SUCESIONES DE POTENCIAS ITERATIVAS GENERADAS POR a.

SUCESIONES DE POTENCIAS ITERATIVAS GENERADAS POR. Jorg E. Hráz U. Eith C. Hráz Uivri Pá, Ctro Rgiol Uivritrio Vrgu, Ecul Mtátic. RESUMEN E l prt trjo tui l ució i i potci itrtiv gr por, > 0; í coo l oluili l cució rgo S tlc qu to prol tá trcht ligo co l coportito l fucio f ), h ) co l tiguo prol trir l olucio l cució =. Filt, tui l coportito l fució g ) clcul u ivr cotru u gráfic. Tcocici, Vol., N 7

PALABRAS CLAVES Sucio potci itrtiv, pr Broulli, pr Eulr. ABSTRACT I thi ppr w tu th quc i i of itrt potil, > 0; wll th rg of olvilit of th qutio W tt tht th two prol r clol rlt with th hvior of th fuctio f ) h ) with th ol prol of fiig th olutio of th qutio =. w tu th hvior of th fuctio Fill, g ) clcult it ivr rw it grph. KEYWORDS Squc of itrt potil, Broulli pir, Eulr pir. 8 Hráz U., J. Hráz, E.

. Lo Oríg Do u úro rl > 0, potci itr :,, pu coirr l ució, Si =, toc vit qu t ució covrgt; i rgo, pr = l ució ivrgt. U prgut turl : Pr qué vlor l ució potci itr covrgt? Et prol t rlcioo irctt co l cució, l fucio f ), h ) l cució = l cul fu rult prirt por Golch Cho, 00; Hurwitz, 96, Sv, 990). Rlt, l hitori t prol coiz co u crt Dil Brouilli Chriti Golch fch l 9 juio 78 Hurwitz, 96). El fil t crt ic: Triré co u prol l cul cotré u itrt h rulto. Aquí tá: Ecutr o úro ifrt tl qu =. H ólo u co cuo to o úro o tro, r =, = 4 qu 4 = 4 ), pro uo pu cotrr u ifii úro quro qu tifc t cució. H tié otro tipo cti l cul o iré. Si á tr Golch l rpoió Broulli icluo u rput u rivció l olució, for prtric. Su rguto puir r tlcio coo igu: Supogo qu =, > > 0; por lo tto =, pr lgú >. Etoc = ) Tcocici, Vol., N 9

o por coiguit Aí pu - = =, i Eulr, i l coociito l couicció tr Broulli Golch Cho, 00; Sloi, 9), uo l i rlció = rolvió l cució =,, or R + Z +, prto l olucio rciol, L rlcio Golch h io rcuirt por u úro plurl utor tr lo cul cutr Eulr, Eiti, Kol, Brrow, Lägr, Strhir Crutz Cho, 00; Sv, 990, Hráz, 004). Aprtt, iguo to tático tí coociito l olució origil Golch. Auqu t oto l prol Broulli prcir o tr rlcioo co l covrgci l ucio potci itr, vro qu l olucio l prol Broulli o rá l iforció pr trir l covrgci t ucio.. L fució f) = L cució = quivlt l cució ; por lo tto, l tuio l coportito l fució f) = prioril pr trir l olucio l cució =. 0 Hráz U., J. Hráz, E.

Coiro l fució coo ti qu l f ) f: 0,) R fii por: f) = 0 f ) = 0 í ólo í, =, Aá f ) > 0 i 0, ) f ) < 0 i, ) Por lo tto, f trictt crcit l itrvlo 0, ). f trictt crcit l itrvlo,). f lcz u vlor áio = f) =.44466786 li f ) li 0 0 li f ) li 0 0 < f) f), pr too 0, ) D lo rulto trior, poo tr cotiut f l itrvlo [0, ) l iguit r f: [0, ) R 0, f) =, 0 0 Tcocici, Vol., N

u gráfic l iguit 0 Not qu f cotiu l itrvlo [0, ). f ictiv l itrvlo [0, ] l itrvlo [, ) Si 0 < < toc 0 < f) <. f0) = 0, f) = f) = Si < < toc Si < < toc Pr c, ) it u úico, ) tl qu f) = f), rcíproct..44466786 f ) f ) Aí poo firr qu l cució =, o quivltt ) o ti olució pr 0 < < ó 0 < < ; pr c, ) it u úico,) tl qu =. Coo l úico tro poitivo tr, t álii utr qu =, = 4 l úic olució tr poitiv l cució =. Hráz U., J. Hráz, E.

. Pr Broulli Rcoro qu Golch prtó l iguit olució prtric l cució = : > 0, l cul prit cotruir olucio, ) t cució, coo por jplo: 4 5 4 4 7 8 9 4 64 7 56 8 9 4 7 8 5 5 5 4 4 4 4 Vo qu ocurr co l olucio prtric cuo proi. Pr to too l líit cuo hgo l utitució = t + ; li t t t li lit ) lit )t ) lit ) t0 t0 t0 li t ) t0 Not qu i 0 < <, toc t itr qu i >, toc < <, 0 < < 0 < <, < <. L prtrizció Golch prit fácilt crctrizr cirt olucio iportt. Por jplo, Eulr fu l priro trir l olucio rciol l cució =, l cul oti too Tcocici, Vol., N

4 Hráz U., J. Hráz, E. Pr oti l olucio: Pr oti l olucio: Dfiició : S, o úro rl poitivo itito, <. El cojuto {, } u pr Broulli i =. Si {, } u pr Broulli, toc < < < {, 4} l úico pr Broulli foro por tro Lo úico pr Broulli rciol o l for pr N. Por l prtrizció Golch, lo pr Broulli o pr >. ),,,

4. L Sució S > 0 u úro fijo. Dfio rcurivt l ució por i i Lo tério t ució o,,, El propóito t trjo trir lo úro pr lo cul t ució covrg, l igul qu u líit. Pr to prto l iguit otció [], [],, [ ] [ ] Aí, l ució pu rprtr coo [ ] [ Tor : S > 0. Si ] li, toc =, Dotrció: Supogo qu toc [ ] li [ ] li li [ ] Tcocici, Vol., N 5

li [ ] Aí pu = Aá, coo f ) =, ti qu f ) Dfio hor l fució g) por g) = li [ ] Si u lto l oiio g, toc por l Tor, fg)) =. og) Rgf) = 0, Por lo tto, l ució ivrg í >. [ ] Tor : S [ ] toc l ució covrgt. Aá, i [ ] li toc <. 6 Hráz U., J. Hráz, E.

Dotrció: Si 0 < p < q, toc p < q. Por lo tto, o <, < = [], [] = < [ -] < [ ], pr too, [] [],... Lugo [ ] u ució crcit. Por otro lo, coo ti qu [ ] igult, grl, [] < [] <, pr too. [ ] Eto iplic qu u ució crcit cot upriort por l úro. Por lo tto, l ució trior, i toc <. [ ] [ ] li covrgt. Aí, por l tor Tcocici, Vol., N 7

Orvció: Si >, toc Lugo, por l tor trior, l ució Pro [ ] li covrgt. [ ] qu >. El líit l ució l úro c, < c <, tl qu c c ; o qu {c, } u pr Broulli. [ ] Etuio hor l coportito l ució, cuo 0 < <. Not qu t co, i 0 < p < q, toc q < p. Por lo tto, 0 < [] = < = [] < 0 < [] = < = [] < = [] < [ ] 0 < [] = < [] [] < [] [4] < = [] < 0 < [] = < [] < [4] [5] < [] [4] < [] < 0 < [] < [] < [5] < [6] < [4] < [] < por u rguto iuctivo ti qu 0 < [-] < [+] <... < [+] < [] < pr too úro turl. [ ] D lo trior ti qu l ució crcit cot upriort por lo tério l ució []. [] D igul r, l ució crcit cot ifriort por lo tério l ució [ ]. Aí, t o ucio o covrgt. Doto i li [], 8 Hráz U., J. Hráz, E. p li [ ]

Etoc 0 < i p < á, l ució [ ] covrgt í ólo í i = p. Por otro lo, coo [ ] [ ] [] [] Aplico líit cuo oto i p p i Por coiguit o i p p i p p i i Et iti o ugir tuir l coportito l fució h: [0, ] R 0 h ) 0 Drivo l fució h oto h ) = [ l + ] lugo Aá h) = 0 í ólo í 0.6787944 h) < 0 pr 0, - ) h) > 0 pr -, ) Tcocici, Vol., N 9

Por coiguit h0) = h) = f trictt crcit l itrvlo 0, - ). f trictt crcit l itrvlo -, ). f lcz u vlor íio = - li h ) li. 0 0 h ) 0.690067 h ), pr too [0,]. L gráfic l fució h) = l iguit - Not qu l fució h o uo l itrvlo [0, ]. Dl álii l gráfic h) = ti qu i 0 < < l ució toc i < p lo rulto trior ivrgt, 0 Hráz U., J. Hráz, E. [ ]

0 < i < - < p < qu h i ) = h p ). El prol trir l covrgci l ució [ ], co 0 < <, quivl prgutr qu i 0 < c < < c c, toc pu r l co qu c = i = p. E t tio v irigio l iguit tor. Tor : S 0 < <. Si 0 < c < < c c toc [] [ ] 0 i c p pr c turl, l ució [ ] ivrgt. Dotrció: Si c <. toc coo ti qu c lo qu u cotricció, por lo tto < c. D lo trior ti qu = c < = [] lugo l gráfic h) = uc qu c Nuvt, coo 0 < <, c [ ] [ ] c [ ] Tcocici, Vol., N

por lo tto, ] c [ 4] c D igul r, [5] [4] c c Aplico rptit t rguto oto por coiguit, l ució [ [ ] [ ] 0 c [] [ ] 0 i c p [ ] ivrgt. Dfiició: El cojuto {c, } u pr Eulr i Ejplo: 0 < c < < c c =, u pr Eulr, qu 4 4 E l iguit tor rlcioo lo pr Eulr co lo pr Broulli Tor 4: El cojuto {c, } u pr Eulr í ólo í u pr Broulli, c Dotrció: Supogo qu 0 < c < < too =, = c 4 4 Hráz U., J. Hráz, E.

toc < <, á c c c = c c =. Orvcio:. Si {c, } u pr Eulr, toc 0 < c < < < [ ]. Si 0 < < l ució ivrgt, toc { i, p } u pr Eulr.. D lo o últio tor uc qu i 0 < < i it u pr Eulr {c, } tl qu c toc l ució c [ ] c ivrgt. Dl tor trior uo l rprtció prtric Golch pr l olucio l cució =, poo cocluir qu lo pr Eulr {c, } ti l for c c ), ), Si upoo qu c c toc coo c ) ) ) c ) ti qu ) ) c ) c ) ),. Tcocici, Vol., N

[ ] Por lo tto, l ució ivrg or l rgo l fució ), fii or l oiio, ). Aí qu iportt trir l rgo l fució ). Coiro l fucio c:, ) R c ) :, ) R ) :, ) R ) c ) ) ) c ) Aplico l rgl L Hopitl o lizo l gráfic l fució h) =, qu hc)) = h))) oto qu: li c ) li li ) li li c ) li 0 Por lo tto, li ) li li ) 0.65988 li ) 0 Aá, coo c) ) o cotiu l itrvlo, ), ti qu ) cotiu l itrvlo, ). 4 Hráz U., J. Hráz, E.

Tcocici, Vol., N 5 Lugo por l Tor l Vlor Itrio, ti qu 0, - ) rg )). Nutr tr coit toc trir l rgo l fució ). Pr to to l iguit tor. Tor 5: L fució crcit l itrvlo, ). Dotrció: Proo qu ) < 0 pr >. E fcto, Coo ) = uo riv logrític oto qu ) l ) l ) ) o ) l ) ) ) Por otro lo, coo c )) ) ti qu ) ) ) ) ) ) c c ) ) )

Uo riv logrític oto qu ) ) l )) ) ) por coiguit l )) ) ) )) )l )) )) ) ) ) l )) ) )l )) )) rplzo l vlor ) t cució oto qu ) ) ) ) l )) )) ) ) )l )) l ) l ) ) )) )l ) )l ))l )l )) ) l )) ) ) pro coo l l l )) = oto qu ) l l l l ) ) ) ) ) ) ) l )l ) l )l ) ) ) l l l l l ) l l l ) ) ) ) ) l ) 6 Hráz U., J. Hráz, E.

O Not qu ) ) ) ) ) ) ) l ) 0, pr >. Dfio hor l fució t: [, ) R Etoc t) = l ) t) = l + l ) l t ) l t ) Coo t) < 0 pr t, ), ti qu t) trictt crcit l itrvlo [, ). Pro coo t) = 0, t) gtiv l itrvlo, ). Eto iplic qu l fució t) trictt crcit l itrvlo [, ). Pro t) = 0, lo qu iplic qu t) gtiv l itrvlo, ). Por coiguit, l fució t) trictt crcit l itrvlo [, ). Filt, coo t) = 0, ti qu l fució t) gtiv l itrvlo, ). D too lo trior uc qu l fució ) < 0 pr too t, ). Por coiguit, l fució ) trictt crcit l itrvlo [, ). Orvció: Coo l fució ) cotiu trictt crcit l itrvlo, ), ll ictiv t itrvlo. Aá coo li ), li ) 0 Tcocici, Vol., N 7

ti qu rg)) = 0, - ) [ ] por lo tto, l ució ivrgt i 0, - ). Tor 6: S 0 < <. L ució ólo í - <. covrg í Dotrció: [ ] Supogo qu l ució covrgt qu 0 < < -. Etoc rg)). Eto iplic qu it u pr Eulr {c), )} tl qu [ ] c ) ) ) c ) ) Lugo por l Tor, l ució qu u cotricció. Aí, - <. [ ], ivrgt. Lo Rcíproct, upogo qu - < upogo qu l [ ] ució ivrgt. Etoc 0 i li p i li i p p { i, p } u pr Eulr. Por lo tto, it u, ) tl qu i = c), p = ) = ) Eto iplic qu cotricció. Aí rg)) = 0, - ), lo qu u [ ] u ució covrgt. Corolrio : Si < [ ] li <. toc 8 Hráz U., J. Hráz, E.

Dotrció: Por Tor ti qu = Lugo, l gráfic l fució f) = ti qu <. Aá, coo l gráfic l fució f) trictt crcit l itrvlo [0, ] f ) ti qu <. Corolrio : Si 0 < < toc it u úico pr Eulr { i, p } tl qu 0 < i < < < p < p, i i p Dotrció: Coo 0 < < [ ], por l Tor 6 l ució ivrgt. Lugo, por l Tor á 0 li li p i i i p { i, p } u pr Eulr. Tié, coo 0 < < -, l gráfic l fució f ) ti qu p 0 < < < p Por otro lo, coo 0 < < =, i p, < p ti qu i <. Por coiguit, 0 < i < < < p <. Tcocici, Vol., N 9

Corolrio : El oiio l fució l itrvlo i. fg)) = i, g ) li [ ] ii. gf)) = i Dotrció: Por lo Tor, 6, l ució í, por lo tto og) = Aá, por l Tor,, [ ] covrg í ólo fg)) = i Por otro lo, upogo qu = f) = Etoc l gráfic l fució f) = Eto iplic qu og). S ti qu c = li toc por lo Tor l Corolrio ti qu c c c 0 Hráz U., J. Hráz, E.

Por lo tto f) = f c) = Pro coo, l gráfic l fució f) ti qu = c. Aí li =. D lo rulto trior ti qu l fucio f: [, ], g:, [, ] f) = g) = li o ictiv, á g = f. Por lo cul pu otr l gráfic l fució g prtir l gráfic l fució f. CONCLUSIONES [] Si > 0 li, toc. Por lo tto, l ució [ ] ivrg i [ ] L ució covrg í ólo í., L cució t co ti olució í ólo í [ -, ]. E Si > [ ] toc, l ució covrgt, pro o u líit. Tcocici, Vol., N

REFERENCIAS Cho, Y. & K. Prk. 00. Ivr Fuctio of = Mthticl Mothl 08, 96-967., Th Aric Hráz, J. E. & E. C. Hráz. 004. Solucio rciol l cució =, Hurwitz, S. 96. O th rtiol olutio of = with, Th Aric Mthticl Mothl 74. Kol, R. A. 98. Epotil ritrt, Th Aric Mthticl Mothl 88, 5-5. Lgr, H. 996. A ltr proof of th covrgc of itrt potil, El. Mth. 5. 75-77. Sloi, H. L. 9. Th olutio of =, > 0, > 0,, thir grphicl rprttio, Th Aric Mthticl Mothl 8, 444-447. Sv, M. 990. O th rtiol olutio of =, Mth gzi 6. Rciio ptir 00, cpto octur 0. Hráz U., J. Hráz, E.