendremos n cos πn x + b n sen πn x = sen πn x = e πinx = h n ³ e πinx e πinx i h ( n ib n ) e πinx ³ + e πinx ib n e πinx +( n + ib n ) e πinx i e πinx i De modo que definiendo b =,c n = ( n ib n ), y llmndo c n su conjugdo, podremos expresr l serie de Fourier en l form X ³ c + c n e πinx + c n e πinx y si por último llmmos c n = c n quedrá l form exponencil de l serie: X n= c n e πinx cuyos coeficientes complejos, utilizndo ls expresiones de n y b n dds en l Definición, se pueden obtener utilizndo l fórmul c n = Z f(x)e πinx dx pr todo n Z
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 6 En términos de l pulsción ω, los coeficientes de Fourier quedrín ylserie c n = ω π Z π/ω f(x)e inωx dx X c n e inωx n= pr todo n Z 6. Espectro de línes y síntesis de forms de ond Existe un procedimiento gráfico pr estudir l contribución de cd rmónico en un serie de Fourier. Consiste en un digrm crtesino en cuyo eje horizontl se represent l frecuenci de cd rmónico, y en el verticl l mplitud del mismo. Ello d origen un digrm de segmentos verticles que se conoce con el nombre de espectro de línes. Un simple inspección del mismo d un ide rápid de l velocidd de convergenci de l serie y de l contribución de cd rmónico l ond dd por l serie. Los rmónicos que más contribuyen tienen myores mplitudes, y en el espectro de línes precen representdos por segmentos de myor longitud. En el epígrfe A. del Apéndice se muestrn lgunos desrrollos de Fourier y sus correspondientes espectros de líne. Describimos continución otro concepto en relción con ls plicciones de ls series de Fourier. L ide centrl de tod l teorí de series de Fourier es que en condiciones bstnte generles, un función periódic se puede expresr como un sum de infinitos rmónicos. L convergenci de ls series de Fourier hce que los sucesivos rmónicos tengn cd vez menor mplitud, por lo que l sum de unos pocos de ellos bst pr obtener un buen proximciónde l función. Supongmos que tenemos un función periódic y clculmos sus primeros rmónicos. Podemos entonces reconstruir proximdmente l función sumndo tntos rmónicos como se considere necesrio pr conseguir l precisión desed. Este proceso se conoce con el nombre de síntesis de forms de ond y pr ponerlo de mnifiesto, lo plicremos lgunos ejemplos que se describen en el epígrfe A.5 del Apéndice. Obsérvese que en el ejemplo b) podemos conseguir un buen síntesis tomndo pocos rmónicos, diferenci de lo que ocurre en los csos ) y c) en los que el número de rmónicos necesrio es myor. Ello es debido que l velocidd de convergenci de l serie de Fourier es tnto myor (y en consecuenci tnto menor el número de rmónicos que se necesitn pr l síntesis) mientrs más suve se l función, es decir, mientrs más derivds continus teng l función.
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 7 APÉNDICE.- A.. Proposición. Pr todo n, p {} N se cumple que: Z ) Z b) c) Z cos πn πp x cos xdx = sen πn πp x sen xdx = cos πn πp x sen xdx = si n = p = / si n = p> si n 6= p si n = p = / si n = p> si n 6= p Demostrción: ) Utilizndo l relción cos α cos β = [cos(α + β)+cos(α β)] result que: Z cos πn πp x cos xdx = = Z µ πn cos + πp xdx + Z µ πn cos πp xdx /+/ si n = p = +/ si n = p> si n 6= p b) Se demuestr de mner nálog utilizndo l relción sen α sen β = [cos(α β) cos(α + β)] c) Se demuestr de form nálog utilizndo l relción cos α sen β = [sen(α + β) sen(α β)] A.. Proposición. Si g : R R es un función -periódic e integrble en un intervlo de longitud, entonces se verific: + Z g (x) dx = g(x)dx pr todo R es decir, l integrl en todo intervlo de longitud tom siempre el mismo vlor. Demostrción: + Z g(x)dx g(x)dx = = = Z Z Z g(x)dx + g(x)dx + + g(x)dx + g(x)dx + Z g (x) dx g(x)dx y est últim sum es cero, y que hciendo el cmbio de vrible x = t + en l integrl result ser igul Z g(x)dx. A.3. Proposición. Sif :[, ] R es integrble, se puede segurr que: + g(x)dx,
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 8 ) Si f es pr, entonces b) Si f es impr, entonces Demostrción:. f(x)dx. ) Z f(x)dx + Z f( x)dx + pero ls dos últims integrles quedn, después de hcer el cmbio de vrible t = x en l penúltim de ells, sí = Z f(t)dt + f(t)dt + f(x)dx b) Z f(x)dx + Z f( x)dx + pero ls dos últims integrles quedn, después de hcer el cmbio de vrible t = x en l penúltim de ells, sí = Z f(t)dt + f(t)dt + A.. Espectro de línes. A continución se describen lguns funciones periódics, sus desrrollos de Fourier y ls mplitudes de los rmónicos. mbién se representn los correspondientes espectros de línes. ½ si 5 <x< ) f(x) = 3 si <x<5 3 + 6 π y periódic de periodo = µ sen πx 5 + 3πx sen 3 5 + 5 A n = 6 (n ) π 5πx sen 5 + n =,, 3,.....3.5.7.9.
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 9 b) f(x) =sen x en [, π] yperiódicdeperiodo = π π µ cos x cos x cos 6x + + π 3 5 35 + A n = (n ) π n =,, 3,....5.5 /π /π 3/π /π 5/π c) f(x) =x en (, π) y periódic de periodo =π π 3 + cos x π sen x + cos x π sen x + 9 cos 3x π 3 sen 3x + A n = n p +n π n =,, 3,... 5 /π /π 3/π /π 5/π 6/π A.5. Síntesis de forms de ond. En los ejemplos que siguen se muestrn lguns funciones periódics, l sum de sus primeros rmónicos, y superpuests en el mismo digrm, ls gráfics de l sum de rmónicos y de l función, sobre un intervlo de longitud igul un período. Debe observrse cómo l sum de los rmónicos se dpt cd vez mejor l función, mientrs más sumndos teng. ) f(x) =x en ( π, π) y periódic de periodo =π S (x) = senx sen x S 5 (x) = senx sen x + 3 sen 3x sen x + 5 sen 5x
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. 3 3-3 - - 3 - - -3-3 - - 3 - - -3 b) f(x) =x 3 x en [, ] y periódic de periodo = S (x) = π 3 sen πx S (x) = 3 sen πx + π3 π 3 sen πx.... - -.5.5 - -.5.5 -. -. -. -. Obsérvese que bstn sólo dos rmónicos pr reproducir csi exctmente l función f. Ello es debido, como se comentó en l Sección 6, que f tiene (compruébese) derivd primer continu. ½ si x< c) f(x) =u(x) = (función esclón unidd) definid en (, ) y periódic de periodo si x = S (x) = + π S (x) = + π S 7 (x) = + π sen πx sen πx + 3π sen 3πx sen πx + sen 3πx + sen 5πx + sen 7πx 3π 5π 7π.8.6...8.6...8.6.. - -.5.5 - -.5.5 - -.5.5
em 7. Series de Fourier. Amplición de Mtemátics. Esp. Electrónic Industril. d) f(x) =sen x en [, π] y periódic de periodo = π S (x) = π cos x cos x 3π 5π S (x) = π cos x cos x cos 6x cos 8x 3π 5π 35π 63π S 7 (x) = π cos x cos x cos 6x cos 8x 3π 5π 35π 63π cos x cos x cos x 99π 3π 95π.8.8.8.6.6.6.......5.5.5 3.5.5.5 3.5.5.5 3 En este ejemplo, tmbién l proximción de l sum de rmónicos l función es bstnte buen, debido que f es continu, pero no tn buen como en el ejemplo b), porque hor, en los extremos del intervlo, l derivd no es continu.