ECUACIÓN DE DIFUSIÓN PARA FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS.

Transcripción

1 09- ECUACIÓN DE DIFUSIÓN PARA FLUJO DE FLUIDOS EN MEDIOS POROSOS. Iroduccó. Para obeer la ecuacó geeral que descrbe el comorameo del flujo de fludos a ravés de medos orosos, se hace uso de dferees rcos físcos: Coservacó de masa (Ecuacó de Coudad). Coservacó de Momeo (Ley de Darcy). Ecuacó de Esado. Coservacó de Eergía. Ecuacó geeral. Cosderado la ecuacó: k qm x x () Esa ecuacó rge el flujo de ua sola fase e ua dmesó e forma horzoal, asumedo que se alca la ecuacó de Darcy. Eoces, desarrollado la ecuacó () dervado como roduco de fucoes se ee: k k qm x x x x () Agruado y alcado la regla de la cadea: k k q m x x x x k k qm (3) x x x Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara

2 09- El gradee de resó al cuadrado es, or lo geeral, muy equeño, eoces uede ser desrecado. Como la comresbldad del fludo y de la roca se defe como: cr T (4) c f Y sabedo que: Se uede susur e () c cr c f (5) k q m c x x (6) Dvdedo (6) ere la desdad a codcoes esádar, se ee: T k q m c (7) x x s s Cosderado que el facor de volume del fludo esá dado or: Susuyedo e (7): B s (8) k q c x x B m s (9) S cosderar fuees sumderos y cosderado (9) queda como: c x k () k y cosaes la ecuacó Que es la ecuacó de dfusó ara flujo moofásco e ua sola dmesó. Codcoes cales y de froera. La solucó o sólo debe obedecer a la ecuacó dferecal, ambé debe sasfacer ua codcó cal y a u cojuo de codcoes de froera. Para el Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara

3 09- roblema de flujo de fludos e ua dmesó la codcó cal e odos los uos a lo largo del yacmeo es: x, 0lb g P cal () Las codcoes e la froera descrbrá la resó e cada exremo del yacmeo como fucoes del emo, or ejemlo: P froera P froera x 0, 0lb g x L, 0lb g (a) (b) E el caso de la smulacó umérca de yacmeos las codcoes de froera se uede referr a la ared de los ozos y a la froera del yacmeo, la codcó cal se refere al esado e el que se ecuera el yacmeo al comezo de su exloacó. Méodo exlíco, mlíco y Crak-Ncholso. Hasa el momeo y maemácamee hablado, hemos esado refrédoos a ua ecuacó dferecal arcal arabólca ordara, el crero ara resolver ese o de ecuacoes or medo de u méodo umérco cosse e reemlazar las dervadas arcales or aroxmacoes e dferecas fas. Eoces, regresado a la exresó () que es la ecuacó de dfusó ara el flujo de fludos a ravés de medos orosos: Para resolver el érmo x c x k () se ulza dferecas cerales, eso es (or lo vso aerormee) debdo a que las dferecas cerales ee ua recsó más ala, la exresó que defe las dferecas cerales es: f ' f f x O x c Para el érmo o es muy comú ulzar dferecas cerales, el uso de k dferecas regresvas o haca arás o es recomedable or cuesoes de esabldad umérca or lo que se acosumbra hacer uso de dferecas rogresvas o haca delae: Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 3

4 09- f ' f x f O x Y cosderado que el valor de uo o celda, y se requere coocer es u valor coocdo ara u emo al emo. e cada Méodo exlíco. E ese méodo se resuelve ara ua sola cóga ara el uevo emo eoces la solucó ara la ecuacó () se reresea como:, x...(3) Dode c k. Eoces la úca cóga es ueso que las oras resoes coocdas, ese méodo ee la desveaja de solo ser esable cuado x so. E resume, se uede decr que e ese méodo es ecesaro coocer res valores de resó ara así oder deermar uo a u emo fuuro. P+ P P P- Méodo mlíco. Dela Méodo Exlíco. E ese caso los valores de e la dervada de esaco se evalúa al emo, eoces la ecuacó () se resuelve: Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 4

5 09- c x k (4) Por lo que se ee res cógas,, ara cada ervalo de emo, eoces, ulzado la ecuacó (4) se ee u ssema de ecuacoes leales de orde N, ese orde esá dado or el úmero de celdas e las que se dvde el domo, eedo N cógas co N ecuacoes. Como se uede observar e la sguee fgura, basa co coocer ua resó ara así oder obeer res uevas resoes a u emo fuuro, ues la solucó se realza de maera smuláea. P+ P P P- Méodo Crak Ncholso. Méodo Imlíco. Ivolucra ua combacó de los valores de la varable deedee que e ese caso es, ara los emos y, eso es, la dervada co reseco a dsaca Dela (esacal) es romedada ara los emos y. Eoces ara : x x x x (5) Para el érmo Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 5

6 09- (6) Eoces falmee se ee: c x x k (7) De gual forma que co el méodo mlíco se ee u ssema de ecuacoes leales. Auque esa formulacó a dfereca de la obeda e el méodo mlíco es codcoalmee esable se usa oco ues requere de u rabajo mayor. P+ P+ P P P- P- Dela Méodo Crak Ncholso. E ese caso ara cada resó coocda se uede deermar la corresodee a u emo fuuro. Ecuacó geeral ara los méodos exlíco, mlíco y Crak Ncholso y solucó umérca de la ecuacó de dfusó. Los méodos exlíco, mlíco y Crak Ncholso uede ser rereseados or medo de la sguee ecuacó geeral: c x x k (8) Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 6

7 09- Esa ecuacó es la aroxmacó dscrezada de la ecuacó () dode es u facor de oderacó, s, se ee el méodo exlíco, s se obee el 0 méodo Crak Ncholso, s se ee el méodo mlíco. Solucó de la Ecuacó Geeral. Desarrollado la ecuacó (8) se ee: c k c x x k x x x x (9) Cosderado que: Y susuyedo e (9) x c k (0) () Aalzado esa úlma exresó se uede observar que del lado zquerdo se ee res cógas de resó co sus resecvos coefcees, meras que odo el érmo del lado derecho es coocdo, or lo que se uede smlfcar como: a b c d () E dode: a b c d (3) Eoces la ecuacó () se escrbe ara cada celda de la malla e la que fue dscrezado el domo, de esa maera se obee el ssema de ecuacoes leales corresodee al méodo mlíco y al méodo Crak Ncholso ( y resecvamee), así, el ssema queda rereseado or: Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 7

8 09- b c d a b c d a3 b3 c 3 3 d 3 a4 b4 c4 4 d4 a b c d a b d (4) Se observa que es u ssema rdagoal que se uede resolver or alguo de los méodos vsos e el caíulo de SEL cluyedo el algormo de Thomas. Ejemlo. A arr de los sguees daos y cosderado u yacmeo homogéeo y flujo moofásco e ua sola dreccó, smular el comorameo de 0. días hasa,000,000 días ulzado odos dsrbudos, y el esquema mlíco de solucó. Daos k md.0 c 0.5 lb g c % L e # odos x, 0lb g x 0, 0lb g x L, 0lb g P cal P froera P froera Ejemlo Ecuacó Geeral. Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 8

9 09- Los daos se ecuera e udades de camo, ara obeer resulados correcos es ecesaro coverrlos a u ssema de udades cossee, e ese caso se coverrá a udades del ssema eracoal, e la sguee abla se resume esos valores: k m Pa S c Pa L m # odos Daos SI x Pa x 0, Pa x L, Pa 9.86E E %.9 P cal, P froera 0 P froera Ejemlo Ecuacó Geeral Ssema Ieracoal. Para calcular los odos dsrbudos se sgue el rocedmeo descro aerormee. El úmero oal de odos que se requere e el ejercco es gual a, or lo ao el esacameo ere odos se calcula: x x L IMAX La oscó de los odos se calcula: L.9 m x m IMAX x x,,,, IMAX * * x m m e x m m e * x m m e Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 9

10 09- E la sguee abla se resume la oscó de cada uo de los odos: Nodo Poscó Poscó de Nodos..0 Paredo del rmer cambo e emo de 0. días y ara eer el esquema mlíco, y ulzado las ecuacoes (0) y (3) ara calcular los vecores a, b, c, d se ee: a b c x c k (0) d 0. día*86, 400seg día m Pa s seg x m 9 Pa (3) c * s 5,85,587. k 9.86* m Vecor a: 5 m Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara

11 09- a 0.0 a.0* Vecor b : a.0* b *.0* ,85,587. 5,85, 68.4 b *.0* ,85,587. 5,85, 68.4 b *.0* ,85,587. 5,85, 68.4 Vecor c : c.0* c.0* c 0.0 Vecor d : d d Como.0 la ecuacó que srve ara calcular el vecor d, eoces calculado los elemeos : d se reduce a d d d d ,85,587. *,34, ,85,587. *,34, * ,85,587. *,34, * ,85,587. *,34, * E ese caso el elemeo d es gual a cero or la codcó de froera: 0, P x Pa froera Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara

12 09- Como ya se exlcó aerormee e el desarrollo del algormo, el vecor reresea, la dagoal medaa feror a la dagoal rcal, meras que el vecor a la dagoal medaa sueror a la dagoal rcal, e ese caso, c ambas coee ueve elemeos meras que la rcal ee 9, los elemeos c so gualados a cero ara lograr que ega dez elemeos cada uo a y y así oder ulzar el algormo de Thomas correcamee. Esos resulados se obuvero de forma maual hacedo uso de ua calculadora CASIO modelo fx 99MS or lo que o so recsos, e las sguees ablas se resume los resulados obedos co ua comuadora or medo de u smulador rogramado e FORTRAN, razó or la cual resea ua mayor recsó: a Pos. Nodos Cod. Ical Para acum a 0. b Coefcees acum c 0. d P x, Coefcees y Presó 0.día acum. Pos. Nodos Cod. Ical Para acum a.0 b Coefcees acum c. d P x, Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara

13 Coefcees y Presó.día acum. Pos. Nodos Cod. Ical Para acum a, b Coefcees acum c, 0. d P x, Coefcees y Presó,0.día acum. Pos. Nodos Cod. Ical Para acum a 0,000.0 b Coefcees acum c,0. d P x, Coefcees y Presó, 0.día acum. Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 3

14 Presó (lb/g^) APLICACIÓN: SOLUCIÓN NUMÉRICA DE LA ECUACIÓN DE DIFUSIÓN CLASE 09- Coefcees Pos. Nodos Cod. Ical Para acum a,000,000.0 b acum c,,0. d P x, Coefcees y Presó,, 0.día acum. Para oder realzar u mejor aálss se debe acumular el emo, or lo que el valor que se ee e la celda corresodee a. Realzado ua gráfca de resó cora logud se uede arecar el comorameo de la resó reseco al emo: Presó vs Logud acum es Logud (e) Codcó Ical dela dela 00 dela 0000 dela Gráfca Presó vs Logud. Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 4

15 09- La codcó cal dce que lo largo del yacmeo se eía ua resó cosae de lb g, las codcoes de froera dce que e el momeo e que dsmuye a 0.0 lb g, eso se uede exlcar x L 400 e 0.0, la resó e x 0.0 cosderado la exseca de u ozo roducor, y la resó e se maee e lb g, eso se exlca cosderado la exseca de u ozo yecor que maega la resó e ese uo, o que se raa de u yacmeo fo y que la caída de resó uca alcaza la froera del msmo, la líea,000,000 día reresea el erfl de resoes que se marcada ara u edría e el yacmeo ara emos muy grades de exloacó. Ig. Jua Carlos Sabdo Alcáara 5