Nmbr: Curs: 1º Bachillra B Eamn XII Fcha: 11 d juni d 018 Trcra Evaluación Anción: La n plicación clara y cncisa d cada jrcici implica una pnalización dl 5% d la na 1.- ( puns) Calcula la función plinómica, d grad, d la qu s sab qu in un rm rlaiv n l pun (0, ) y qu la angn a su gráfica n l pun d abscisa 1 s la rca d cuación: y..- (1,5 puns) Un bj s lanza vricalmn hacia arriba dsd un drminad pun. La alura n mrs alcanzada al cab d sgunds, vin dada pr: 5 5 5 h a) Cuál s l dmini d la alura? b) Calcula l imp ranscurrid hasa alcanzar la alura máima y l valr d ésa. c) Tnind n cuna qu la vlcidad s la drivada d la psición, V( ) h'( ), halla la vlcidad al cab d sgunds..- (1 pun) Ayudánd dl dibuj d u izquirda, drmina a, b, c, para qu su prsión algbraica sa a d la frma: f( ) b c 1 4.- (1,5 puns) Dada la función f( ), drmina la cuación d la rca angn a la gráfica d f() n su pun d inflión. 5.- (1,5 puns) Una mprsa quir fabricar vass d crisal d frma cilíndrica cn una capacidad d 50 cnímrs cúbics. Para uilizar la mínima canidad psibl d crisal, s sudian las mdidas aprpiadas para qu la suprfici al dl vas sa mínima. Cuáls dbn sr dichas dimnsins? Jusifica la rspusa. 6.- (1,5 puns) Sa f la función dfinida pr: f( ) a) Halla las asínas d la gráfica d f. b) Drmina ls inrvals d crcimin y d dcrcimin, y ls rms lcals d f. c) Tnind n cuna ls rsulads d ls aparads anrirs, haz un sbz d la gráfica d f. sin 7.- (1 pun) Calcula: lim 0 an
1.- Calcula la función plinómica, d grad, d la qu s sab qu in un rm rlaiv n l pun (0, ) y qu la angn a su gráfica n l pun d abscisa =1 s la rca +y=. La función srá d la frma: f( ) a b c d Si calculams las ds primras drivadas: f '( ) a b c f "( ) 6a b f(0) a 0 b 0 c 0 d d Cm in un rm rlaiv n (0,) f '(0) 0 a 0 b c 0 c 0 Cm la rca angn n l pun =1 s y=- y la pndin m=-1 f a b a b '(1) 1 1 1 0 1 1 Admás, la cuación d la rca angn s: y y m y n l pun =1: y y 1 1 y y 1 y (1 y ) Pr an, cmparand ambas: y y (1 y ) (1 y ) y 1 Y pr an: f a b c d a b c d (1) 1 1 1 Si agrupams las cuacins: d c 0 a b 1 a b 1 a 1 a b 1 a b 0 a b 0 b 1 a b c d Pr an, a=-1, b=1, c=0 y d= y nncs la función: f ( ).- Un bj s lanza vricalmn hacia arriba dsd un drminad pun. La alura n mrs alcanzada al cab d sgunds, vin dada pr: 5 5 5 h a) Cuál s l dmini d la alura? b) Calcula l imp ranscurrid hasa alcanzar la alura máima y l valr d ésa. c) Tnind n cuna qu la vlcidad s la drivada d la psición, V( ) h'( ), halla la vlcidad al cab d sgunds. a) Sabms qu l imp n s ngaiv, así qu 0, y admás sabms qu la alura ampc pud sr ngaiva: h 5 5 5 0 Cm igualar a cr da una cuación un pc raña: 5 5 5 0 1 0 Tanams un pc cn la calculadra: 5 5 h0 5 5 0 h(1) 5 5 0,68 h(0,8) 5 4 0,0095 1,6 Así qu l dmini s [0, 0,8) aprimadamn.
b) Para ncnrar la alura máima, vams a drivar la función alura y la vams a igualar a cr. h' 5 10 h' 0 5 10 0 ln 0,5 sg Pr an, la alura máima s cnsigu n =0,5 sg, y ésa srá: 1 Así qu la alura máima s 77 cnímrs. c) La vlcidad al cab d ds sgunds s: 0,5 h 0, 5 5 5 0, 5 5 0,77m 10 V() h'() 5 4,81 m s 4 Aunqu n in ningún snid pus qu a ls ds sgunds l curp ya ha caíd. 1 N s pud calcular la vlcidad n un pun qu n prnc al dmini. a.- Drmina a, b, c, para qu la curva a la siguin: f( ) b c Cm la función in grad n l dnminadr, las raícs cincidn cn las asínas vricals d la gráfica: Así qu b= y c=. 1 0 0 Y si ns fijams n la gráfica, sabms qu f(0)=-1, pr an: a a a f( ) f( ) f(0) 1 b c 0 0 a Y la función srá: f( ) 1 4.- Dada la función f( ), drmina la cuación d la rca angn a la gráfica d f() n su pun d inflión. Primr calculams l pun d inflión, y para ll ns ayudarms d la sgunda drivada: 1 ( 1) f( ) f '( ) f '( ) f "( ) 1 1 Igualams a cr: 1 1 f "( ) f "( ) 0 0 1 Pr l qu su pun d inflión sá n =1. Y la rca angn srá: y f( ) f '( ) Calculams: Pr an, la rca angn srá: 1 f(1) y f '(1) 1 y f(1) f '(1) 1 y 1 y
5.- Una mprsa quir fabricar vass d crisal d frma cilíndrica cn una capacidad d 50 cm. Para uilizar la mínima canidad psibl d crisal, s sudian las mdidas aprpiadas para qu la suprfici al dl vas sa mínima. Cuáls dbn sr dichas dimnsins? Si ns fijams n l dibuj, l ára d un vas d crisal cn frma cilíndrica vin dada pr: A( r, h) r r h Cm la función ára dpnd d ds variabls, nms qu buscar una rlación nr las variabls, para pdr djarla n función d una sla d llas. Cm sabms qu l vlumn s d 50 cm, y admás sabms qu l vlumn d un cilindr vin dad pr la prsión: V R h, nncs: cil 50 Vcil 50 R h 50 h R Eprsams ahra la función ára n función d una sla variabl: A( r, h) r r h A( r) r r 50 500 r 500 r 500 r A( r) r r r r Drivams la función ára: E igualams a cr: r 500 r r 500 r 500 A( r) A'( r) r r r r 500 500 50 A'( r) 0 0 r 500 0 r 4, cm r 50 Y d aquí: h 4, cm Falaría cmprbar qu s mínim, y para ll vms l sign d A (4,): 4, r 500 6 r r r r 500 r 1000 A'( r) A"( r) A"(4,) 0 4 r r r Así qu las dimnsins dl cilindr sn: 4, cm d al y 4, cm d radi. 6.- Sa f la función dfinida pr: f( ) a) Halla las asínas d la gráfica d f. b) Drmina ls inrvals d crcimin y d dcrcimin, y ls rms lcals d f. c) Tnind n cuna ls rsulads d ls aparads anrirs, haz un sbz d la gráfica d f. a) Dm( f) pr an, s psibl qu haya una asína vrical n =-: 4 lim f( ) lim 0 4 lim f( ) lim 0 la función f prsna una Asína Vrical n =-. Vams si in asína hriznal: lim f( ) lim la función f n in asína hriznal. Esudiams l lími: f( ) lim lim 1 4
y a cninuación sudiams l lími: lim f( ) m lim lim lim Pr an, la función f prsna una asína blicua n la dircción y=-. b) para sudiar la mnnía ns ayudams d la primra drivada: ( ) 4 4 f( ) f '( ) f '( ) 0 ( 4) 0 Igualams a cr y bnms ls valrs: 1 4 y 0 Y si ns ayudams d la siguin abla: Cm, 4 4,,0 0, f () + - - + f() lim f( ) lim Má (-4,-8) Min (0,0) ls rms sn rlaivs. Pr an:, 4 0, 4,, 0 crcin n f : dcrcin n c) El bc d la gráfica sría: sin 7.- Calcula: lim 0 an sin 0 Cm lim, aplicarms la Rgla d L Hpial qu dic qu: 0 an 0 San f y g ds funcins rals qu cumpln las siguins cndicins: las funcins f y g sn drivabls n un nrn E dl pun a. f(a)=g(a)=0 f '( ) Eis lim a g '( ) f( ) f '( ) Enncs s cumpl qu: lim lim a g( ) a g '( ) Pr an, l lími cuand 0, s: L' Hpial L' Hpial sin 0 sin cs 0 cs cs sn lim lim lim 0 an 0 0 0 0 1 an 1 an an 1 an cs sn lim 1 0 1 an 8 an 1 an sin lim 1 0 an 5