REPÚBLICA BOLIVARIANA DE VENEZUELA MINISTERIO DEL PODER POPULAR PARA LA DEFENSA UNIVERSIDAD NACIONAL EXPERIMENTAL POLITÉCNICA DE LA FUERZA ARMADA NÚCLEO BARINAS INSTRUCCIONES. Lln todos los datos n ltra imprnta.. Espr qu l profsor d la ordn d comnzar la pruba.. La cuidadosamnt cada una d las prguntas ants d contstar.. Dbrá formular cualquir prgunta durant los primros minutos dl xamn, qu tnga rlación con la pruba qu s stá aplicando, n voz alta para bnficio dl grupo. 5. Ustd tndrá para rspondr un timpo comprndido ntr las y las horas.. Absténgas d consultar a sus compañros, ya qu sto s una falta grav stablcida n l Artículo 5 Numral dl Rglamnto Disciplinario d la UNEFA. 7. Cuid su rdacción y ortografía. APELLIDOS Y NOMBRES: ) ) C.I.: ) ) NOTA: DEPARTAMENTO: Ingniría d ptrólo SEMESTRE: III- PRUEBA: Unidad II ASIGNATURA: Matmática IIvrsión (pondración %) SECCIÓN: F FECHA:/5/ NOMBRE DEL DOCENTE:. Calcular la intgral dfinida d: xdx (ln x) a) = b) dx ( x + )( x + ) c) x sin 5 x xdx ( ptos cada uno). (a) Rprsntar la grafica d la función f (conocida como función por parts o a trozos) (b) Hallar l ára ntra la gráfica d f l j x dsd b x= a hasta x = b y hallar f ( x ) dx x + a para x f x = x x < x a = b = x para < x 7 ( ) para ; y 7 ( ptos)
. Con la ayuda grafica.calcula l ára limitada por la parábola l j x y x x = y ( ptos). (a) Calcular l ára ntr la parábola = y la rcta y = x y x x (ptos) (b) Calcular l ára ntr la parábola x = y y y l j y (ptos)
Solucions: Calcular la intgral dfinida d: xdx a) = La intgral dfinida, sta dada por una división d ( x + )( x + ) polinomios (fracción propia), por tanto, dscomponmos n fraccions parcials: x A B = + ( x + )( x + ) ( x + ) ( x + ) º Multiplicamos toda la xprsión por ( x + ), simplificamos y valuamos para x = - x A ( x + ) = ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) B + ( x + ) = A+ B.() A = = ( x + ) + ºMultiplicamos ahora toda la xprsión por ( x + ), simplificamos y valuamos para x = - x ( x + ) ( x + ) ( x + ) A B = ( x + ) + ( x + ) ( x + ) ( x + ) = A.() + B B = = + Una vz ncontrados los coficints indtrminados podmos rscribir la intgral asi: xdx dx dx = + dx = + ( x + )( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x + ) ( x ) + lugo por sustitución o cambio d variabls tnmnos: 5 dx u = x + du 5 5 = ln u ( ln 5 ln ) ln ( x ) = = = du = dx u + dx u = x + du 9 = ln u (ln ln ) ln ln ln ( x + ) = = = = = du = dx u D sta manra: dx dx 5 9 9 / 9. 7 + = ln + ln = ln = ln = ln. ( x + ) ( x + ) 5 / 5. (ln x) b) x sustitución o cambio d variabls: dx Esta intgral la podmos rsolvr usando l método d
Solución : ElizrMontoya u = ln x (ln x) dx dx = cambimos los limits d intgración x du = x Si x = u = ln = Si x = u = ln = (ln x) u dx = u du.. x = = = u a c) x sin 5xdx -Esta intgral sta formada por l producto d una función xponncial y otra trigonomtrica, usmos la técnica d intgración por parts: x sin 5 xdx u. v vdu = u = sin(5 x) du = 5cos(5 x) dx () Intgrando por parts dv = dx dv = dx = dt v = sustituimos n () x x t x x x 5 x sin 5xdx = sin(5 x) cos(5 ). () x dx nuvamnt intgrando l sgundo trmino por parts 5 5 = u = cos(5 x) du = 5sin(5 x) ( ) x cos(5 x) dx u. v vdu dv = dx dv = dx = dt v = 5 5 5 cos(5 ) cos(5 ) 5 5 = x x t x x x x x dx = x + sin(5x) dx = x x cos5x sin(5 x) dx ()
Sustituimos () n () y pasando al primr mimbro tnmos: x x 5 x 5 x sin5xdx = sin(5 x) cos5 x sin(5 ). x dx = x 5 x x 5 x sin5xdx + sin( 5 x) d sin(5 ) cos5 x = x x+ C x x 5 x sin5xdx = sin(5 x ) cos(5 x) + C x x 5 x x 5 x sin5xdx = sin(5 ) cos(5 ) sin(5 ) cos(5 ) x x + C = x x + C = x x sin5xdx = [ sin(5 x) 5cos(5 x) ] + C Usando la información antrior podmos dtrminar ahora: x x sin 5xdx = [ sin(5 x) 5cos(5 x) ] [ sin(5) 5cos(5) ] [ sin() 5cos() ] 5 = [ sin(5) 5cos( 5) ] + (a) Rprsntar la grafica d la función f (conocida como función por parts o a trozos) (b) Hallar l ára ntra la gráfica d f l j x dsd b x= a hasta x = b y hallar f ( x ) dx x + x a para f x x x x a b x para < x 7 ( ) = para < ; = y = 7 Para valors comprndidos ntr x ntoncs x - - - y -,75.75 x y = + Para valors comprndidos ntr < x ntoncs x / y - -9/ - y x x =
Para valors comprndidos ntr < x 7 ntoncs y = x x 5 7 y - -8 - Con sa información procdmos a graficar y obtnmos Calculmos ahora l ára formado por la rgión formada por la curva y l j x x x ( ) ( ) 8 A = + dx = x + = ( ) + ( ) + = ( + ) + 8 8 8 8 = + = = = ua x x ( ) A = + dx = x + = ( ) + = ( + ) = ua x x () () A = ( x x ) dx = x = () = 8 8 8 8 = = = = ua
x x () () () () A = ( x x ) dx = x = () () = 9 9 8 7 + 8 7 = 9 = + = = = ua x A5 = ( x) dx = x = x x = ( () () ) ( () () ) = ( ) ( ) = 8 8 = = ua 7 x A = ( x) dx = x = x x = ( (7) (7) ) ( () () ) = ( ) ( ) = 98 = = 8 ua Ára = - x + dx + + ( x) dx - ( ) 7 x + dx - ( x x ) dx + ( ) x dx x x dx Es dcir, la xprsión antrior s pud rscribir Ára = -A +A -A +A +A 5 -A Ara = + + + ( 8) = + + + + + 8 = + + + 99 + + 88 + 5 = = ua,9 ua 8 8 b Por oto lado procdmos a ncontrar f ( x ) dx 7 ( ) = + + ( ) + ( ) 7 x f x dx dx x x dx x dx a
x x ( ) 8 9 + 8 5 5 + dx = x + =.( ) + = + = = = ( ) 7 x x 7 9 9 9 x x dx = x = = = = ( x) dx x x (.(7) (7) ) (.() () ) = = = = 98 8 + 8 = = x f ( x) dx = dx ( x x ) dx ( x) dx + + + = 5 5 5 5 8 5 = = = =.55. Con la ayuda grafica, calcula l ára limitada por y = x x y l j x (ptos) Vrifiqumos las raícs vistas n l grafico x x = x = ( x )( x + ) = Las raics son: x = Son los límits d intgración a usar, por tanto la intgral a dsarrollar s:
x x ( ) A = x x dx = x x = x x = () ( ) = () () ( ) ( ) 5 7 5 = ( 9 9 9) + = 9 + = 9 = = ua.7ua El ára formada por la curva y l j x s / unidads d ára.. (a) Calcular l ára ntr la parábola y x x = y la rcta y = x (ptos) Analíticamnt la intrscción ntr las dos curvas vin dada por: x x = x x x + x = x x = x( x) = x dond las raics son x = y = = y = ( ) ( ) Ára = x x x dx = x x dx = x x () 7 7 8 5 7 9 = = = = = = u. a.(b) Calcular l ára ntr la parábola x = y y y l j y
(ptos) Ára : y y ( y y) dy = = = = El ára s / ua Pinsa como calcular dicho ára con rspcto a los ptos n x, la curva xprsada n y función d x!