GUÍA Nº Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 UNIDAD Nº : ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL ) Idique cuáles de las siguietes expesioes so poposicioes: a) Cuidado! b) Todos los paalelogamos so cuadiláteos. c) Qué haces? d) 7 es u úmeo pimo e) Aistóteles fue uo de los filósofos más gades de la atigüedad. 2) Dadas las siguietes poposicioes: a) Si se hace pasa u ácido po papel toasol, éste se vuelve ojo. b) Si la madea fuea u metal, etoces seía maleable. c) Sócates es giego y filósofo. d) No es cieto que, u tiágulo sea isósceles y que los águlos adyacetes a la base sea distitos. e) O, el átomo es divisible y elécticamete euto, o la velocidad es popocioal al tiempo e el MRU. f) Ua poposició es vedadea o falsa. g) Agetia seá u país desaollado si y solo sí, se alcaza el ivel ecesaio e educació. h) 2 + 2 = 4 si y solo si 4 2 = 2, y 2 + 3 = 5 si y solo si 5 3 = 2. i) El aviado tuvo dificultades peo logo ateiza a salvo. j) E los días feiados el ceto de la ciudad pemaece desieto. i) Señale co ua C las poposicioes compuestas y co ua S las poposicioes simples. ii) E cada poposició compuesta señale el coectivo lógico utilizado y la opeació asociada. iii) Taduzca cada ua de ellas al leguaje lógico. 3) Dadas las siguietes poposicioes simples: p : 5 es diviso de 20 q : 2 es acioal : La poteciació es distibutiva especto a la adició. s : a 2 2 a 3 + 3 es u poliomio de 3º gado i) Itepete e leguaje coloquial (leguaje coiete) las siguietes fómulas. a) q p b) p q s c) ( q ) ~ p d) [( ~ q s) ~ p] ~ ii) De acuedo al valo de vedad de cada ua de las poposicioes simples detemie el valo de vedad paa las fómulas del ítem ateio. 4) Coloque paétesis (si fuea ecesaio) paa que la fómula lógica coespoda a la poposició que se idica e cada caso. a) Codicioal p q s b) Cojució p q s c) Negació ~ p q d) Disyució p q e) Bicodicioal p q FCEyT UNSE
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 5) Dé ejemplos de sustitució de las siguietes fómulas poposicioales. Ej: p ~ q Fuimos al zoológico, peo o vimos a los osos. a) ~ q p b) ( p q) c) p q d) ( ~ p q) e) p ~ q f) ~ (p ~ q) 6) i) Detemie el valo de vedad de q paa que las siguietes poposicioes sea vedadeas, sabiedo que p y so y F espectivamete. a) ( p q) b) ( p q) ( p q) ii) p q es, idique el valo de: a) p ~ q b) ~ (~ q p) c) ~ p q iii) Si (p q) ~ es F, que valo de vedad tiee: a) ~ p ~ q p b) p ~ q c) ~ p ~ q 7) i) Dadas las siguietes fómulas, detemie si so tautológicas, cotadictoias o cotigetes: a) p q p q b) ( ~ q ~ p) ( p ~ q) c) p q q p ii) Detemie si las siguietes fómulas poposicioales coespode a ua tautología, cotigecia o cotadicció. a) Si o estudias, o apobaás. Si estudias te pemiaá. Po lo tato, si apuebas te pemiaá. b) Si estoy e Códoba, o estoy e Tucumá y si estoy e Tucumá o estoy e Códoba. Po lo tato, o se da el caso e que este e Códoba y Tucumá. 8) Dadas las siguietes fómulas: a) ~ p ( ) p q ~ ( s) c) p ( ~ q ) d) p ~ (q ~ p) q b) [ ] Diga si es posible detemia su valo de vedad paa: * p vedadeo * p falso * p vedadeo y q falso * p falso y q falso * p vedadeo y q vedadeo * p falso y q vedadeo 9) E los siguietes euciados detemie la codició ecesaia y/o la codició suficiete. a) Si sigue el mal tiempo, o habá patido de fútbol. b) Este mes se iiciaá la oba, si los aquitectos etega los poyectos y se apueba el pesupuesto. c) Es ecesaio iscibise e la F.C.E.yT. paa cusa Álgeba y Geometía Aalítica. d) Solo si apuebo los paciales, egulaizo la mateia. 0) Dadas las siguietes poposicioes: a) Si u úmeo es eteo, es acioal. b) Si el atecedete es y el cosecuete es F, la implicació es F. c) Si la disyució de dos poposicioes es vedadea etoces ambas so vedadeas o ua de ellas es vedadea. i) Expéselas e leguaje simbólico empleado las poposicioes simples que la compoe. FCEyT UNSE 2
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 ii) Fomule simbólicamete y e leguaje coloquial las implicacioes asociadas a las dadas. iii) Niegue las expesioes ateioes y taduzca al leguaje coloquial. ) eifique las siguietes equivalecias: a) p (q ) p q b) p q p ~ q c) La egació de la cojució de dos poposicioes es igual a la disyució de las egacioes. 2) De las siguietes expesioes, idique cuáles so fomas poposicioales y cuáles so poposicioes. a) Alguos úmeos so pimos. b) x es diviso de 3. c) y es u úmeo impa. d) Pedo es aquitecto. 3) Si A = {,2, 3,4,5 }, detemie si las poposicioes so (vedadeas) o F (falsas) a) x A / x + 3= 0 b) x A : x + 3< 0 c) x A / x + 3= 5 d) x A : x + 3 7 4) Sea p ( x) : x es u úmeo eteo, q( x) : x es u úmeo acioal, esciba e leguaje coloquial. E todos los casos U = IR x : ~q x x :( p x q x ) a) ( ) b) ( ) ( ) c) x : p ( x) d) x : p ( x ) x: ~ q( x) e) x :~ p ( x ) x: q ( x) f) ~ x:p ( x) 5) Niegue las siguietes poposicioes cuatificadas. a) x: p( x) ~ q( x) b) y / ~ p( y) q( y) c) t / p( t) q( t) d) x / ( x > 2 x 9) x = 0 6) Usado cuatificadoes e cada ua de las siguietes poposicioes, abstaiga la foma lógica, iegue la expesió cuatificada y taduzca al leguaje coiete. a) Hay estudiates bueos y esposables. U ={ x / x es estudiate} b) Nigú pez vive fuea del agua. U = { x / x es pez} c) Todos los úmeos iacioales so eales. U = IR d) Alguos úmeos atuales paes so múltiplos de 3. U = IR e) No todos los úmeos so positivos U = IR 7) Recuecia o Picipio de Iducció Completa. i) Usado el símbolo de Σ, abevie las siguietes sumas. a) x + x2 +... + x9 = b) 2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 = c) + 3 + 5 + 7 + 9 = d) + 4 + 9 + 6 + 25 + 36 = ii) Dadas las siguietes sumas; Desaóllelas Idique el tece témio de las mismas. FCEyT UNSE 3
Calcule 5 3 = a) 3 2 b) 5 = 4 = Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 iii) Usado el P.I.C. puebe la validez de las siguietes poposicioes paa cualquie atual. a) + 3 + 5 +.. + (2-) = 2 ; b) + a + a 2 +. + a - a = a ( + ) c) p( ) : i = 2 i d) p( ) : 3 = (3 ) 2 e) p ( ) : = 2 i i 2 2 = FCEyT UNSE 4
Ejecicios Resueltos Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 ) Sabiedo que p es y es F, detemie el valo de vedad de q y s paa que la p q s sea. poposició ( ) ( ) Solució: Dada la poposició ( p q) ( s), como es la cojució de las poposicioes p q y s, y es edadea po hipótesis, etoces la úica posibilidad es que ambas poposicioes sea edadeas, es deci: p q s ( ) ( ) Luego: Paa que el codicioal p q sea edadeo siedo el valo de vedad de p edadeo, q debe se edadeo (ya que si q es Falso haía el codicioal Falso). p q Paa que el bicodicioal s sea edadeo siedo el valo de vedad de Falso, s debe se Falso (ya que si s es edadeo el bicodicioal seía Falso). s F F Etoces: ( p q) ( s) F F El valo de vedad de q es edadeo y s es Falso. 2) El siguiete euciado es edadeo. Detemie e él la codició ecesaia y la codició suficiete: Si u N a es múltiplo de oto b etoces la divisió ete a y b es exacta Solució: Las poposicioes simples que la compoe so: p: U N a es múltiplo de oto b q: La divisió ete a y b es exacta Su Foma Lógica es: p q - Si sabemos que p q es edadeo y p es edadeo, q tambié debe se edadeo, e cambio si p es Falso ada podemos deci de q poque puede se edadeo o Falso. O sea que es suficiete sabe que p es edadeo paa que q lo sea. Etoces: Es codició suficiete que u N a sea múltiplo de oto b paa que la divisió ete a y b sea exacta. - Si sabemos que p q es edadeo y si q es edadeo etoces p puede se edadeo o Falso, peo paa que p sea edadeo es ecesaio que q lo sea. O sea que q es codició ecesaia paa p. Etoces: FCEyT UNSE 5
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 Es codició ecesaia que la divisió ete a y b sea exacta paa que el N a sea múltiplo de b. 3) Dada la siguiete poposició: Si me buscas e el auto etoces llegaemos tempao y podemos ve todo el patido a) Expésela e leguaje simbólico empleado las poposicioes simples que la compoe. b) Fomule simbólicamete y e leguaje coloquial las implicacioes asociadas a la dada. Solució: a) Las poposicioes simples que la compoe so: : Me buscas e el auto s: Llegaemos tempao t: Podemos ve todo el patido Po lo tato el codicioal dado se expesa e leguaje simbólico o foma lógica: s t que llamaemos diecto b) Recodemos que: Dado el codicioal p q, que llamaemos diecto, e elació co él se peseta otos tes codicioales Recípoco: q p Cotaio: p q Cotaecípoco: q p Paa uesto ejemplo Recípoco: s t Expesado e leguaje coloquial es: Si llegamos tempao y pudimos ve todo el patido etoces me buscaste e el auto s t s t Cotaio: ( ) ) Expesado e leguaje coloquial es: Si o me buscas e el auto etoces o llegaemos tempao o o podemos ve todo el patido Cotaecípoco: ( ) ) s t s t Expesado e leguaje coloquial es: Si o llegamos tempao o o podemos ve todo el patido etoces o me buscaste e el auto Nota: E ) se aplica la Ley de Moga: La egació de ua cojució es coguete a la disyució de las poposicioes egadas 4) Usado cuatificadoes e la siguiete poposició, abstaiga la foma lógica, iegue la expesió cuatificada y taduzca al leguaje coiete. Alguas pesoas espodieo a la ecuesta y se mostao iteesadas U = {x / x es ua pesoa} Solució: Ua fómula poposicioal es ua expesió que cotiee ua idetemiada y que se coviete e ua poposició cuado se sustituye la idetemiada po uo o mas ombes. Las fomas poposicioales e la idetemiada x se deota co p(x), q(x), (x). Paa las fomas poposicioales es ecesaio cosidea el cojuto uivesal o efeecial de objetos cuyos ombes habá de eemplaza a x. Dicho cojuto se deota co U. FCEyT UNSE 6
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 Paa uesto ejemplo U = {x / x es ua pesoa} y x epeseta a pesoa. Foma lógica: p(x): x espodió a la ecuesta q(x): x se mostó iteesada Ota maea de coveti ua foma poposicioal e poposició es atepoiedo u cuatificado: - Cuatificado uivesal x x : p( x) Paa todo x la poposició p(x) es vedadea o - Cuatificado existecial: x. x / p( x) Existe al meos u x tal que la poposició p(x) es vedadea Paa uesto ejemplo la Foma Lógica es: x / p( x) q( x) La egació de ua poposició cuatificada uivesalmete es ua poposició x : p( x) x / p( x) cuatificada existecialmete egado su pedicado: ( ) La egació de u poposició cuatificado existecial es ua poposició x / p( x) x / p( x) cuatificada uivesal egado su pedicado: ( ) Paa uesto ejemplo: x / p( x) q( x) x : p( x) q( x) x : p( x) q( x) Negació: [ ] [ ] ) Todas las pesoas o espodieo a la ecuesta o o se mostao iteesadas Nota: E ) se aplica la Ley de Moga: La egació de ua cojució es igual a la disyució de las poposicioes egadas 5) Picipio de Iducció Completa Puebe la validez de la siguiete poposició paa cualquie atual ( + ) p( ) : i = 2 Recodemos que: Si p() es ua poposició que depede de u úmeo atual. Si es vedadea las dos poposicioes siguiete: P() y p(h) p(h + ) h IN Etoces es edadea la poposició p() IN Solució: Pimeo veificamos si es vedadea paa igual a. Paa = ( + ) p() = i =, = etoces P() es 2 Ahoa supoemos que es vedadea paa = h, es deci: h h( h + ) p( h) = i = Llamada Hipotesis Iductiva 2 FCEyT UNSE 7
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 Ahoa debemos demosta que la pposició se veifica paa el siguiete úmeo atual, es deci paa h+ P uebo paa = h + h+ ( h + )( h + 2) p( h + ) = i = Tesis Iductiva 2 A esta igualdad debemos llega, paa ello patimos del pime miembo y mediate pasos algebaicos llegamos al segudo miembo h+ ) h ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) 2) h h + ( ) 3) h h + + 2 h + 4) h + h + 2 i = i + h + = + h + = = 2 2 2 P( ) vale IN ) Escibimos h+ 2) Reemplazamos i como la suma desde hasta h más el témio de la sumatoia que coespode a h+. h h i ( h + ) po 2 (Hipótesis Iductiva). ( + ) h h 3) Resolvemos la suma de las expesioes acioales 2 4) Sacamos facto comú h+. y ( h ) +. FCEyT UNSE 8
Ejecitació adicioal Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 ) Idique cuáles de las siguietes expesioes so poposicioes: a) Que alegía! b) Ciea la pueta c) Si mañaa o viees, voy a tu casa a la tade. d) Cauchy fue u ga matemático del siglo pasado. e) 2 + 2 = 5 si y solo si 4 + 4 = 0 2) Dadas las siguietes poposicioes: a) Si se altea las codicioes atmosféicas de la Tiea, etoces se poduciá alteacioes paalelas e los ogaismos que la habita. b) Mecuio es ua estella, peo eus es u plaeta. c) No ocue que, el movimieto de u cuepo es e la diecció de la fueza esultate. d) O se potege la floa y la faua de la zoa costea, o se quebaá el equilibio ecológico. e) La deseció escola dismiuiá si y solo sí se mejoa las codicioes de la població y se modeiza la educació. f) Ua figua es u tiágulo si y solo sí tiee tes lados. g) Sata Fe está al Note de Bs. As. o Bs. As. está al ote de Sata Fe. h) Costuyeo u dique paa cotola las buscas cecidas e pimavea. i) Señale co ua C las poposicioes compuestas y co ua S las poposicioes simples. ii) E cada poposició compuesta señale el coectivo lógico utilizado y la opeació asociada. iii) Taduzca cada ua de ellas al leguaje lógico. 3) Dadas las siguietes poposicioes simples: p : 0 es mayo que cualquie úmeo egativo q : 7 o es u úmeo pimo : 3 3 2 = 2 s : El ombo es u cuadado i) Itepete e leguaje coloquial (leguaje coiete) las siguietes fómulas. a) ( ~ p q ) ~ s b) ~ ( p q) c) ( s ~ q) d) ( p ~ q) (~ s) e) ~ p [(q ~ s) ] f) p q s g) ( p s) ~ q h) p s ~ ii) De acuedo al valo de vedad de cada ua de las poposicioes simples detemie el valo de vedad paa las fómulas del ítem ateio. 4) Sabiedo que: i) Los valoes de vedad de las poposicioes p, q,, s so espectivamete, F, F,, obtega los valoes de vedad de: a) ~ p ( s) b) p q q c) ~ ( p q) ( ~ s) d) ~ p s ii) Detemie el valo de vedad de q paa que las siguietes poposicioes sea vedadeas, sabiedo que p y so y F espectivamete. a) ( p q) p b) p ( q ) iii) p q es y q es, detemie el valo de vedad de [( p q) q] q FCEyT UNSE 9
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 iv) Si ( p q) q es F, que valo de vedad tiee: a) (p ~ q) b) p q q c) ~ p ~ q p 5) Dadas las siguietes fómulas: a) ( ~ q ) ~ p p ( ~ q ) ~ p ( q ) ( b) [ ~ q ) ~ p] p c) [ ] [ ] d) ~ [ ~ (q ) q ( s) ] ~ p Diga si es posible detemia su valo de vedad paa: * p vedadeo * p falso * p vedadeo y q falso * p falso y q falso * p vedadeo y q vedadeo * p falso y q vedadeo 6) Detemie el valo de vedad de cada fómula. a) p ( ~ p q) Cuado p es falso y q es falso. b) ( p q) ~ p Cuado p es vedadeo y q es falso. c) ( p q) (~ p q) Cuado p es falso y q es falso. d) ( ~ p ~ q) q Cuado p es vedadeo y q es falso. e) ( p ~ q) (~ p q) Cuado p es falso y q es vedadeo. 7) E los siguietes euciados detemie la codició ecesaia y/o la codició suficiete. a) Si paa la tometa, el avió llegaá esta oche. b) Si estudias, apobaás el exame. c) No podé i a buscate si llueve. d) Si es satiagueño, es agetio. 8) Dadas las siguietes poposicioes: a) Si u úmeo es pa, etoces su cuadado tambié es pa. b) Si u cuadiláteo tiee los cuato águlos ectos, etoces es ectágulo. c) Si dos ectas del plao so paalelas, sus pedietes so iguales. i) Expéselas e leguaje simbólico empleado las poposicioes simples que la compoe. ii) Fomule simbólicamete y e leguaje coloquial las implicacioes asociadas a las dadas. iii) Niegue las expesioes ateioes y taduzca al leguaje coloquial. 9) Coloque paétesis (si fuea ecesaio) paa que la fómula lógica coespoda a la poposició que se idica e cada caso. a) Negació ~ p q b) Disyució p q c) Cojució p q d) Disyució p ~ p 0) i) Dadas las siguietes fómulas, detemie si so tautológicas, cotadictoias o cotigetes: a) ( ~ p q) ~ b) ( p ) (~ q ~ s) c) p q c) [( ~ s ) p] q d) p s q e) ( p q) ( ~ q ~ p) f) p q FCEyT UNSE 0
Álgeba y Geometía Aalítica Año 20 ii) Detemie si la siguiete fómula poposicioal coespode a ua tautología, cotigecia o cotadicció. Si Pablo obtiee 6, etoces pasaa de cuso. Pablo o pasa de cuso. Po lo tato, Pablo o obtiee 6 ) eifique las siguietes equivalecias: a) p q ~ p q b) p q ~ q ~ p c) La egació de la disyució de dos poposicioes es igual a la cojució de las egacioes. 2) De las siguietes expesioes, idique cuáles so fomas poposicioales y cuáles so poposicioes. a) Todo águlo agudo mide meos de 90º. b) x es u úmeo acioal. 3) Niegue las siguietes poposicioes. a) z: p( z) q( z) b) w / p( w) q( w) c) x: ( p( x) q( x) ) d) x / x < 5 x + 2 = 7 4) Usado cuatificadoes e cada ua de las siguietes poposicioes, abstaiga la foma lógica, iegue la expesió cuatificada y taduzca al leguaje coiete. a) No todos los úmeos eales so acioales. U = IR b) Todos los cuadúpedos so mamífeos U = { x / x es cuadúpedo} c) Alguos autos so uevos U = { x / x es medio de taspote} d) Todos los múltiplos de 6 so múltiplos de 3. U = { x / x es múltiplo de 6} x / x es impa e) Hay úmeos impaes divisibles po 5. U = { } 5) Recuecia o Picipio de Iducció Completa. i) Usado el símbolo de Σ, abevie las siguietes sumas. a) x + x2 +... + x9 = b) 2 + 4 + 6 + 8 + 0 + 2 = c) + 3 + 5 + 7 + 9 = ii) Dadas las siguietes sumas; Desaóllelas Idique el tece témio de las mismas. Calcule 3 = 5 : a) 3 2 b) 5 = iii) Usado el P.I.C. puebe la validez de las siguietes expesioes paa cualquie atual. a) + 7 + 3 +. + (6-5) =.(3-2) b) p( ) : = c) i 2 2 4 = i ( ) : 5 = (5 ) 4 p FCEyT UNSE