Univeridad Diego Porale Primer Semere 007 Faculad de Ingeniería Iniuo de Ciencia Báica Aignaura: Ecuacione Diferenciale Laboraorio Nº 8 Reolución de ecuacione diferenciale uando ranformada de Laplace Aplicacione de la ranformada de Laplace a reolución de ecuacione diferenciale y iema de ecuacione diferenciale Aplicación a olución de problema de fíica Objeivo general Reolver ecuacione y iema de ecuacione diferenciale, uilizando la ranformada de Laplace y la ayuda de la calculadora, de ea forma implificar el cálculo de expreione demaiado complicada y larga en u dearrollo naural Morar la caraceríica principal que iene la ranformada de Laplace cuando e preenan problema del ipo encendido - apagado, que oro méodo no pueden reolver Objeivo epecífico Reolver ecuacione diferenciale, uando la ranformada de Laplace Reolver iema de ecuacione diferenciale, uando la ranformada de Laplace 3 Aplicar la ranformada de Laplace en la reolución de un circuio báico RCL 4 Uilizar la función de Heaviide y la función dela de Dirac en ecuacione diferenciale Acividade Nº de acividad Conenido Uo de la función de Heaviide en ecuacione diferenciale Uo de la función de dela de Dirac en ecuacione diferenciale 3 Aplicación de la ranformada de Laplace en iema de ecuacione diferenciale 4 Aplicación de la ranformada de Laplace en la reolución de un circuio RCL 5 El alumno dearrollará acividade propuea Meodología En la acividade que dearrollaremo a coninuación, uaremo lo iguiene eorema:
Teorema del corrimieno: Supóngae que f iene ranformada de laplace L{ f } Ademá: a L e f () = F( a) (i) a L f( a) H( a) = e F( ), a 0 = +, a 0 (ii) L{ f() H( a) } e a L{ f( a) } Donde e define f() = 0para < 0 () = F() Enonce: Para la función dela de Dirac, e cumplen la iguiene propiedade:, (ii) { δ ( )} (i) δ () d= L a e a = Acividad : Ue la ranformada de Laplace para reolver el problema de valor inicial, y y + y = f( ), donde f() =, (la función ecalón uniario), con y (0) =, 0, < y (0) = 0 Aplicamo la ranformada de Laplace a la ecuación dada L y y + y = L f( ) (0) (0) + (0) + = { ( )} + + = { ( )} L y y y L y y L y L f L y L y L y L f ( + ) = + { ( )} L y L f ( ) = + { ( )} L y L f Donde: e L{ f() } = L{ H( ) } = Luego: e L y = + ( ) ( ) = { } + { ()} L y L e e e L g
Donde: L{ g ()} = L e e = + ( ) = + Luego: Por lo ano: ( ) ( ) e L g( ) = L g( ) H( ) = L e + ( ) e H( ) { ( ) ( ) } ( ) L y = L e e + e + e H La olución del problema, e: ( ) y () = e( ) + + ( ) e H ( ), con 0 Acividad : Reuelva, uando la calculadora, la ecuación diferencial y + y = e + δ ( ), con y(0) = y (0) = 0 Aplicamo la ranformada de Laplace a la ecuación dada L y+ y = L e + δ ( ) (0) (0) + = { } + { δ ( ) } L y y y L y Le L ( ) L y + = + e e L{ y} = + ( )( + ) ( + ) Se obiene: y () = ( coh() + inh() co() in() ) + H ( )in( ) Simplificando: y () = ( e co() in() ) + H ( )in( ), 0 Ora forma: () Calcular y + y = e () Calcular y + y = δ ( ) (3) Sumar la olucione aneriore Se obiene, nuevamene: y () = ( e co() in() ) + H ( )in( ), 0
Obervación: La calculadora no reuelve el problema direcamene, en la acividade aneriore Acividad 3: Uilice el méodo de Laplace para reolver el iema de ecuacione con la condición de que x= y = 0, para = 0 5x y + 4x y = e x + 8x 3y = 5e, Aplicando la ranformada de Laplace a ea ecuacione, e obiene: L{}( x 5+ 4) L{}( y + ) = + 5 L{}( x 8) 3L{} y + = + Reolviendo ee iema, reula: 5 + L{} x = L y ( + )( + ) reulado en fraccione parciale e ienen: y + 6 =, y decomponiendo lo ( + )( + ) {} L x 3 = + + +, L{ y} 3 3 6 = + + + La olución general, e: x() e e 3e = +, y () 3e 3e 6e = +, con 0 Uando la calculadora, e obiene:
Acividad 4: Un circuio báico RCL, morado en la figura, puede repreenare mediane la ecuación dq dq diferencial L + R + q = E 0() Expree u reulado como funcione de, a, λ y λ (la raíce del polinomio caraceríico) Encuenre la carga q () i el inerrupor e pone en la poición de encendido en el inane = a > 0 : dq dq L + R + q = E 0H( a), q (0) = 0, q (0) = 0 Aplicamo la ranformada de Laplace, a la ecuación obiene: dq dq L + R + q = E H( a), e 0 C { ()} + { ()} + { ()} = { ( )} L L q RL q L q EL 0 H a e L{ q() } L + R+ = E0 C a E0 e L{ q() } = L λ λ ( )( ) Donde, la raíce del polinomio caraceríico a L + R + = 0, on: C R RC 4L λ = y L L C R RC 4L λ = + L L C A A A = + +, e iene enonce, que: λ λ λ λ 3 Como ( )( ) E0 λ( a) λ( a) q () = Ae + Ae + A 3 H ( a) L Suponemo que λ λ, pero no on neceariamene reale Lo valore de la conane A, A y A 3, dependen de λ y λ
ACTIVIDADES A DESARROLLAR POR EL ALUMNO Ue la ranformada de Laplace para reolver el problema de valor inicial y+ y = H ( π )in( ), con y (0) = 0, y (0) = Aplicamo la ranformada de Laplace, L{ y+ y} = L{ H( π )in( ) } L y() y(0) y (0) + L y() = L H( π )in() Se obiene: { ()}( ) π { in( π )} { ()}( + ) = + π { in() } { ()}( + ) = π L y + = e L + L y e L L y e + π L{ y() } = e + + ( ) in( ) co( ) L{ y() } L{ in() } e π = L Aplicando el eorema del corrimieno: in( π) ( π)co( π) L{ y() } = L{ in() } L H( π ) in( π) ( π)co( π) La olución e: y () = in() H ( π ) Encuenre la carga q () i el inerrupor e aciva en el inane = a y e deaciva en = b, 0 < a< b: dq dq L + R + q= E 0 [ H( a) H( b) ], q (0) = 0, q (0) = 0 Suponga que L =, R = 4, C =, E 0 = 5, a = y b = 3 dq dq La ecuación diferencial, e ranforma en + 4 + 3q= 5 [ H( ) H( ) ] d d Aplicamo la ranformada de Laplace,: dq dq L + 4 + 3q = L{ 5 [ H( ) H( ) ]} d d e e L{ q ()} + 4 L{ q ()} + 3 L{ q ()} = 5
e e L{ q() }( + 4+ 3) = 5 e e L{ q() } = 5 ( + 4+ 3) + 4 + + Donde: = = = ( + 4+ 3) 3 3( + 4+ 3) 3 3(( + ) + 9) + + 3 = = 3 3(( + ) + 9) 3(( + ) + 9) 3 3(( + ) + 9) 3 3(( + ) + 9) Luego: e co(3 ) e in(3 ) = L L L ( 4 3) 3 3 39 + + e co(3 ) e in(3 ) = L ( + 4+ 3) 3 3 39 { = L 3 e ( 3co(3 ) in(3 ) )} ( + 4+ 3) 39 Por lo ano: 5 ( ) q ( ) = 3 e ( 3co(3( )) in(3( )) ) H ( ) 39 5 3 ( ) e ( 3co(3( )) in(3( )) ) H ( ) 39, con 0 El gráfico de la olución e muera en la figura iguiene: