RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL DE SEGUNDO ORDEN PARA EL CÁLCULO DE LA POLARIZABILIDAD ELÉCTRICA DE FRAGMENTOS DE ADN

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1 ecca Compuacoal Vol XXVII pg (aículo compleo) leo Cadoa ao So Calo Zuppa (Ed) Sa u gea -3 Noveme 8 RESOUCIÓN DE ECUCIÓN DIFERENCI DE SEGUNDO ORDEN PR E CÁCUO DE PORIZBIIDD EÉCTRIC DE FRGENTOS DE DN Beoloo a E che a y G Campo a a Faculad de Ceca Exaca y Nauale Uvedad Nacoal de a Pampa veda Uuguay 5 63 Saa Roa a Pampa gea jeoloo@exacaulpamedua hp:wwwexacaulpamedua Palaa Clave: ecuacó dfeecal de egudo gado deaollo de Foue-Beel polaaldad elécca fagmeo de DN Reume Se dece u méodo paa calcula la polaaldad elécca de u macoo clídco co coaoe lgado que e polaa e u campo elécco Paa campo elécco ceo la ducó óca de equlo alededo del macoo e deema empleado la ecuacó de Poo-Bolma del ema Paa campo elécco déle ao la caga como el poecal e eduye de maea que el exceo de caga y de poecal co epeco a lo coepodee a campo elécco ulo e codea fucoe leale del campo Se oee la ecuacó dfeecal paa el exceo de poecal Ea e de egudo ode e do vaale ( ) co coefcee que depede de la vaale Se popoe como olucó de la ecuacó dfeecal u deaollo de Foue-Beel co coefcee depedee de Ulado la popedade de oogoaldad de la fucoe de Beel e oee u ema de ecuacoe dfeecale homogéeo paa aquello coefcee a olucó de ee ema e ua uma dode evee lo auovaloe y auovecoe de la ma aocada al ema Falmee e calcula la caga e exceo y la polaaldad elécca Se compaa lo valoe ecoado co ea eoía co dao expemeale coepodee a fagmeo de DN e olucó acuoa Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

2 348 BERTOOTTO E SCHERI G CPO INTRODUCCIÓN E olucoe acuoa de macooe co caga elevada ua faccó de coaoe e lgada e la egó ocupada po el polo De acuedo a la ducó de Bolma eo coaoe aaído a la egó de mayo poecal elécco e aapado y foma la faccó de coaoe lgado Cuado e aplca u campo elécco cama la ducó de coaoe y e duce u momeo dpola e el macoo µ [ ]E () dode [ ] e el eo polaaldad elécca Nueo eudo e ege a u modelo clídco e el cual [ ] ee compoee de polaaldad elécca paalela y pepedcula al eje logudal y epecvamee Se defe la aoopía de la polaaldad elécca como () a polaacó de polelecolo e olucó como el DN ajo la accó de u campo elécco coae e u polema de laga daa y muy dfícl E lo pmeo clculo de la polaaldad elécca de macomolécula y colode e olucó e uao modelo aado e la dfeeca de coducvdad elécca ee la paícula y el olvee feómeo de axwell-wage y coducvdad upefcal deda a lo coaoe (O Kok 96) Hay ua audae logafía aceca de modelo y clculo de la polaaldad elécca de macooe Eo modelo codea dveo poceo paa explca la polaacó de lo macooe ale como la flucuacoe de coceacó de coaoe e la amófea óca alededo del macoo la polaacó ducda po u campo elécco e la amófea óca de Deye Huckel del macoo lo feómeo de apoe y equlo del movmeo óco ee oo (adel 96; Ooawa 97; Fxma 98; Fxma y agaaha98; Rau y Chaey 98; ag 989 ; ag 993; ohay y Zhao 996; Kkuch ) Sellwage (98) y Ela y Ede (98) deemao expemealmee la aoopía de la polaaldad elécca de fagmeo de DN E eo aajo lo valoe de polaaldad elécca e calculao empleado dao expemeale de la coae de Ke deemado a campo elécco muy pequeño (edee a ceo) E ee aajo upoemo que paa valoe pequeño de campo elécco aplcado a lo macooe de DN la doó de la amófea óca puede deemae empleado ua fucó de ducó paa eado de equlo como la de Bolma uego plaeamo la ecuacó dfeecal de egudo gado paa deema el exceo de poecal que apaece e la amófea óca que odea al macoo cuado e aplca u campo elécco Co ee poecal calculamo la educó de caga e el macoo y falmee u polaaldad elécca TEORÍ odelo Como e muea e la Fgua codeamo ua paícula clídca de ado a logud h >>a (efeco de ode depecale) Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

3 ecca Compuacoal Vol XXVII pg (8) 349 Fgua : Equema del acoo clídco co caga Q duda ufomemee oe la upefce poecal e la upefce ( ' a' ) ϕ umegda e ua olucó acuoa de elecolo - co coae delécca ε y empeaua T a caga del cldo e euala co ua amófea óca duda e lo alededoe del macoo El poecal e la amófea óca e oee a pa de la ecuacó de Poo-Bolma ϕ ( ') eϕ ( ') e 4π e ϕ ( ' ) e e (3) ε ϕ e el poecal educdo (admeoal) k e la coae de Bolma e la coceacó de elecolo e la olucó y ε la coae delécca del olvee Calculamo el poecal ϕ ( ' ) uado lo méodo uméco decpo po Sge (975) paa eolve la ecuacó de Poo- Bolma Empleado pameo coveee paa caacea a lo fagmeo de DN e olucó acuoa co NaCl m oeemo la ducó de poecal moada e la dode ϕ ( ' ) e el poecal alededo del macoo clídco e ( ' ) Fgua dode la aca e la daca educda (admeoal) κ π e ε la coae de Deye-Hückel 8 κ ' co - ejh 7 Fgua : Gfco del poecal educdo ( ' ) e ϕ veu la daca educda κ ' u fagmeo de DN e NaCl m paa ua olucó E ee aajo la egó compedda ee lo do cldo coaxale de la Fgua k Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

4 35 BERTOOTTO E SCHERI G CPO a ' < < ' y la do ae h' y h' e la que coee lo oe que e polaa e peeca del campo elécco E dec el poecal y la caga del macoo cama u ducó al aplca u campo elécco E e la deccó del eje del cldo (eje ) a ecuacó del poecal elécco modfcado po el campo e ece eψ ( ' ' E) eψ ( ' ' E ) 4π ψ ( ' ' E) ee e (4) ε a olucó de ea ecuacó puede deaollae e poeca del campo elécco E Como codeamo u campo elécco pequeño uamo ua depedeca leal ψ ( ' ' E) ϕ( ' ) + [ f ( ' ' ) ' ]E (5) E ea ecuacó [ f ( ' ' ) ' ]E epeea el exceo de poecal dedo a la aplcacó del campo elécco exeo E ee émo ' E e la caída de poecal deda al campo elécco exeo e aueca de macoo y f ( ' ' )E la coucó al exceo de poecal ogada po la educó de caga e el macoo a fucó f ( ' ' ) ee la dmeo de ua logud Reemplaado la ecuacó (5) e la ecuacó (4) e oee la ecuacó dfeecal de f ' ' egudo gado paa la fucó ( f ' ' ) f ( ' ' ) + + ' ' ' co la codcoe de cooo f ( ' ' ) ' h' f' ( ') f' f eϕ( ' ) κ coh [ f ( ' ' ) ' ] (6) h' ( ') (7) ( ' ) Expeado la ecuacó dfeecal (6) e émo de la coodeada admeoale κ ' ( a κ a' κ ' ) κ ' y la fucó admeoal g( ' ' ) κ f ( ' ' ) que epeea ua daca educda (admeoal) eula co la codcoe de cooo g( ) g( ) g( ) e + + coh ' h g β h g β g ϕ [ g( ) ] (8) (9) ( ) dode h κ h' a olucó de la ecuacó dfeecal (8) e popoe como u deaollo de Foue-Beel Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

5 de la guee foma ) ( g () dode e la fucó de Beel de pmea clae y de ode ceo y e la aí de la ecuacó a fucó e oogoal y aface la guee codcoe [ ] d paa paa () Se eemplaa la ecuacó () e la ecuacó dfeecal () Se mulplca po y e ega oe e el evalo [ ] plcado la popedade de oogoaldad de la fucoe de Beel () eula P δ () dode d δ (3) P d e ϕ coh (4) ) ( δ + (5) co d e ϕ coh (6) Se euelve la ecuacó dfeecal () codeado u úmeo fo de émo e la uma quedado expeada e foma macal de la guee maea P P P (7) o e foma éca ecca Compuacoal Vol XXVII pg (8) 35 Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

6 35 BERTOOTTO E SCHERI G CPO ( ) [ ] ( ) + B( ) (8) P( ) dode ( ) y B( ) o lo vecoe co elemeo ( ) y B ( ) epecvamee y [ ] ( ) e la ma de ä co elemeo (ecuacó (7)); y j o úmeo auale e el evalo [ ] Defedo ua ueva fucó dode [ T ] e la ma co elemeo [ ] e y ( ) el veco co elemeo ( ) y j j ( ) [ T ] y( ) (9) j [ ] cuya columa o lo auovecoe de la ecuacó (8) e ece y ( ) [ D] y( ) + h( ) () edo [ D ] la ma dagoal cuyo elemeo o lo auovaloe η de la ma [ ] y h( ) [ T ] B( ) el veco co elemeo h ( ) co [ ] Del clculo eula que h ( ) a ecuacó () e u ema de ecuacoe deacoplada paa y ( ) y ( ) y ( ) y e puede eolve epaadamee a olucoe de ea ecuacoe eula y η η ( ) + e + B e [ ] () η Reemplaado ea expeoe paa la y ( ) e la ecuacó (9) e oee ( ) + e η η + B e η () Falmee eemplaado la ecuacó () e la ecuacó () e oee la guee expeó paa g ( ) g η η ( ) + e + B e (3) plcado la codcó de cooo paa ( ) elacó ee lo coefcee y B g η g e ecuacó (9) e oee ua ( ) ( + B ) (4) ulplcado la ecuacó (4) po aplcado la popedade de oogoaldad de la fucoe de Beel eula egado oe e el evalo [ ] y ( + B ) (5) Como el deemae de lo coefcee de ee ema de ecuacoe leale e o ulo la ecuacó (5) ee ólo la olucó val + B Co ea elacó ee y B la ecuacó (4 ) eula Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

7 ecca Compuacoal Vol XXVII pg (8) 353 e Paa deema lo coefcee h ( ) ( η ) g h g h (6) η e emplea la codcó de cooo de la ecuacó (9) h h η h η β (7) ulplcado la ecuacó (7) po aplcado la popedade de oogoaldad de la fucoe de Beel eula egado oe e el evalo [ ] h h h y η + d [ ] β (8) η a ecuacó (8) epeea u ema de ecuacoe ( ) co cóga ( ) Eco e foma macal W (9) dode [ W ] e la ma co elemeo W [ ] C h h η [ ] e el veco cuyo elemeo o lo coefcee cóga C e el veco co elemeo [ ] C h + η [ ] β (3) a fucó β e popocoal al exceo de poecal ogada po la educó de caga e el macoo e la ae h del cldo E íe paa calcula la fucó ( ) g e pocede de la guee maea: ) Clculo de la aíce de la ecuacó ( ) [ ] ) Clculo de la egale de la Ecuacoe (4) (5) y (6) ( ) ( ) ( ) epecvamee paa [ ] ) Couccó de la ma [ ] de la Ecuacó (5) v) Clculo de la auovecoe de la ma [ ] y couccó de la ma [ ] ecuacó (9) a columa de [ T ] o lo auovecoe de [ ] P y T de la v) Clculo de lo auovaloe de la ma [ ] y couccó de la ma [ ] D la ma dagoal cuyo elemeo o lo auovaloe η El póxmo pao eía calcula el veco de la Ecuacó (9) peo pevamee hay que β o e cooce a fucó β e ecuea medae u poceo eavo cuyo pao e dealla a deema el veco C de la Ecuacó (3) e la cual la fucó Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

8 354 BERTOOTTO E SCHERI G CPO couacó: a) Clculo de la ma [ W ] (ve Ecuacó (9)) ) Popuea de ua fucó β que paa comea el poceo puede e β coae y clculo del veco C co la ecuacó (3) c) Oecó del veco eolvedo el ema de ecuacoe leale de la ecuacó (9) d) Clculo de la fucó g ( ) empleado la ecuacó (6) e) Clculo de la dedad de caga e exceo deda a la aplcacó del campo elécco co la guee expeó que uge de codea la ecuacó (6) y la ecuacó de Poo f) Oecó de la fucó ε δ ( ) κ coh( y) [ g( ) ]E (3) 4π β e la ae del cldo ( h ) paa do valoe del ado co la guee expeó clca del elecomagemo paa ua ducó coua de caga h ( ) π δ β ( ) dd (3) ε κ h a h ( ) + Se compaa la fucó β popuea co la ( ) E la póxma eacó e popoe ua fucó poceo de eacó e coua haa loga paa odo valo de [ ] la fucó popuea y la calculada meo que el eo pefjado paa el clculo de β Co la ducó de caga δ ( ) calculada e la úlma eacó e calcula β calculada paa vao valoe de β pomedo ee la do aeoe El ua dfeeca ee polaaldad elécca e la deccó del eje del macoo clídco medae la guee expeó h π δ 4 κ a h ( ) dd (33) 3 RESUTDOS Y DISCUSIÓN o clculo e ealao e el eoo de Wolfam THETIC 6 Se empleao pameo adecuado paa epeea u fagmeo eco de DN e agua co NaCl m Eo pameo fíco o lo guee: a ' ' h ' T 93K ε 8 y eϕ ( ' ) 7 8 Se empleao paa el clculo de la polaaldad elécca 4 aíce de la ecuacó ( ) co cfa gfcava peca a egale de la Ecuacoe (4) (5) y (6) e calculao co cfa gfcava peca Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

9 ecca Compuacoal Vol XXVII pg (8) 355 E la Fgua 3 e muea el eulado de eala el poceo eavo paa deema la β e la ae del cldo h a líea coada epeea la úlma fucó fucó popuea y lo cuadado lo valoe de lo β ( ) calculado co la Ecuacó (3) Se couó co la eacó haa llega a ua cocdeca e la ecea cfa gfcava paa lo dfeee empleado H Fgua 3: Reulado del poceo de eacó paa calcula β a fucó ( ) δ oeda e el úlmo poceo de eacó e muea e la Fgua 4 Fgua 4: Gfco dmeoal de la fucó exceo de dedad de caga ( ) E ea fgua e oeva que la fucó ( ) δ veu y δ cece gfcavamee ólo paa valoe de meoe de muy póxmo a la upefce a del macoo clídco E cuao a la depedeca co la vaale la fucó dedad de caga muea e geeal u cecmeo leal haa la poxmdade de del exemo del macoo h 59 paa luego decae E el evalo h < < e cumple δ ( ) δ ( ) El valo oedo de la polaaldad elécca empleado la Ecuacó (33) e de Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

10 356 BERTOOTTO E SCHERI G CPO cm Se ealao clculo de paa u úmeo pogevo de aíce de la fucó de Beel ( 3 4) haa loga aegua (paa 4) la do pmea cfa gfcava de ea magud Como la polaaldad elécca e la deccó aveal al macoo clídco e depecale fee a el eulado oedo puede compaae co lo dao expemeale de la efeeca (Sellwage 98; Ela y Ede 98) paa la aoopía de la polaaldad elécca (ve Ecuacó () ) Ee valo e upeo e u faco 3 al oedo expemealmee paa u fagmeo de DN de la mma caaceíca que el empleado paa el clculo Reula del ode del oedo po Fxma y agaaha (98) codeado lo feómeo de apoe y equlo del movmeo óco ea que co la eoía que ee e cuea la flucuacoe de coceacó de coaoe e la amófea óca alededo del macoo (adel 96; Ooawa 97) oee u valo del ode de vece m elevado que el eulado expemeal Peamo que el valo calculado e mayo que el eulado expemeal poque e el modelo empleado o e codeó la eaccó ee lo oe de la amófea óca que odea al macoo Ee efeco puede agegae e fuuo aajo empleado ua ecuacó de Poo-Bolma modfcada (po la eaccó de lo oe) paa ecoa la educó de caga e el macoo al aplca el campo elécco Ua coucó de ee aajo e la de hae codeado ua ducó de caga o ufome de Poo-Bolma e el eoo de macoo como la dada po la Ecuacó (3) e luga de hae empleado ua fae codeada de oe co coceacó ufome como e la mayoía de la oa eoía Po oo lado el mmo deaollo maemco podía empleae e la eoía que oee la polaaldad elécca codeado el momeo elécco flucuae que apaece e u macoo dedo a la flucuacoe de coceacó de coaoe e la amófea óca alededo del mmo E cuao al clculo e mmo peamo que el uo del THETIC 6 fue muy úl e el deaollo del clculo aalíco del aajo y pemó avaa gfcavamee e el clculo uméco peo paa loga mayo pecó e el eulado fal co el méodo popueo eía coveee aaja e oo eoo compuacoal como po ejemplo TB o FORTRN Eo pemía aumea el úmeo de aíce de la fucoe de Beel y eala el clculo macal co mayo velocdad 4 CONCUSIONES El méodo deaollado e ee aajo paa eolve ecuacoe dfeecale de egudo ode e coodeada clídca paa ua fucó f ( ' ' ) co coefcee vaale e ua geealacó del empleado paa eolve la ecuacó dfeecal de aplace e coodeada clídca co coefcee coae E ee úlmo cao amé e emplea deaollo de Foue-Beel paa eolve polema como po ejemplo la ducó de empeaua e u cldo e el eado eacoao S e dedo a lo coefcee vaale el méodo popueo pede pacalmee la veaja de ua la popedade de oogoaldad de la fucoe de Beel peme eolve e foma aalíca ecuacoe dfeecale complcada como la empelada paa calcula la polaaldad elécca de macooe clídco REFERENCES Ela G ad Ede D Tae elecc efgece udy of he peece legh ad Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga

11 ecca Compuacoal Vol XXVII pg (8) 357 elecc polaaly of eco fagme of DN acomolecule 4: Fxma Vaaoal mehod fo clacal polaale oual of Chemcal Phyc 75: Fxma ad agaaha S Eleccal ad covecve polaao of he cyldcal macoo oual of Chemcal Phyc 75: Kkuch K Eleccal polaaly of polyelecolye y eopol oe Calo mulao Phycal Chemy of Polyelecolye acel Dekke adel The elecc polaao of od-lke chaged macomolecule olecula Phyc 4: ag G S ea aaly of he polaao of macoo oua of Chemcal Phyc 9: ag G S codeed coueo heoy fo polaao of polyelecolye oluo hgh feld oual of Chemcal Phyc 99: ohay U ad Zhao Y Polaao of coueo polyelecolye Bopolyme 38: O Kok C T Theoy of oc polaao polyelecolye oual of Phycal Chemy 64: Ooawa F Coueo flucuao ad delecc dpeo lea polyelecolye oua Bopolyme 9: Rau D C ad Chaey E Polaao of he o amophee of a chaged cylde Bophycal Chemy 4: 9 98 Sellwage NC Elecc Befgece of eco eyme fagme of DN: opcal faco ad elecc polaaly a a fuco of molecula wegh Bopolyme : Sge D The chaged collodal cylde wh a Gouy doule laye oual of Collod ad Ieface Scece 37: Copygh 8 ocacó gea de ecca Compuacoal hp:wwwamcaoleoga