Conceptos bá sicos. Sumá, restá y producto de polinomios

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Conceptos bá sicos. Sumá, restá y producto de polinomios Un monomio en un vrible o indetermind es un n epresión de l form, en l que es un número rel llmdo coeficiente, y n es un número nturl l que llmmos grdo. Dos monomios del mismo grdo reciben el nombre de monomios semejntes. Solmente se pueden sumr o restr monomios semejntes. Sin embrgo, dos monomios culesquier se pueden multiplicr o dividir, plicndo pr ello ls propieddes de ls potencis. Un polinomio en un vrible o indetermind sum de monomios de l form: n n P = + + + + + n n 0 es un El grdo de un polinomio es el myor eponente l que está elevdo l vrible. El coeficiente principl o coeficiente líder del polinomio es quel que compñ l término de eponente más lto. Término independiente es el que no está compñdo de vrible. El vlor numérico, como su nombre indic, es el vlor que result de sustituir en el polinomio P( ) el vlor de l vrible por un número rel ddo, =. El vlor numérico pr = se design por P( ). Un número rel se dice que es un ríz de un polinomio P si su vlor numérico es 0, es decir: ríz de P( ) P( ) = 0 Sum. Pr sumr polinomios se sumn los monomios o términos semejntes. Polinomio opuesto. El opuesto de un polinomio P( ) es el polinomio P que result de cmbir el signo todos los términos de P( ) Rest. Pr restr dos polinomios se sum l primero el opuesto del segundo. Multiplicción o producto. Pr multiplicr dos polinomios se plic l propiedd distributiv respecto de l sum ( todos por todos ) y se simplificn términos plicndo ls propieddes de ls potencis. Monomio: Monomio: 5 6 ; Coeficiente: 6 7 7 = ; Coeficiente: 5 5 Sum: ; Grdo: 5 7 5 5 + = 5 + = Producto: ; Grdo: 8 4 6 = 7 ; División: 5 6 Polinomio: 5 4 + + Grdo: 6 ; Coeficiente líder: 4 Polinomio: + 5 Grdo: 4 ; Coeficiente líder: Vlor numérico de un polinomio 6 5 = 6 ; Término independiente: ; Término independiente: 0 P = + pr El vlor numérico de 4 = es: 4 P ( ) = ( ) ( ) ( ) ( ) + = = 6 ( 8) 4 + + = 48 + 6 + + = 9 Sum, rest y producto de polinomios P Q Ddos = + y sum, l rest y el producto: = + 6, hgmos l Sum: P Q ( ) ( 6) + = + + + = = + + = + + 6 4 5 Rest: P Q ( ) ( 6) = + + = = + + = + + 6 7 Producto: P Q ( ) ( 6) = ( ) ( ) + ( ) ( ) + + 6 6 + 6 6 = = + + = 5 4 = 6 + + + 6 + 6 6 = = + + + 5 4 6 9 6 6 Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Divisio n de polinomios. Reglá de Ruffini. Teoremá del resto Al dividir un polinomio entre un polinomio m n P Q, se obtiene un cociente (dividendo) de grdo m (divisor) de grdo C un resto R( ), de tl mner que P = Q C + R División de polinomios n, con de grdo m n, y El procedimiento pr dividir es el siguiente:. Colocmos el dividendo y el divisor ordendos de myor menor grdo. Si flt lgún término del dividiendo dejmos un espcio.. Empezmos dividiendo los términos de myor grdo del dividendo y del divisor, pr obtener el primer término del cociente.. Multiplicmos este término por cd uno de los términos del divisor y los colocmos, con signo contrrio (pues hemos de restr) bjo los términos correspondientes del dividendo. 4. Continumos el proceso hst que el grdo del polinomio obtenido es menor que el grdo del divisor (éste último será el resto de l división). término del cociente, y summos el resultdo con el coeficiente siguiente del dividendo. 5. El cociente C( ) es un polinomio de un grdo menor que el divisor, cuyos coeficientes están ordendos. 6. El resto R de l división es el último número. P Q = +, 4 Ddos = + y efectur l división P : Q ( ). Colocmos decudmente el dividendo y el divisor y procedemos: 4 + + + 4 + + + + 4 + 4 + 4 + C = + y el De este modo, el cociente es el polinomio R = +. resto es el polinomio Además, puedes comprobr que se cumple l siguiente iguldd ( dividendo igul divisor por cociente más el resto ): 4 + + = + + + + Regl de Ruffini 4 L regl de Ruffini es un método pr dividir polinomios cundo el divisor es de l form o +. El 4 Dividir P = 5 + entre +. procedimiento es el siguiente: Colocmos en horizontl los coeficientes del dividendo y ponemos. Colocmos en horizontl los coeficientes del dividendo un cero en el lugr del término de grdo dos, que no prece. ordendo de myor menor grdo y, si flt lguno, Colocmos debjo, l izquierd el vlor que nul el cociente, en ponemos un cero.. A l izquierd y más bjo colocmos el vlor de l este cso, y procedemos: vrible que nul el cociente, es decir, si el divisor es 0 5 ; o bien si el divisor es +. 8 6 4. Bjmos directmente el primer coeficiente del dividendo. Éste será el primer coeficiente del cociente. 4 8 44 4. Multiplicmos sucesivmente o por cd El cociente de l división es el polinomio de grdo cuyos coeficientes son los números de l últim fil, slvo el último, que es el resto: que se obtiene l dividir un polinomio P( ) El resto R entre un binomio del tipo ( + ), es igul l vlor numérico del polinomio pr = ( = ). Es decir: R = P ( ) o bien R = P ( ) Teorem del resto Si se divide C = 4 + 8 ; R = 44 P entre, obtenemos un cociente Q( ) y P = C + R Sustituyendo por tenemos: P = C + R = 0 C + R = 0+ R = R un resto R de tl mner que Por ejemplo, el resto R de l división ( ) :( ) + + es R= P = + = 8+ 4 + = Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Fáctorizácio n de polinomios Mtemátics I - º Bchillerto Un polinomio Q Concepto de fctor de un polinomio. Polinomios irreducibles es un fctor de otro polinomio En este cso P = Q C donde C P si l relizr l división P : es el cociente de l división. Q el resto es cero. Un polinomio que no tiene fctores se denomin polinomio irreducible. Por ejemplo, todos los polinomios de grdo uno de l form o, son irreducibles. + Hemos visto que P entre Por tnto, decir que diremos que Si un polinomio es un ríz de un polinomio P P = 0 si el resto es cero, es decir que P = ( ) C. es un ríz de un polinomio es un solución de l ecución P P P = 0.. Por el teorem del resto, esto quiere decir que l dividir es lo mismo que decir Fctorizción de polinomios. Procedimiento tiene coeficientes enteros, pr que se un ríz del mismo, es necesrio que su término independiente se múltiplo de. Por tnto, pr buscr fctores de P del tipo, es un fctor de P 5. Tmbién Fctorizr el polinomio + 7 + 8.. Divisores del término independiente:,,, 6, 9, 8. Probmos si los divisores son ríces del polinomio: 5 P = + 7 + 8 = = + 7 + 8 = 0 no es ríz. 5 P = + 7 + 8 = + 7 + 8 = 0 sí es ríz. = : 0 7 8 probremos con los vlores de que sen divisores (positivos y negtivos) del término independiente.. Aplicmos l regl de Ruffini con Fctorizr un polinomio consiste en escribirlo como producto de fctores irreducibles. Si el polinomio tiene coeficientes enteros, el procedimiento seguir pr 9 8 fctorizrlo será pues el siguiente: 9 8 0. Encontrmos los divisores del término independiente. 4 El cociente resultnte es + 9 + 8. Comprobmos si son ríces del polinomio, comenzndo 4. Tommos el cociente resultnte y repetimos el proceso probndo por el más pequeño. de nuevo l mism ríz:. Con el primero que encontremos plicmos l regl de 9 8 Ruffini. 4. Tommos el cociente que hymos obtenido y 9 8 repetimos el proceso empezndo probr con l mism 9 8 0 ríz obtenid nteriormente. 5. Si un divisor del término independiente no es ríz en un Y sí sucesivmente repetimos el proceso hst que terminemos con pso, tmpoco lo será en el siguiente. Puede que hy un polinomio irreducible. Podemos continur de un mner más ríces repetids (dobles, triples, etc.); por lo tnto, si un compctd plicndo Ruffini repetidmente: ríz lo es en un pso, tmbién lo puede ser en el 9 8 siguiente. 6. Cundo tengmos un cociente de grdo, podemos 0 8 resolver l ecución correspondiente de º grdo. Es l 0 9 0 únic opción que tenemos si el polinomio tiene ríces 9 reles no enters (rcionles o irrcionles). 7. Finlmente escribimos l descomposición en producto 0 de fctores del polinomio. 0 Por tnto P = ( + ) ( )( )( + ) Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Frácciones álgebráicás Mtemátics I - º Bchillerto Ddos dos polinomios P y Q Q 0, con un frcción lgebric es un epresión lgebric del tipo P P Q. Si P = k, entonces l epresión consider un frcción lgebric. es un número rel, es decir si k Q( ), tmbién se Por poner lgunos ejemplos, son frcciones lgebrics ls siguientes: + 6 5 4 4 + ; + ; ; ; + En generl, pr simplificr y Q P Q Simplificción de frcciones lgebrics, se fctorizn P. Si eisten fctores comunes se eliminn y qued otr frcción lgebric equivlente donde los grdos del numerdor y del denomindor son menores que los de l frcción lgebric originl. A veces se descompone l frcción en dos sumndos. grdo P grdoq efectumos l división y Si hllmos el cociente C( ) y el resto tenemos que P = Q C + R. Dividiendo todos los términos entre Q( ) tenemos: P Q R. Entonces R = C + Q Sum y rest. Pr sumr o restr frcciones lgebrics se procede ectmente igul que l sumr o restr frcciones numérics. Hllmos el mínimo común múltiplo de los denomindores (pr ello debemos fctorizr los denomindores) y procedemos efectur ls sums y rests correspondientes. Al finl, si es posible, se simplific l frcción lgebric resultnte, tl y como se h mostrdo en l sección nterior. Producto y división. El producto y l división de frcciones lgebrics se reliz ectmente igul que el producto y división de frcciones numérics. Al finl, si es posible, se simplific l frcción lgebric resultnte, tl y como se h mostrdo en l sección nterior. Por eso es mejor fctorizr todos los polinomios ntes de efectur los productos correspondientes. 7 5 + 4 Pr simplificr l frcción lgebric 6 + 5 + fctorizmos los polinomios y eliminmos fctores comunes: ( + )( 4)( ) 7 5 + 4 = = De l frcción 6 + 5 + + 4 + se obtiene, relizndo l división, que + 4 C R = el cociente es = 7 y el resto es 0 9 ( compruéblo!). Entonces: Y de quí: + = + 4 7 + 0 9 + = 7 + 0 9 + 4 + 4 Sum, rest, producto y división de frcciones lgebrics + + + + = = + + + + ( + )( + ) + = = + + + + + + + 4 = = ( + )( )( + ) ( + )( )( + ) + 5 + 5 + + + = = ( 4)( ) 4 = = + + = = + + + + + + + + 4 + Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 4

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Ecuáciones de primer grádo y de segundo grádo L form reducid de un ecución de primer grdo con un incógnit es un iguldd del tipo, donde y b son números reles con. Pr resolverl despejmos l incógnit: b + b = 0 = b = 0 + b = 0 Por regl generl l ecución hy que reducirl, pr ello se siguen los siguientes psos:. Eliminr corchetes y préntesis.. Eliminr denomindores.. Trsponer términos, es decir, presentr los términos en los que prece l incógnit en uno de los miembros de l iguldd, y los términos que no tienen incógnit en el otro. 4. Reducir términos semejntes. 5. Despejr l incógnit. Ecuciones de primer grdo Mtemátics I - º Bchillerto Resolver l ecución: 5 = + 4 4 Eliminmos préntesis: 0 5 = + 6 4 Eliminmos denomindores multiplicndo todos los términos por el mcm de los denominres, que es : 4 0 5 = 4 + 4 4 40 + 60 = 8 + Trsponemos términos, reducimos términos semejntes y despejmos l incógnit: Ecuciones de segundo grdo 4 40 + 8 = + 4+ 60 57 57 4 = 57 = = 4 4 L form reducid de un ecución de segundo grdo con un incógnit es un iguldd del tipo donde, b Cso : b = 0 y c b c + + = 0 son números reles con 0 (llmdos coeficientes). Pr su resolución distinguiremos tres csos.. En este cso l ecución de segundo grdo tom l form + c = 0. Pr resolverls se despej y luego se etre l ríz cudrd pr despejr finlmente l incógnit. Cso : c = 0. En este cso l ecución de segundo grdo tom l form + b = 0. El proceso de resolución consiste en etrer fctor común l incógnit pues ést prece en mbos términos. Un de ls soluciones siempre es = 0. L otr solución se obtiene de igulr cero el otro fctor y de resolver l correspondiente ecución de primer grdo. Cso o cso generl: En este cso vmos suponer que los tres coeficientes, b y c son todos distintos de cero. Este cso es el más generl y l ecución de segundo grdo qued, en su form reducid, sí: b c + + = 0 L solución se obtiene de sustituir los coeficientes, b y en l siguiente fórmul: c 4 = b b c En generl, ls ecuciones de segundo grdo hy que reducirls uno de los tres csos nteriores, dndo los psos que se hn descrito pr ls de primer grdo. = 8 = = = ; = 8 4 0 4 8 6 0 6 + = = = (que no tiene solución y que no se puede etrer l ríz cudrd de un número negtivo). 8 0 8 0 = = = 0 8 8 = 0 = 8 = = 6 Pr resolver + 5 = eliminmos el préntesis y psmos todos los términos l primer miembro. Luego plicmos l 5 6 0 fórmul: + = + = 6 + 0 + = 0 6 + = 0 46 + 48 = = = 6 + = = = 69 6 = = = = = Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 5

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Ecuáciones bicuádrádás y de grádo superior á dos Ecuciones bicudrds L form reducid de un ecución bicudrd con un incógnit es de l form 4 b c + + = 0. Pr resolverl se plic el cmbio de vrible con lo que se convierte en un de segundo grdo: 4 b c b c + + = 0 + + = 0 z + bz + c = 0 = z Ahor se resuelve est últim. Un vez despejd l incógnit z se sustituyen sus vlores en el cmbio = z pr obtener los vlores de l incógnit., Por ejemplo, pr resolver l ecución 0 + 9 = 0 4 plicmos el cmbio : z 0z+ 9 = 0. Resolvemos est últim y, un vez obtenidos los vlores de, sustituimos en el cmbio pr obtener los de : = z 0 0 49 0 00 6 = = = 8 z = = 9 0 64 0 8 = = = z = = 9 z = = = = Un ecución de grdo superior dos con un incógnit, se epres de mner reducid de l form p( ) = 0 donde p( ) es un polinomio de grdo myor que dos. El procedimiento pr resolverls consiste en etrer ls p : ríces del es ríz de p es solución de p( ) = 0 Por tnto debemos fctorizr el polinomio p( ) utilizndo l regl de Ruffini. Ls ríces del polinomio serán ls soluciones de l ecución. En el cso de que l fctorizr el polinomio prezc lgún fctor de segundo grdo, tendremos que hllr ls últims soluciones de l ecución resolviendo l correspondiente ecución de segundo grdo. Ecuciones de grdo superior dos Por ejemplo, resolvmos l ecución: 5 4 6 9 4 + 67 5 + = 0 Aplicmos Ruffini probndo con los divisores del término independiente: 6 9 4 67 5 6 7 40 6 7 40 0 50 46 6 5 6 0 8 6 6 7 0 Puedes comprobr que y no eisten más ríces enters. Por tnto l ecución qued de l form: ( )( )( )( ) + 6 7 + = 0 Resolviendo l ecución 6 7+ = 0 se obtiene ls dos últims ríces y soluciones de l ecución originl. 7 7 46 7 49 48 = = = 6 7 + 8 = = = 7 7 = = = 7 6 = = = Por tnto, ls soluciones de l ecución son =, =, =, =, = Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 6

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Ecuáciones irrácionáles y con lá inco gnitá en el denominádor Un ecución irrcionl es quell que present l incógnit bjo el signo de un ríz. Hbitulmente, este nivel, l incógnit precerá bjo un ríz cudrd. El procedimiento pr resolver un ecución irrcionl es el siguiente:. Aislmos el rdicl (islr signific dejrlo solo en uno de los dos miembros de l iguldd).. Elevmos los dos miembros l cudrdo.. Se resuelve l ecución resultnte. 4. Se compruebn los vlores obtenidos pr l incógnit en l ecución inicil. Aquellos vlores que no l cumpln no serán soluciones. En este cso l ecución puede tomr spectos muy distintos, pero, como su nombre indic, l incógnit siempre prece en el denomindor. El procedimiento pr resolverls es el mismo que se utiliz en ls de primer o segundo grdo pr conseguir su epresión reducid. Normlmente se multiplicn todos los términos por el mínimo común múltiplo (mcm) de los denomindores pr eliminr los mismos y se resuelve l ecución resultnte, que h de doptr lgun de ls forms vists quí hst hor. Ecuciones irrcionles Resolver: 5 + = Aislmos el rdicl: 5 = Elevmos los dos miembros l cudrdo: ( ) 5 5 = = + 5 = 4 + 0 = 6 8 + 4 0+ 6 = 0 Ahor resolvemos l ecución resultnte, en este cso de º grdo: 0 0 46 0 400 44 = = = 0 56 0 6 = 8 = = = = Comprobmos los vlores obtenidos pr en l ecución originl: Pr = 8: 8 8 5 + = 49 + 9 = 7 + 9 = 6 Pr = : 5 + = + = + = Por tnto, solo Debemos descrtr l solución = 8. Ecuciones con l incógnit en el denomindor Resolver: = es solución válid, y que cumple l ecución. 9 + = + + El mcm de los denomindores es ( )( ) + +. Multiplicndo por el mismo todos los términos de l ecución se eliminn los denomindores y tenemos: ( + ) + ( + ) = ( + )( + ) 9 Desrrollmos y resolvemos l ecución resultnte: + 4 + 4 + 4 = 9 + + 6 + 8 = 9 + 7 + 8 + + = 9 0 0 490 44 60 = = = 9 8 = = 8 9 8 = = = 8 8 0 5 = = 8 Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 7

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Sistemás de dos ecuáciones lineáles y no lineáles con dos inco gnitás Un sistem de dos ecuciones lineles con dos incógnits se puede trnsform l form reducid siguiente: + b y = c + b y = c donde, b, c,, b, c son números reles y, y son ls incógnits que hemos de despejr. Es de sobr conocido que eisten tres métodos pr resolver este tipo de sistems: sustitución, igulción y reducción. Se puede optr por resolver el sistem por el método que se cre más decudo en cd cso. Eso sí, es conveniente epresr previmente el sistem en su form reducid eliminndo préntesis y denomindores de mbs ecuciones. En este cso lgun de ls ecuciones no es linel, es decir, l o ls incógnits pueden ir elevds un eponente myor o igul que dos, precer bjo el signo rdicl o encontrrse en el denomindor de un frcción. Este tipo de sistems se resuelven con much frecuenci plicndo el método de sustitución, unque hy ocsiones en que se pueden plicr culquier de los otros dos métodos. Si se opt por el método de sustitución el procedimiento más hbitul es el siguiente:. Despejmos l incógnit que consideremos más fácil de islr en l ecución más sencill.. Sustituimos est incógnit en l otr ecución.. Resolvemos l ecución que nos quede, encontrndo el vlor o vlores de un de ls incógnits. 4. Encontrmos l otr incógnit prtir de l epresión que hemos hlldo en el primer pso. Sistems de dos ecuciones lineles con dos incógnits Resolver el sistem y + 4y = ( y+ ) = 6 Eliminmos préntesis y denomindores, y epresmos el sistem en su form reducid: y + y = 0y = 4( y + ) 9 = 8y + 4 9 = 0y= 5 8y = Lo resolveremos por reducción. Multiplicmos l primer ecución por y l segund ecución por : 5 50y= 65 5 4y = 9 6 Sumndo mbs tenemos: 74y = 6 y = = 74 7 Si multiplicmos l primer por 8 y l segund por 0 podemos despejr l incógnit : 5 Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 8 4+ 80y= 04 50 80y = 0 4 7 Sumndo mbs ecuciones: 74 = 4 = = 74 7 Sistems de dos ecuciones no lineles con dos incógnits y = 5 Resolver el sistem + y 4 y 0 = 0 En este cso es muy fácil despejr en l primer ecución: = y 5 Sustituimos este vlor en l segund ecución, desrrollmos y resolvemos l ecución que nos quede: y 5 + y 4 y 5 y 0 = 0 4y 0y + 5 + y 8y + 0 y 0 = 0 + = + = 5y 0y 5 0 y 6y 5 0 Ls soluciones de est últim ecución de º grdo son: y = 5, y = Encontrmos hor ls soluciones pr epresión = y 5: y = 5 = 5 5 = 5 y = = = 5 sustituyendo en l

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Inecuáciones de primer grádo y de segundo grádo L form reducid de un inecución de primer grdo con un incógnit es un desiguldd de uno de los siguientes cutro tipos: ; b ; b ; donde y b son números reles con. b b 0 Pr resolver l inecución despejmos l incógnit, tl y como se hce l resolver un ecución de primer grdo, teniendo en cuent, l despejr finlmente l incógnit, (y esto es muy importnte), que si cmbi el sentido de l desiguldd. Por ejemplo, si l reducir l inecución inicil nos qued 0 b con 0 entonces l solución de l inecución es b A veces se pide que se dé l solución de l inecución en form gráfic o de intervlo. L form reducid de un inecución de segundo grdo con un incógnit es un desiguldd de uno de los siguientes cutro tipos: + b + c 0 ; + b + c 0 ; + b + c 0 ; + b + c 0 L resolución de inecuciones de segundo grdo está relciond con el número de ríces del polinomio + b + c Si el polinomio tiene dos ríces, digmos r y r, entonces fctorizrá de l form ( )( ) r r Ahor es necesrio estudir el signo de cd uno de los fctores (incluido el coeficiente ) y del producto de r r ellos. Si, por ejemplo,, entonces l rect rel l podemos dividir en tres trozos: (, r ) ; (, ) r r ; ( r + ) Tomndo un vlor fijo, pero rbitrrio, de cd intervlo podemos estudir el signo del producto y decidir si se cumple l desiguldd dd o no. Si se cumple, el intervlo correspondiente será solución, si no se cumple no lo será. Si el polinomio no tiene ríces reles no se podrá fctorizr, con lo que ls solución será todo, si un número rel culquier cumple l desiguldd; o l inecución no tendrá solución, en cso contrrio., Inecuciones de primer grdo. Resolver l inecución: 4 + 4 Eliminmos denomindores multiplicndo todos los términos por el mcm de los mismos, que es 6 : ( ) ( ) ( ) 4 + 4 8 + + 8 8 + 4 6 Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 9 Ahor, pr despejr, hemos de dividir los dos miembros de l desiguldd entre 4, que es menor que cero, con lo que cmbirá el sentido de l desiguldd: 6 4 L solución, en form de intervlo, es Inecuciones de segundo grdo Resolver l inecución:, + 9 4 5 5 En primer lugr eliminmos lo denomindores multiplicndo todos los términos por 5, que es el mcm de los mismos: ( ) ( ) 9 4 5 7 + 4 5 0 Ahor psmos todos los términos l primer miembro y escribimos l inecución en su form reducid: Ls ríces del polinomio Por tnto l inecución equivlente sí: + 0 8 0 + 5 4 0 + 5 4 son 7 y ( compruébese!) + 5 4 0 se puede escribir de form ( )( ) + 7 0 Ls ríces dividen l rect rel en tres trozos: (, 7) ; ( 7, ) ; (,+ ) Si sustituimos un vlor culquier k del primer intervlo se puede precir que ( k+ 7)( k ) 0. Del mismo modo si k y k son vlores del segundo y tercer intervlo respectivmente se tiene que ( k + 7)( k ) 0 y que ( k + 7)( k ) 0. Así pues l solución de l inecución es el intervlo 7,. Se cierr porque l desiguldd no es estrict y ls soluciones de l ecución + 5 4 = 0 tmbién son soluciones de l inecución.

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Inecuáciones de grádo superior á dos. Inecuáciones rácionáles Un inecución de grdo superior dos con un incógnit se just un desiguldd de uno de los siguientes cutro tipos: p ; p 0 ; p 0 ; p 0 donde 0 p es un polinomio de grdo myor que dos. El procedimiento pr resolver inecuciones de grdo superior dos es ectmente el mismo que pr resolver inecuciones de segundo grdo, solmente que hemos de ñdir tntos fctores como ríces del polinomio encontremos. L ide vuelve consistir en el estudio del signo de los intervlos en los que se divide l rect rel y cuyos etremos son ls ríces del polinomio. El producto de los signos nos drá l clve pr conocer si se stisfce o no l desiguldd. L form reducid de un inecución rcionl con un incógnit h de justrse uno de los cutro tipos siguientes: p 0 q p ; 0 q p ; 0 q p ; 0 q p donde p( ) y q( ) son polinomios, es decir, q un frcción lgebric. Pr resolver un inecución rcionl se psn todos los términos l primer miembro y se reliz l operción con ls frcciones lgebrics que prezcn pr, de este, modo, obtener l form reducid de l inecución. Un vez hecho esto se fctorizn los polinomios p( ) y q( ), y se procede como en el cso de ls inecuciones de segundo grdo y de grdo superior dos. Inecuciones de grdo superior dos Resolver l inecución + 4 + 0 0 Aplicndo l regl de Ruffini, encontrmos que ls ríces del polinomio + 4 + 0 son, de menor myor,,, y con lo que l inecución se puede epresr sí: ( )( )( ) + 0 Ls ríces determinn los siguientes intervlos de l rect rel: (, ), (, ), (, ),(,+ ) Ahor bst tomr un vlor de cd intervlo y estudir el signo de + : cd fctor y del producto Si k (, ) ( + )( )( ) 0 Si k (, ) ( + )( )( ) 0 Si k (, ) ( + )( )( ) 0 Si k4 (, + ) ( + )( )( ) 0 Por tnto, l solución de l inecución es (, ) (, + ). Obsérvese como, en este cso, no se cierrn los etremos, pues l desiguldd es estrict y, por tnto, no se incluyen ls ríces, o lo que es lo mismo, ls soluciones de l ecución p( ) = 0. Inecuciones rcionles es Resolver l inecución + + Psmos todos los términos l primer miembro y relizmos l operción con ls frcciones lgebrics. 0 + 0 ( + ) ( ) ( + )( ) ( ) ( + ) ( + )( ) ( + )( ) 0 0 4 + 4 0 0 ( + )( ) ( + )( ) 4 Ls ríces son:, 0,,. Los intervlos en que qued dividid l rect rel son, en este cso: 4,, 4,, (, 0), ( 0, ), (,+ ) Estudindo, como en el cso nterior, los signos pr un vlor de cd intervlo, es muy fácil concluir que l solución es: 4, 0, Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 0

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Sistemás de inecuáciones con uná inco gnitá Mtemátics I - º Bchillerto Un sistem de inecuciones con un incógnit está formdo por dos o más inecuciones, y sen de primer grdo, de segundo grdo, de grdo myor que dos o incluso rcionles. El procedimiento pr resolver un sistem de inecuciones con un incógnit consiste en clculr ls soluciones de cd inecución por seprdo y representrls en l rect rel. L solución del sistem es l solución común tods ells. Resolver el sistem de inecuciones siguiente: Resolvmos l primer inecución: de 9 5 son y 5 Como ls ríces determinn los intervlos de l rect rel epresión + ( 5) + + 9 + + 6 + 6 9 5 0. Ls ríces + 5 0.. Por tnto l inecución se puede escribir sí:,,,5 en cd uno de ellos. Obsérvese el siguiente gráfico:, ( 5,+ ), estudimos el signo de l En el gráfico se detll el signo que tom l epresión nterior en cd intervlo. El signo + quiere decir que l epresión es myor que cero y el signo quiere decir que l epresión es menor que cero Los circulitos huecos indicn que los correspondientes vlores no son soluciones (en este cso no los son porque l desiguldd es estrict, no incluye el igul). Se h indicdo con un trzo más grueso l solución de l inecución, que en este cso es, ( 5, + ). + 9 + 9 + 9 6 + Resolvmos hor l segund inecución: 0 0 0. Tnto el + + + + numerdor como el denomindor son polinomios de grdo uno y por tnto no hy que proceder relizr ningun fctorizción: clrmente ls ríces del numerdor y del denomindor son, respectivmente, y. Procedemos hor relizr un gráfico similr l relizdo nteriormente: En este cso l solución es (, ) (, + ). Pr conocer l solución del sistem superponemos mbs soluciones gráfics y nos quedmos con l prte común, que en l siguiente figur se h sombredo. De quí se deduce que l solución del sistem es, ( 5, + ). Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Ecuáciones eponenciáles Mtemátics I - º Bchillerto En un ecución eponencil l incógnit se encuentr en el eponente. No hy un procedimiento concreto pr resolverls, pero sí que es importnte conocer y plicr ls propieddes de ls potencis, de ls ríces y, en su cso, de los logritmos. Normlmente nos podemos encontrr con cutro csos. Conseguir que los dos miembros de l ecución tengn l mism bse. Aplicr un cmbio de vrible. Etrer fctor común. Aplicr logritmos. Vemos lgunos ejemplos que clren cd uno de los csos que se puedn presentr. Resolver l ecución 4 = 6 En este cso epresr todos los fctores en bse. Luego plicmos ls propieddes de ls potencis pr simplificr: m n Ahor usmos que si = m = n : Resolver l ecución 4 6 = 8 + = = = 4 4 4 5 4 6 5 = 4 5 = 6 = 5 Est ecución es más complicd, pero se procede como en el ejemplo nterior, utilizndo ls propieddes de ls potencis: / / 4 4 4 4 = = + + 5 5 5 5 / = ( ) = + 5 5 = 6 = 5 5 7 = = 7 Resolver l ecución 9 0 + 9 = 0 En este cso no podemos recurrir l método empledo nteriormente. Proponemos pues un cmbio de vrible. Pr ello llmremos =, con lo que t 9 = = 9 = t. Aplicndo el cmbio tenemos: t t t t 0 + 9 = 6 0 + 9 = 0 Resolviendo l ecución de segundo grdo obtenemos dos soluciones pr ls soluciones pr : t = = = = ; 0 t : t = t = = = = 9 9, t = 9. Deshciendo el cmbio obtenemos + Resolver l ecución = 0 En este cso vmos etrer fctor común (unque con un cmbio de vrible tmbién se podrí resolver): + = 0 = 0 6 = 0 6 = 0 5 = 0 = = + Como último ejemplo resolveremos l ecución eponencil 5 = 0 Ahor no podemos plicr ninguno de los métodos nteriores. Aplicmos logritmos teniendo en cuent sus propieddes. ( ) ( ) + + + 5 0 5 log 5 log log 5 log = = = = + log5 log5 = log + log log5 log = log5 + log log5 + log ( log5 log) = log5 + log =,77 log5 log Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Ecuáciones logárí tmicás Mtemátics I - º Bchillerto En un ecución logrítmic l incógnit está fectd por un logritmo. Al igul que ocurrí con ls ecuciones eponenciles, no hy un procedimiento concreto pr resolver un ecución logrítmic, pero debemos conocer y plicr con criterio ls propieddes de los logritmos. En generl l estrtegi pr resolver ecuciones logrítmics consiste en trnsformr l ecución hst que los dos miembros de l iguldd estén epresdos medinte el mismo logritmo y luego plicr que si log m= log n, entonces m n. Pr ello se plicn ls propieddes de los logritmos y, si lgún término es un número se epres medinte un logritmo utilizndo que k k = log. Finlmente, un vez resuelt, se deberá comprobr que l solución no provoque l eistenci de un logritmo de un número negtivo o de 0. Resolver l ecución log + = log 4 + log 5 En primer lugr, trnsformmos los números en logritmos: log + log0 = log 4 + log 5 Ahor usmos ls propieddes de los logritmos: log + log0 = log 4 + log5 log0 = log 0 Y tenemos los dos términos iguldos un mismo logritmo, por tnto: = 0 = = ( ) = = 0 0 0 0 0 0 0 Ahor comprobmos ls soluciones sustituyéndols en l ecución originl. Recuérdese que un logritmo, o bien de 0, o bien de un número negtivo no eiste. = 0 log 0 + = log 4 + log 0 = log + = log 4 + log0 Esto indic que solmente = es solución (con l clculdor se puede comprobr que primer y segundo miembro son igules). Resolver l ecución ( ) 5 + 9 log + log5 = Aplicndo ls propieddes de los logritmos tenemos: 5 + 9 5 + 9 5 + 9 log + log5 = log + log5 = log0 log 5 = log000 Y tenemos los dos términos iguldos un mismo logritmo, entonces: 5+ 9 5+ 9 5+ 9 5 = 000 = 8 = 5 + 9 = 5 + 6 = 0 Resolviendo l ecución de segundo grdo tenemos que ls soluciones son =, =. Ambs son tmbién soluciones de l ecución logrítmic inicil pues, evidentemente, l no se obtiene ningún logritmo de cero o de un número negtivo. Resolver l ecución logrítmic log + log = log5 Aplicndo de nuevo ls propieddes de los logritmos tenemos: + 0 log + log = log5 log + log = log0 log5 log = log 5 + 0 + 0 + = = = 4 + = 8 5 = = 5 5 5 Est solución es solución de l ecución logrítmic inicil pues, sustituyendo en l mism, se obtiene: 9 6 44 log + log = log 5 log log = log 5 5 5 5 5 Epresión est últim que tiene sentido pues se trt de relizr logritmos de números positivos. = Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin

Unidd. Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Mtemátics I - º Bchillerto Sistemás de ecuáciones eponenciáles y logárí tmicás Son sistems con dos incógnits formdos por ecuciones eponenciles o logrítmics o mbs. Pr resolver este tipo de sistems se utilizn los conocimientos nteriores de ls ecuciones eponenciles y logrítmics, con el objetivo de reducirlos un sistem de dos ecuciones con dos incógnits, hbitulmente no linel. Normlmente el método que se plic es el de sustitución. Vemos un pr de ejemplos. log + log y = Resuelve el sistem log = log y + Aplicmos ls propieddes de los logritmos pr obtener ecuciones no logrítmics en el sistem: log + log y = log + log y = log0 log y = log0 y = 0 log = log y + log = log y + log = log y + = y + Observ que y hemos reducido el sistem originl un sistem no linel con dos incógnits. Despejmos, por ejemplo, de l primer ecución, l incógnit y : 0 y =, y l sustituimos en l segund ecución. 0 00 4 4 = + = + = 00 + 00 = 0 Est últim es un ecución bicudrd. Efectundo el cmbio de vrible z = z, result l ecución de segundo grdo: z 00 = 0, cuys soluciones son z = 5, z = 4. L segund de ls soluciones no proporcion soluciones pr. Si z = 5, entonces tenemos dos soluciones pr : = 5, = 5. Hemos de descrtr l últim de ells pues d lugr logritmos negtivos, que no tienen sentido. 0 Finlmente, si = 5, obtenemos y = y =, que es l solución del sistem plntedo inicilmente. 5 y + = 7 Resuelve el sistem y + = 8 En este cso se trt de un sistem de ecuciones eponenciles. Si plicmos los cmbios cso un sistem linel: De l segund ecución Sustituyendo en l primer: Por tnto: + b= 7 + b = 8 = 8 b 8 b + b = 7 6 4b + b = 7 b = 9 b = = 8 = 8 6 = Ahor deshcemos los cmbios de vrible relizdos l principio: = = = y y = b = y= = y y = b nos qued en este Álgebr: polinomios, ecuciones, inecuciones y sistems Págin 4