Consideremos una lista p (l), p (2), p (3),... de proposiciones con índices en P. Todas las proposiciones p(n) son verdaderas a condición de que:

Transcripción

1 INTRODUCCION S estamos ete matemátcos, la palaba duccó os sugee el Pcpo de Iduccó Matemátca: S ua popedad vale paa 0 y s sempe que la popedad vale paa u úmeo (atual) vale paa su suceso, etoces la popedad vale paa todos los úmeos (atuales). Este famoso pcpo se hzo especalmete coocdo como uo de los cco postulados de Peao.. es u úmeo atual. (es dec, el couto de los úmeos atuales o es vacío). S a es u úmeo atual, etoces a+ també es u úmeo atual (llamado el suceso de a). 3. o es suceso de gú úmeo atual. (pme elemeto del couto) 4. S hay dos úmeos atuales a y b tales que sus sucesoes so dfeetes etoces a y b so úmeos atuales dfeetes. 5. xoma de duccó: s u couto de úmeos atuales cotee al y a los sucesoes de cada uo de sus elemetos etoces cotee a todos los úmeos atuales. La Iduccó matemátca es deftvamete ua foma de deduccó. Es ua duccó e el setdo e que geealza a toda ua clase a pat de uos pocos eemplos. Es mas, usualmete la muesta está cofomada po u caso, y la clase total es fta! La duccó matemátca es deductva, poque la muesta mas ua egla aceca de los casos o examados ealmete da fomacó sobe todo elemeto de la clase. sí la coclusó de ua duccó matemátca o cotee más fomacó que la que hay e las pemsas. La duccó matemátca po lo tato cocluye co ceteza deductva. pág.

2 U úmeo es cualque cosa que sea el úmeo de ua clase. E teoía axomátca de coutos u úmeo atual es u elemeto del mímo couto ductvo, couto al que se le da el ombe de couto de los úmeos atuales; po ductvo se etede u couto S al que peteece 0 y tal que s peteece a S, + també peteece. Co esta defcó lo que se está aceptado es que el pcpo de duccó matemátca es heete al cocepto de úmeo atual. Como be sabemos paa poba ua poposcó po duccó pocedemos como sgue: Mostamos que vale paa 0, (o o u detemado úmeo). Luego supoemos que s es ceto paa u úmeo mayo que 0 (o o u detemado úmeo), etoces pobamos que vale paa +. Etoces coclumos que vale paa todos los úmeos mayoes que 0 (o o u detemado úmeo). Cosdeemos ua lsta p (l), p (), p (3),... de poposcoes co ídces e P. Todas las poposcoes p() so vedadeas a codcó de que: (B) p(l) sea vedadea; (I) p( + ) sea vedadea sempe que p () sea vedadea. Nos efeemos a (B); es dec, al hecho que p (l) es vedadea, como la base de la duccó y os efeemos a () como el paso ductvo. E la otacó del cálculo peposcoal, el paso ductvo es equvalete a: P. La mplcacó p() p ( + ) es vedadea paa todo pág.

3 ..Los úmeos eteos Los úmeos eteos se defe como el couto de los úmeos Z={...,-,-,0,,,3,...}. Deto de este couto está el subcouto de los úmeos atuales, N={,,3,4,...}. Es dec, el subcouto de los úmeos eteos postvos (mayoes que 0). Puede defse e Z dos opeacoes teas baas +,. : Z x Z Z, a las que llamamos suma y poducto, espectvamete. Estas opeacoes cumple las sguetes popedades:. Ceadas: a+b Z y a.b Z, a,b Z. Comutatvas: a+b = b+a, a.b = b.a, a,b Z. socatvas: a+(b+c) = (a+b)+c, a.(b.c) = (a.b).c, a,b Z v. Exsteca de elemetos eutos: a+0 = a, a. = a, a Z v. Exsteca de elemeto opuesto paa la suma: a Z exste -a Z tal que a + (-a) = 0 v. Cacelatva: S a es dstto de 0, y a.b = a.c etoces b = c v. Dstbutva: a.(b+c) = a.b + a.c a,b,c Z La odeacó de los úmeos eteos E Z se puede def ua elacó de ode total, co el ode usual <. sí, paa cualesquea dos elemetos dsttos de Z, a<b o be b<a. Es dec, Z es u couto totalmete odeado. Esta elacó de ode total es compatble co la suma y el poducto: a < b a+c < b+c, paa todo eteo c. a < b a.c < b.c, paa todo eteo c mayo que 0. Dado u (,<) couto odeado y dado u subcouto o vacío S de, se dce que: c es cota feo de S s c < x, paa todo x S m S es mímo de S s m < x, paa todo x S Se dce po tato que S está acotado feomete s exste u elemeto c que es cota feo de S. pág. 3

4 .. El pcpo del bue ode Dados dos eteos dfeetes x, y sabemos que x<y ó y<x. S embago estos també es ceto s, e vez de se eteos x y y so úmeos acoales ó úmeos eales. Qué hace especal a Z e este caso? Supogamos que tatamos de expesa el subcouto Z + de Z, medate los smbolos de desgualdad <y.vemos que podemos def el couto de los elemetos postvo de Z como Z x z x 0 x z x No obstate. Cuado tetamos hace lo msmo co los úmeos acoales y eales, vemos que Q x Q x 0 y R x R x 0 Peo o podemos epeseta Q + o R + co como lo hcmos co Z +. El couto de Z + es dfeete de los coutos Q + y R + po el hecho de que todo subcouto o vaco de X de Z + es dfeete cotee u eteo a X tal que a x, paa todo x X ; es dec X cotee u elemeto meo(o mímo).esto o ocue pata Q + y R +. Estos coutos e s msmos o cotee elemetos mímos: o exste u úmeo acoal postvo u úmeo eal postvo mímo. S q es u úmeo acoal postvo, etoces, como 0<q/<q, tedíamos u úmeo acoal postvo más pequeño q/. Estas obsevacoes da luga a la sguete popedad del couto Z Z. Pcpo del bue ode: Cualque subcouto o vaco de Z + cotee u elemeto mímo ( co fecueca decmos etoces que Z + es be odeado).. Este pcpo sve paa dstgu a Z de Q o R. Peo Codce a algo que sea teesate ó útl desde el puto de vsta matemátco? La espuesta es s, Es la base de ua técca de demostacó coocda coo duccó matemátca. Esta técca os ayudaá co fecueca paa demosta ua poposcó matematca geeal elacoada co los eteos postvos, cuado alguos casos de esta poposcó sugea u pató geeal. pág. 4

5 xoma de buea odeacó e (Z, <) S X es u subcouto o vacío de Z y está acotado feomete, etoces X tee mímo (habá pues sempe u pme elemeto del couto). Ua cosecueca medata de esta popedad es que u subcouto de los úmeos atuales també tedá mímo, evdetemete..3 El pcpo de duccó matemátca Fomulacó del pcpo de duccó: Sea S N tal que. S. s k S k+ S Etoces S = N. S la peteeca al couto S vee detemada po ua popedad P que queamos poba, podíamos utlza el pcpo de duccó paa demosta que esa popedad se satsface paa todo eteo postvo. Ota fomulacó del pcpo de duccó: Dado u eucado P depedete de u paámeto Z, supogamos que se demuesta que: 0. P( 0 ) es ceto paa u ceto 0 Z. Sempe que P(k) es ceto paa cualque eteo k > 0, etoces es ceto paa el sguete eteo P(k+). Etoces podemos afma que P() es ceto Z co > La demostacó de u eucado matemátco medate el pcpo de duccó, cosste pmeo e poba que paa el caso básco cal de 0 se satsface el eucado. Después supodemos que se cumple paa u detemado valo k mayo que 0 (a esta suposcó se la llama hpótess de duccó) y compobamos s se satsface també paa k+. S també se cumple el eucado paa k+, etoces quedaá demostado que se cumple el eucado paa todo eteo mayo o gual que 0. pág. 5

6 El pcpo de duccó fuete: veces esulta coveete toma como hpótess de duccó la suposcó de que el esultado es ceto paa todos los valoes ateoes elevates < k, e luga de supoe ceto sólo el caso = k. Esta vaate del pcpo de duccó se la suele llama pcpo de duccó fuete, que se fomulaía así: Dado u eucado P() depedete de u paámeto Z, supogamos que se demuesta que: 0. P( 0 ) es ceto paa u ceto 0 Z. Sempe que P(m) es ceto paa cualque eteo 0 < m < k, etoces P(k+) es ceto. Etoces podemos afma que P() es ceto Z co >.4. Pcpo de clusó-exclusó Exste stuacoes e las que el pcpo de la suma o es aplcable, poque los coutos volucados o so dsutos. E casos así, esulta útl el sguete teoema, que pemte calcula el cadal de la uó de ua famla de coutos ftos auque o sea dsutos dos a dos. Teoema. (Pcpo de clusó-exclusó) S ; ; : : : ; es ua coleccó pág. 6

7 pág. 7 de coutos ftos, se vefca que k k Demostacó. Supogamos que u ceto elemeto a peteece exactamete a de los coutos. Es fácl ve que dcho elemeto cotbuá udades al pme sumado de la expesó.. Del msmo modo, al segudo sumado cotbuá udades, puesto que a se halla pesete e todos los que podemos foma escogedo ; ete los ídces de los e que a se halla pesete. Coclumos azoado aálogamete paa los sumados sguetes que, s a peteece a exactamete de los coutos, su cotbucó a la suma total de es 3 Del teoema del bomo deducmos que l l po lo que la cotbucó dcada es gual a la udad. Etoces, cada elemeto de la uó cotbuye e ua udad a la suma de aba, y etoces su valo seá

8 El pcpo de clusó-exclusó ecbe este ombe del método que usa paa cotablza elemetos: al suma los membos de los coutos de la foma está sedo cotablzados po duplcado. Po lo tato, teemos que descotalos de esa suma, lo que explca la apacó del sustaedo, que voluca todos los paes de coutos aluddos. hoa be, al hace esto estamos (debdamete) sustayedo ua vez más todos los membos de teseccoes, po lo que volvemos a cotablzalos añadedo los sumados k 3. Y se posgue así, sumado y estado hasta llega al últmo temo. Eemplo 5. Cuátas pemutacoes del couto X 3 mueve todos los elemetos del couto a ua poscó dfeete de la ogal? Podemos esolve este poblema del modo sguete. Cosdeemos el couto fomado po todas las pemutacoes de los elemetos: claamete,!. De éstas, cosdeemos la clase de las pemutacoes que dea al elemeto e pmea poscó; llamemos a esta clase, y, aálogamete, defamos k como la clase de las pemutacoes e que el úmeo k queda fo, ocupado la k-ésma poscó. Como cada pemutacó de voluca eodea solamete los - elemetos estates, teemos que paa cada k. ( -)!, y aálogamete Po ota pate, el couto está fomado po pemutacoes e que escoge-mos la poscó de y, de maea que teemos.( )! pemutacoes posbles. E geeal k =( k)! pág. 8

9 es dec, cada couto de pemutacoes que fa al meos k elemetos cotee (. k)! pemutacoes posbles. plcado etoces la fómula : k.. k Teemos 3!! 3!! puesto que el úmeo de sumados de cada témo de (.) es k hoa, la suma ateo se smplfca cosdeablemete expadedo los coefcetes bomales po medo de su foma factoal:!!!!!!! 3! 4!!!! 3! 3! 4!!!0! 0!!!!! 3!!!! Esta es la expesó del úmeo de pemutacoes que fa algú elemeto. Como queemos calcula exactamete lo cotao, obteemos pág. 9

10 Lo sopedete de este esultado es que el facto ete paétess es, co ua apoxmacó muy elevada, gual a /e= , sedo e la base de los logatmos epeaos. La apoxmacó es ta buea que podemos escb D! e sedo la fómula exacta s edodeamos el cocete al eteo más póxmo. Po eemplo, paa = 8, obteemos 8! / e = , sedo D = La leta D povee del témo deagemets, que es como se deoma e la lteatua aglosaoa a este tpo de pemutacoes que o dea fo gú elemeto. Eemplo 6. Ecota el úmeo de solucoes eteas o egatvas de la ecuacó. x x x3.(.3) Sometdas a la estccó x <6;x <4 Cosdeemos los sguetes coutos: x x 3 x x 3 x x 3, x 0 (.4) x x x x x x x3 x De dode x x x3, x 6, x 6 4 (.5)...(.6) 4 (.7) pág. 0

11 x ; x 8 6 x 6 x 8 x 6; x 8 Fgua.: Repesetacó esquemátca del eemplo 6 Podemos epeseta esquemátcamete la stuacó dcada po medo de la fgua.. Las solucoes que se os exge cotablza so las que o se ecueta e e ; es dec, teemos que calcula el cadal. El últmo témo se evalúa po medo del pcpo de clusó-exclusó: Como 4 4 CR( 3,) 9.(.8) 8 8 CR(3, 6) CR(3, 4) 8 4 CR(3, 6 4) 8 (.9) 45.(.0) 6.(.) pág.

12 Teemos falmete pág.

13 BIBLIOGRFI Matemátcas Dscetas y Combatoa ;Ralph P. Gmald 3 edcó Petce Hall. Matematca Dscetas Sexta edcó Rchad Johsobaugh; Petce Hall. Matematcas Dscetas eduad R. Sheema; thomso Leag. ctvdades Complemetaas Poblema #:Demosta Los úmeos obtedos como se obseva e la pogesó ateo se llama tagulaes y como vemos se puede obtee de dos maeas dfeetes. Esas gualdades se puede geealza hoy co la fómula demueste que peteece a eteos atuales: pág. 3

14 ctvdades Complemetaas Poblema #:Demosta Los úmeos que hoy coocemos como cuadados ecbeo su ombe e la época de los ptagócos ustamete poque se podía dstbu, como s fuea coleccoes de putos, e foma de cuadado. Y esa pogesó de cuadados se obtee sumado los úmeos mpaes sucesvos. Hay dos gedetes báscos paa ua demostacó ductva válda: la base y el paso ductvo. demás, po s hay algua duda posble, debe queda clao que se está dado ua demostacó po duccó. Es mpotate efatza, que o se pde demosta p( + ) es vedadea." Smplemete demosta que : s p() es vedadea etoces p( + ) es vedadea. pág. 4