Solucions dl capíulo Toría d conrol Hécor Lomlí y Bariz Rumbos d marzo d a x = y u = S raa d un máximo b x = + y u = S raa d un mínimo c x = 5 + y u = 5 S raa d un mínimo d x = 4 + y u = + S raa d un máximo x u con A = S raa d un máximo + = A + B 8 +, B = 8 + 8 f x = + + + 5 y u = 5 S raa d un máximo g x = 3 y u = S raa d un máximo a x = { 7 {, 4 ln, 4 ln 7 4 4, > 4 ln y u =, > 4 ln b x = 4 y u = c x = 5 y u = 3 Las raycorias ópimas son K I = A 3 + B 3 4/9 + /9
Si K 5 = s in A = 86 + 4 5, 9 5 5 B = 86 + 4 5 9 5 5 Si dja K 5 libr noncs A = 9 B = 9 4 5 5 5 + 8 5, 5 5 El quilibrio s raa d un puno silla dado qu los valors propios λ, = ± 3 d signo conrario son númros rals 4 La raycoria ópima s x = K p + K n dond 5 6 7 K = K = x = 7 y u = x = A + A + α A A + A + α A p p y u = + A + α A A + A α + B+α A A+α A p T B+α A A+α A B A + α A B+α A A A+α A + α A T A + A α T, p T B+α A A A+α A + α A T A + A α T A + α A El impo mínimo s T = 4 Las raycorias ópimas son x = + 8 y u =,
8 9 x = + A y u = y T = A Susiuyndo con las condicions inicials x = x = y las condicions d ransvrsalidad λ = λ = s obin qu las raycorias ópimas son x = x = u = Admás s raa d un mínimo La xracción ópima sa dada por { xmax, p pt x = r T, p < pt r T, xt = x max D aquí s in qu dpndindo d la raycoria dl prcio p, la mina opra a su capacidad máxima duran algunos priodos o bin dja d oprar n oros El impo ópimo s obndría a parir d o bin A = T xd T T AT A = Ȧd = xd, S in: En dond < x < K saisfac h = si x < x f x si x = x p max si x > x f x c x f x p cx = r a La raycoria ópima saisfac a = K c n dondc = si r ρ y c > si r = ρ y r + K ρ r r ρ + K = c w r r ρ 5r r ρ, K = c w r 5r 5r r ρ c w r c, 3
b El sisma sá dado por: ȧ = ra c + w, ċ = r ρc Si r > ρ s in qu l puno fijo w r, s un nodo rpulsor, si r < ρ s raa d un puno silla y si r = ρ l puno, c s ambién un nodo rpulsor Dado qu a =, a = n odo momno y c = w c Calculando l valor prsn d la rsricción prsupusal scria como w c = ȧ ar s obin : w c r d = = ȧ ra r d d d a r d = a r + lim a r = lim a r Enoncs, usando la condición d no jugo d Ponzi lim a r = rsula Por lo ano, w c r d = w r d = c r d 3 x = ax /a + co T a cos a + + co T a sin + u a 4 a ṁ = y c y u c u c y s raa d un puno silla = π + ρ u m uc El único puno fijo sa dado por c = y y b ṁ = y c y ċ = u cc [ u m + u c ρ + π] u c c, m ρ + π = u m c, m c ṁ = y c mπ y ċ = u cc [ u m +u c ρ +π] El único puno fijo sa dado por c = y m π y u c c, m ρ + π = u m c, m 5 Las gráficas d las funcions s ilusran a coninuación Para qu so nga snido, n sa par hay qu omar w = w; s dcir, l salario no s consan 4
k k k p p p I δk δk c c c 5
p p = k = p p p k k k 6 a Las raycorias ópimas dl capial y l consumo sán dadas por k = f k + T c + y ċ = u u [ρ f k] Incorporando la rsricción prsupusal T = c, la raycoria dl capial vulv a sr k = f k c b Las raycorias ópimas dl capial y l consumo sán dadas por k = + γ f k c χ y ċ = u u [ρ + γ f k] S obsrva qu la asa ral qu obsrvan los individuos sá dada por + γ f k Incorporando la rsricción prsupusal γ f k = χ, la raycoria dl capial vulv a sr: k = f k c { f k, λ c Las raycorias ópimas dl consumo y l capial sán dadas por c =, λ > y {, λ k = f k, λ > Por su par la variabl d cosado sa dscria por λ = λρ f k Los punos fijos son k, c = k, f k con f = ρ y λ 7 a ċ = c[α A µ k α ρ] y k = A µ k α c b Si ċ/c = g, noncs α A µ k α ρ = g Por lo ano, q + α α µ k = α α A y k k = µ α Por su par, ẏ = µa µ k α + α A µ k α k = y µ + α k k ẏ y = µ + α k k = µ + α µ α = µ α 6
Finalmn q µ + α c = y + k = y + k α = Aµ α A α q + α α µ q + α α = A + α A α α A α µ α α + µ µ α α q + α α A α µ α Concluimos g = ċ c = µ α = k k = ẏ y 8 a k = k α c y ċ = αck α Como ċ s posiiva l consumo crc n l impo b En l modlo usual, la condición dl consumo cambia por ċ = cαk α ρ En s caso, l consumo no aumna ncsariamn, ya qu l consumo fuuro s mnos valioso El consumo únicamn aumna cuando la asa ral s mayor a la asa d dscuno subjivo 9 a La volución dl consumo sa dscria por ċc = σ [ α G K α ρ ] b Susiuyndo con la rsricción prsupusal ] dl gobirno s obin la asa d crcimino γ = [ α α α ρ ċ c = σ c La asa d crcimino s maximiza con = α d La volución dl consumo sa dada por ċc = σ [ α G α ] K ρ y l gaso ópimo sa dado por G = kα α El consumo crc a asa consan γ = σ αα α α ρ 7