J. López-Bonilla, R. Pantaleón-Joaquín, C. Ríos-Ríos, L. Rosales-Roldán,

Transcripción

1 DE CLASE UNO J. López-Bolla,. Pataleó-Joaquí, C. íos-íos, L. osales-oldá, ESIME-Zacateco, Isttuto Poltécco Nacoal, Aexo Edf. 3, Col. Ldavsta CP , Méxco DF E-mal: esume: Se ealza u estudo de -espacos de ema de clase uo; e patcula, se detema la estuctua geeal de la seguda foma fudametal cuado posee gdez tíseca. OF CLASS ONE Abstact: We study ema -spaces of class oe, patcula, we get the geeal stuctue of the fudametal secod fom whe s tscally gd. INTODUCCIÓN El poceso de mesó tee como f cotempla el espaco-tempo desde afuea, es dec, sumeg a e u espaco (omalmete pseudo-eucldeao) de mayo dmesoaldad; cuado esto es posble etoces se tee a dsposcó ua heameta podeosa paa el estudo de la estuctua geométca del -espaco. La clase de mesó geea ua caactezacó vaate de las solucoes de las ecuacoes de Este, la cual es alteatva a la clasfcacó de Petov y además popocoa ua técca paa costu solucoes. Po eemplo, Kamaka (198), al estuda métcas co smetía esféca y de clase uo, obtuvo la solucó teo de Schwazschld; de maea semeate, Sgh-Padey (1960) ecotao ua geealzacó del modelo de Lemate. Ua desvetaa de esta técca es que o asoca sgfcado físco a los uevos gados de lbetad epesetados po los vectoes de cc y las segudas fomas fudametales; alguos ha tetado emplealos paa descb popedades de patículas elemetales e el espaco-tempo cuvo, como Fosdal (1965), Joseph (1965) y Ne ema (1965). Babashov-Nesteeko (1980) y Phát (1971) utlza el poceso de mesó e modelos o-leales (soltoes, cuedas, etc.) y e el poblema de eegía del campo gavtacoal, espectvamete. El mecasmo de mesó també pemte ma haca el teo de ; esto se loga aalzado los subespacos exstetes e el espaco-tempo. De esta maea el mpotate poblema de Cauchy de elatvdad geeal puede estudase e pate como u asuto de mesó; la peseca de coguecas ulas co detemados escalaes óptcos fluye e la clase de mesó del -espaco.

2 E el pesete tabao se estuda el espaco-tempo de la teoía de Este como ua hpesupefce de u 5-espaco pseudo-eucldeao y el coespodete aálss se ealza e ocho seccoes, cuyo pcpal cotedo es el sguete: Seccó 1: Se expoe las ecuacoes de Gauss y Codazz (EGC) que gobea las geometías tea y extea de, es dec, que acopla los tesoes de ema y seguda foma fudametal b = ( ), mostádose su tedepedeca vía el teoema ~ b de Thomas (1936), a sabe: la ecuacó de Gauss mplca la de Codazz cuado K = det b 0. Se establece la ecuacó caacteístca de b y las detdades de ~ ~ Laczos (1938) ete el teso de cuvatua y su doble dual * * mc, que e uó de la ecuacó de Gauss pemte deduc e la seccó 3 la mpotate detdad de Goee-Gozález-Pña (IGGP). Además, se dca cómo el teoema de Cayley- Hamlto paa b ~ geea ua pueba smple de que la métca de Schwazschld o es sumegble e E 5. Se toduce el teso de Weyl C mt el cual desempeña u papel elevate e el poceso de mesó y, po últmo, se demuesta que e el caso 1 K 0 exste ua ecuacó tpo Gauss ete b y * * mc. Seccó : Kase (191a) y Szekees (1966) pobao que gua solucó de las ecuacoes de Este e el vacío es de clase uo. Aquí se obtee dcho esultado medate u teoema de Syge (1957); el método es ogal, podeoso y muy smple. Falmete, el teoema de este auto es adaptado a C, lo cual es de utldad e la seccó 8 paa demosta que u espaco de Este-Maxwell meso e E 5 o es plao e el setdo cofomal. Seccó 3: Se deduce la fudametal IGPP efatzádose su valdez paa todo meso e E + 1; esto coduce a u estudo cudadoso de -espacos co gdez tíseca, obteédose así uo de los esultados más mpotates de este tabao: la foma geeal de b ~ paa todo de clase uo e tísecamete ígdo, lo cual muesta que e dchos espacos exste ua combacó leal ete los tesoes métco, de cc y b, coclusó que se despede de u teoema de Lovelock c (197). Además, C mt satsface las detdades de Bach. Seccó : Se expoe las codcoes ecesaas algebacas de Goee (1973, p. ) que debe cumpl u sumegdo e E 5. També se dca las detdades de Yakupov (1968) y ud váldas paa todo y de clase uo, espectvamete. Po últmo, medate la IGGP y ua elacó de Matsumoto (1959) se muesta la exsteca de ua codcó ecesaa dfeecal paa todo -espaco emaao e E. +1 Seccó 5: Szekees (1966) y Eguch (1967) pobao que la métca de Gödel (199) o es sumegble e 5 E ; aquí se da ua demostacó muy smple de ello, apoyádose e el mateal de la seccó 3. ~ mt

3 Seccó 6: Se aalza aquellos de clase uo co gdez tíseca que posee subespacos de Fem F 3 o-ulos, pobádose que el espaco-tempo e cuestó debe se cofomalmete plao. Seccó 7: Se estuda a, =3, como ua hpesupefce de u espaco emaao ( +1) -dmesoal de cuvatua costate. La IGGP muesta su pode al deduc e foma smple u teoema de ud (197) aceca de este tpo de subespacos. Seccó 8: Collso (1968) demostó que u espaco-tempo de clase uo, cuya cuvatua es geeada po el campo electomagétco, debe se tpo N co teso de Faaday ulo. Aquí se estuda las cosecuecas de dcho esultado; e patcula se pueba que taza b ~ y C so dfeetes de ceo (e su atículo, Collso o mt excluye de maea explícta la posbldad de u espaco cofomal). 1. ECUACIONES DE GAUSS Y CODAZZI E este tabao os teesa el estudo de -espacos emaaos (co mayo éfass e el caso = ) vstos como hpesupefces de espacos pseudo-eucldeaos, s embago, dcho efoque o sempe es posble, es dec: debe cumplse cetas codcoes paa que sea ealzable la mesó de e E + 1. Esto coduce a las famosas ecuacoes de Gauss y Codazz (EGC) las cuales costtuye las codcoes ecesaas y sufcetes paa el poceso de mesó y que a su vez establece el acoplameto exstete ete el espaco cuvo de ema y el espaco plao evolvete; e otas palabas, las EGC ecadea a las geometías tíseca y extíseca de. Así, el poblema de sumeg e E + 1 se educe a u aálss algebaco-dfeecal de las EGC, taea que ealzaemos a lo lago de este atículo. E la pesete seccó se expoe las EGC mostádose su tedepedeca vía u teoema de Thomas (1936); també se dca la otacó y obetos tesoales asocados a que seá elevates e uesto tabao y, po últmo, se platea el poblema de egevaloes de la seguda foma fudametal paa el caso =, lo cual pemte da ua demostacó elemetal de que la métca de Schwazschld (solucó de las ecuacoes de Este e el vacío) o puede sumegse local e sométcamete e E 5. Este esultado seá u caso patcula de u teoema a poba e la seccó. Fg. 1. meso e E + 1

4 E la fgua 1 se muesta u espaco emaao de =, 3,... dmesoes como ua hpesupefce de u espaco pseudo-eucldeao E + 1; téccamete decmos que es de clase uo. Dcho subespaco está caactezado po las elacoes: y θ θ = y ( x ), θ = 1,..., + 1 (1.a) dode las coodeadas abtaas x (e todo uesto tabao los ídces latos tomaá los valoes 1,,..., ) descbe los putos de. E cada eveto del espaco cuvo exste ua úca omal N, clasfcada de acuedo al poducto teo (e E + 1) cosgo msma: 1 Tpo espaco ε N N = 0 Nula 1 Tempoal ; (1.b) a ε se le cooce como el dcado de la omal. Aquí sólo cosdeaemos el caso ε 0. El sguete paso cosste e establece la elacó ete y el espaco ecpete E +1. Dcha elacó costtuye le geometía extíseca de co especto a E + 1 y es muy coocdo que ella está gobeada po el teso seguda foma fudametal b = ( b ) = ( b ), el cual debe satsface cetos equstos (EGC) paa que así la ~ mesó sea posble. E otas palabas, cuado o exste u teso smétco que cumpla co las EGC etoces la mesó es ealzable. Po lo tato, es evdete que duate el poceso de sumeg u espaco e oto apaece uevas catdades o gados de lbetad, como las compoetes de b, las cuales pudea se de ~ mpotaca físca e la descpcó de algú feómeo o gavtacoal, electomagétco, etc. Po oto lado, sabemos que la geometía tíseca (depedetemete de u espaco exteo) de es cotolada po el teso pmea foma fudametal o teso métco g = ( g ) = g ~, que cotee toda la fomacó sobe las dstacas e el espaco cuvo y está defdo po el cuadado de la sepaacó ete x y x + dx : ds = g dx dx, (.a) dode hemos utlzado la covecó de Este sobe ídces epetdos; aquí empleaemos la sgatua +. La fomacó que exste e foma latete e ~ g puede hacese explícta s a pat de él costumos otos obetos o tesoales (coexó afí) y tesoales (tesoes de ema, cc y Este). Po esta azó defmos los símbolos de Chstoffel:

5 1 a Γ k = g ( g a, k + g ak, g k, a ), (.b) dode, deota devacó pacal co especto a compoetes de la matz vesa g ~ 1 x, y a g epeseta las. Co (.b) pude toducse el cocepto de cuvatua (desvacó de geodéscas vecas) el cual está cuatfcado po el teso de ema: km = Γ m k Γ k, m a a, + Γ mγak Γ k Γam (.c) U espaco es plao s y sólo s las catdades (.c) so détcamete ulas. Co la ayuda de (.b, c) es smple poba las sguetes smetías algebacas, báscas e la obtecó del úmeo N de compoetes depedetes del teso de cuvatua: km km = + km km = + mk mk = 0 (.d) que a su vez mplca km = km (.e) y así e teemos que ( 1) N =. (.f) 1 Esto sgfca, po eemplo, que e el espaco-tempo ( = ) exste sólo 0 catdades depedetes del tpo (.c). Ahoa hay que establece la teelacó ete estas 0 compoetes y las 10 b depedetes asocadas a la seguda foma fudametal b ~, lo cual se loga medate las famosas y muy coocdas ecuacoes de Gauss y Codazz (EGC). (ve Esehat, 1960, p.19). km = ε ( bkb m bmb k ) Gauss (3.a) b = b Codazz (3.b) ; k k; dode; smbolza el poceso de devacó covaate co especto a (.b). Nótese que (3.a) posee caácte dfeecal. E geeal, las complcacoes del poblema de mesó adca e lo dfícl que es ecota ua solucó al sstema acoplado (3). Decmos que es sumegble e E+ 1 s y sólo s exste u teso smétco b vefcado a las EGC. Co la fgua hacemos éfass e que la flueca de E +1 sobe se mafesta vía las EGC, es dec, e (3) teemos el acoplameto que debe exst ete las geometías tea y extea de paa que éste pueda cocebse como u espaco de E + 1. Al estuda u sstema de ecuacoes es atual

6 pegutase sobe la depedeca de éstas. E este caso, ello equvale a daga la teelacó del couto (3), lo cual es posble gacas a las detdades dfeecales de Bach satsfechas po el teso de ema: Fg.. Ecuacoes de Gauss y Codazz + 0, (.a) km; c + mc; k ck; m = depedetemete del poceso de mesó. S ahoa supoemos que es ua hpesupefce de E + 1 etoces es pemtdo susttu (3.a) e (.a), obteédose ( Bkc = bk ; c bc ; k ) : B b B b + B b + B b + B b + B b = 0 (.b) kc m + mc k cm k mk c ck m km c S det ( b ) 0 etoces exste ~ 1 b y podemos multplca (.b) po m b 1 : 1 m 1 m ( 3) B + b B b b B b = 0 (.c) kc mc k mk c que al cotae co b 1k mplca 1 ( ) b = 0 (.d) k B kc Po lo tato, s de Thomas (1936): de (.c, d) obteemos B 0. Así hemos pobado el teoema kc s det ( b ) 0 y > 3etoces (3.b) es cosecueca de (3.a). (5) La valdez de (5) sgfca que duate el poceso de mesó podemos olvdaos de la ecuacó de Codazz y sólo debemos satsface la ecuacó de Gauss, e la cual o exste devadas. O sea, uesto poblema es etamete algebaco y dsmuye e ga medda la dfcultad de aálss de como subespaco de E + 1. Las elacoes (.c, d) mafesta que e geeal paa = y 3 la ecuacó de Gauss o mplca la

7 de Codazz y así el poblema de mesó es algebaco-dfeecal. Paa las métcas de Fedma, Este y De Stte (solucoes de las ecuacoes de elatvdad geeal) sí se cumple (5) (ve Gozález, 1981, cap II). S embago, Collso (1968) ha mostado la volacó de (5) paa solucoes de clase uo de las ecuacoes de Este-Maxwell; esto lo dscutemos más adelate e la seccó 8 del pesete tabao. S sobe el teso de ema efectuamos cotaccó de ídces, podemos geea otos obetos tesoales de suma mpotaca e la gavtacó Esteaa y que a su vez queda ecadeados e la seguda foma fudametal, vía la ecuacó de Gauss: k a a = ε b b bb ) teso de cc (6.a) ka ( ak k a mc = ε ( b b b ) cuvatua escala (6.b) a mc dode a b taza b = b. a S embago, e elatvdad geeal es más mpotate el sguete obeto, costudo a pat de los ateoes: G = g teso de Este (6.c) Po ahoa ha pemaecdo abtao, peo po azoes físcas (gavtacó) e el esto de la pesete seccó os ocupaemos del caso =. El pme asuto a dscut es cosecueca del teoema (5): dado u, cómo sabemos de atemao que (3.a) mplca (3.b)? Es dec, s todavía o ecotamos (s exste) a b c, cómo podemos afma que su detemate es dfeete de ceo? La espuesta a estas quetudes es que det ( b ) es ua catdad tíseca a. O sea, s supoemos que uesto espaco es de clase uo etoces el mecoado detemate es calculable a pat de g a. E efecto (ve Gozález, 1981, p. ) medate (3.a) es fácl poba que: det( b c K 1 km ) = = * * km, (7) dode hemos empleado el doble dual del teso de ema defdo po 1 1 ac pq = η η δ pqkmac (8.a) ac pq * * km ac pqkm = e témos de los tesoes de Lev-Cvta ac 1 ac η = ε, ηac = gε ac, g = det( g a ), (8.b) g y de los coespodetes símbolos totalmete atsmétcos:

8 1 s ( ac) es pemutacó pa de (13) ac ε = εac = 1 s ( ac) es pemutacó mpa de (13) (8.c) 0 e los demás casos que a su vez (ve Lovelock-ud, 1975, cap. IV) da oge a la Delta de Koecke geealzada: ac ac δ pqkm ε ε pqkm = δ δ p p a p c p δ δ q q a q c q δ δ k k a k c k δ δ m m a m c m δ δ δ δ = (8.d) δ δ δ δ Co (7), el teoema de Thomas (1936) adquee la foma dada po oseso (190) (ve Goee, 1980, p. 8): S u de clase uo tee K 0 etoces la ecuacó de Gauss mplca la de Codazz (9) Po tato, al tata de sumeg e E 5 a u espaco-tempo dado, pmeo debe calculase el vaate K paa así sabe s el poblema es algebaco o dfeecal. El teso (8.a) satsface las smetías (.d,e) y pemte escb a (.a) e foma compacta * * km ; = 0 (10.a) m Además, co la ayuda de (8.d) puede obteese las detdades de Laczos (1938): km K * * akm = δ a (10.b) * * km = km + m g k + k g m k g m m g k + ( gk g m g mg k ), (10.c) que seá báscas e la seccó 3 al deduc la mpotate detdad de Goee- Gozález-Pña. S multplcamos (10.c) po km es medata la elacó de vaates dode K + I I + I 0, (10.d) 3 1 = ac akm 1 = ac, I =, I 3 akm (10.e) I = Smlamete defmos el dual smple del teso de ema:

9 ac * km = η ackm (11.a) 1 co las popedades * = * = *, * = 0 (11.b) km km mk m * = 0 (11.c) km Nótese que e geeal (excepto e espaco vacío k = 0) (11.a) o cumple (.e) la elacó cíclca (.d). Aquí també exste la coespodete detdad de Laczos (1938): * bkm km K1 b = δ, (11.d) co K = * km. (11.e) 1 km Este vaate es fudametal e la búsqueda de codcoes ecesaas paa la mesó de e E 5 (seccó ). Ahí ecotaemos que u espaco-tempo de clase uo debe satsface K = 1 0. Como ya hemos cometado, el teso b gobea la geometía extíseca de, así que cotee toda la fomacó aceca de la flueca que E5 eece sobe uesto -espaco de ema. El álgeba leal os dce que ua foma de extae dcha fomacó es estudado el poblema de egevaloes de la matz b ) ; po lo tato, sea θ u vecto popo de ella: etoces la ecuacó caacteístca es geeada po: b θ = λθ, (1.a) 1 acd m det( A ) = det( b λδ ) = δ km Aa... Ad = 0, lo que e vtud de (3.a, 6, 7, 8.d), coduce al esultado: 3 e K λ bλ λ pλ = 0, (1.b) dode el coefcete de λ seá ua catdad muy elevate e todo uesto tabao: (

10 ε p = b a Ga. (1.c) 3 La expesó (1.b) es aa e la lteatua. Fue deducda po Gozález (1981, p. - m ) auque o obtee (1.c). Nótese que e (1.b) las potecas de λ, m = 0,, está multplcadas po catdades tísecas (depedetes de g a y sus devadas), lo cual ea de espease debdo a u teoema de Lovelock (1971) aceca de los coefcetes de las potecas paes del polomo caacteístco de b ) e la mesó de e E + 1. Po oto lado, el teoema de Cayley-Hamlto asegua que toda matz satsface su ecuacó caacteístca, po lo que de (1.b) obteemos: ( a c 3 ε K ( b ) b( b ) ( b ) pb g = 0, (1.d) 3 a etedédose que ( b ) = b b b, etc.; elacó que e la seccó 3 seá el puto a de patda paa deduc la detdad de Goee-Gozález-Pña. A (1.d) podemos dale oto aspecto s obsevamos que po (6.a): ( b ) b( b ) = ε ( b 3 a a que e uó de (6.c) pemte escb la sguete expesó equvalete a (1.d): ), a K ε ( ba ) G pb g = 0. (1.e) S e (1.e) utlzamos (6.a) esulta ota teesate detdad: b a M a K a = g ag, (1.f) dode M a = ε bg pg (1.g) a a Al cotae (1.g) co a b y emplea (10.e, 1.f), obteemos K pb = 6 1 K = 6 I +. 1 a Ga I1 (1.h) Es dec, el poducto pb es ua catdad tíseca. Las elacoes (1.e,,h) o se ha localzado e lteatua; e patcula, (1.e) fue sugeda po el D. Eduado Pña Gaza. Ahoa daemos ua demostacó muy smple de que la solucó de Schwazschld (e la cual se apoya dvesos expemetos a favo de la elatvdad geeal) o es

11 sumegble e E 5. E efecto, esta métca satsface G a = a = 0, etoces (1.c, e) 8m mplca K = 0, cotadcedo el valo de = 0 paa tal -espaco, así K 6 que la métca e cuestó o puede cocebse como u subespaco de E 5. E la póxma seccó pobaemos que gua solucó de = 0 es de clase uo. Ates de falza esta seccó covee toduc el teso cofomal de Weyl, de ga mpotaca e el poblema de mesó, defdo e dmesoes po: C m 1 = m + ( g m + m g m g g m ) + ( g g m gg m ), (13.a) 6 el cual satsface las smetías (.d, e) co las popedades adcoales: C m =, * C * = C. (13.b) 0 m m Su dual smple C * Cm cumple co (.d, e, 11.b); además se vefca las detdades: * C m = K1 m * C C, (13.c) m I CmC = I 3 I1 + = I1 K, 3 3 (13.d) am C a CmC = δ, (13.e) * C m = * m. (13.f) I m m La elacó (13.e) fue obteda po Pa (1965, p. 317) medate el cálculo espoal; Lovelock (1967) mostó que es equvalete a (10.b) (també cosulta Goee-Kohle, 1975, pp ). De (7, 13.d) es clao que el teoema (9) se cumple cuado C I + I ) 0. El teso de Weyl tee 10 compoetes ( 1 3 depedetes y e el espaco vacío cocde co el teso de ema; sus duales se elacoa medate: C m 1 a a * Cm = * m + ( ηma ηma ) ηm, (1.a) 6 1 = * * m + ( m g + g m m g g m ) + ( g g m g g m ) (1.b) 3 La detdad (13.f) es medata de (1.a), y al susttu (1.b) e (13.e) esulta (10.b). E las págas ateoes hemos mostado dvesos vaates, a sabe, K K, I, etc., los cuales tee la popedad de se costudos a pat de la 1, 3, C métca g c y de sus pmeas y segudas devadas pacales; po eso, decmos que so vaates de segudo ode. Nalka-Kamaka (199) fueo los pmeos e

12 demosta que u tee (como máxmo) 1 vaates depedetes de ode dos. Dchos vaates se ecueta e foma explícta e Sgh-Shaa-Sgh (1969), peo las expesoes de estos autoes so muy complcadas, así que meo empleaemos las dcadas po Campbell-Wawght (1977, pp ) co la otacó Etoces E * a a = g, D = CaE, * D = CaE (15.a) A 1 = C, A = * C a m A3 = C3 CmC Ca a m A = * C3 * CmC Ca A 5 =, A6 = EE m A7 = EmE E, m c A8 = EmE EcE A 9 = * D E, A10 = D D A11 = D E, A1 = D E m A13 = Dm D E, m A1 = Dm D E Ivaates puos Ivaates de matea Ivaates Mxtos (15.b) (15.c) (15.d) E (15.b) solo apaece los gados de lbetad del campo gavtacoal puo (e el vacío) cotedos e el teso de Weyl; e (15.c) ya apaece el teso de cc que está acoplado a la matea, vía las ecuacoes de Este, y falmete e (15.d) teemos la patcpacó tato de la gavedad como de sus fuetes. Las expesoes (15) també se localza e Debeve (196, p. 331) y Geebeg (197a, 197b). E la actualdad o está clao el sgfcado geométco de estos 1 vaates. Plebañsk-Stachel (1968, p. 80) opa que quzás los tesoes D a y Da popocoe fomacó sobe la teaccó del campo gavtacoal puo y sus fuetes. La peseca de E e (15) se debe a la descomposcó educble del teso de ema obteda po Debeve-Géhéau (1956a): 1 = C + E g + E g E g E g + g g g g 1 ( ) ( ) m m m m m m m m, (16) la cual es cosstete co (13.a). Sea N el úmeo máxmo de vaates depedetes de segudo ode e u dado, etoces e Webeg (197, p. 15) ecotamos la fómula de Debeve-Géhéau (1956, p. 10):

13 1 N = ( + 3 ), 3 3 (17.a) que paa = mplca N = 1, s = 3 obteemos N = 3: y cuado = sólo exste el vaate. ( ),, det (17.b) Es coveete hace ota que u co A = 0, = 1,, Κ, 1 o ecesta se plao. E uesta opó, Pees (1960a, pp. -5) fue uo de los pmeos e mosta ua métca co 0 y sus 1 vaates ulos. Wtte (1959, p. 360) m cometa (mas o popocoa u eemplo explícto) que puede exst u espacotempo co todos los A ulos y 0. ac E uesto tabao es atual pegutase cuál seá la patcpacó de los A e el poblema de la mesó; e la seccó pobaemos el esultado de Goee (1973, 1980, págs. y 51, espectvamete): Todo de clase uo debe satsface A = 0, =,,9,10, 1 (18) y los 9 vaates estates debe cumpl 5 elacoes que los ecadea ete sí. Laczos (196, pp ) ha efatzado las aalogías exstetes ete el teso de ema y su doble dual; s embago, hasta ahoa ade ha mostado que estos tesoes desempeñe u papel semeate (e algú setdo) e el poceso de mesó. esolvamos este poblema abeto: e la seccó de este tabao deducemos la detdad (válda paa todo sumegdo e E 5 ) de Yakupov (1968), expesó (5): = K δ δ δ δ 1 ( ) m m m ac a c c a, (19.a) e la cual, al susttu la ecuacó (3.a) de Gauss, esulta K ( ) m m m ε δ aδ c δcδa = bab c. (19.b) S ahoa supoemos que 0 1 K etoces po (7) exste la matz vesa ( ) compoetes las deotaemos po b b 1 a 1c q paa obtee: b 1 b, cuyas ; falmete multplcamos (19.b) po

14 * * mq = ε ( b bmq bq bm ), (19.c) K expesó que posee la msma estuctua que la ecuacó de Gauss, mostádose así la ga aalogía ete los tesoes de cuvatua y su doble dual. Apoyádoos e (9) cocluímos que: Paa de clase uo co K 0, el poblema de mesó se educe a u aálss de (3.a) o (19.c) (19.d) Los esultados (19.c, d) o se ha localzado e la lteatua.. IMPOSIBILIDAD DE LA INMESIÓN DE VACÍO E la póxma seccó deducemos la detdad de Goee-Gozález-Pña, la cual es de ga utldad e la mesó explícta de e E 5, peo ates de obteela vamos a descata las solucoes de las ecuacoes de Este e el vacío. E efecto, Kase (191a) y Szekees (1966) pobao que u espaco tempo s matea o es sumegble local e sométcamete e E 5 ; sus demostacoes so extesas y otvales. També pesetamos u método ogal, quzás el más smple de todos, de obtee dcho esultado. Este uevo efoque se apoya e u teoema de Syge (1957), cuya pueba es muy seclla y tee la vetaa de se potecalmete útl paa estuda e foma smple la clase de mesó de alguos tpos de espacos emaaos. Po hpótess, uesto es cuvo; e cosecueca la tecó es mosta que ( 3. a, 6) ( k = 0) + plao, (0) mpdédose así la mesó e E 5 de cualque -espaco de ema vacío. Paa obtee (0) utlzaemos el teoema (.1) de Syge (1957): Sea de λ u vecto tpo-tempo abtao ( λ = 1) a c k se tee que F + ( ) = 0 ck λ λ λ λ a λ = 0 e P. km 1 λ λ. S e u eveto P, etoces (1.a) Es clao que s F = 0, e todo puto de esulta u espaco-tempo plao. Pmeo vamos a deduc la foma geeal del vaate F de Syge paa cualque de clase uo. E efecto, al ampla (3.a, 6) e (1.a), obteemos la expesó 3 ( ) a c F = λ λ ε b bc G λaλλ λ (1.b)

15 Po lo tato, s es vacío, a = G a = 0. Etoces (1.b) mplca F = 0 e todo eveto y (1.a) coduce a (0), q.e.d. Esta demostacó es aú más smple que la expuesta e López (1981). Aquí o tuvmos ecesdad de estuda el poblema de egevaloes de b a como sucede e el poceso de Szekees (1966). Auque el obetvo pcpal de esta seccó ya se ha obtedo, cotuemos aalzado co más detalle el esultado (1.a) de Syge. Al evsa la pueba de este auto, descubmos que su teoema e ealdad es váldo paa todo teso A co las msmas smetías que el teso de ema y s atsmetía e k : km S λ es u vecto tempoal abtao y e u puto P se cumple 1 a c k que: F A A λ λ λ λ + ( A λ λ ) = 0 ck a, dode A = A = 0 e P. km A, etoces (1.c) Co esta foma el teoema de Syge puede aplcase a los tesoes km, C, C, etc. E patcula, s elegmos al teso de Weyl y ecodamos que tee taza ula, obteemos: km km a c k C = 0 C C λ λ λ λ = 0 co λ tempoal y abtao, km ck a (1.d) lo cual seá de ga utldad e la seccó 8 al acompleta u esultado de Collso (1968). E coclusó, las solucoes de = 0 tee clase. Po eemplo, la métca de k Schwazschld sí es sumegble e E 6 ; la coespodete mesó fue ealzada, ete otos, po Kase (191b), Fosdal (1959), Futa-Ikeda-Matsumoto (1961a, b, 196), Plebañsk (196), Matsumoto-Ktamua (196), Gupta-Goel (1975) y Hodgkso (198, p. 586). Ea de espease que esta solucó fuea de clase dos debdo al teoema de Kamaka (198): S posee smetía esféca, etoces su clase es, a lo más, dos. 3. IDENTIDAD DE GOENNE-GONZÁLEZ-PIÑA Aquí ecotaemos la exsteca de ua elacó que debe se satsfecha po todo espaco-tempo de clase uo, la cual, e detemadas ccustacas, pemte obtee a b e témos de la geometía tíseca de. E la deduccó de esta detdad es elevate la patcpacó de la ecuacó caacteístca (1.d) y de las detdades de Laczos (1938) dcadas e (10.b, c). Gozález-Pña (1981) estudao la mesó local e sométca de e E 5 y obtuveo la mpotate expesó:

16 1 1 1 pb = + m mp m m mp m, (.a) dode p está defdo po (1.c). E el poceso de estos autoes o patcpa explíctamete las detdades de Laczos; además, ellos o obseva que () es válda paa toda de clase uo, lo cual fue pobado po López (198). Po oto lado, Goee (1973, 1976) elacoes (.38) y (3.1), espectvamete, sólo cosdea el caso = y deduce (empleamos (1.h), paa así compacta la expesó esultate):. (.b) S e (.a) aplcamos (10.b,c) y e (.b) susttumos (13.a), obteemos la msma elacó:, (.c) mostádose así la equvaleca de (.a, b) paa el caso =. A pesa de que cosdeamos supeo a (.a) (po su valdez paa abtao) que cualesquea de la expesoes (), le llamaemos detdad de Goee-Gozález-Pña (IGGP). E ellas (.a) es la más geeal, peo (.c) (que o hemos localzado e la lteatua) es la más smple. Pobaemos (.a) medate el poceso de Becel-López (1983), e el cual so elevates el teoema de Cayley-Hamlto paa b a, y las detdades de Laczos (1938) ete el teso de ema y su doble dual. Es dec Ea de espease la patcpacó de (10.b, c), ya que so equvaletes a (1.d) paa espacos de clase uo (ve Goee-Kohle, 1975, p.311). El valo de la IGGP adca e que pemte ecota a b cuado p 0, e cuyo caso b c queda detemado po la pmea foma fudametal de ; etoces, sguedo a Thomas (1939, p.89) decmos que el espaco e cuestó es tísecamete ígdo, cumplédose que Más adelate ecotaemos la foma geeal explícta paa b e todo co gdez tíseca, esultado ogal que costtuye uo de los pcpales logos de este tabao. No exste u método sstemátco paa costu b cuado p=0. Medate uso epetdo de (3.a, 6.a,b), so medatas las elacoes: (3) ()

17 que al coloca e (1.d) (ecoda (1.c)) mplca (5) Peo de la ecuacó de Gauss teemos que etoces (5) coduce a (.c). El coefcete p se calcula al multplca (.c) po y usa (1.c):, (6.a) que a su vez fa el valo de ε=±1. La expesó (6.a) o se ecueta e los tabaos de Goee y Gozález-Pña. Nótese que (.c) se cumple sólo paa dmesoes debdo a la peseca de K. El sguete obetvo cosste e elma a dcho vaate paa obtee ua elacó que pueda se válda paa cualque dmesó. E efecto, s e (.c) susttumos (10.b, c) se deduce (.a), la cual se aplca e la mesó de e E +1 (ve López, 198). E esta foma hemos pobado (.a) de acuedo al esquema (3). Como ya señalamos, cuado p 0, uesto espaco posee gdez tíseca; etoces es atual pegutase bao qué codcoes puede gaatzase que p seá dstto de ceo. De (.c) es clao que S B a 0 paa algú valo de los ídces a y etoces p 0 (6.b) o be, mplca. (6.c) Ates de segu buscado codcoes sufcetes coducedo a u p o-ulo, es coveete toduc los vaates depedetes de segudo ode que como máxmo tee todo teso smétco de ode dos e. E este caso os teesamos e b y ac :,,,,,,. (7) A pat de la ecuacó de Gauss, Goee (1976, p.17) ha demostado dvesas elacoes que ecadea a p y C co los vaates (7):, (8.a) (8.b)

18 ,, (8.c). (8.d) De (8.a) es medata la codcó sufcete: mplca (9.a) y de (8.c, d) esulta que (9.b) Co (8.a, c, d) també puede obteese las detdades:,, (9.c), (9.d) y de esta últma deducmos que mplca (9.e) Ivesamete S y p so 0 etoces (9.f) Además, de (6.a) obteemos la codcó ecesaa y sufcete: s y sólo s (9.g) Las elacoes (9.a, b, e,f) se ecueta e el atículo de Goee (1976) y tee el defecto de se sufcetes, es dec, co ellas o teemos la plea segudad de descub s p 0. Po eemplo, s T=0, la codcó (9.b) o afma ada sobe p; po esta azó opamos que (9.g) (que o está e la lteatua) es supeo a todas las demás. E coclusó, dado de clase uo, toda la fomacó especto a p está coteda e (6.a). Esquemátcamete: (30) Esto mafesta que el vedadeo poblema e el poceso de mesó adca e el caso p=0, lo cual coduce a las pegutas:

19 Qué espaco tee p=0? Cuado p=0 la mesó es posble? E caso egatvo, cómo detemamos ε y b c? (31) Cosdeemos estas cuestoes. Al meos hay dos stuacoes co p ulo: 1. Espaco vacío Po (6.a) es clao que G a =0 mplca p=0, peo este vacío es descatado po lo efectuado e la seccó.. Espaco de Este-Maxwell E este caso la gavtacó es poducda po u campo electomagétco F =-F. Collso (1968) (ve seccó 8) pobó que: Sólo u tpo N (e el setdo de Petov) co F ulo (sus dos vaates vale ceo) puede sumegse e E 5. (3.a) Esta codcó ecesaa mpde, po eemplo, que la solucó de esse-nödstom sea de clase uo. Además, s ecodamos el esultado de Ksha (1966) y Plebañsk- Stachel (1968): Todo espaco-tempo co smetía esféca es tpo D, (3.b) etoces (3.a) pemte euca el teoema: U de Este-Maxwell co smetía esféca o puede se subespaco de E 5 (3.c) el cual ya había sdo sugedo po Padey (1961). Co (3.a) Collso demostó que:, y b puede, o o, se ulo. (3.d) A pesa de esto, dcho auto logó efectua la mesó, sólo que deó de tee gdez tíseca. Aquí apedemos que p=0 o mpde ecesaamete la mesó, auque sí puede flu e la obtecó de b a úcamete e témos de la geometía tea del -espaco. No coocemos otas stuacoes dode p=0, paa ecotalas debemos costu métcas (ve (.c)) que cumpla la ecuacó tesoal: vestgacó que deaemos pedete., (33)

20 Ahoa cosdeemos la peguta del esquema (30). Paa este f aceptamos que p=0. E este caso, el D. Eduado Pña G. os ha sugedo el empleo de (1.e). (3.a) S aceptamos la hpótess, (3.b) etoces (3.a) pemte detema el cuadado de la seguda foma fudametal:. (3.c) Po (3.d) es evdete que (3.c) o es válda paa ua métca de Este-Maxwell; además, O afeatagh (196, p. 67) demostó que (3.b) o se cumple sobe u 3- espaco de Fem de. La ecuacó de Gauss popocoa la elacó que al combase co (3.c) coduce a:,, (35.a) de dode, (35.b) que a su vez fa el valo de cuado. Po últmo, s, (35.c) etoces de (35.a) podemos despea a b c e fucó de catdades teas del espaco-tempo, adquedo la foma (). Este poceso muesta que: U de clase uo co p=0, det(g a ) 0 y b 0 es tísecamete ígdo. (36) Peo aquí apaece dos dfícles cuestoes: a) S es de clase uo co p=0, Cómo obteemos a b c (s es posble) cuado se vefque (3.b) o/y (35.c)? b) Exste u paa el cual sea váldo el teoema (36)?

21 E elacó a la pmea peguta opamos que el cálculo de b cuado p=0 depede fuetemete de la métca dada. No puede detfcase u método sstemátco coducedo a la seguda foma fudametal. Uo se covece de esto leyedo el atículo de Collso (1968), dode se ealza ua mesó de u cumpledo (3.d). especto a la seguda teogate, pobaemos que o exste u espacotempo paa el cual se vefca el esultado (36). Ates de demosta esta afmacó seá ecesao poba el sguete teoema (empleado peo o ustfcado po Goee (1976)): U meso e E 5 es ígdamete tíseco s y solo s p 0 (37.a) E la lteatua o hemos localzado demostacó algua de (37.a). Estamos de acuedo (po (.c, 6.a)) que p 0 mplca gdez tíseca, peo lo veso es otval. De (37.a) es medata la falsedad de (36), o sea: E u sumegdo e E 5 : p=0 mplca det(g a )=0 o/y b=0, (37.b) lo cual pobaemos más adelate. Las afmacoes (36, 37) muesta la ecesdad de u aálss cudadoso del caso p=0, que a cotuacó ealzamos. Cuado p se aula podemos utlza (3.a) e luga de la ec. caacteístca (1.d):, (38.a) y al calcula el detemate de ambos membos (ecoda (7)) esulta ; (38.b) po lo tato p=0 mplca K =0 o/y. (38.c) S K =0 etoces o exste la matz vesa y o podemos asegua que la ecuacó de Codazz sea cosecueca de la de Gauss, así que e geeal el poblema se vuelve algebaco-dfeecal. S K 0 etoces y (3.c, 35.b) so váldas. Además, al multplca (38.a) po obteemos:, (38.d) de dode

22 (38.e) es dec, la taza de es ula cuado p=0 y K 0. Cotestemos a la peguta: Qué estuctua tee b cuado posee gdez tíseca? (39) Paa esto ecodemos el podeoso teoema de Lovelock (197) (també cosulta Lovelock-ud, 1975, p. 3): E el teso A más geeal satsfacedo: está dado po: dode α y β so costates., (0.a), (0.b), (0.c) Nótese que e (0.a, b) o hubo ecesdad de ped lealdad e g ac,d smetía de A. Ahoa be, s es tísecamete ígdo etoces po () y la ecuacó de Codazz teemos (1.a) así, el teso A = b b g cumple co (0.a, b) y po tato debe tee la estuctua (0.c): Tomado su taza deducmos. (1.b), (.a) que al susttu e (1.b) mplca u esultado uevo y podeoso e el campo de la mesó: (.b)

23 co la cual queda cotestada la teogate (39). La expesó (.b) es muy atactva po su smplcdad y po su valdez geeal bao la hpótess de gdez tíseca; debdo a la defcó del teso de Este podemos escbla como. (.c) E patcula, las métcas de Este y DeStte posee u teso seguda foma fudametal del tpo (.b) (ve Gozález, 1981, Cap. II). Los modelos de Fedma també obedece a uesto teoema poque (.b) cocde co la pmea expesó de la p de Szekees (1966). Cuado α=0 obteemos, que al susttu e (3.a) mplca la solucó de DeStte, sobe la cual ya sabemos que tee p 0 y gdez tíseca. Po lo tato, al emplea () estaemos aceptado que α 0. Las costates α y β debe detemase medate las ecuacoes de Gauss-Codazz; s esto es mposble, etoces o es tísecamete ígdo. S susttumos (.c) e (3.b), obteemos ua codcó ecesaa dfeecal sobe (la cual o hemos localzado e la lteatua):, (3.a) o be co. (3.b) Además, s ecodamos que e todo espaco-tempo el teso (13.a) de Weyl satsface, (3.c) etoces (3.c) mplca es dec, (3.d) Esto últmo, debdo a que el teso cofomal es autodual (ve (13.b)). Po lo tato: E u meso e E 5 co gdez tíseca, el teso C km cumple las detdades de Bach. (3.e) Este esultado ogal es muy podeoso y a su vez coduce al teoema: Sea de clase uo co b de la foma (). S C km =0 sobe u 3- espaco o-ulo e, etoces C km =0 e todo puto del espaco-tempo (3.f) el cual seá de ga utldad e la seccó 6, cuado estudemos subespacos de Fem de sumegdo e E 5 e tísecamete ígdo. La pueba de (3.f) se apoya e el

24 famoso teoema de O afeatagh-syge (1958) (també ve Stauszkewcz, 196, p.7, seccó 3): S am =0 e y akm =0 e u 3-espaco o-ulo, etoces akm =0 e. (3.g) e otas palabas (cosulta Aowtt-Dese, 1963, p. 30): s akm =0 e t=0, etoces cotúa sedo plao e tempos posteoes. (3.h) Al aalza co cudado la demostacó que O afeatagh-syge da de (3.g), esulta que su teoema admte la sguete geealzacó: Sea A km u teso satsfacedo todas las smetías del teso de ema, cluyedo las detdades de Bach, y. S A k =0 e y A km =0 e u 3-espaco o-ulo, etoces A km =0 e. (3.) De (13.b, 3.d, ) es medata la valdez de (3.f), q.e.d. Co (6.a, b, 1.c, ) puede deducse las elacoes: (.a) y al comba () co la detdad (.c) de Goee-Gozález-Pña, obteemos ua expesó de la foma, (.b) sedo A y W cetos coefcetes. S A 0 etoces de (.b) cocluemos que el de clase uo co gdez tíseca más geeal que puede costuse es a) =0 o b), lo cual es falso. Po lo ealzado e la seccó sabemos que la opcó a) es mposble; la posbldad b), e uó de (3.a, ) mplcaía que la métca de DeStte es el úco espaco-tempo tísecamete ígdo, peo esto o es vedad poque los modelos de Este y Fedma també lo so. Po lo tato, A=W=0 coduce a las codcoes: (.c)

25 co las cuales fluye e (.a) poque. (.d) Co () puede demostase (o lo haemos aquí poque la pueba es muy extesa) el mpotate teoema (37.a), que a uesto uco costtuye u esultado básco e el poblema de la mesó: S es de clase uo, etoces b es de la foma () s y sólo s p 0 ; (5) ecuédese la afmacó (9.g). Medate (5) puede establecese la valdez de (37.b), lo cual sgfca que o exste u que cumpla (36). Paa se más pecsos: 1. p=0 y K 0 mplca b=0 y (6.a). p=k =0 mplca (6.b) Los esultados (6) o se localza e la lteatua. Es útl cosdea oto hecho teesate: e (19.c) pobamos que la ecuacó de Gauss puede se eescta e témos del doble dual paa el caso K 0, (7.a) y como (7.a) tee la msma estuctua que (3.a), etoces podemos aplcale el pocedmeto empleado e la obtecó de la IGGP, deducédose que (ve (.c)):, (7.b) dode (7.c). Co la defcó de N acq se ecueta que:

26 ,. (7.d) etoces (7.b) mplca la compacta expesó:, (7.e) y s e (7.e) cotaemos ídces esulta:, (7.f) lo cual sgfca que el poducto de la taza de y tee caácte tíseco depedetemete del valo de p, co tal de que K sea dstto de ceo. Cuado p=0 y K 0, las expesoes (33, 7.f) coduce a (38.e). De (6.a, 7.e) obteemos que: p=0 y K 0 mplca. (7.g) Po últmo, vamos a obtee la foma del teso de ema paa u espaco-tempo de clase uo y co gdez tíseca. Paa ello basta emplea (13.a,.c) e la ecuacó de Gauss, obteédose α ( ε + αv ) = αvc + α ( ) + V V + ( g g g g ) km km co. k m m k 3 k m m k, (8). CONDICIONES NECESAIAS PAA LA INMESION DE E esta seccó deducemos cetos equstos algebacos y dfeecales que debe satsface el espaco-tempo paa pode se meso e E 5. Estas codcoes so ecesaas ya que su compotameto o gaatza la mesó; s embago, su volacó sí asegua que o es de clase uo. Pobaemos (18) y u esultado ogal, a sabe, ua codcó ecesaa dfeecal, la cual seá cosecueca de la IGGP, y de ua detdad de Matsumoto (1959). També se dca la teesate codcó de ud paa la mesó de e E +1. Co la ecuacó de Gauss es smple calcula el vaate 13.c, 15.b), obteédose, ve (11.e, (9.a) debdo a la atsmetía de los tesoes de Lev-Cvta. La codcó (9.a) se ecueta e el tabao de Collso (1968, p. 3); paece se que fue el pmeo e deducla. Dcha codcó també está mplícta hasta ceto puto e el teoema 3

27 de Leve-Zud (1970). Goee (1973, p. 1) pobó la valdez de (9.a) paa todo de Este algebacamete especal meso e E 6. Etoces (11.d, 9.a) mplca ua detdad que es satsfecha po todo teso de la foma (3.a):. (9.b) Po oto lado, la detdad de Laczos (10.b) puede escbse e témos del dual smple:, (9.c) que al multplcase po y emplea (8) coduce a ua elacó geeal:. (9.d) S es de clase uo, etoces la ecuacó de Gauss pemte demosta que los tes témos del membo deecho de (9.d) so guales ete sí, po lo tato:, (9.e) que a su vez mplca ua expesó semeate a (9.b): (9.f) Además, al cotae (9.e) co, esulta la detdad de Yakupov (1968), (9.g) la cual es compatble co (10.b), y que e la seccó 1 fue elevate e la obtecó de (19.c). Paa todo espaco emaao puede demostase la elacó, (9.h) que e vtud de (9.a, f), mplca, (9.) y así, po (1.a): (9.)

28 etoces, de (15.a, d, 9.) es evdete que: * D =, A = A = A = 0. (9.k) S ahoa utlzamos (13.a, 15.b, 9.a) y la detdad geeal:, (9.l) obteemos, (9.m) y falmete, al emplea (11.b, 13.a, 1.a, 9.b, e) e (9.m) cocluímos que:. (9.) Co (9.a, k, ) queda pobada la afmacó (18). Dcho esultado se debe a Goee (1973, p.). Ahoa vamos a deduc ua codcó ecesaa o localzada e la lteatua. Supogamos K 0, etoces al multplca membo a membo las elacoes (.c, 7.e),, (50.a) y al coloca (10.c) e el coefcete de e (50.a) obteemos que: Todo meso e E5 co K 0 debe satsface:, (50.b) dode hemos utlzado (1.h). ud (ve Lovelock, 1971, p. 75) ecotó la sguete codcó ecesaa paa todo meso e E +1 : la cual es cosecueca de la ecuacó de Gauss. La demostacó de (51) es smple, auque o coocemos cómo motva su exsteca, es dec, o sabemos cómo se le ocuó a ud. A cotuacó mostaemos la foma de costu ua elacó de caácte dfeecal que debe cumpl u -espaco de ema paa pode se meso local e sométcamete e u (+1)-espaco pseudo-eucldeao. E uesta opó, las codcoes ecesaas que hasta ahoa se ha ecotado paa u de clase uo sólo tee caacteístcas algebacas, lo cual sgfca que úcamete toma e cueta la (51)

29 ecuacó de Gauss. S embago, e geeal el poblema de la mesó exge també el cumplmeto de las elacoes dfeecales de Codazz, así que ua codcó, volucado a (3.a, b), posee más fomacó especto a la clase de mesó de ; aquí exhbemos ua codcó de este tpo. Matsumoto (1959, elacó (.9)) ecotó ua teesate detdad paa todo de clase uo: (5.a) Po oto lado teemos (.a), cuya cotaccó de ídces mplca: (5.b) Etoces la mecoada codcó ecesaa dfeecal (que o escbemos) se obtee multplcado (5.a) po p y utlzado (.a, 5.b). E más smple y de mayo teés físco cosdea el caso elatvsta =, deducédose que: (5.c) codcó que o hemos localzado e la lteatua. S u vola a (5.c) etoces es mposble su mesó e E 5. Debe señalase que ade a ecotado codcoes algebacas paa, > de clase dos (paa = teemos las codcoes de Goee-Matsumoto-Yakupov) y tampoco exste codcoes dfeecales paa meso e E +,. 5. MÉTICA DE GÖDEL Se dca dos puebas smples de que la métca de Gödel (199) o es sumegble e E 5. Ua de ellas se apoya e el aálss de Baes (197) sobe la estuctua algebaca de los tesoes de Weyl, cc y seguda foma fudametal; la ota emplea (). La solucó de Gödel:, (53) satsface las ecuacoes de Este co la costate cosmológca y coespode a la gavtacó poducda po u fludo pefecto coheete (pesó ceo). Szekees (1966, p. 1075) y Eguch (1967, p. 0) demostao que (53) o es de clase uo. A cotuacó daemos dos puebas secllas de ello: a) Estuctua algebaca de C abm y c.

30 Es muy coocdo que el teso de Weyl, asocado a (53), es tpo D e la clasfcacó de Petov; además, paa dcha métca so váldas las elacoes: etoces la Tabla 1 de Goee (1976) os dce que es tpo [3 N-S] [-1] =[(1)1] e el esquema de Chuchll-Plebañsk. S embago, e la Tabla II de Baes (197) o exste teso de cc de este tpo acoplado a u teso cofomal tpo D. Po lo tato, (53) o está meso e E 5, q.e.d b) co gdez tíseca. De (6.a, 53) teemos que:, y como p 0 cocluímos que el modelo de Gödel posee gdez tíseca (ve (37.a)). Cuado esto ocue (3.a) y =1 mplca la codcó ecesaa dfeecal: la cual es volada po (53), ya que e cosecueca, esta métca o es de clase uo, q.e.d. 6. SUBESPACIOS DE FEMI Decmos que u subespaco F 3 es tpo Fem s sobe él se cumple que,., (5.a) dode km es el teso de cuvatua de y p k, q m so cualesquea dos vectoes e F 3. O afeatagh (196, p. 65) ha demostado que sobe u F 3 o-ulo sedo N la omal al subespaco co dcado. Nuesta tesó es poba dos esultados ogales, a sabe: y, (5.b) K =0 sobe F 3 cuado está meso e E 5 (5.c) es cofomalmete plao cuado es de clase uo co gdez tíseca (5.d)

31 S es sumegble e E 5 etoces se vefca (3.a,.c). Estudemos el compotameto de estas expesoes sobe F 3. O afeatagh pobó que además de (5.b) també se cumple: G = 0; (5.e) N al susttu (5.b, e) e la IGGP obteemos: pb = K 8 g ε I 1 I N N, (55.a) geeádose así dos casos: a ) p = 0, dode (55.a) adquee la foma: K g I = ε I1 NN que al multplca po el vecto abtao e F 3 coduce a b ) p 0, K, = 0, y (55.b) =, el que, s cotaemos (55.a) co cualque vecto q e 3 F esulta, K 8 p b q = Aq co A =, que po (3.a) y (5.a) mplca: ( p q p q ) = 0, k m km p q = ε A y como p, q c so vectoes abtaos e F 3, etoces K = 0, (55.c) co (55.b, c) queda pobada la afmacó (5.c). Ahoa (55.a) se educe a: b ε I = I1 NN p sobe F 3,

32 que al coloca e (3.a) pemte deduc que: = = 0 b = C = 0. (56.a) km = k km Es dec, sobe el subespaco de Fem se aula los tesoes de Weyl y seguda foma fudametal, etoces (5.d) es medata de (3.f), q.e.d. La métca de DeStte (espaco de cuvatua costate) sí es sumegble e E 5 co p 0 (ve Gozález 1981, cap. II) peo e gú eveto se cumple (56.a), así que esta métca o posee 3-espacos de Fem. Además, de (.c, 56.a) obsevamos β = 0 y así (.c) os queda: b α g (56.b) 6 = Al susttu (56.b) e (3.a) y utlza (5.d) obteemos ua estuctua especal paa el teso de ema del espaco-tempo: km ( ) + F( g g g g ), = E (56.c) k m m k k m m k dode 3εα εα =, F = (56.d) 3 εα 1 3 E ( εα ) Es clao que e lo ateo se cumple que ( 3 εα ) 0 poque so tedíamos ε = 3 = cte 0, cotadcedo así a (56.a). Se (1957, , 1966) ha α ealzado u aálss cudadoso de espacos emaaos del tpo (56.c) co E 0 mostado métcas de tales espacos. Se (1966) demostó el teesate teoema: U cofomalmete plao es de clase uo s y sólo s satsface (56.c) co E 0 y F escalaes (56.e) 7. INMESION DE UN DE EINSTEIN EN UN + 1 DE CUVATUA CONSTANTE Aquí estudaemos a como ua hpesupefce de u espaco emaao (+1)- dmesoal de cuvatua costate. Nuesto aálss se apoyaá e la IGGP lo cual mostaá el pode de ésta al deduc e foma smple u teoema de ud (197) aceca de este tpo de subespacos. E este caso las EGC os queda ~ m m ( g g g g ) = ( b b b b ), K ε (57.a) m m m m

33 b b 0, (57.b) ; ; = dode K es la cuvatua Gaussaa costate de + 1 y los estates obetos tesoales peteece a. E elacó a (57.a), ud ha demostado que bao cetas codcoes (a especfca más adelate) se cumple el esultado: b S es u espaco de Este = g etoces es umblcal b b c = gc e todos sus putos. (57.c) Dcho auto pobó (57.c) medate u aálss del poblema de egevaloes de b. E este tabao demostaemos (57.c) paa los casos físcos =3 y, utlzado la detdad de Goee-Gozález-Pña. A (57.a) podemos aplcale (.a) paa obtee: pb 1 m 1 m = + m m mc ( 1) mc + K K 6 [( 3) + ( 1)( ) K] g, (57.d) ε 3 εk 6 c co p = b G ( 1)( ) b. c (57.e) Ahoa cosdeamos dos stuacoes: 1 ) = 3 Es muy coocdo que e 3 el teso de cc detema al de ema: c = g c + c g g c c g + ( g g c g cg ), etoces (57.d, e) queda: pb c I I1 = c + K + K + g, (57.f) tal que ε εk p = G b b. 3 3 Po últmo, s aceptamos que 3 es u espaco de Este

34 = g, (57.g) 3 de (57.f) esulta: K εb 6 b 3 + K + g 6 + = 0, (57.h) así que es umblcal s K Esto es compatble co (57.c). Bao estas codcoes, de (57.h) obteemos: bb = 3ε K + g, 6 co b = 9ε K + > 0, 6 (57.) lo cual fa el sgo de ε. Al susttu (57.) e (57.a) puede demostase que 3 també es de cuvatua costate: m = ( g g m g mg ). (57.) 6 A pat de (57.) es smple obtee (57.g). ) = E este caso las detdades de Laczos (1938) (ve (10.b, c)), educe a (57.d, e) a la foma: pb 1 c K K = cg + K K g, (58.a) 8 6 co ε c p = b G εbk. 3 c Al supoe que es tpo Este: = g, cte. (Idetdades de Bach), (58.b) = de (58.a) obteemos uevamete que b es múltplo de g :

35 K ε b K + b = K K g (58.c) Po lo tato es umblcal s 0 1 b K +, e acuedo co (57.c). Así teemos que posee gdez tíseca e el setdo de la seccó 3. Etoces b debe se de la foma (.c): b 1 = 6 ( α + β ) g + α, que e uó de (58.b) mplca: b b α = g, b = β 3 = cte, (58.d) sedo α y β costates a detema. Al coloca (58.d) e (57.a) deducmos: m ε ( g g g g ), K = K + b, = K (58.e) m m 16 lo cual epeseta u espaco de cuvatua K costate y costtuye ua geealzacó del teoema II de Szekees (1966, p. 1071). Medate (58.b, e) es medato que: K =, b = 16ε K + > 0, 1 1 K = I3 = 6 ; etoces (58.c) os queda bb = ε K + g 1. Co (57.d, e) es posble obtee (o lo haemos aquí) los esultados de Ktamua (1965, 1966) especto a la mesó de espacos co smetía esféca e 5 de cuvatua costate.

36 8. INMESIÓN DE CON CAMPO ELECTOMANÉTICO El obetvo de esta seccó cosste e el estudo de las codcoes ecesaas que debe satsface u espaco-tempo de clase uo cuya cuvatua es poducda po el campo de Maxwell. Al especto, Collso (1968) demostó que (ve (3.a)) debe se tpo N (e la clasfcacó de Petov) co teso de Faaday F = ulo (ambos vaates vale ceo) F (59) Esto mplca, po eemplo, que la métca de esse Nödstom tee clase. Collso obtuvo (59) medate el fomalsmo de Newma-Peose (196). Leyedo su atículo uo se covece de que dcho esultado es o tval y dfícl de compoba. E el efoque de este auto o está clao que C 0. Co (1.d) demostaemos que o es plao e el setdo cofomal. Supogamos que el campo electomagétco es la úca fuete de gavtacó, etoces la cuvatua del espaco-tempo es geeada vía las ecuacoes de Este: dode Q es ua costate y: F1 G a = QTa = Q Fa F g a, (60.a) m F = F m F,, (60.b) 1 El hecho de que los fotoes tega masa ula e eposo, mplca que la taza del teso de Maxwell es ceo: T = 0 (60.c) y así (60.a) mafesta que = 0. Es dec, los tesoes de Este y cc cocde, educédose las ecuacoes de campo a la foma: ac = QT ac. (60.d) E dmesoes todo teso atsmétco de segudo ode (e este caso tee dos vaates: (60.b) y dode F es el dual del teso de Faaday dado po: km F ) sólo F = F F, (60.e) Defmos: 1 a Fm = Fm = η ma F. (60.f)

37 1 [( F 1 ) ( F ) ]. 1 F = + (60.g) Etoces F ab es ulo o o-ulo s F = 0 ó F 0, espectvamete. E otas palabas, e el caso ulo, ambos vaates vale ceo. Ua clasfcacó más pecsa del campo electomagétco puede ecotase e Pña (1967) y Syge (1967). ach (195) (ve Lovelock, 1967 y López, 1981) demostó que todo teso de Maxwell satsface la detdad: T a T c a = F δ ; (60.h) c també cotamos co las popedades dfeecales: F ac ac ; c = F; c = 0, Ecuacoes de Maxwell ac T ; c = 0, Idetdades de Bach cotaídas (60.) E cosecueca, (60.d, h, ) mplca (tomaemos Q = 1) ac a ac =, = F δ, = 0, (60.) 0 c ; c paa todo campo electomagétco, po lo tato Ahoa aceptemos el esultado (59): a) es tpo N I = F, I 0 (60.k) 1 = Etoces el método de Pees (1960a) os popocoa: C 0, (60.l) m C = C = C a = C = 0, C C a m 0 (61.a) 3 3 = y el efoque de Sachs (1961, p. 335) muesta la exsteca de u vecto ulo (deccó pcpal -degeeada) K ~, satsfacedo la codcó b) F es ulo C ~ a = 0 (61.b) a K E este caso exste u vecto ulo K (be defdo) aputado haca el futuo y u vecto espacal A (s ucdad), tales que

38 F = K A c c = K K, K c c F K = F K c c A, = 0, c K c F = = η c A c c K A = 0, c K A, = 0 F = 0 A A = 1 (61.c) Estas elacoes o se altea s a A le sumamos cualque múltplo de K (aquí adca la o-ucdad de dcho vecto) y puede ecotase e use (1936, pp ) y Syge (1965, pp ). El campo electomagétco ulo e elatvdad geeal ha sdo muy estudado, aquí ecomedamos la lectua de los sguetes tabaos: Wtte (1959), Pees (1960b), Kozazewsk (196), Peey (1965), Batum (1967) y Kcheassamy (1968). El teoema de Maot (195)-obso (1961) (també ve Ludwg, 1970, p. 107) os asegua que: La cogueca asocada co K es geodésca y s defomacó, (61.d) Etoces u teoema de Goldbeg-Sachs (196) mplca que: K es ua deccó de Debeve-Peose, (61.e) lo cual, e uó de (61.d) coduce a la detfcacó: ~ K = K. (61.f) esto sgfca que las deccoes pcpales de los tesoes de Faaday y Weyl está aleadas. Como = K K etoces es medato que c c m = 0, (6.a) m y así (9.g) mplca p = 0 ; po lo tato (ve (5)): U campo de Este-Maxwell meso e E 5 o es tísecamete ígdo, (6.b) esultado que o está e foma explícta e el tabao de Collso (1968), auque sí se ecueta e Goee (1976), teoema. De (1.h, 60.k) y p = F = 0 obteemos po lo cual o exste ~ 1 K = 0, (6.c) b y la ecuacó de Gauss o mplca la de Codazz, el poblema de la mesó se vuelve algebaco-dfeecal. De gual maea, medate (10.d, 15, 61.a, b, c 6.c) vemos que uesto espaco-tempo cuvo tee ulos sus 1 vaates de segudo ode:

39 I = 0, A = 0, = 1,,1 (6.d) 3 Κ Pees (1960b) ha dado u eemplo de u o plao co A = 0. De (16, 61.b, c, f) es smple deduc c K = 0 = 0, = 0 (6.e) c c de dode es evdete (6.a). E esta foma IGGP os queda 0 = 0 y dea de popocoaos fomacó sobe b, s embago, aú teemos su polomo ~ caacteístco (1.d): 3 ( ) b( b ) = 0 c c b, es dec, b b = 0, (6.f) y po la ecuacó de Gauss (6.a) y la detdad de ach co F = 0, (6.f) os queda: Esto coduce a dos opcoes: I. b = 0. Etoces (6.a, 6.f) mplca: c c ( K ) K = 0 c = b b c a c bb (6.g) b ~ a = 0 ~, = εb b,, (63.a) a y como = p = 0 coduce a: = ~ 3 ( ) = ( b ) = 0, det( b ) 0 ~ b (63.b) = ~ esulta que t b 0, =1, Κ,. Así la Tabla I de Goee (1976) os lleva a que: b es tpo [ ] [ ] = [( 11) ] N ; (63.c) peo e la Tabla II del msmo auto sabemos que u teso de este tpo satsface: 3 ( ) = ( b ) 0 b (63.d) = ~ ~ que al susttu e (63.a) mplca = 0 lo cual es ua cotadccó, po lo tato Todo campo Este-Maxwell de clase uo debe tee b 0 (63.e)

40 Este esultado o se ecueta e los tabaos de Stepha (1967) y Collso (1968). Además coocemos que 11 poque pocede de u campo es tpo [( )] electomagétco ulo; s b fuea gual a ceo etaía e cotadccó co la Tabla II de Baes (197). II. b 0 E este caso de (6.f, g) obteemos: 3 3 = ~ ~ ~ ~ b bb = 0, b bb 0, (6.a) c ( b K ) K 0. c b 0, = (6.b) c = c S multplcamos (6.b) po u vecto ulo tal que K = 1, esulta que b = 0 (6.c) K c c y así, e uó de (61.b, c) cocluímos que C m, ca y b m tee la msma deccó pcpal ula. De (6.a) vemos que los egevaloes de b so 0 (co tple ~ multplcdad) y b ; etoces la Tabla II de Baes (197) mplca que: b es tpo [ S] [ ] [( 1) 1] N, (6.d) 3 1 = y al emplea (5) de este auto co λ = λ 0, λ = b obteemos: 1 = 3 b b = K K A + ba A, K A = 0, A A = 1, = b, b B = 0, B K = B A = 0, A, B = vectoes popos espacales s degeeacó. K = egevecto -degeeado. (6.e) estas elacoes equvale a (18) de Stepha (1967). De la ecuacó de Gauss: a = ε ( b b bb ), (6.f) a y (6.e) es evdete que dsttos valoes popos: m y b m posee los msmos egevectoes auque co K = 0, A = B = 0. (6.g) Esto sgfca que obteemos es de tpo [ N ] [ ] = [( 11) ] ca ; s colocamos (6.e) e (3.a, 6.f)