. Reliz ls siguietes opeioes o pes uéios ) ( ) ( ) ) [ ( ) ( )] ½ ( ) 6 ( ) ) ( ) ( ) (6 ) ( ) ) (x y) (x y) ( ) ( ) Soluió. 6. ( ) ( ) ( 6 ( ) ) ( 9 7). [ ( ) ( )] ½ ( ) 6 ( ) ( ) ( ) (6 ) ( 6) ( ). ( ) ( ) (6 ) ( ) (6 ) ( ) ( 6) ( ) (6() 6) (9 ). (x y) (x y) ( ) ( ) (x 6y) (6x y) ( ) (9 6) (x 6x 9 6y y () (9)) (x 9 y 7). Hll x e y p que se upl ls siguietes igules ) (x y) ( ) ) ( y) 6 (x x y) Soluió.. Po igul e pes uéios (x y) x x (x 6y) 6y y 6. ( y) 6 (x x y) ( y) (6x 6x 6y) 6y y 7 y 6x 6y x y x 6 7. Se ABCD u uo N el puto eio el lo AD y O el eto el uo. Rzo si ls siguietes pejs e vetoes tiee el iso óulo ieió y setio. ) AN BC Soluió.. BC ) AN NO ) AO CA ) AN ND AN Igul ieió igul setio ifeete óulo ( BC AN ). AN NO Distit ieió igul oulo.. CA AO Igul ieió setio opuesto ifeete óulo ( CA AO ) AN ND Igul ieió igul setio igul óulo
. Se ABCD u plelogo y O su eto. Rzo si ls siguietes pejs e vetoes so equipoletes. ) AB CD ) BA CD ) AB AD ) AO OC Soluió. P que os vetoes se equipoletes ee tee igul óulo ieió y setio.. AB CD No so equipoletes. Distito setio.. BA CD Si so equipoletes.. AB AD No so equipoletes. Distit ieió.. AO OC Si so equipoletes.. Se ABC u tiágulo. Si u {AB} y v {AC) epeset ) u v ) v u ) v ) u Soluió. L soluió se otiee e fo gáfi. e) u v 6. stui si los vetoes AB y CD so equipoletes sieo A B C D. Soluió. Si os vetoes so equipoletes tiee igul óulo ieió y setio e efiitiv so IGUALS. L elió e equipolei es u elió e igul. u v u v u v AB CD ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) AB CD Vetoes equipoletes.
7. Deost que el uiláteo e véties A B(9 ) C( ) y D(7 6) es u plelogo. Soluió. Si uto putos fo u plelogo ete ellos ee e existi pjes e vetoes equipoletes (igul óulo ieió y setio es ei vetoes plelos e igul óulo y setio). P he este ejeiio y puesto que o os el oe e los putos es oveiete epeset los putos e uos ejes ooeos p poe estlee los posiles vetoes equipoletes. Se puee esoge vis pejs e vetoes p opo si los uto putos fo u plelogo seleioos AD y BC. AD BC AD BC Fo u plelogo ( 7 6) ( ) ( 7 6 ) ( ) ( ) ( 9 ) ( 9 ) ( ) AD BC quipoletes. Clul A p que los vetoes AB y CD se equipoletes sieo B C y D. Soluió. Sí AB CD AB CD. Supogos que el puto tiee po ooes ( ) AB ( ) ( ) ( ) CD ( ( ) ) ( ) Igulo po opoetes se espej ls ooes e A. ª A ª 9. Se A B C. Detei D p que ABCD se u plelogo. Hll l logitu e BC Soluió. Si uto putos fo u plelogo es poque ete ellos se puee estlee pejs e vetoes equipoletes. Pesolve el pole eeos tee el oe e los putos eto el plelogo (ABCD). Osevo l figu se puee estlee que los vetoes AB y DC so equipoletes es ei igules ( AB DC ). Si supoeos que el puto D tiee po ooes ( ) AB ( ) ( ) DC ( ) ( ) Igulo po opoetes se espej ls ooes e A. ª A ª ( ) ( ). stui l epeei liel e los siguietes ojutos e vetoes ) { ( 6)} ) {} ) {} ) { ( 7)} Soluió. U ojuto e vetoes es lielete epeiete si existe úeos o toos ulos que peite plte u oiió liel ete ellos uyo esulto se el veto ulos. el so e
vetoes e R el áxio úeo e vetoes lielete iepeietes es os y os vetoes seá lielete epeietes si so popoioles. Si u y v so lielete epeietes se upliá β αu βv α u βv u v u v α u v u v ( u u ) ( v v ) u v v u. { ( 6)} Lielete epeietes. 6. {} Lielete iepeietes.. {} Lielete iepeietes. Bse ói { i j }.. { ( 7)} Po se ás e os lielete epeietes.. So v y w ( ) lielete epeietes? Soluió. P que os vetoes se lielete epeietes ee existi u oiió liel o tivil ete ellos que se eo. v w α α Opeo o l expesió se euest que p que os vetoes se epeietes ee se popoioles. v w α α α v w α α y α so osttes y su oiete tié lo es po tto v w v v w w v v v v v w u u v w w v w w Vetoes so lielete iepeietes. Fo u se.. Detei p que vlo e λ el veto (λ ) es lielete epeiete el veto () Soluió. P que os vetoes se lielete epeietes ee se popoioles. (λ ) k () Igulo po opoetes ª λ k ª k De ls segus opoetes se otiee el vlo e k que sustituio e ls pies opoetes peite lul λ. k λ λ
. Po que B { u u } es u se el plo vetoil sieo u y u. Soluió. P que u suojuto e vetoes se se e u ojuto e vetoes ee upli os oiioes i. Dee se u siste geeo es ei los vetoes que fo l se ee se pes e gee ulquie veto el ojuto eite oiió liel ii. Los vetoes que fo l se ee se lielete iepeietes. i. P eost que u suojuto e vetoes { u u } es u siste geeo e u espio vetoil (V ) hy que expes los oefiietes e l oiió liel (α α ) e fuió e ls opoetes e u veto geéio ( v ( x y) ) el espio vetoil (V ). v αu α u x α α ( x y) α( ) α y α Hy que espej α y α e fuió e x e y α α x x y α y x α α y { u u } es u siste geeo e V ulquie veto (x y) e V se puee expes oo oiió liel e u y u sieo los oefiietes e l oiió liel α α x y y ii. Po ttse e vetoes e V si o so popoioles seá lielete iepeietes. u( ) k u Lielete iepeietes. u y u fo u se e V.. Po que B { v v } es u se el plo vetoil sieo v y v. so fitivo expes e fuió e l se. Soluió. P que u suojuto e os vetoes se u se e V ee upli os oiioes ª Dee fo u siste geeo e V. (x y) V ee existi os úeos eles α y α que peite expeslo oo oiió liel e los vetoes que fo el siste geeo. (x y) α α otiee α Igulo po opoetes hy que espej α y α e fuió e x e y. x α α y α α Resolvieo po sustituió Despejo e l pie euió α y sustituyeo e l ª se α x α x y y ( x α ) α α Cooio α se lul α. x y x y α x Culquie veto (x y) e V puee se geeo eite oiió liel po los vetoes v y v sieo los oefiietes e l oiió
x y α α x y º Los vetoes ee se lielete iepeietes. V si os vetoes o so popoioles so lielete iepeietes. v( ) k v v y v fo u se e V. P expes e fuió e l se stá o sustitui ls opoetes e e ls expesioes e α y α. α α v v. So lielete epeiete los vetoes u () u () y u ()? so fitivo esii u oo oiió liel e u y u. Soluió. el ojuto e vetoes el plo (V ) el áxio úeo e vetoes lielete iepeietes es os po lo tto tes vetoes seá lielete epeietes. u ojuto e vetoes lielete epeietes uo e ellos puee expesse oo oiió liel e los eás o l úi oiió e que su oefiiete e l oiió liel o se eo. u x u y u Sustituyeo po sus opoetes e igulo se otiee u siste e os euioes o os iógits. x y Soluió. ª x y ª x y Re solvieo u u u x y 6. xpes ( ) oo oiió liel e v y w ( ) α v β w ª Copoete α β ( ) α ( ) β( ) ª Copoete α β Resolvieo el siste se otiee los oefiietes e l oiió liel. α β 7 7 l veto se puee expes oo. v w ó v w 7 7 7 7. Copo que los vetoes y fo u se e V. Hll ls ooes el veto e ih se. Soluió. el plo (R ) el áxio úeo e vetoes lielete iepeietes es os po lo tto tes vetoes seá lielete epeietes. Igulo po opoetes ( ) α( ) β( ) ( α β α β). 6
( ) ( α β α β) α β α β Resolvieo el siste se lul los vloes e α y β. α β β α α α 7α α β α β ( ) ( ). Se A() B(). Detei u puto ' p que A ' BA. Soluió. Si (x y ) A' ' ( x' y' ) BA ( ) ( ) Sustituyeo e l igul A' BA ( x' y' ) ( ) igulo po opoetes x' x' A ' BA ( x' y' ) ( ) ' y' ( ) y' 9. eite el álulo vetoil hll el puto eio el segeto AB sieo A() y B(). Soluió. Si es el puto eio e AB se ee upli l siguiete elió siple AB A P estlee l elió siple hy que fijse tié e los setios e ls vetoes. Si y so ls ooes el puto AB ( ( ) ) ( 7) A ( ( ) ) ( ) Igulo po opoetes e espej ls ooes e. ª ( ) ª 7 ( ) ( 7) ( ). Hll ls ooes e u puto N tl que AN NB sieo A() y B() Soluió. Se y ls ooes el puto N. AN ( ) NB ( ) Sustituyeo e l igul ( ) ( ) ( ) ( ) Igulo po opoetes 7
ª ª ( ) ( ) N. Se el veto e opoetes () sieo que tiee po exteo el puto Q() lul ls ooes el oige el veto. Cul es el óulo el veto. Si (/) hll x p que el veto x Soluió. Se PQ u epesette el veto os pie lul ls ooes e P. PQ q p ( ) ( ) ( p ) p Igulo po opoetes ª p p P ª p p óulo e ( ) P que se upl l igul x se ee upli po opoetes ª x ( ) x ( ) x ª x. eite el álulo vetoil opo sí está lieos los putos A() B() y C(6). Soluió. P que tes putos esté lieos los vetoes que se fo ete ellos ee se popoioles. AB k AC AB ( ) AC 6 ( ) k ( ) ( ) ( ) ( ) ª k k ª k k No existe igú vlo e k que veifique ls os igules. Los putos o está lieos
9. Clul ls ooes e los véties e u tiágulo sieo que los putos eios e sus los so N y P. Soluió. Aplio l efiiió e puto eio se otiee os sistes e tes euioes o tes iógits u siste po opoete. puto eio e AB N puto eio e N BC P puto eio e P AC Co ls pie opoetes se otiee u siste y o ls segus oto. P l esoluió el siste eoieo el étoo e Guss. { } tiz soi { } 6 6 { { } tiz soi { } Soluió A B ; C (6 )
. De u plelogo se ooe los véties oseutivos A(9) B(76). Clul ls ooes e los putos C y D sí el eto el plelogo es (). Soluió. Coois ls ooes e A B y y plio l efiiió e puto eio los segetos AC y BD se lul ls ooes e C y D. puto eio e AC C 9 puto eio e BD 7 D 6 7. Hll p que los putos A() B() y C(7) esté lieos p el vlo e lulo estui l posiió eltiv e los putos. Soluió. Si tes putos está lieos los vetoes foos ete ellos ee se popoioles. AC AB 7 AC AB De l segu opoete se espej o este vlo e l pie opoete se espej. 6 Posiió eltiv. Co los vetoes o oige oú AC AB l posiió eltiv se estui e fuió el vlo e. Si < los vetoes tiee istito setio el oige e os (A) est ete los otos os putos (B y C) Si > AB es e yo logitu que AC C está ete A y B. Si < < AC es e yo logitu que AB B está ete A y C. este so < A está ete B y C
6. Clul ls ooes e los putos que ivie l segeto PQ e tes ptes igules sieo A() y B(). Soluió. P lul y N se estlee elioes siples e ls que há que tee e uet ls logitues y los setios e los vetoes. Clulo e A AB Igulo po opoetes ª ª Clulo e N NB AB Igulo po opoetes 9 N 9 ª ª