UNIDAD 1: NÚMEROS RACIONALES. Este primer apartado es repaso de coceptos que ya coocemos, pero es bueo que lo tegamos. 1.1 NÚMEROS ENTEROS. OPERACIONES CON NÚMEROS ENTEROS. Clasificació de los úmeros: Naturales IN (1,,, 4,..), Eteros Z (0, -1, -, -,... además del 1,,,...) y racioales Q (además de los aturales y los eteros teemos ½, /9, /6, - 9/86,...) Para sumar dos úmeros eteros. Resultado Dos úmeros positivos 4 + 9 + 1 SUMAMOS Dos úmeros egativos - - 7-1 Uo positivo y uo egativo 1 9 + 6 RESTAMOS Uo egativo y uo positivo - 8 + - El producto de sigos: + + = + + - = - - + = - - - = + Orde operacioes: Primero: parétesis y corchetes Segudo: potecia y raíces Tercero: producto y divisioes Cuarto: sumas y restas mcm y mcd Para calcular el míimo comú múltiplo, factorizamos los úmeros y cogemos comues y o comues, y los comues co mayor expoete. Para calcular el máximo comú divisor, factorizamos los úmeros y cogemos solo comues co el meor expoete. mcm (9, 18, 1)? 9 =, 18 =, 1 = mcm (9, 18, 1) = = 6 mcd (9, 18, 1) = =
1. FRACCIONES. OPERACIONES CON FRACCIONES. Dos fraccioes b a y d c so equivaletes si a. d = b. c. Dos fraccioes equivaletes tiee el mismo valor (para obteer el valor de ua fracció es el resultado de efectuar la divisió) OPERACIONES CON FRACCIONES a) Si tiee el mismo deomiador: se suma los umeradores y se deja el mismo deomiador. 4 7 4 7 b) Si tiee distito deomiador, hacemos el m.c.m. de los deomiadores, dicho m.c.m. lo dividimos por el deomiador y lo multiplicamos por el umerador: 7. 1 7 1 1 1 14 1 1 1 m.c.m.(7,) 1 c) Si solo tego dos fraccioes co distito deomiador podemos utilizar la siguiete a c a.d c. b fórmula:. b d b. d d) Para multiplicar fraccioes debemos multiplicar umerador por umerador y deomiador por deomiador: a b c d a c b d 14 70 10 7 1 e) Para dividir fraccioes debemos multiplicar e cruz: a c : b d a.d b.c Además teemos la propiedad DISTRIBUTIVA a. (b + c) = a. b + a. c **Añade u ejercicio de operacioes combiadas co fraccioes. Elemeto opuesto e iverso de u úmero a, el opuesto (- a) de u úmero es aquel que sumado co el úmero da 0, mietras que el iverso de a es u úmero que multiplicado por a da 1. Completa la siguiete tabla: Número Opuesto Iverso Número Opuesto Iverso - 1-1 0 0 No tiee 1-1 1 1 1 -
UNIDAD : POTENCIAS Y RAÍCES. 1. POTENCIA DE EXPONENTE ENTERO. Potecia de u úmero, estamos muy acostumbrados a multiplicar y tedemos a cofudir potecia co producto: = falso = = 8 ves la diferecia? Defiició de potecias: a = a.a...a ( veces) a 0 = 1 1 a - = a Propiedades de las potecias: 1) Producto de potecias de la misma base a m. a = a m+. = + = ) Cociete de potecias de la misma base a m : a = a m- : = = ) Potecia de ua potecia ( a m ) = a m ( ) =. = 6 4) Potecia de u producto ( a. b ) = a. b (. ) =. a a ) Potecia de u cociete b b 6) Pot de u cociete de expoete egativo a b - b a -4 4 4 7) a 1 = a 8) 1 1 si es par -1 si es impar Recuerda la otació cietífica de 149.000.000 es 1,49 10 8 y de 0,000001 es 1, 10 6. ** Copia de los aputes u ejercicio de suma e otació cietífica, otro de producto y otro de divisió
UNIDAD : POLINOMIOS CONCEPTOS DE POLINOMIOS Recuerda que u moomio es el producto de úmeros (positivos y egativos) y letras (icógitas o variables). Para sumar dos moomios ecesitamos que sea semejates, es decir, que tega las mismas letras co los mismos expoetes por ejemplo x y x, x y x, xyz y -xyz. SUMA DE MONOMIOS x - x = primero observo que so moomios semejates, porque tiee la misma parte literal x, ua vez comprobado pieso e sus coeficietes (los úmeros que tiee delate) x - x = sumo o resto los úmeros = -1 y solo aotamos: x - x = - 1 x, observa que la parte literal NO CAMBIA. PRODUCTO DE MONOMIOS Pasos a seguir para multiplicar dos moomios: x (- x ) = 1) Multiplicamos los sigos + - = - ) Después los úmeros = 6 ) Por último las icógitas, co la propiedad de las potecias, a.a m = a +m x x = x 4 4) Observa que la parte literal SI cambia. x (- x ) = - 6 x 4 COCIENTE DE MONOMIOS Pasos a seguir para dividir dos moomios: 1x : (- x ) = 1) Dividimos los sigos + - = - ) Después los úmeros 1 : = 4 ) Por último las icógitas, co la propiedad de las potecias, a : a m = a -m x : x = x 4) Observa que la parte literal SI cambia. 1x : (- x ) = - 4 x **Copia u ejercicio de suma de poliomios, otro de producto y ua divisió de moomios. DIVISIÓN DE POLINOMIOS Para dividir poliomios: (x 4 - x + ) : (x 7) 1) Teemos que ordear tato el dividedo como el divisor, Y escribir los térmios que falta e el dividedo. x 4 + 0x - x + 0x + x 7
) Dividimos el moomio de mayor orde del dividedo etre el de mayor orde del x divisor: = x x 4 x 4 + 0x - x + 0x + x 7 x ) Multiplicamos el moomio del cociete por el divisor y restamos al dividedo, teiedo e cueta que debemos colocar adecuadamete, x debajo de x, x debajo de x, etc. x 4 + 0x - x + 0x + x 7 - x 4 + 7x x 7x - x + 0x + 4) Cotiuamos hasta que e el dividedo el grado sea meor que el del divisor (e este caso ). Termia el ejercicio. VALOR NUMÉRICO Para calcular el valor umérico de u poliomio e el úmero idicado, debemos: P(x) = x + x + x + 1 e x = - 1 P(- 1) = (-1) + (-1) + (-1) + 1 = - + 1 + 1 = -1 el parétesis es muy importate, o olvides teer e cueta el orde de operacioes. RUFFINI: DIVISIÓN DE POLINOMIOS POR (x a) o (x + a) Si queremos dividir u poliomio etre u dividedo de la forma x + a o x a, teemos la Regla de Ruffii. El proceso es más secillo puesto que o teemos que trabajar co x. Ejemplo: (x 4 - x + ) : (x ) 1 0-0 9 1 6 1 7 1 68 ** Observa: Al dividir por x, e la caja del divisor escribimos +. Es importate iterpretarlo Cociete x +x + 7x + 1 Resto 68 Puedes ver e youtube u vídeo que te ayudará https://www.youtube.com/watch?v=zzug7vx_o8
SACAR FACTOR COMÚN Saca factor comú, es el proceso cotrario a aplicar la propiedad distributiva que os dice a (b + c) = a b + a c. Ejemplo Dada ua expresió algebraica x + 6x 4-4x, teemos que buscar aquello que se repite e los tres sumados, es importate mirar bie, e uestro caso vemos que se repite x, por tato x + 6x 4-4x = x (x + x ) ** Cuidado y o olvides, que si teemos tres sumados, después de sacar factor comú hay tres sumados, o puede desaparecer. Si o lo tiees claro, puedes utilizar el siguiete vídeo https://www.youtube.com/watch?v=ozvx-ov8ysu IDENTIDADES NOTABLES Auque hay más idetidades otables, osotros estudiaremos tres: a) (x + ) = (x) + x + () = x + 4x + 4 (a + b) = a + ab + b b) (x - ) = (x) - x + () = x - 4x + 4 (a - b) = a - ab + b c) (x + ) (x ) = (x) - () = x - 4 (a + b) (a b) = a - b FACTORIZACIÓN DE UN POLINOMIO. Para factorizar u poliomio debemos seguir los siguietes pasos: a) Sacar factor comú, si es posible. Siempre es el primer paso. b) Idetidades otables. c) Ruffii (buscamos u úmero para que el resto sea 0) Ejemplo 1: El poliomio x 4 + x -x = primero sacar factor comú x (x + x - ) = e segudo lugar utilizamos Ruffii 1 1-1 1 1 0 Por tato x 4 + x -x = x (x 1) (x + ) Ejemplo : El poliomio x + 6x 4 + x = primero sacar factor comú x (x + x + 1) = e segudo lugar utilizamos las idetidades otables = x (x + 1)