Solucions trmos una función varias variabls. S va a construir un almacén 500 m volumn con forma parallpípo. El air calint qu prouzca su sistma calfacción ascnrá, lo qu suponrá una péria calor por unia tcho igual a 5 vcs la qu s prouzca por l sulo. Si la péria calor a través las 4 pars latrals s, por unia ára, tripl qu n l sulo, trminar las imnsions l almacén qu minimizan las périas calor y n conscuncia l cost calfacción. Llammos, z a las imnsions l almacén (ancho, largo y alto, rspctivamnt), y p la péria calor por unia sulo. La péria calor l almacén f(, z) srá la suma la péria calor por l sulo más péria calor por l tcho más péria calor por las pars: #: f(, z) py + 5py + 6pz + 6 pzy) Como l volumn s 500 = y z, sustituimos z por 500/y: 6p( y + 500 + 500y) #: f(, y) y z y 6p( y + 500 + 500y) #: y 6p( y - 500) #4: 6p( y + 500 + 500y) #5: y y 6p(y - 500) #6: y 6p( y - 500) 6p(y - 500) #7: SOLVE,, [, y] y Consirano sólo la solución ral s obtin: / / #8: = 5 y = 5 #9: = 7.9700559 m. y = 7.9700559 m. U.D. Matmáticas la ETSITGC. /0
Solucions trmos una función varias variabls Sguno métoo, con multiplicaors Lagrang: #0: (, z, λ) f(, z) - λ(yz - 500) #: (, z, λ) (6pz - y(λz - 6p)) + 6pyz + 500λ #: ((6pz - y(λz - 6p)) + 6pyz + 500λ) = y(6p - λz) + 6pz #4: ((6pz - y(λz - 6p)) + 6pyz + 500λ) = (6p - λz) + 6pz y #6: ((6pz - y(λz - 6p)) + 6pyz + 500λ) = (6p - λy) + 6py z #8: ((6pz - y(λz - 6p)) + 6pyz + 500λ) = 500 - yz λ #0: Rsolvmos con SOLVE([y(6p - λz) + 6pz, (6p - λz) + 6pz, (6p - λy) + 6p 500 - yz], [ z,, λ]) consirano sólo la solución ral: / / / / 6 p #: y = 5 z = 5 = 5 λ = 5 f (, y) = α + βy para 0 < α < β, s pi:. Consirmos la función ( ) ( + y ) a) Para α=, β=, rprsntarla con Driv intificar sus trmos y puntos silla. b) Lo mismo para α=-, β= c) Lo mismo para α y β cualsquira (qu cumplan la conición) a) ( ) ( + y ) f (, y) = + y f s una función ifrnciabl por sr proucto un polinomio y una ponncial, ambos funcions ifrnciabls, lugo los trmos han sr puntos críticos f: f ( ) ( ) = + y + y f ( ) = + y y ( + y ) y Rsolvino l sistma formao por ambas cuacions s obtinn los puntos: (0, 0), (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) Para iscrnir cuáls llos son trmos o puntos silla aplicamos l critrio la rivaa sguna. allamos las rivaas sguno orn f: U.D. Matmáticas la ETSITGC. /0
Solucions trmos una función varias variabls Construimos l hssiano f ssf(0,0) = 8> 0 y f f y ssf = y hallamos su valor n caa punto crítico f f y y f (0,0) = > 0, lugo f prsnta n (0,0) un mínimo rlativo cuyo valor s f(0,0) (s mínimo absoluto pus f(, y) 0 para cq ((, y) R ). ssf(0,) = 6 > 0 y f rlativo cuyo valor s f(0,)=. (0,) = < 0, lugo f prsnta n (0,) un máimo ssf(0,-) = 6 > 0 y f (0,-) = < 0, lugo f prsnta n (0,-) un máimo rlativo cuyo valor s f(0,-)=. 8 ssf(,0) = < 0, lugo f prsnta n (,0) un punto silla y f(0,0)=. 8 ssf(-,0) = < 0, lugo f prsnta n (-,0) un punto silla y f(0,0)=. b) ( ) ( + y ) f (, y) = + y al igual qu n l apartao antrior, f s una función ifrnciabl por sr proucto un polinomio y una ponncial, ambos funcions ifrnciabls, lugo los trmos han sr puntos críticos f: f ( )( = + y y ) f ( = )( + y y y + ) y Rsolvino l sistma formao por ambas cuacions s obtinn los puntos: U.D. Matmáticas la ETSITGC. /0
Solucions trmos una función varias variabls (0, 0), (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) qu comprobamos son los mismos qu n l apartao a) Siguino l mismo procso hallamos las rivaas sguno orn f, construimos l hssiano f f f y ssf = y hallamos su valor n caa punto crítico f f y y ssf(0,0) = -8< 0 lugo f prsnta n (,0) un punto silla y f(0,0). ssf(0,) = 48 > 0 y f rlativo cuyo valor s f(0,)=. (0,) = 6 < 0, lugo f prsnta n (0,) un máimo ssf(0,-) = 48 > 0 y f (0,-) = 6 < 0, lugo f prsnta n (0,-) un máimo rlativo cuyo valor s f(0,-)=. ssf(,0) = 4 >0, y f cuyo valor s f(,0)= ssf(-,0) =. 4 >0, y f rlativo cuyo valor s f(-,0)= c) Para α y β tals qu < α < β (,0) = 4 > 0, lugo f prsnta n (,0) un mínimo rlativo (-,0) = 4 > 0, lugo f prsnta n (-,0) un mínimo. 0, ( ) ( + y ) f (, y) = α + βy sigu sino una función ifrnciabl por sr proucto un polinomio y una ponncial, ambos funcions ifrnciabls, y los puntos críticos f: Rsolvino l sistma y liminano aquéllas solucions qu contmplan α=0, o bin, β=0, o bin α=β, quan como puntos críticos actamnt los mismos qu los apartaos antriors (0, 0), (0, ), (0, -), (, 0), (-, 0) y aplicano l critrio la rivaa sguna intificaríamos los trmos igual qu n los apartaos a) y b) U.D. Matmáticas la ETSITGC. 4/0
Solucions trmos una función varias variabls. Consirmos una placa circular raio y cntro n l orign. La tmpratura n caa punto P(, y) la placa vin aa por T (, y) + y + y calint y l punto más frío la placa. = ; localizar l punto más Estuio trmos rlativos n l intrior: T s ifrnciabl lugo los puntos críticos son f f y = = y + y P = + ( 0,0), P = (, ) Ambas solucions son válias por ncontrars n l intrior l círculo raio. Cálculo trmos f n la frontra (circunfrncia raio ): función Lagrangiana + y + y λ( + y 8) y = y + λy λ = ( + y 8) (, ), P = (, ), P = (, - ) y P = (, ) (, λ ) = = + y λ P = 4 5 6 El valor la función f n caa uno stos puntos y n los puntos críticos s: f ( P ), f ( P ) =, f ( P ) = 8, f ( P4 ) = 4, f ( P5 ) = 6 y f ( P6 ) = 6. Por tanto, l valor máimo absoluto f n C s 8 y lo alcanza n l punto (, ). P =, mintras qu valor mínimo absoluto f n C s -6 y lo alcanza n los puntos (, - ) y P = (, ) P5 6 =. Como vmos, n st jrcicio los valors máimo y mínimo absoluto s alcanzan n puntos la frontra. 4. Sa c la curva intrscción las os suprficis: y + y z =, + y = allar los puntos c qu stán más próimos al orign.. S trata minimizar la función qu mi la istancia un punto cualquira (, z) c al orign (0,0,0). Obsérvs qu los puntos qu minimizan sta función minizan la función istancia al cuarao qu s más fácil manipular. El cuarao la istancia un punto (, z) cualquira c al orign s ((, z),( 0,0,0) ) = + y f (, z) = + z con la conición qu l punto (, z) vrifiqu las cuacions las os suprficis y + y z = + y = Tnmos, ntoncs, os rstriccions, lugo la función lagrangiana s: ( y + y z ) ( + ) (, z, λ, µ ) = + y + z λ µ y U.D. Matmáticas la ETSITGC. 5/0
Solucions trmos una función varias variabls #: (, z, λ, µ) = λy - (λ + µ - ) #5: (, z, λ, µ) = λ - y(λ + µ - ) y #7: (, z, λ, µ) = z(λ + ) z #9: (, z, λ, µ) = - + y y + z + λ #: (, z, λ, µ) = - y + µ #: SOLVE( λy - (λ + µ - ), λ - y(λ + µ - ), z(λ + ), - + y - y + z +, - - y +, [, z, λ, µ]) Consirano sólo las solucions rals, s obtinn los siguints puntos: P [0,, 0], P [0, -, 0], P [, 0, 0], P 4[-, 0, 0], P 5, P 6,,, P 7,,, P 8,, El valor la función n stos puntos s: f(p ) = f(p ) = f(p ) = f(p 4 ) = f(p 5 ) = f(p 6 ) = f(p 7 ) = f(p 8 ) = > Lugo la mínima istancia s alcanza para los puntos P, P, P y P 4, y icha istancia val. 5. allar l máimo la función f (, y) + y (, y) R / 0, y 0, + y bajo la rstricción y + + y = 5. { }, = n la rgión La cuación y + + y = 5 corrspon a una curva qu, rstringia al primr cuarant S, constituy un conjunto crrao y acotao l plano. Por tanto pu asgurars qu f alcanza sus valors máimo y mínimo n icho arco curva por sr continua n él. Función lagrangiana: (, λ ) = + y λ( y + + y 5) U.D. Matmáticas la ETSITGC. 6/0
y λ = λy λ = λ λ = ( y + + y 5) MATEMÁTICAS II Curso 09-0 Solucions trmos una función varias variabls (, ), P = (, 4) P =. Solamnt l punto P s ncuntra n la rgión S. Valor f n icho punto: f ( P ) = 7. Parc qu l valor máimo pio fura 7, al no obtnr ningún otro rsultao; sin mbargo, f(0, 5) = 0 > 7 y (0, 5) cumpl la conición y prtnc a S. Lugo, P (, ) NO proporciona l máimo buscao. La gráfica la rstricción s: Los puntos P = ( 5,0) y ( 0,5) P 4 = stán n la frontra S por tanto, no tnían porqué aparcr ntr los puntos críticos la función lagrangiana; pro, son también caniatos a stuiar: f ( P ) = 5, f ( P 4 ) = 0 Lugo, l máimo la función f (, y) + y {(, y) R / 0, y 0, + y } punto P = ( 5,0). = n la rgión bajo la rstricción y + + y = 5 s 5 y s alcanza n l 6. S ha construir una conucción agua s P hasta S. La construcción tin cost ifrnt sgún la zona (vr figura ). Usar multiplicaors Lagrang para hallar, z tals qu l cost C sa mínimo, supusto qu l cost por km s 00 ntr P y Q, 00 ntr Q y R y 00 ntr R y S La función qu proporciona l cost la construcción ntr P y Q s: C(, z) = 00 + 4 + 00 y + + 00z, amás, z tinn la rstricción + y + z = 0, lugo la función lagrangiana s: (, λ) 0 + 4 + 00 y + + 00z - λ( + y + z 0) km km P Q R y z 0 km S U.D. Matmáticas la ETSITGC. 7/0
Solucions trmos una función varias variabls Aproimano stos valors s obtin: 0,707 km= 707,m, y 0,5775 km= 577,5m, z 8,7554 km= 875,4 m. 7. Usar multiplicaors Lagrang para calcular: a) Las imnsions r, h un pósito cilínrico circular rcto volumn 00 m y ára mínima. b) Las imnsions r, h un pósito como l la figura, volumn 00 m y ára mínima. c) Comnta los rsultaos antriors Figura r h a) El ára total l pósito s A = A + A = πr + πrh, y su volumn V= h = πr h = 00 A B La función a minimizar s, por tanto, f ( r, h) = πr + πrh, sujta a la rstricción πr h 00 B L La función lagrangiana s ( r, h, λ ) = πrh + πr λ( πr h 00) r h = πh + πr λπrh = πr λπr tomano solo la solución con valors rals s obtin = ( πr h 00) = λ 0 r = h = 00 π m,69m, y para stos valors l ára s A 0π m 94,66 m. U.D. Matmáticas la ETSITGC. 8/0
Solucions trmos una función varias variabls Nota: al no sr la curva πr h 00 un conjunto compacto l plano (ibújala con Driv) pomos prguntarnos ralmnt l valor obtnio corrspon a un mínimo absoluto? Rspusta: No pomos asgurar qu s l mínimo absoluto pro sí qu s un mínimo rlativo. Si utilizamos, para rsolvr l jrcicio, l prociminto clásico, spjano la 00 variabl y n la cuación la conición πr h 00 h = r 00 f r, = πr r Los puntos críticos sta función son A stos valors A m 0π m 00 00 + r + πr = π r r 00 00 f '( r) πr r = r π r r r, lugo r no s válio n l contto l problma. y para 400 Por otro lao, la sguna rivaa n stos puntos f ''( r) = + π no stá finia n r=0 r y toma valor positivo n l valor qu habíamos obtnio con l prociminto Lagrang. b) La suprfici un pósito como l la figura tin por ára A= π rh + 4πr Figura Su volumn s V = 4 π r h + π r La función a minimizar s, por tanto, f ( r, h) = πrh + 4πr, sujta a la rstricción 4 π r h + π r = 00 La función lagrangiana s r h = πh + 8πr λπrh + 4πr = πr λπr = πr 4 h + πr ( r, h, λ ) = πrh + 4πr 00 = λ 0 obtin λ πr 4 h + πr 00 tomano solo la solución con valors rals s h, r = 75 π m,88m, y para stos valors l ára s A 45π m 04,9 m. U.D. Matmáticas la ETSITGC. 9/0
Solucions trmos una función varias variabls c) En l apartao a) s obtin qu l pósito mnor ára s l scción cuaraa y n l apartao b) l pósito mnor ára s aqul n qu la part cilínrica s nula quano solo la sfra qu como toos sabmos, y n st apartao s compruba, s l curpo mayor volumn con mnor ára. En conscuncia, si a psar too qurmos construir un pósito con la forma la figura con cilinro y smisfras, hmos tomar r = h n l volumn 4 π r r + π r = 00, spjano r s obtin r = 4700 7 π y l ára sría 60 A= 60π 07,6 m. 7 U.D. Matmáticas la ETSITGC. 0/0