SOLUCIÓN: cara. sale. Sea X i = cruz. sale. 1 p = ; con ello 2

Transcripción

1 Hojas de oblemas Estadístca VI. Calcula el úmeo de veces que se debe laa ua moeda de maea que se tega ua pobabldad supeo a 9 de que el cocete ete el úmeo de caas y el de laametos esté compeddo ete y 6. Sea s s sale sale caa. cu. se dstbuye segú la ley de Beoull de paámeto admtmos que la moeda es peecta. p ; co ello S laamos la moeda veces sea x x la vaable aleatoa úmeo de caas que apaece. se dstbuá segú la ley bomal B luego: E[] y va[] aa la vaable se tee: E va * Hemos de detema de modo que me método. o la desgualdad de Beaymé-Tchebyche que vee dada po Y µ σ dode σ va Y cte. Luego: µ E[Y] y [ ] /9

2 /9 9 * * * Segudo método. o el Teoema de De-Move-Laplace teemos que s sgue ua ley Bomal N σ µ N po las tablas de la ley N: E u poceso de abcacó se sabe que la pobabldad de abca ua pea deectuosa es. S se abca. peas po semeste cuál es la pobabldad de que el úmeo de peas deectuosas e la poduccó de u detemado semeste sea al meos?. Apoxmado o ua dstbucó de osso de.* p queda:!!! + + e e p

3 6. Sobe ua ccueeca se toma u puto jo A y otos - al aa que so los vétces de u polígoo covexo de lados que deja e su exteo al ceto de la ccueeca vaable aleatoa. Detema el úmeo de lados del polígoo espeaa matemátca de los cosdeados. SOLUCION: El dámeto que pasa po A detema dos semccueecas. El pme puto lo elegmos e cualquea de las dos semccueecas y los otos - e la semccueeca que cotega el pme puto. Desgado po la pobabldad de obtee u polígoo de lados que veque el eucado es:... La espeaa matemátca es: E + d dx x x 7. Dos homgas está stuadas espectvamete e los extemos A y B de la dagoal de ua cuadícula que costa de pxp cuadados p N p. La homga stuada e A se ecama a B sempe sguedo las astas de los cuadados de la cuadícula. Lo hace sempe adelate uca haca atás sempe haca aba o a la deecha y e cada uo de los cuces e los que puede eleg el camo lo hace aleatoamete dado la msma pobabldad a las dos posbldades que se le peseta. De oma smla la homga stuada e B se dge al puto A adado sempe abajo o be a la queda. Las dos homgas cama a la msma velocdad y sale de los putos A y B e el msmo state. Se pde: a Busque la pobabldad de que las dos homgas se ecuete e uo de los cuces. b Geealce el esultado ateo e la hpótess de que la cuadícula coste de pxq cuadados p q N p q. /9

4 a Cada homga ha de ecoe p astas paa completa su ecodo luego se puede ecota e el msmo cuce e la mtad de sus ecodos es dec al cabo de p astas. E ese mometo cada homga ha eectuado u camo de ete los p camos posbles p eleccoes ete dos posbldades. Se ecotaá e u cuce s la homga que va de A a B ha elegdo k astas vetcales y la que va de B a A ha elegdo p k astas vetcales paa k p. Es dec se ecotaá s de u total de p eleccoes ha hecho cojutamete p eleccoes de asta vetcal. p p La pobabldad pedda es p b S p + q es mpa las homgas o puede ecotase e u cuce ya que ello supodía que e u msmo tempo ua ha ecodo u msmo pa de astas y la ota uo mpa. m p + q. Supodemos po tato que p + q es pa y sea Supoedo q p al cabo de m eleccoes cada homga ha poddo ecoe m m m c m m camos dsttos supoedo que ambas homgas puede sal de la cuadícula mateedo el modo de desplaameto y la pobabldad de cada eleccó. Se ecueta e u udo de la cuadícula s cuado ua ha elegdo k astas vetcales la ota ecoe q - k astas vetcales co k q La pobabldad de que se ecuete es: q k m m m p + k q k q q c c c c k S es p q u aoameto smla aplcado a los desplaametos p + q c hootales coduce a la pobabldad dode c m m m m c m /9

5 /9 8. El apaato de Galto-easo es ua see de clavos dspuestos e u tableo clado e la oma que dca la gua adjuta. Al deja cae bolas desde el clavo supeo la pobabldad de desvase a la queda e cada choque se supoe que es. a Calcula la pobabldad de que ua bola caga e B. b Calcula la pobabldad de que ua bolsa que ha caído e B haya golpeado el clavo A. Apaato de Galto-easo SOLUCION: a aa que caga e B ha de poducse cuato gos a la queda y sete a la deecha luego la pobabldad pedda es: p b Sea S el suceso que cosste e que la bola llegue a B. Sea T el suceso que cosste e que la bola llegue a A. La pobabldad buscada es S T y esulta: S T S T S T 9. Al toma aleatoamete u puto del teo de u cuadado calcula la pobabldad de que esté más póxmo a algú vétce que al ceto de gavedad del msmo.

6 SOLUCION: Sea ABCD el cuadado que os da. Supuesto que el puto se toma e el teo del cuadado OMCN u puto equdstaá de O y C s está e MN y estaá más póxmo de C que de O s peteece al teo del tágulo MCN. La pobabldad pedda es po smetía: áea _ tagulo MCN p áea _ tagulo OMCN 6. Supoedo que se elge al aa dos valoes eales x e y que satsaga las codcoes: y x puto t eo a la cuva y ± x + x x y < x + y halla la pobabldad que el valo y elegdo al aa sea tal que y SOLUCION: La cuva y x + x x + y x + es la ccueeca de ceto e C y ado. Las odeadas de los putos de cote de las ectas x y y x + y pepedculaes ete sí co la ccueeca so ±. Itepetado geométcamete el poblema la pobabldad buscada es: π Aea _ segmeto_ del _ aco _ AB π y 6 Aea _ secto _ AB π π 6/9

7 7/9 6. Sea vaables aleatoas depedetes... todas co la msma ley de pobabldad. Se desga espectvamete po x y po x la ucó de dstbucó y la desdad de pobabldad comú a cada ua de las vaables. Cuáles so las ucoes de dstbucó y de desdad de pobabldad de las vaables... Máx Y y... Mí Z?. a aa todo R es Y Π y [ ] [ ] Z Π E eecto:... Y Π... Z Z [ ] [ ] Π Π b Sea g y h las ucoes de desdad de Y y Z espectvamete. Etoces: g [ ] h e todos los putos de cotudad de. E eecto: ' g Y [ ] [ ] [ ] h Z 6. U plao esta ayado po ectas paalelas sepaadas ete sí a la dstaca a. a Sobe el plao se laa al aa ua aguja de logtud b b<a. Halla la pobabldad de que la aguja cote ua ecta cualquea. b S se laa agujas todas ellas de logtudes meoes que b halla la pobabldad de que al meos ua de las agujas cote ua ecta cualquea. a Desgaemos po ρ la dstaca del ceto de la aguja a la líea más cecaa. Y sea αel águlo que oma la aguja co la líea más cecaa.

8 Es evdete que s ρ [ a] y α [ π obteemos todos los esultados posbles. aa que la aguja teseque a la líea más póxma se ha de veca que α [ π y ρ bseα. Luego la pobabldad pedda es: π p bseα α b πa πa b Sea b b... b las logtudes de las agujas. La pobabldad buscada es: b b b p... πa πa π a 6. Detema la pobabldad paa que elegdos al aa dos valoes de x e y que satsaga las codcoes -x-y<; y-x-6<;y+x-7<; esulte que el valo y elegdo al aa sea <. 8/9

9 Opeado se obtee las sguetes coodeadas: 7 A B C-DE 7 AB AC DE ydc Calculemos ahoa las áeas de los tágulos ABC y DEC e el espaco. AB AC j k k k Luego SABC Aálogamete DE DC j k 9 k y SDEC 9 9 La pobabldad pedda es: 9 9 p 9/9