ESCUELA UNIVERSITARIA DE INGENIERÍA TÉCNICA AERONÁUTICA DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA APLICADA Y ESTADÍSTICA EXAMEN DE CÁLCULO I 1 d fbrro d 006 Timpo: horas 30 minutos Cada problma db ntrgars n hojas d xamn por sparado. No s prmit l uso d calculadoras. El carné d la Escula db star ncima d la msa. Fcha prvista d publicación d notas: juvs 16 d fbrro d 006 Fcha prvista d rvisión d xámns: luns 0 d fbrro d 006 PROBLEMA 1. 4 Sa z0 = 8+ 8 3i. Rprsntar. Calcular y rprsntar y PROBLEMA. Dada la función f x = ( x 1) x 1, s pid: z 0 z 4 0 z 0. (1 punto) a) Calcular l polinomio d Taylor cntrado n x = 1 y d grado 3 d la función, xprsando l rsto n forma d Lagrang. Utilizando l polinomio antrior aproximar l valor d 4 f 3. b) Dtrminar los intrvalos d crciminto y concavidad d la función f ( x ), los xtrmos y puntos d inflxión (si los hubira), así como las asíntotas y puntos d cort con los js coordnados. c) Rprsntar la función utilizando los rsultados dl apartado antrior. PROBLEMA 3. {, \ 0 0 } Sa la rgión R = x y y x y x y x. S pid: (3 puntos) a) Plantar las intgrals rspcto d x y rspcto d y qu calcularían l ára d R. Calcular l ára d la rgión intgrando una d las antriors. b) Calcular la longitud dl prímtro d R. c) Calcular l volumn d un sólido d bas R dond las sccions prpndiculars al j OY son cuadrados con un lado situado n la bas dl sólido. d) Calcular l volumn d rvolución obtnido al girar R alrddor d la rcta x =. PROBLEMA 4. Rsolvr: ( 1+ x ) y + xy = y ( 0) = PROBLEMA 5. Dmostrar l siguint torma: 3 x Si f ( x ) s drivabl n x = a ntoncs f ( x ) s continua n x = a (3 puntos) (1,5 puntos) (1,5 puntos) Página 1
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PROBLEMA. SOLUCIÓN a) El polinomio d Taylor cntrado n 1 x = y d grado 3 d la función f () 1 1 ( 1) ( 1) ( 1 ) f f f 3 P3 ( x) = f ( 1) + x 1 + x 1 + x 1!! 3! S calculan las drivadas d la función ncsarias: Ordn d drivación Sustituyndo s tin: (n n 0 ( 1) x tin la forma: ( n f x f () 1 ( x 1) = () f x x 1 = 4( 1) ( 1) f 1 = 0 ( x 1 ) () f x x x f 1 = 0 ( x 1) f ( x) = 4 8( x 1) + ( x 1) 3 = 1 + 1( 1) ( 1) ( x 1 ) () f x x x (4 4 = 4 16( 1) + ( 1) f x x x = ( ) ( ) 3 ( x ) 1 P3 x x 1 x 1 El rsto xprsado mdiant la formulación d Lagrang s: ( z 1 (4 ) f ( z ) 4 16( z 1) + ( z 1) 4 4 R3 ( x) = ( x 1 ) = ( x 1) ; z ( 1, x 4! 4! El valor aproximado por l polinomio s: 3 f 1 = 4 f 1 = 1 4 4 4 4 4 f P3 = 1 1 = 3 3 3 3 7 b) La función s d clas C, por tanto l crciminto d la función s dduc dl signo d la primra drivada y la función prsnta xtrmos rlativos n los puntos críticos qu impliqun ) (3 puntos) cambio d signo d la drivada. D forma análoga la concavidad d la función s dduc dl signo d la sgunda drivada, xistindo puntos d inflxión dond cambi st signo. Corts con los js coordnados Corts con l j OX, f ( x ) = 0, Cort con l j OY, y = f ( 0), Asíntotas vrticals Como la función s d clas Asíntotas horizontals C ( x ) ( x ) 1 f x = x 1 = 0 1 f 0 = 1 = ( ) ( x ) 1 no prsnta asíntotas vrticals. 1 = 0 x = ( x 1) lím f x = lím x 1 =, no tin asíntota horizontal x x x ( x ) ( x 1) 1 lím f x lím x 1 lím 0, x = =. La indtrminación s rsulv aplicando ( x 1) x + x + x + L Hôpital vcs conscutivas. L' Hôpital L' Hôpital ( x 1) ( x 1) 4 lím = lím 4 = lím = 0. x + ( x 1) x ( x 1) x + + x 1 Página 3 La función tin como asíntota horizontal l j d abscisas, ya qu si x ntoncs f ( x) 0. 1
Critrio d la primra drivada = Puntos críticos f ( x) 0 x = 1 4 ( x 1) 1 ( x 1) 0 x = f ( x) = 4( x 1) ( x 1) = 0 x = 3 ( x 1) 0, x Signo d ( x) f, crciminto y xtrmos rlativos x< 1 f x < 0 f x dcrc x= 1, f () 1 = 0 mínimo rlativo 1< x< 3 f x > 0 f x crc 8 x = 3, f ( 3 ) = máximo rlativo 3< x f x < 0 f x dcrc Critrio d la sgunda drivada Puntos candidatos a puntos d infl xión f ( x) = 0 4 8( 1) ( 1) f x = x + x 4 + = ( x 1) ( x ) ( x ) = 0 8 1 1 0 ( x 1) 0, x 8± 64 3 x = 3 f ( x) = 0 4 8( x 1) + ( x 1) = 0 ( x 1) = 4 x = 3 + Signo d f ( x), concavidad y puntos d inflxión ( x 1) Aplicamos la factorización dl polinomio por comod idad f ( x) = x ( 3 ) x ( 3+ ). ( ) 43 x< 3 f ( x) > 0 f ( x) cóncava hacia arriba f ( 3 ) = - 3 < x< 3+ f ( x) < 0 f ( x) cóncava hacia abajo puntos d inflxión 43 3 + < x f ( x) > 0 f ( x) cóncava hacia arriba f ( 3+ ) = + ( + ) c) Rprsntación gráfica aproximada d la función y y=8-1 3 3 3+ x Página 4
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Examn Cálculo I. Fbrro 006 Problma 5 Si f s drivabl n x=a ntoncs f n continua n x=a Dmostración. f s continua n x=a? lim f ( x) f( a) =? lim ( f( x) f( a) ) = 0? [ f( x) f( a) ] Si f s drivabl n x=a ntoncs db xistir l límit lim x a = f ( a) Entoncs: [ f( x) f( a) ] [ f( x) f( a) ] lim [ f ( x) f( a) ] = lim ( x a) = lim lim( x a) x x a x x a x Como xistn los límits: [ f( x) f( a) ] lim = f ( a) y lim( x a) = 0 ntoncs l límit d un producto s l producto x a d los límits: [ f( x) f( a) ] [ f( x) f( a) ] lim ( x a) = lim lim( x a) x a x a Lugo lim f( x) f( a) = f ( a).0 = 0 lim f( x) = f( a) f s continua n x=a. [ ] Página 8