Retos Mtemáticos visules Bdjoz, 28 de mrzo de 208 Volumen 5
c Retos Mtemáticos visules Volumen 5
Retos Mtemáticos visules. 28 de mrzo de 208
Tem Prolems visules y otros prolems Un cónic es l curv otenid l seccionr un cono con un plno. Si es el ángulo de l pendiente del plno y el de l pendiente de ls genertrices del cono, l cónic se llm: Elipse, si <; Práol, si =; e Hipérol si >. Teorem: En el plno de un elipse hy dos puntos y B, llmdos focos y dos rects llmds directrices, tles que pr todo punto P de l elipse, P+PB es constnte y l rzón de distncis de P un foco y un directriz es constnte. Demostrción. P+PB=PC+PD=CD P=PC, PB=PD EDP =, EFP = PB PF = PB PE PE PF = sen sen C P B E D F
2 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem? Prolem 2 B C D x x Prolem 3 Pr qué vlor de x el áre es máxim?
3 Prolem 4 Demostrr que R=4r R r R Prolem 5 El cociente entre ls áres del triángulo grnde y el pequeño es 7 c c c Prolem 6 Dpto.xdexMtemáticsxUex Lxfigurxverdextienexmyor,x igulxoxmenorxárexquexlxmrrón?
4 Tem. Prolems visules y otros prolems (i) Prolem 7 Flcis Mtemtics (ii) (iii) Prolem 8 Flcis Mtemtics 2: Todo triángulo es isósceles meditriz d e d c isectriz e 2 2 Prolem 9 Rellenr l tl con números del l 7, siguiendo ls instrucciones
Prolem 0 5 Un rio, de orills prlels, sepr dos puelos. Dónde dee hcerse un puente perpendiculr l orill, pr que l distnci entre los puelos se mínim?? Prolem Dpto.DdeDMtemáticsDUex ColocmosDn 2 DcírculosDenDunDcudrdoDdeDldoD,D comodmuestrdldfigurdprdn=,2dyd3.d SiDsuDáreDtotlDesD n,d cuáldesdeldlimd n? 2 3 Prolem 2 Clculr l longitud de l curv cerrd formd por ls 4 semicircunferencis
6 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 3 Tres circunferencis de igul rdio r, psn por un mismo punto O. Demostrr que l circunferenci que ps por los otros 3 puntos de corte, tiene igul rdio r. C O B Prolem 4 Si 5 ldos de dos triángulos, con vértices en un círculo, son tngentes otro círculo en su interior, el sexto ldo tmién. Prolem 5
Prolem 6 7 Cuáles, de estos dos suelos, se pueden enlosr con loss de 2x, sin prtir ningun? Prolem 7 Podemos entrr y slir de l cs, trvesndo tods ls puerts interiores un únic vez? Prolem 8 Cuánto puede soreslir un liro en un pil de liros igules, sin que se cign, poniendo tntos como se quier? d máxim? d
8 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 9 Dónde está el cudrdito (69-68) que flt? re 8. 2=68 re 3. 3=69 3 5 5 5 8 8 8 3 8 5 Prolem 20 Si, y c son nturles, r tmién r c Prolem 2 En un triángulo equilátero el áre totl mrrón siempre es igul l verde
Prolem 22 9 Cuál es l relción entre ls áres de los dos triángulos equiláteros? Y entre ls longitudes de segmentos? C B Prolem 23 Dd un esfer Qué unidd de longitud u, definid por l esfer, tiene l propiedd de que el áre de l esfer medid en u² coincide con el volumen de l esfer medid en u³?. y pr qué unidd v l longitud del ecudor medido en v es igul l áre medid en v²? Prolem 24 d/r=6 d/r=4 d/r=2 d/r=7 d/r=5 d/r=3 d/r= Si r son los rdios de ls circunferencis y d ls distncis de sus centros l eje, entonces los cocientes d/r son los números pres l izquierd y los impres l derech,
0 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 25 Cuál es l tryectori más cort que une dos puntos del interior de un triedro y toc ls tres crs? Prolem 26 Demostrr que,b y C están linedos B C Prolem 27. Encontrr el número más pequeño que termin en 2, = 2, tl que si quitmos el 2 del finl y lo ponemos l principio, = 2, el número se duplic. = 2. 2. Oservemos que: Si denotmos con [n] el número de n cifrs tods igules, por ejemplo [5]=, demostrr que pr todo n [ ] [ ]
Prolem 28.- Tenemos 3 cjs y en cd cj 2 ols. En un dos lncs, en otr dos negrs y en otr un de cd. En cd cj hy un letrero con el contenido, pero los tres son flsos. Nos permiten extrer un ol de l cj que elijmos. Cuál elegimos pr ser el contenido de ls tres? 2.- Tenemos 0 vsos linedos. Los 5 primeros vcíos y los 5 siguientes con gu. Cuántos vsos es necesrio mover pr que tengmos de form ltern vsos con gu y vcíos? Prolem 29 Clculr /T, siendo el áre de l coron entre ls circunferencis y T el áre del triángulo Prolem 30 Si dos cudrdos BCD y EFG, con centros J y K, tienen un vértice común, entonces JHKI es un cudrdo, siendo H e I los puntos medios de DG y BE.
Prolem 2 Tem. Prolems visules y otros prolems x Prolem 3 Cuánto vle x?, qué tiene que ver este prolem con "dos ños"? x x x x Prolem 32 C=B, pr, B y C,. 2 ls áres de los triángulos verdes. C B 33 R R/r? r
Prolem 34 3 =cd d c Prolem 35 Tres plnos ortogonles y un curto trnsversl definen un tetredro recto con crs perpendiculres de áres, B y C. Si el áre de l trnsversl es D, demostrr que 2 + B 2 + C 2 = D 2. D B C Prolem 36 Se pueden situr los 2 vértices de un icosedro en ls 4 crs de un tetredro? Dónde?
4 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 37. C B +B=C Prolem 38 Un excursionist sle ls 8 de l mñn del puelo y sue lo lto de l montñ, donde hce noche. l mñn siguiente sle ls 8 de lo lto de lo mntñ y j l puelo por el mismo cmino. Hy con seguridd lgún punto del cmino por el que ps l mism hor l suid y l jd? Prolem 39 Ls curvs exterior e interior del orde de l figur verde, tienen igul longitud y es l de l circunferenci exterior
Prolem 40 5 Áre mrill=áre verde 2 π Prolem 4 =2B B α α α Prolem 42 α α +B=C B C
Prolem 6 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 43 B Prolem 44 =+c c 45 2
Prolem Prolem 46 7 =C C Prolem 47 = + 48 x? x x-
8 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 49 O Ls 3 lturs de un triángulo psn por un mismo punto O, llmdo Ortocentro Prolem 50 c c B Ls 3 medins de un triángulo psn por un mismo punto B, llmdo Bricentro Prolem 5 c c C Ls 3 meditrices de un triángulo psn por un mismo punto C, llmdo Circuncentro, que es centro de l circunferenci que ps por los vértices del triángulo.
Prolem 52 9 β β α α I γ γ Ls 3 isectrices de un triángulo, psn por un mismo punto I, llmdo Incentro, que es el centro de l circunferenci tngente los ldos del triángulo. Prolem 53 C B O El Circuncentro, el Bricentro y el Ortocentro de un triángulo están linedos (en l llmd rect de Euler). Prolem 54 Cuál es el cmino más corto que une D y E, tocndo ls predes?
Prolem 20 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 55 punto medio de B y C punto medio de y F punto medio de D y E El triángulo de los puntos medios tmién es equilátero. 56 E C D? CE es tngente en C l circunferenci de áre y CE=CD, qué áre rre CE? Prolem 57 r?
Prolem 58 2 α r r r? Prolem 59 C r r B Prolem 60 C J K D B Si D=BC y KJ es prlel BC, entonces K=KB
22 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 6 r? Prolem 62 Los tres rectángulos son de áre =? Prolem 63 áre? perímetro=áre
23 Prolem 65 = Prolem 66 Recortr ls 8 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo equilátero como un exágono regulr
24 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 67 Recortr ls 0 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo equilátero como un pentágono regulr Prolem 68 Recortr ls 4 figurs, con ells puede formrse tnto un triángulo rectángulo con ángulos 30-60-90, como un cudrdo Prolem 69 Dpto.?de?Mtemátics?Uex Qué?dimensiones?puede?tener?un?hitción?enlosd, con?loss?cudrds,?que?tiene?igul?perímetro?que?áre,? en?ls?correspondientes?uniddes?de?ls?loss?
Prolem 70 25 c f d foco f= c+d 2 + 2
26 Tem. Prolems visules y otros prolems Prolem 73 el ángulo con el que se ve el cudro, Prolem 74 = Prolem 75 q p (+)=(p+q)q
Prolem 76 27 =B B Prolem 77 Áre zul=5 Áre roj
28 Tem. Prolems visules y otros prolems