TEMA : olinomios Tema : olinomios
ESQUEMA DE LA UNIDAD.- olinomios. Valor numérico...- olinomios...- Valor numérico de un polinomio..- Suma y resta de polinomios..- Multiplicación de polinomios...- roducto de polinomios...- Factor común..- División de polinomios..- Regla de Ruffini. Teoremas del resto y del factor...- Regla de Ruffini...- Teorema del resto...- Teorema del factor..- Identidades notables. otencia de un polinomio...- Cuadrado de una suma o diferencia...- roducto de una suma por una diferencia...- Obtención de una identidad notable....- Epresión de un binomio como una suma por una diferencia....- Epresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia...- otencia de polinomios. 7.- Factorización de polinomios. 7..- Factorización de polinomios. 7..- Simplificación de fracciones algebraicas..- OLINOMIOS. VALOR NUMÉRICO..- olinomios Un polinomio es una epresión formada por la suma o resta de dos o más monomios. Ejemplos:,, y y y. Los elementos de un polinomio son: Grado: el grado de un polinomio es el mayor de los grados de sus monomios. Coeficientes: son los números que tiene delante cada monomio. Término independiente: es el monomio de grado cero; es decir, el número que no va acompañado de ninguna letra. Tema : olinomios
Tema : olinomios Ejemplo: Grado: Coeficientes:, -,,, Término independiente: - olinomio completo: es aquel polinomio en el que aparecen todos los términos de grado inferior al grado del polinomio. Cuando no es completo se dice que es incompleto. Ejemplos: es un polinomio completo. es un polinomio incompleto, ya que falta el término. olinomio ordenado: es aquel polinomio cuyos términos están ordenados de mayor a menor grado. Ejemplo:..- Valor numérico de un polinomio El valor numérico de un polinomio en un punto dado es el número que resulta al sustituir la letra o las letras que aparecen en el polinomio por los valores que nos digan y operar. Ejemplo: a Calcula el valor numérico del polinomio para. b Calcula el valor numérico del polinomio para. 0 8 8 80.- SUMA Y RESTA DE OLINOMIOS Ejemplo: Dados y Q, calcular: a Q Q b Q Q 9 9
Ejemplo: Dados, y y y y Q, y y, calcular: a, Q,, Q, y y y y y y y y y y y y y y b, Q,, Q, y y y y y y y y y y y y y y.- MULTILICACIONES DE OLINOMIOS..- roducto de polinomios Ejemplo: Dados R y S, calcular R S R S..- Factor común Sacar factor común consiste en etraer de cada uno de los monomios que forman un polinomio, los términos comunes a todos ellos. Recordatorio: a Cuando un término sale entero como factor común, dentro del paréntesis se pone un "". b El signo no es conveniente sacarlo como factor común. Ejemplo: saca factor común a 9 7 7 b a b a b a b a b a b a b a b ab a 8b.- DIVISIÓN DE OLINOMIOS Observaciones: a Elementos de una división: b ara que se pueda hacer una división entre polinomios, el grado del dividendo tiene que ser mayor o igual que el grado del divisor. Tema : olinomios
c La división de polinomios termina cuando el grado del resto es menor que el grado del divisor. d En toda división, tanto en la de números como en la de polinomios, se cumple lo siguiente: DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO Ejemplo: Dados y Q, calcular : Q 0 0 Teniendo en cuenta la observación d, podemos escribir entonces lo siguiente: 0 C Q R.- REGLA DE RUFFINI. TEOREMA DEL RESTO Y DEL FACTOR..- Regla de Ruffini Es un método que se utiliza, entre otras cosas, para dividir polinomios cuando el divisor es de la forma a, siendo " a " un número. Ejemplo: halla el cociente y el resto de la siguiente división utilizando el método de Ruffini 7 : Recordar que en toda división se puede escribir que DIVIDENDO = COCIENTE DIVISOR + RESTO, así en este caso tendremos que..- Teorema del resto 7 0 Enunciado: El resto de la división de un polinomio numérico del polinomio para a. entre a es igual al valor Con otras palabras: para calcular el resto de la división de un polinomio a que son las divisiones que pueden hacerse por el método de Ruffini sin hacer la división, hay que sustituir en la del polinomio el número a. entre Tema : olinomios
Ejemplo: calcula, sin hacer la división, el resto de las siguientes divisiones de polinomios a : Llamamos es :. or el teorema del resto, el resto de la división : 8 b : Llamamos :. or el teorema del resto, el resto de la división : Observaciones: es. Al número que sale al sustituir la "" de un polinomio por un número se le llama "valor numérico del polinomio en número ".. Un número " a " se dice que es raíz de un polinomio si el valor numérico de ese polinomio en a vale cero...- Teorema del factor Enunciado: Un polinomio, a si el valor numérico de dicho polinomio para el valor a es cero; es decir, si a es una raíz del polinomio., tiene como factor Ejemplo: comprueba si es un factor de 8. 8 8 8 0, luego efectivamente es un factor de..- IDENTIDADES NOTABLES. OTENCIA DE UN OLINOMIO..- Cuadrado de una suma o diferencia a b a b ab Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables a b 9 9 Tema : olinomios
c d 9 9..- roducto de una suma por una diferencia a ba b a b Ejemplo: resuelve las siguientes identidades notables a 9 b 8 8 8 0 8 c 9 9 9 d 8 9..- Obtención de una identidad notable Se trata de epresar un binomio polinomio de dos términos o un trinomio polinomio de tres términos como una suma por una diferencia o como el cuadrado de una suma o diferencia....- Epresión de un binomio como una suma por una diferencia. Hay que comprobar que el binomio representa una identidad notable. ara ello basta observar que entre los dos términos del binomio hay una resta.. Escribir cada término como un cuadrado.. Las bases de los cuadrados anteriores son los elementos de la identidad notable. Ejemplo: epresa como una identidad notable los siguientes binomios a resta Al número se le saca raíz cuadrada y al eponente de la "" se le divide entre / 8 b 9 9 8 8/ 9 9 7 7 / 9 9 7 Tema : olinomios 7
c d...- Epresión de un trinomio como el cuadrado de una suma o una diferencia. Buscar en el trinomio los dos términos en los que la variable estén elevados al número más grande y al número más pequeño. Comprobar que esos términos tienen el mismo signo y que se pueden escribir como un cuadrado.. Comprobar que el doble producto de las bases de los cuadrados anteriores coincide con el otro término del trinomio que no se ha utilizado hasta ahora.. De cumplirse los puntos anteriores, se puede afirmar que el trinomio corresponde a una identidad notable, en concreto al cuadrado de una suma o de una diferencia en función del signo que tenga el término del trinomio que se ha utilizado en el punto anterior. Ejemplo: epresa como una identidad notable los siguientes trinomios a Tienen el mismo signo los dos términos son positivos Los dos términos se pueden escribir como un cuadrado 8 8 que es el otro término del trinomio Después de comprobar que se cumplen las condiciones para que este trinomio sea una identidad notable podemos escribir dicha identidad: 8 b c 8 d..- otencia de polinomios La potencia de un polinomio se efectúa igual que la potencia de números, multiplicando el polinomio por sí mismo tantas veces como indique el eponente. Ejemplo: calcula siendo Tema : olinomios 8
9 9 9 8 9 7 7 08 7 7.- FACTORIZACIÓN DE OLINOMIOS 7..- Factorización de polinomios Descomponer un polinomio en factores consiste en escribirlo como producto de otros polinomios. asos para factorizar un polinomio:. Sacar factor común si es que se puede.. Buscar, utilizando el método de Ruffini, las raíces del polinomio que queda entre paréntesis si es que se ha sacado factor común o del polinomio entero si no se ha sacado factor común. Las posibles raíces son los divisores del término independiente del polinomio,. Repetir el método de Ruffini hasta que se cumpla una de las siguientes condiciones: - Si después de probar con todas las posibles raíces del polinomio no haya ninguna es decir, con ninguno de los divisores del término independiente sale en el método de Ruffini como resto cero. - Que queden solamente dos términos.. Escribir la descomposición o factorización del polinomio. Observaciones: a Descomponer o factorizar un polinomio de grado es lo mismo que sacar factor común si es que se puede, en caso de que no se pueda sacar factor común, la factorización sería el mismo polinomio. Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios 7 7 b Muchas veces los binomios y trinomios no se pueden descomponer en factores utilizando el método de Ruffini porque son identidades notables. Ejemplo: descomponer en factores los siguientes polinomios rimero lo intentamos por Ruffini. osibles raíces del polinomio: - - 0 - - 0 No sale cero - 7 No sale cero Tema : olinomios 9
El método de Ruffini, por tanto, no nos permite en este caso factorizar el polinomio, por lo tanto quedan dos opciones: o se trata de una identidad notable, o no admite factorización. Después de realizar las comprobaciones se observa que el trinomio que tenemos que factorizar es una identidad notable, por lo tanto la factorización del mismo será esta: Lo intentamos por Ruffini. osibles raíces del polinomio: 0-0 - 0 - - 0 - No sale cero - No sale cero or Ruffini no se puede factorizar. Es una identidad notable? La respuesta es que sí se trata de un binomio cuyos términos están restando. La factorización será por tanto: Ejemplo: factoriza los siguientes polinomios a 8. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces,,, 8 recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente - -8 - - - 8 8-8 0 osibles raíces,,, 8 0 aramos porque solo quedan dos números el y el. Escribir la factorización: b 9 8. Factor común: 9 8 9 8 Tema : olinomios 0
. Buscar las raíces del polinomio que queda en el paréntesis utilizando Ruffini: posibles raíces,,,, 9, 8 recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente - -9 8-9 -8-9 -8 0 osibles raíces: las mismas - - 0 8 9 0-9 0 osibles raíces:,, 9 0 aramos porque solo quedan dos números el y el. Escribir la factorización: c 8. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces,, recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente. - 8 - - - - 0 osibles raíces,, - 0 aramos porque solo quedan dos números el y el -. Escribir la factorización: d. Factor común: en este caso no se puede sacar factor común.. Buscar las raíces del polinomio utilizando Ruffini: posibles raíces recordar que las posibles raíces son los divisores del término independiente. Tema : olinomios
- - 0 0 0 osibles raíces aramos aunque quedan tres números porque el polinomio no tiene más raíces; es decir, al probar el método de Ruffini con el y el - no sale de resto cero.. Escribir la factorización: 7..- Simplificación de fracciones algebraicas Una fracción algebraica es una fracción en la que al menos en el denominador hay un polinomio. ara simplificarlas hay que descomponer en factores por separado el numerador y el denominador, y después tachar los términos comunes. Ejemplo: simplifica las siguientes fracciones algebraicas a - Factorizamos el numerador: - Así: 0 - Factorizamos el denominador: - - - Así: 0 - Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y simplificamos: Tema : olinomios
b 7 0 - Factorizamos el numerador: 7 0-7 - - - - - 0 - - - 0 Así 7 - Factorizamos el denominador: 0 - -0 - - - 0-0 - - - 0 Así 0 - Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y simplificamos: 7 0 Tema : olinomios
c 9 9 - Factorizamos el numerador: 9 odemos comprobar que el trinomio que hay en el numerador es el desarrollo de una identidad notable, por lo que podemos escribir lo siguiente: 9 ERO hacerlo así directamente requiere que, una vez escrita la identidad notable, haya que comprobar que los polinomios que quedan entre paréntesis no se pueden descomponer más, lo cual sucede en este caso, ya que queda un polinomio de primer grado y sabemos que factorizar este tipo de polinomios equivale a sacar factor común, cosa que no se puede hacer en este caso, por lo que ya estaría terminada la factorización. Así 9 - Factorizamos el denominador: 9 Al igual que antes, podemos comprobar que este binomio es el desarrollo de una identidad notable, por lo que podemos escribir lo siguiente: 9 De la misma manera debemos comprobar que los polinomios que quedan entre los paréntesis ya no pueden descomponerse más, cosa que sucede. Así 9 - Sustituimos en la fracción el numerador y el denominador por sus factorizaciones y simplificamos: 9 9 Ejercicio: factorizar el siguiente polinomio Una opción sería utilizar el método de Ruffini para descomponer o factorizar el polinomio, pero si nos damos cuenta este binomio es el desarrollo de una identidad notable, así: ero al hacer la factorización a través de las identidades notables, como se ha comentado anteriormente, no basta escribir la epresión de la identidad notable, sino que hay que comprobar si los polinomios que quedan en los paréntesis se pueden seguir factorizando o no. En nuestro caso hay dos paréntesis: Tema : olinomios
En este paréntesis ha quedado un polinomio que no se puede factorizar comprobarlo cada uno por Ruffini. el desarrollo de una identidad notable, por lo que podemos escribirlo así: Sin embargo, el polinomio de este paréntesis sí puede descomponerse más, vuelve a ser Nuevamente habría que comprobar si estos nuevos paréntesis contienen polinomios que se pueden seguir factorizando, en cuyo caso habría que continuar no es nuestro caso, pues ya quedan polinomios de primer grado a los que no se les puede sacar factor común. or lo tanto, la factorización es: FIN DEL TEMA Tema : olinomios