UNIVERSIDAD NACIONAL AUTÓNOMA DE MÉXICO FACULTAD DE INGENIERÍA DIVISIÓN DE CIENCIAS BÁSICAS COORDINACIÓN DE CIENCIAS APLICADAS DEPARTAMENTO DE ECUACIONES DIFERENCIALES PRIMER EXAMEN FINAL RESOLUCIÓN SEMESTRE 6 - TIPO DURACIÓN MÁXIMA. ORAS 5 DE DICIEMBRE DE 5 NOMBRE Apellido patero Apellido matero Nombre (s) Grupo Istruioes: Lee deteidamete los io euiados, este exame es la demostraió de tu apredizaje a lo largo del semestre, trata de eteder y resolver primero los que tiees seguridad e tu ooimieto.. U ivestigador de rímees euetra u adáver al etrar a u edifiio de la Ciudad de Méxio. Al istate mide la temperatura del adáver siedo de 3 C. Dos horas más tarde al llegar el médio forese toma uevamete la temperatura del adáver la ual ha dismiuido a 4 C. La temperatura ambiete durate este tiempo permaee ostate a 5 C. Si se sabe que la temperatura del adáver ambia a ua veloidad proporioal a la difereia de temperaturas del adáver y del ambiete, esto es: dt C ; k T T T represeta la temperatura del adáver C amb C Determiar: a) La soluió de la euaió difereial. b) Ua expresió que determie la hora e que murió la persoa si fue eotrada a las : horas. Nota: La temperatura del uerpo humao vivo es de 37 C. Resoluió: dt se sabe que Tamb 5 C dt kt 5 Del euiado k T T amb La soluió de la Euaió Difereial es: dt k T 5 dt k T 5 FIRMA ED_EF-_6-
Itegrado: dt k T 5 l T 5 kt C soluió geeral implíita Apliado expoeial atural: T T 5 Ce Ce kt kt 5 soluió explíita Del euiado: t, T 3C y t h, T 4 C 3 5 Ce C 5 kt T 5e 5 soluió partiular. Resolver la euaió difereial y y ta x sujeta a y ; y Resoluió: y y ta x ; y, y La soluió geeral está dada por: y y y G P La euaió difereial se debe resolver por variaió de parámetros por ser qx ta Primero la soluió homogéea asoiada es y y D y El poliomio auxiliar es: m m m, i o a y b por lo que: y Cse x C os x Segudo, la soluió partiular y P : Se propoe yp u x se x v xos x dode y u se x vos x P y : ; u u x y v v x Etoes o los vetores base: se x os x u os x se x v ta x Premultipliado por la matriz iversa: x ED_EF-_6-
u se x os x v se x os x os x se x ta x u se x os x os x ta x v os x se x ta x se x ta x Igualado: u os x ta x y v se x ta x Itegrado: u u os x ED_EF-_6- se x dx y se x v dx os x os x v dx se x os x dx os x v l se x ta x se x sustituyedo e la soluió partiular propuesta: y os x se x os x l se x ta x se x os x P La soluió geeral está dada por: yg Cse x Cos x se x os x os x se x l se x ta x y C se x C os x se x os x se x os x os x l se x ta x G y C se x C os x os x l se x ta x G Sustituyedo las odiioes de valor iiial: C se x ta x se x yg Cos x Cse x se x l se x ta x os x se x ta x C Por lo tato, o C y C se tiee: y se x os x l se x ta x P 3. Determiar la soluió del sistema de euaioes difereiales de primer orde x y os t y x set Resoluió: El sistema es: x y os t x y os t y x set x y set D x os t D y set
Al usar determiates: D os t x D x Dos t set D set D etoes: D x set set La euaió difereial es: D x Es ua euaió difereial lieal, ordiaria, homogéea, etoes: x x G Para x : D x, x C os t C se t m, m, m, i y ost C set C ost y C set ost C 4. Resolver la siguiete euaió difereial y 4y 3y 5t u t usar trasformada de Laplae, sujeta a las odiioes de valor iiial y y Resoluió: 4 3 5 ; y y y y y t u t Se puede esribir omo: y 4y 3y 5 t u t, y 4y 3y 5 t u t u t Apliado trasformada de Laplae: y 4 y 3 y 5 t u t u t s s e e s Y s s s 4sY s 4s 3Y s 5 s s s s e e Y s s 4s 3 5 s 4 s s, ED_EF-_6-
s s 3 5e se s 3s Y s s 4s 3 s s s 3 5e se s 3s Y s s 3s s s s 3 s 3 5e s e s 3s e s s s 3s Ys s s 3 s s s 3 s s s 3 s Y s Y s s 3 3 s s s s 3s s 5e s s s 3 s s s s s s 5e Por fraioes pariales: s A B C D 3 s s s s s s 3 s despejado y agrupado: 3 s A C D s 4A B C 3D s 3A 4B s 3B El sistema es: AC D 4A B C 3D 3A4B 3B 5 A, B, C, D 9 3 8 Apliado trasformada iversa de Laplae: 5 y t 5u t 9s 3s 8s 3 s s t 5 3 t t 5 t y t u t e e e 9 3 8 3 t t 4 6 t 5e 9e t yt 5u t e 8 5 3 t t 4 6 5 9 t y t y t u t t e e e 8 5. Desarrollar la fuió f x se x ED_EF-_6-, x Resoluió: Se tiee f x se x, x, que es u seo retifiado. Se sabe que es ua fuió par, simétria o respeto a y.
La serie e oseos está dada por: a f x a os x p se sabe que: p a f x dx p p a f xos x dx p p sustituyedo: a se x dx se x dx os x os os 4 a se x os xdx se x os x dx Al alular la itegral: se x osx dx sexsex sexos xdx u sex du os xdx dv os x dx v sex ED_EF-_6-
se x os x dx sexsex osx osx os xse x dx u os x du sexdx dv se x dx v os x se x os x dx sexse x os x os x os x sexdx se xos x dx sexse x os xos x se xos x dx sexse x x x os os se x os x dx sexse x x x os os Por regla de Barrow: sexse x os xos x osos se x os x dx se xos x dx os sustituyedo: os a,, 3,... sustituyedo e la serie: 4 os f x osx 4 f x sex os x ED_EF-_6-