Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Mrices Un mriz es un conjuno de números colocdos en un deermind disposición ordendos en fils y columns. Es un yuposición de vecores fil y vecores column. Ls línes horizonles de un mriz se denominn fils y ls línes vericles se denominn columns. Ls mrices se ls nombr con lers myúsculs y los elemenos de ls misms con lers minúsculs. Cundo un mriz coniene m fils y n columns se dice que es de orden m n. Los elemenos de un mriz se suelen encerrr enre prénesis o corchees recos. Ls siguienes mrices son respecivmene de orden 4 y 4 ( 4 6 ) ; ( ) ; ( 4 ) ; ( ) 7 8 9 4 8 7 Mriz cudrd Es l que iene el mismo número de fils que de columns es decir de orden n n o simplemene de orden n. Mriz digonl Es un mriz cudrd cuyos elemenos son odos nulos slvo los de l digonl principl es decir l digonl que v desde l esquin superior izquierd hs l esquin inferior derech. ( ij con i=j) Vecor fil Es un mriz de un sol fil y vris columns. Por ejemplo un mriz 7 es un vecor fil de longiud 7. Vecor column Es un mriz de vris fils y un sol column. Por ejemplo un mriz es un vecor column de longiud. Mriz ringulr inferior Es un mriz cuyos elemenos por encim de l digonl principl son odos nulos. Mriz ringulr superior Es un mriz cuyos elemenos por debjo de l digonl principl son odos nulos. Ls siguienes mrices son respeivmene vecor fil vecor column mriz ringulr superior mriz ringulr inferior y mriz digonl: ( 4) ( 8 ) ( 4) ( 6 ) ( ) 7 6 7 7 De mner generl un mriz de m fils y n columns culquier se escribe de l form siguiene: j = ( ) o bien (ij) = con < i < m y con < j < n i ij
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Obsérvese que el primer subíndice de cd elemeno represen el número de l fil y el segundo el número de l column l que perenece dicho elemeno. sí ij es el elemeno que esá en l inersección de l fil i con l column j Sum y res de mrices Sen y B dos mrices del mismo orden m n. L sum + B es or mriz de orden m n cuyos elemenos son l sum de los elemenos homólogos de ls mrices sumr. L res - B se define de form nálog. (Sum lgebric sum con signo) Ejemplo Si 4 C = + B = 7 y B = 4 4 Produco de un mriz por un esclr o número Dd un mriz de orden m n y un número c el produco c. es un nuev mriz m n que se clcul muliplicndo cd elemeno de por el número c. Ejemplo Se l mriz = y el esclr c = ; l operción 6 = + = Produco de mrices. El produco de dos mrices se puede definir sólo si el número de columns de l mriz izquierd es el mismo que el número de fils de l mriz derech. Si es un mriz m n y B es un mriz n k enonces su produco mricil B es l mriz m k (m fils k columns) dd por:
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Disposición concepul pr el produco: Si queremos muliplicr B debemos obener C ; sen enonces: b b c c ;B = b b ; C = c c b b º b b b c c b b b c c en l inersección de l fil de l mriz con l column de l mriz B se encuenr el elemeno c cuy epresión se obiene hciendo el produco esclr: c = b + b + b ; con nálogo rzonmieno : c = b + b + b c = b + b + b c = b + b + b
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Ejemplo Sen B = C = y B = 4 En el produco mricil el orden es fundmenl: Puede ener senido el produco B y no enerlo el produco B. Pero incluso en el cso de mrices cudrds del mismo orden en que ienen senido mbos producos ( B y B ) en generl el resuldo no es el mismo. O como el ejemplo nerior en donde mbos producos puede efecurse pero el resuldo no es el mismo. Es decir el produco mricil no es conmuivo: B B Ejemplo Sen B = C = y B = 4 4 4 B = C = ( ) DETERMINNTES El deerminne es un número que esá socido od mriz cudrd. (No eise el deerminne de un mriz que no se cudrd). Es un función socid un mriz. Cuyo dominio es el conjuno de ls mrices cudrds y cuy imgen es el conjuno de los números reles. Deerminne de un mriz de orden. Se un mriz cudrd de orden : obenido de l siguiene form: Se llm deerminne de l mriz l número rel..
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO es decir l diferenci enre los producos cruzdos de sus elemenos. El vlor obenido se deno mbién por de(). - Ejemplo:.4.( ) 4 4 Deerminne de un mriz de orden Se un mriz cudrd de orden : Se llm deerminne de l mriz l número rel obenido de l siguiene form: =............ Ejemplo: - 4-7 8 6.. ().6.( 7).4.8..( 7) 6.8..4.( ) 67 Pr recordr l definición de deerminne de ercer orden se uiliz l regl de Srrus: Producos posiivos: Producos negivos: Propieddes generles de los deerminnes. coninución vmos enuncir un serie de propieddes que cumplen los deerminnes de un mriz cudrd independienemene del orden que engn. ª) El deerminne de un mriz no vrí si se cmbin fils por columns es decir el deerminne de un mriz es igul l deerminne de su mriz rspues. De() = De( ) ª) Si un mriz iene un fil nul su deerminne es.
Fculd Regionl L Pl Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Ing. Vivin CPPELLO ª) El deerminne de un mriz digonl es igul l produco de los elemenos de l digonl principl: bc c b 4ª) Si se inercmbin enre si dos fils o dos columns el deerminne cmbi de signo ) ( ) ( De De Ejemplo: - - - - como puede comprobrse. ª) Si un deerminne iene dos fils o dos columns igules su vlor es cero. Ejemplo: - - - como puede comprobrse. 6ª) Si se muliplic un fil o column por un número el deerminne qued muliplicdo por dicho número. ) (. ) ( De k k De 7ª) Si un deerminne iene dos fils o columns proporcionles su vlor es cero: ) (. ) ( De k k De 8ª) Si un fil o column puede descomponerse en sum de ors dos por ejemplo = B + C enonces De(B +C ) = De(B ) + De(C ) 9ª) Si un fil o column se le sum un combinción linel de ls resnes el vlor del deerminne no vrí. ) ( ) ( De De ª) Si un fil o column es combinción linel de ls resnes el vlor del deerminne es cero y vicevers. ) ( ) ( ) ( De De De
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO ª) El deerminne del produco de dos mrices es igul l produco de sus deerminnes: B B Deerminnes de orden myor que. Previmene vmos definir dos concepos que nos servirán pr clculr el deerminne de un mriz cudrd de orden myor que. Definición: Dd un mriz cudrd de orden n y uno de sus elemenos ij se llm menor complemenrio de dicho elemeno y se represen o M ij l deerminne de l mriz que resul de suprimir l fil i y l column j. Ejemplo: Dd l mriz form: - M 4 4 ij el menor complemenrio del elemeno = se clcul de l siguiene 4 Definición: Dd un mriz cudrd de orden n y uno de sus elemenos ij se llm djuno de ij y se represen por ij l menor complemenrio precedido del signo + o según que i + j se pr o impr. O mbién: ij ( ) i j ij Ejemplo: - 4 Enonces el djuno del elemeno = será ( ) ( ). Y el djuno del elemeno = será ( ) 4. 4 Teorem: El deerminne de un mriz es igul l sum de los producos de un column o fil muliplicdos por sus correspondienes djunos.
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Es decir si... n... n y nos fijmos por ejemplo en los elemenos de l fil ª se verific:... m m... mn.... n n (No: Podímos hber elegido or fil o culquier column). Por no pr clculr el deerminne de un mriz cudrd de orden myor que bs muliplicr los elemenos de un fil o column por sus djunos correspondienes. Ejemplo: Vmos clculr el deerminne de l siguiene mriz - - Pr ello nos fijmos en culquier fil o culquier column (es más prácico seleccionr un fil o column que eng muchos ceros y que nos horr muchos cálculos). En ese cso elegimos l column ª y hemos plicdo el eorem: - - Por no odo se reduce clculr y 4 44 ( ) 4 ( ) 4 - - 4 ( ) ( ) 4 ( ) ( 4) 4 - - - - - Luego endremos: - - ( ) 4 ( ) ( 4) 4 6 Cundo enemos que clculr el deerminne de un mriz que no eng ceros lo idel es rnsformrl en or que sí los eng y que el deerminne no se verá fecdo pero relizremos nes el cálculo.
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Ejemplo: En ese cso endrímos que desrrollr por l líne que quermos pero deberímos hllr siempre curo djunos de orden. Sin embrgo hciendo uso de l propiedd 9ª de los deerminnes (Si un fil o column se le sum un combinción linel de ls resnes el vlor del deerminne no vrí) podemos obener or mriz cuyo deerminne es más sencillo de clculr. f f4 f f f f4 y hor y desrrollmos por los elemenos de l fil ª por lo que solo endremos que clculr el djuno 4 ( ) 4 ( )( ) 4 6 (No: En generl el cálculo de un deerminne de culquier orden se puede reducir l de un deerminne de un orden inferior desrrollándolo por los elemenos de un fil o column. sí por ejemplo el cálculo de un deerminne de orden 4 se puede reducir l cálculo de lo sumo curo deerminnes de orden ) plicciones de los deerminnes. unque ors de ls plicciones de los deerminnes ls vmos ver en el siguiene em quí vmos descr dos plicciones de los deerminnes que son: - Cálculo de l mriz invers de un mriz cudrd - Cálculo del rngo de un mriz culquier Cálculo de l mriz invers de un mriz cudrd rvés de deerminnes. Vmos ver cómo podemos clculr l invers de un mriz cudrd yudándonos de los deerminnes. Pero previmene vmos definir el concepo de mriz djun. Definición: Dd un mriz cudrd llmmos mriz djun de y l represenmos por dj l mriz formd por los djunos de l mriz. dj... n... n............ n n... nn
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Ejemplo: Los djunos de los nueve elemenos de son: 7 4 6 Por no l mriz dj será: dj 7 Pr od mriz cudrd se verific que (dj ) = (dj ) = I Puede comprobrse con l mriz nerior: en l que 7 (dj ) 4 7 I 6 Es decir el produco de l mriz por l rspues de su djun nos d l mriz idenidd I muliplicd por el deerminne de. Es muy ineresne y que si podemos concluir que: ( dj) I por no ( dj) Resumiendo pr clculr l mriz invers se siguen los siguienes psos:. Se hll el deerminne de l mriz. Si es cero no eise invers.. Se hlln los djunos de l mriz dd pr obener l mriz dj.
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO. Se form l mriz rspues de l mriz djun. 4. Se divide l mriz obenid por el deerminne de. Ejemplo:.- Hllmos su deerminne. Pueso que es disino de iene invers..- hor clculmos l mriz djun. Hy que clculr los djunos de odos sus elemenos. Sbemos por hberlo hlldo neriormene que dich mriz es: 7 dj 4 7 6.- Clculmos su rspues: 7 ( dj ) 4 7 6 4.- Por úlimo dividimos por el deerminne de : 7 7 ( dj) 4 7 4 6 6 7
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Sisems lineles de ecuciones Un ecución linel (sisem de orden ) es de l form: = b; donde y b son números ddos y es l incógni deerminr. Un sisem de ecuciones lineles es un conjuno de ecuciones lineles que compren ls misms incógnis. Un sisem de ecuciones de orden es de l form: + by = c { d + ey = f donde b c d e f son números ddos y e y son ls incógnis. Cundo hy más de o 4 ecuciones y/o incógnis se suele uilizr un noción con subíndices pr designr no ls incógnis como los coeficienes. sí un sisem linel de m ecuciones con n incógnis se represen de form generl: + + + + n n= b + + + + n n = b m + m + m + + mn n = b m Ese sisem se puede escribir de form equivlene uilizndo noción mricil que es en generl más fácil de escribir: Llmndo l mriz m n de los coeficienes del sisem l vecor column de longiud n de ls incógnis y b l vecor column de longiud m del segundo miembro el sisem de ecuciones nerior se puede finlmene escribir en l form más resumid: = b Un solución del sisem es un conjuno de n vlores (ordendos) les que l susiuir ls incógnis por esos vlores ls ecuciones se convieren en ideniddes. Colocndo esos vlores en form de vecor column de longiud n se iene obvimene un solución del sisem escrio en form mricil. Por ello se suele hblr de vecor solución Los sisems lineles no siempre ienen solución. Si un sisem no iene solución se dice que es incompible De hecho en relción con el número de soluciones de un sisem linel de ecuciones sólo pueden drse los res csos siguienes:
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO. No ener ningun solución: se dice que el sisem es incompible.. Tener un únic solución: el sisem es compible deermindo.. Tener infinis soluciones: el sisem es compible indeermindo. Resolución de un sisem de res ecuciones lineles con res incógnis. Se el sisem : + + = b () + + = b () + + = b () En ese cso el méodo consise en omr culquier de ls ecuciones (por ejemplo l ()) y eliminr l incógni primero con l ecución () y luego independienemene con l ecución () rnsformndo el sisem originl en uno equivlene con un ecución en res incógnis y ls ors con dos incógnis. De ese nuevo sisem se omn ls ecuciones que ienen dos incógnis y se lo rnsform siguiendo el procedimieno y descripo en oro sisem equivlene con un ecución en dos incógnis y l or solo en un. Del resuldo de es úlim operción obendremos un sisem equivlene l originl con l primer ecución en res incógnis l segund en dos y l ercer en solo un lo que nos permie obener el conjuno solución. Ejemplo Se el sisem - + = + - = - + - = 8 dopndo l disposición prácic descrip: - - - - 8 repeimos l º ec. - - - 7 - repeimos l º - y l º ec. del pso - - nerior. 8 El sisem equivlene - + = - = - = 8
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO se obuvo resolviendo por ejemplo pr el elemeno - que es el rnsformdo de - el deerminne: - = - - = - De: = 8 = 4 De: -. 4 = - = - = y por úlimo de: - + 4 = = + - 4 Ejemplo : - + = 7 + + 8 = 4 - + 9 = - = 7 8 4-9 - 7 - - -8 6-6 7 - - El sisem equivlene es: + + = 7 + = -. =
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO El sisem dmie infinis soluciones que se obienen dndo vlores rbirrios : por es rzón es compible indeermindo. Ejemplo : 4 + - = 6-4 + 6 = + 4-6 = - 4-6 -4 6 4-6 - 4-6 -4 4 - - 4-6 -4-68 El sisem equivlene es: 4 + - = 6 4 + = = -68 El sisem no iene solución (no l iene. = -68) y por lo no se denomin incompible.
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Resolución de sisems de ecuciones lineles por inversión de mrices. Se el sisem de res ecuciones lineles con res incógnis: + + = b () + + = b () + + = b () podemos escribirlo en form mricil si hcemos el produco: b b b del cul resul l iguldd: b b b designndo: b ; X ; B b b simbolizmos: X B Siendo y B mrices conocids resolver el sisem consise en enconrr los elemenos de l mriz X lo que se consigue premuliplicndo (muliplicndo desde l izquierd) mbos miembros de l iguldd por l mriz invers de que simbolizmos como l mriz -. En efeco de: X B eniendo en cuen de cuerdo con l definición de mriz invers que en el produco de mrices resul: I y que I es el elemeno neuro X lo que signific que pr obener l mriz de ls incógnis (mriz solución) bs con premuliplicr l mriz de los érminos independienes por l mriz invers de l mriz de los coeficienes de ls incógnis. B
Fculd Regionl L Pl Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Ing. Vivin CPPELLO Si recordmos que dj sólo podremos resolver por inversión de mrices quellos sisems en los cules el deerminne socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis se disino de cero es decir solmene los sisems que sen compibles deermindos. Ejemplo Hllr l solución del sisem de ecuciones lineles: z y z y z y en form mricil el sisem se escribe: z y como sbemos pueden efecurse operciones elemenles sobre el sisem de ecuciones o sobre l mriz mplid (ver méodo de eliminción gussin) o bien si eise clculr l invers de y luego premuliplicr l mriz de los érminos independienes por dj ; o se: o se; = ; y = -; z = -
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Teorem de Crmer. Como hemos viso l resolver sisems de ecuciones lineles por el méodo mricil l mriz de ls incógnis se obiene medine l epresión: X dj B l que eniendo en cuen puede escribirse: dj X B que se puede desrrollr pr un sisem de res ecuciones con res incógnis sin que l demosrción pierd vlidez generl de l siguiene mner: epresión de l cul se obienen l siguiene iguldd: b b b b b b b b b que se lee: l incógni se obiene como el cociene enre dos deerminnes: el del denomindor es el socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis miens que el del numerdor es el mismo deerminne en el cul se h reemplzdo l column de los coeficienes de por los érminos independienes Con similr rzonmieno: y b b b b b b
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl b b b b b b Ing. Vivin CPPELLO lo epresdo pr l incógni puede generlizrse de l siguiene mner: ls incógnis de un sisem de ecuciones lineles pueden obenerse efecundo el cociene enre dos deerminnes: el del denomindor es en odos los csos el socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis mienrs que el del numerdor es el mismo deerminne en el cul se h reemplzdo l column de los coeficienes de l incógni que se quiere clculr por los érminos independienes. Ejemplo: Hllr l solución del sisem de ecuciones lineles: y z y z y z ; y ; z Sisems homogéneos. Reciben ese nombre los sisems de ecuciones lineles que ienen odos los érminos independienes nulos. Tienen el speco: + + = () + + = () + + = ()
Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Fculd Regionl L Pl Ing. Vivin CPPELLO Como ejemplos podemos cir pr el espcio dos l inersección enre dos recs que psn por el origen de coordends y pr el espcio ridimensionl l inersección de res plnos que psn por el origen de coordends. Se resuelven por culquier méodo de los desrrolldos; muchs veces sólo se necesi sber si el sisem es compible deermindo o compible indeermindo lo que se logr resolviendo el deerminne socido l mriz de los coeficienes de ls incógnis. Si dicho deerminne es disino de cero ls res ecuciones son independienes y l solución es únic (l rivil): si por el conrrio el deerminne resul nulo el sisem resul compible indeermindo (soluciones múliples) Resolución Mricil de los sisems de ecuciones lineles incompibles. (plicción del concepo de Mriz Pseudoinvers). Se el sisem de ecuciones independienes (por lo no incompible) que puede escribirse en noción mricil: o simbólicmene b q b q b q b b b q q q q Como l mriz iene myor número de fils que de columns sólo resul posible definir su mriz invers (en ese cso pseudoinvers) por l izquierd. () () () (4) Pr despejr l mriz se premuliplicn mbos miembros de l iguldd nerior por l mriz rspues de : No: q () pr el cso que nos ocup M si hubiérmos hecho M resul siempre singulr (no dmie mriz invers) Como l mriz es cudrd si su deerminne socido es disino de cero dmie mriz invers ; premuliplicndo por es mriz mbos miembros de (): q (6)
Fculd Regionl L Pl Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Ing. Vivin CPPELLO siendo I resul: q epresión en l cul L (mriz pseudoinvers por l izquierd) Ejemplo: Se el sisem de ecuciones lineles: por el speco de l primer y úlim ecuciones con primeros miembros igules y segundos miembros disinos el sisem es incompible. Escribimos el sisem del ejemplo en noción mricil: premuliplicmos mbos miembros por que operndo nos conduce : Obenido ese sisem de ecuciones que por ener igul número de ecuciones e incógnis resul compible deermindo el cálculo puede coninurse de ls siguienes mners; ) resolver por inversión de mrices.
Fculd Regionl L Pl Álgebr y Geomerí nlíic Mrices- Deerminnes- Sisems de Ecuciones Ing. Vivin CPPELLO Reomemos l ecución mricil que obuvimos después de premuliplicr mbos miembros de l ecución mricil del sisem por l mriz y operr. Premuliplicndo hor mbos miembros por l invers de l mriz de los coeficienes obenemos: I. 8 8 8 9 resulndo 8 9 y 8 Bibliogrfí obligori y recomendd: rmndo Rojo: Álgebr I y II Hecor Di Cro: Álgebr y Geomerí nlíic. Sgsume Berr G. Fernández: Álgebr y Cálculo Numérico. Lenin Rivud: Álgebr Modern Dono Di Piero: Geomerí nlíic. Ch. H. Lehmnn Geomerí nlíic. Louis Leihold El Cálculo con Geomerí P. Smih. Gle Elemenos de G. nlíic