CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 00P, 11-NOVIEMBRE 000, 1H 1) Determinar los valores de para los cuales está definida la función f) = 9 y obtener también el intervalo formado por las imágenes f). ) Un taista cobra.80 pesos por el banderazo que es el costo por subirse y recorrer menos de 500 m; pero cobra 0.65 pesos por cada tramo subsiguiente de 500 m completo o parte). Epresar el costo C en pesos) de un viaje como función de la distancia recorrida en kilómetros) para 0 << y graficar esta función. ) Dada la función f) = +7 +6 +, obtener: dominio y raíces; intervalos de continuidad y puntos de discontinuidad clasificados); asíntotas verticales y horizontales. ) Se quiere construir una caja de base rectangular que sea tres veces más larga que ancha, que tenga tapa y que pueda contener 15 dm de abono para plantas. Calcular las dimensiones que debe tener dicha caja para que requiera la menor cantidad de material en su construcción. 5) Para la función f) = +1, obtener: dominio, raíces y paridad; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos, locales y absolutos; intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. 6) La función f tiene la gráfica siguiente: f) 10 8 1 1 5 6 7 De ella determinar: dominio, rango, raíces, intervalos de continuidad y discontinuidades clasificadas); intervalos de monotonía y concavidades, puntos de infleión; dónde f no es diferenciable no tiene derivada); puntos críticos de f; clasificar estos puntos. Y además encontrar los siguientes ites: 5 f); f); 5 + f); f); + f) &f1), f), f5). canek.azc.uam.m: / / 006. 1
EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 Respuestas 1) Determinar los valores de para los cuales está definida la función f) = 9 y obtener también el intervalo formado por las imágenes f). Dominio de f): D f = R 9 0 } = R 9 } } = R 9 = } = R = R } [ =, ] ; Rango de f): R f = y R [ eiste, ] } tal que y = f) = = y R [ eiste, ] tal que y = } 9 ; pero, y = 9 y = 9 9 + y = 9 + y =1 9 + y 0) =1 ) + y 0) =1. y 0.) Por lo que, si y = 9, el punto, y) está en la elipse con centro en el origen 0, 0), cuyos ejes están sobre los ejes coordenados = 0& y = 0; dicha elipse tiene semieje mayor igual a en el eje de las y; tiene semieje menor igual a en el eje de las ; ahora, como y 0, se trata eclusivamente de la semielipse superior; por último, el conjunto de todas las imagenes f) es el intervalo [0, ]. ) Un taista cobra.80 pesos por el banderazo que es el costo por subirse y recorrer menos de 500 m; pero cobra 0.65 pesos por cada tramo subsiguiente de 500 m completo o parte). Epresar el costo C en pesos) de un viaje como función de la distancia recorrida en kilómetros) para 0 << y graficar esta función.
EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 Vemos que.80 si 0 <0.5 5.5 si 0.5 <1 6.10 si 1 <1.5 C) = 6.75 si 1.5 < 7.0 si <.5 8.05 si.5 <. C en $ 8.05 7.0 6.75 6.10 5.5.80 0.5 1 1.5.5 km Podríamos sintetizar esto diciendo que C) =.8+0.65, donde 1 n 1) <n,n 1,,,, 5, 6 }. Claramente esta función se puede generalizar al caso en que n N. ) Dada la función f) = +7 +6 +, obtener: dominio y raíces; intervalos de continuidad y puntos de discontinuidad clasificados); asíntotas verticales y horizontales. Dominio: D f = R + 0 }. Pero, + =0 = 1 ± 1+ = 1 ± 5 luego, D f = R }, 1. Para hallar las raíces resolvamos: +7 +6=0 = 7 ± 9 8 = 1 ± 5 = 7 ± 1 1 = ; = 7 ± 1 = ; luego, las raíces serían = y también = ; pero, como D f, entonces la única raíz es =.
EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 La función es continua en su dominio: = 1. Ahora, como f) = + ) +) + ) 1), ) ), 1 1, + ); es discontinua en = yen = + 1 = + + 1 = = 1 5 = 1 5, en = la discontinuidad no es esencial, es removible, a diferencia de lo que ocurre en = 1, pues ahí: + f) = 1 ± 1 ± 1 = ± ; así, la discontinuidad en = 1 es esencial, de hecho es infinita, y la recta = 1 es asíntota vertical. Para determinar las asíntotas horizontales calculamos: f) = ± + ± 1 = ± 1+ 1 1 ) ) = ± 1+ = 1 1 =1. 1 1 Luego la recta y = 1 es asíntota horizontal. ) Se quiere construir una caja de base rectangular que sea tres veces más larga que ancha, que tenga tapa y que pueda contener 15 dm de abono para plantas. Calcular las dimensiones que debe tener dicha caja para que requiera la menor cantidad de material en su construcción. Hagamos un bosquejo de la caja: y y V = y =15 y = 15 =5.
EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 5 La función de la que queremos hallar su mínimo es el área de la caja: A = + y + y =6 +8y =6 +85 =6 +0 1 A ) =1 0 = 1 0 =0 = 0 1 = 10 ) 1 10 10 = = 5 1.98016 & y = 10 ) / = = 5 / 5 / / = 51/ / / = 5 9 = 5.070. Como A ) = 1 + 80 =1+ 80 > 0, se trata de un mínimo para A) y sucede cuando 1.9 & y.1. 5) Para la función f) = +1, obtener: dominio, raíces y paridad; intervalos de crecimiento y de decrecimiento; máimos y mínimos, locales y absolutos; intervalos de concavidad hacia arriba y hacia abajo; puntos de infleión y un bosquejo de la gráfica. Dominio: D f = R, raíz =0,f) es impar. f ) = +1) = + 1 = =0 = ±1. +1) +1) +1) Veamos el signo de la derivada: Intervalo, 1), 1, 1) 1, + ) Valor de f : f ) < 0 f 0) > 0 f ) < 0 Signo de f : f ) < 0 f ) > 0 f ) < 0 f es decreciente creciente decreciente También se puede ver directamente, ) pues el signo de f ) nos lo da 1. En [ 1,f 1)] = 1, = 1, 1) hay un mínimo local por el criterio de la primera derivada, y 1+1 en 1, 1) hay un máimo local: f ) = +1) + 1)1 ) +1) = +1) 1 ) +1) = = + +1) = +1) = +1) =0 =0& = ±.
6 EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 Análogamente, veamos el signo de f ) ) ) ) ) Intervalo,,, 0 0,, + Valor de f : f ) < 0 f 1) > 0 f 1) < 0 f ) > 0 Signo de f : f ) < 0 f ) > 0 f ) < 0 f ) > 0 Tanto en [ ],f ) = ), +1 ), hay puntos de infleión. También f es convea cóncava convea cóncava ± f) = ± = ), 1.70508, 0.86605), 0, 0) como en ) 1+ 1 ) = ± 1+ 1 = Con estos datos, la gráfica de la función f) es la siguiente: f) 0 ± 1+0 = 0± 1 =0±. 1 1 1 1 Resulta entonces que 1, 1) es el máimo absoluto; y que 1, 1) es el mínimo absoluto. 6) La función f tiene la gráfica siguiente: f) 10 8 1 1 5 6 7
EVALUACIÓN DE RECUPERACIÓN E1100 7 De ella determinar: dominio, rango, raíces, intervalos de continuidad y discontinuidades clasificadas); intervalos de monotonía y concavidades, puntos de infleión; dónde f no es diferenciable no tiene derivada); puntos críticos de f; clasificar estos puntos. Y además encontrar los siguientes ites: 5 f); f); 5 + Dominio: D f =[ 1, + ). Rango: R f =, ) 1 0, + ). f); f); + f) &f1), f), f5). Raíces: = es raíz. Es continua en [ 1, 1) 1, ), 5) [5, + ); es discontinua en = 1, donde la discontinuidad es removible; también en =, donde tiene una discontinuidad esencial infinita); por último, en = 5, donde la discontinuidad igualmente es esencial. Es creciente en [ 1, 0], [, 5] y [6, + ) y decreciente en [0, 1), [1, ),, ] y [5, 6]. Es convea en 1, 1), 1, ), [, ] y [6, + ) y cóncava en, ], [, 5) y [5, 7]. Sus puntos de infleión son, 0),, 1) y 7, 8). La función f no es derivable en =1, =, =nien =5. Sus puntos críticos son =0, = & =6. En = 0 hay un máimo al igual que en = 5; ambos locales. En = yen = 6haymínimos; ambos locales. Los ites: f) =; f) =8; f) = ; f) =+ ; f1) = 0; f) = ; 5 5 + + f5) = 8; f) no eiste.