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1 BACO DE MEXICO Imlaacó del Modelo CyRCE: Smlfcacoes or esrucura y esmacó de arámeros. erado Avla Embríz Javer Márquez Dez-Caedo Albero Romero Arada Abrl-

2 Imlaacó del Modelo CyRCE: Smlfcacoes or esrucura y esmacó de arámeros. erado Avla Embríz Javer Márquez Dez-Caedo Albero Romero Arada I. Iroduccó. E el documeo de vesgacó -4 del Baco de Méxco se descrbe u modelo de resgo crédo que es más aroado ara mercados emergees que los dseñados e aíses co mercados desarrollados or varas razoes. E rmer érmo al suoer que la dsrbucó de érddas or cumlmeo de deudores se uede caracerzar or su meda y su varaza se obee exresoes cerradas ara el valor e resgo (VaR de ua carera de crédos s eer que recurrr a éccas umércas alamee oerosas e el cosumo de recursos de cómuo y emo. Ua roedad eresae del modelo es que se obee ua medda de la coceracó que erme evaluar el maco de ésa e el resgo crédo de la carera y que esá asocada a los límes dvduales que debe resear los crédos ya sea or razoes regulaoras o or decsoes de gesó roas de cada baco. Al eer exresoes cerradas ara la medda de resgo se uede obeer relacoes de sufceca de caal y de límes ara crédos dvduales e dode la relacó ere esos arámeros de gesó y el resgo crédo es exlíca. Ora vrud es que el modelo erme ua segmeacó de la carera de crédos oalmee arbrara co lo cual se facla la deeccó de los segmeos más resgosos la deermacó de límes dvduales a los crédos dferecados or segmeo así como la asgacó de caal requerda ara que cada segmeo de la carera esé adecuadamee caalzado. almee como odos los elemeos que corbuye al resgo esá aramerzados y or lo ao se uede deermar exógeamee las defcecas de formacó que so ícas de uesros mercados se uede subsaar hacedo suuesos sobre los valores de esos. La efceca de cálculo que erme el modelo hace que el aálss de sesbldad o las ruebas de esrés sobre los arámeros ceros sea eerccos fácles de realzar y erquecer el aálss de resgo aú e auseca de esmacoes esadíscamee váldas de los arámeros del modelo. Co odas sus vrudes el modelo orgal e su versó más geeral resea ua sere de roblemas éccos que dea alguos cabos suelos y exge u esfuerzo de cálculo que crece exoecalmee a medda que aumea el úmero de crédos e la carera. E arcular el cambo de varable roueso ara maear el efeco de covaracó ere cumlmeos de los crédos de la carera coduce a la ecesdad de facorzar la marz de varaza-covaraza M a ravés de ua marz S al que M S S lo cual mlca darle resuesa a varos roblemas éccamee comleos. E rmer lugar como la Véase Márquez Abrl del.

3 marz S o es úca Cuál se escoge? Hasa el momeo o se ha oddo deermar caegórcamee s cualquer rereseacó de S es gual de buea o s ua de ellas es meor que las demás. Pero además or las dfculades de esmacó de las covarazas ormalmee la rmera aroxmacó de M resula co frecueca e ua marz que o es osva defda s lo cual es mosble hacer la facorzacó requerda. Eso mlca que se requere u roceso umérco adcoal de ause e las esmacoes de las covarazas llamado acodcoameo ara hacer que la marz resulae sea osva defda co lo cual muchas de las esmacoes orgales camba sgfcavamee. almee como ya se mecoó auque odo esé be codcoado y o haya medmeo eórco alguo la obecó de la marz S requere realzar u rocedmeo umérco e dode el úmero de oeracoes crece geomércamee co el amaño de la marz M. E ese rabao se relaea el modelo orgal geeral e érmos mas secllos ulzado el cocee de Raylegh como la medda que resume el efeco de varacó-covaracó e el resgo de crédo maeedo odas las roedades deseables del modelo y hacedo ecesaro el roceso de facorzacó de la marz de covarazas co odos los roblemas que eso sgfca. La ueva versó del modelo ambé arroa u uevo resulado eórco morae ya que erme obeer ua medda de coceracó de resgo que dca como la correlacó ere cumlmeos afeca la coceracó or úmero de crédos y or lo ao el resgo de crédo de la carera. ormalmee e la mlemeacó de cualquer modelo de resgo de crédo se suoe que los crédos se uede agruar de maera que odos los crédos dero de u gruo ee caraceríscas comues y los arámeros o elemeos que deerma las érddas oecales que uede ocasoar los crédos del gruo so guales ara odos sus membros. Por eemlo e CredMercs M los crédos se agrua or su calfcacó co lo cual odos los crédos co la msma calfcacó ee la msma robabldad de mgrar a los dferees esados de caldad (calfcacó y la msma robabldad de cumlmeo. E CredRs + odos los crédos co la msma calfcacó y que deede de la msma maera de los facores de resgo que las deerma ee la msma robabldad de cumlmeo. Además e ese úlmo aradgma los crédos se agrua e cubeas de gual úmero de udades de érdda ; es decr: Se suoe que la érdda que geera el cumlmeo de u deudor es la msma ara odos los deudores que esá e la msma cubea. E CyRCE el resulado de segmear la carera es que se suoe que las robabldades de cumlmeo so guales ara odos los crédos de u segmeo así como la correlacó ere ellos. Pero además la correlacó de cumlmeo ere los crédos de u segmeo y los de oro ambé es la msma. Como se verá e ese rabao eso coduce a ua esrucura e la cual las oeracoes marcales que requere el modelo se hace algebracamee obeedo exresoes que resula e ahorros cosderables de memora rogramacó y cálculo. almee se roorcoa éccas de esmacó de los arámeros rcales; a saber: Probabldades de cumlmeo y correlacoes. Dado que la formacó dsoble resea seras defcecas e lo que se refere a la calfcacó de los crédos or are de los bacos el rocedmeo emleado se dseñó ara rabaar drecamee co daos dsobles de cumlmeo de deudores dero de segmeos esecífcos de ua carera de crédos. E ese sedo la meodología adoada sería mas arecda coceualmee

4 e odo caso a la que ulza KMV. A uesro uco eso es cluso meor que coar co calfcacoes ya que a f de cueas odos los esquemas de calfcacó reede ser dcavos de robabldades de cumlmeo ero e uesro eoro y salvo alguas excecoes rara vez lo logra. Es ooro que ae su evdee caacdad ara redecr crss y quebras de emresas úblcas moraes las roas calfcadoras que desde hace más de ua década ha esado calculado robabldades de mgracó e cumlmeo asocadas a sus resecvos ssemas de calfcacó esá coscees de las lmacoes de esos como vehículos ara la esmacó de robabldades de cumlmeo. E fechas recees Moody s adquró KMV y se aca u cambo meodológco dramáco e dode su uevo ssema de calfcacoes se basará e esmacoes de robabldades de mago y o al revés como lo veía hacedo radcoalmee. Asmsmo Sadard & Poors acaba de aucar la coraacó de u uevo equo de coocdos esecalsas e la maera que ambé se esera resulará e u cambo meodológco e su maera de calfcar deudores. Así las éccas de esmacó que se resea e ese rabao are de que ara cada segmeo de la carera se cooce el úmero de deudores que esado al corree e sus agos e el erodo aeror cumle e el sguee erodo. La relacó ere el úmero de deudores que cumle reseco al úmero oal de deudores al corree e el erodo aeror es lo que se cooce como la asa de cumlmeo de deudores dero de los segmeos e que se dvde la carera de crédos. Co esa formacó se uede hacer esmacoes de robabldades de cumlmeo y correlacoes. E ese rabao reseamos varos méodos de esmacó y se dscue sus roblemas y sus vrudes. E los méodos de esmacó reseados se esecfca requsos ara la esmacó de arámeros ecesaros ara evar roblemas de u mal codcoameo de la marz de covarazas. II. U relaeameo del modelo geeral ulzado el cocee de Raylegh. Suógase que la dsrbucó de érddas de ua carera de crédos se uede caracerzar or su meda y su varaza y que el vecor de robabldades de cumlmeo es co marz de covarazas ere cumlmeos M que se obee exógeas al modelo. Procededo segú el aálss orgal la desgualdad de VaR reseco a caal es: VARα π + zα M K (. E el modelo orgal se hacía oar que como M es osva defda exse ua marz Q al que M QΛQ (. dode Λ es la marz dagoal de valores caraceríscos de M y Q es ua marz orogoal de ege-vecores de M co la roedad de que Q - Q. Sea S Q Λ Q dode Λ Se uede cosular cualquer exo ermedo de algebra leal; or eemlo Srag G. 98 o Mrsy L. 99.

5 es la marz dagoal co las raíces cuadradas de los ege-valores de M de maera que M S S. Hacedo el cambo de varable G S se ee que M G G. La moraca rcal de esa observacó es que el cambo de varable evdecía u redmesoameo del vecor orgal de crédos a ravés de la raíz cuadrada de la marz de covarazas S. Ese redmesoameo hace que los crédos co mayores covarazas de cumlmeo co los demás crédos de la carera crezca reseco a su valor orgal meras que sucede lo coraro co los de meor covaracó. Eso a su vez sgfca que auque mucho crédo e maos de ocos deudores uede ser resgoso es odavía más resgoso que haya mucho resgo cocerado e u cero gruo de crédos s morar que se rae de muchos o ocos crédos. Eso a su vez sgfca que e u momeo dado ua carera muy dversfcada de crédos equeños dode los crédos dvduales ee alas robabldades de cumlmeo y esá muy correlacoados ere s uede reresear más resgo que ua carera de ocos crédos grades co robabldades de cumlmeo baas e deedees ere sí. Esa dscusó se reoma y formalza e la seccó sguee. A dfereca del modelo orgal que sgue esa líea de razoameo y la lleva a sus úlmas cosecuecas aquí se oma oro camo. Así mullcado y dvdedo M or y dvdedo ere V se obee la sguee relacó de sufceca de caal: ψ M + zα H ( + z σ H ( α (.3 dode M σ R( M Cocee de Raylegh (.4 es ua medda de la varaza de las érddas y π (.5 V reresea la érdda eserada relava al valor oal de la carera. Procededo de acuerdo al arículo orgal y alcado el eorema 5. que dce que f θ mlca H( θ se obee la coa ara límes dvduales a los crédos segú:

6 ψ H ( θ (.6 z α σ Las relacoes (.3 y (.6 ee báscamee la msma esrucura que las del modelo orgal solo que ahora la varaza de las érddas esá comuesa or el ídce de coceracó H( y el cocee de Raylegh; es decr: σ H (. E realdad los resulados ara valor e resgo y límes dvduales que roduce esa rereseacó del modelo so décos a los que se obee del modelo orgal ero como o volucra el cambo de varable el cálculo se smlfca cosderablemee. E la seccó que sgue se vesga la mlcacó de eso e la obecó de ua medda de coceracó de resgo... Ua medda de coceracó de resgo. Para evdecar la forma e que la correlacó afeca la coceracó y aumea el resgo cosdérese el caso arcular e que odos los crédos ee la msma robabldad de cumlmeo y esá décamee correlacoados a ares medae el coefcee de correlacó. La covaraza de cumlmeos ere cualquer ar de crédos ( es: σ σ σ ( ( ( (.7 Eso sgfca que la marz de covarazas ee la esrucura sguee: Eso equvale a la sguee rereseacó marcal: L O M M ( (.8 M O O L { + ( I} M ( (.9 Co eso se uede calcular la varaza de las érddas de la carera hacedo la mullcacó marcal sguee: { ( + ( } M (

7 Co eso la exresó de valor e resgo queda como sgue: { + z ( + ( H( } VaR V (. α E esa exresó la varaza de érddas ee dos comoees. El rmero es la varaza Beroull (- meras que la comoee que reflea el efeco de coceracó es: H' + ( H( (. S la correlacó es osva H es ua combacó covexa ere el ídce de Herfdahl de ua carera oalmee cocerada (H(. y el de la carera H(. Evdeemee H aumea co. Además meras que H H( cuado se ee H s. Dcho de ora maera s odos los crédos de la carera esá erfeca y osvamee correlacoados e érmos de resgo se comora como s fuera u solo crédo. E geeral se uede decr que el orafolo de crédos correlacoados ere s y cocerado segú H( se comora exacamee de la msma forma que uo de crédos deedees ero co ídce de coceracó H e lugar de H(. Así H uede cosderarse como u ídce de coceracó ausado or correlacó. Además (. srve ara calcular ese ídce. Para eso de la exresó (.3 recuérdese que la varaza de cumlmeos de la carera es σ H( R(M H(. Eoces s se guala la varaza de la carera co la varaza del caso arcular bao aálss se ee que ecorar y que sasfaga: ( H' ( [ + ( H( ] R( M H( (. almee s π deseado se obee: V R( M ( [ R( M ( ] H ( (.3 ( [ H( ] H ( Esa exresó roorcoa ua medda de correlacó equvalee que resume la forma e que esá correlacoados a ares odos los crédos de la carera.

8 EJEMPLO. Para oder ver el sgfcado de los resulados aerores a couacó se hace u equeño eemlo umérco. Cosdérese el sguee orafolo de 5 crédos omado del maual de CredRs + : abla.. of loas Crédos A B C RAIG D E G OAL $478 $558 $338 $53 $8 $933 $358 $85 $778 $5848 $34 $5765 $54 $37 $9 $ $483 $39 $54 $4 $65 $ $49 $598 $499 $439 5 $5435 $6467 $9 6 $648 $648 OAL $456 $376 $5 $334 $53 $959 $976 $364 Las robabldades de mago ara los crédos se oma de la sguee abla: abla.. Calfcacó Prob. De Icum. (% A.65 B 3. C 5. D 7.5 E. 5. G 3. La marz de covarazas es la msma que se ulzó e esos eemlos y se uede ver e el aédce A. Esa marz esá segmeada e res gruos segú: M M C C 3 C M C 3 C C M Suoedo ormaldad y u vel de cofaza del 5% el VaR de la carera es: VaR. 5 π + z M (76.5 $55683 De los eemlos del documeo orgal se sabe que.89 H(.66 y al hacer los cálculos corresodees se obee:

9 σ M La codcó de sufceca de caal es: ψ α > + z σ H( Suoedo K $6 de maera que ψ. 46. La relacó ( roorcoa el líme dvdual ara los crédos ψ θ z ασ ( Es decr: f.85 $3 64 $48 De la abla. se ve que hay sólo dos crédos que excede de maera sgfcava el líme. Ahora se exama el maco de la correlacó sobre la coceracó. De (.3 se obee la correlacó equvalee de la carera: [ ].978 [.66].66.9 De (. el ídce de coceracó corregdo or correlacó es: H.9 + ( Ideedeemee del hecho de que esa carera es basae mala al añadr ua correlacó de % a ua robabldad romedo de cumlmeo de la carera de.89% se obee ua desvacó esádar de cumlmeos de σ H (. 67 comarada co ( H(. 8 s los crédos fuera deedees. Así la correlacó equvalee del % dulca la desvacó esádar de cumlmeos reseco al caso de crédos deedees. ambé resula eresae comarar el ídce de coceracó corregdo or correlacó H 7.7% que es cuaro veces mayor que el ídce de coceracó H( 6.6%. E érmos de sufceca de caal la carera correlacoada requere ψ 43% que es 59% más del 7% requerdo e caso de que los crédos fuese deedees.

10 3. El raameo de Dferees Dmesoes de Coceracó E esa seccó se adecúa las relacoes del modelo orgal ulzado el cocee de Raylegh. Sguedo el desarrollo del modelo orgal se hace ua arcó arbrara de e h clases (... h dode es u vecor que coee los saldos de los crédos que ereece al -ésmo segmeo. Ahora se arcoa el vecor de robabldades eseradas de cumlmeo y la marz de varaza-covaraza de esa maera: a π ( π ; Parcó del vecor de robabldades de mago dode π es el vecor de robabldades de mago del segmeo ; 3...h b La marz de varaza-covaraza se arcoa como: M C L Ch C M L Ch M (3. M M O M Ch Ch L M h Cada submaríz M corresode a la marz de varaza-covaraza doscráca del gruo y ee dmesó ( ; dode es el úmero de crédos e el segmeo. odas esas marces so osvas defdas al gual que M y las marces C coee las covarazas de las robabldades de mago ere los crédos del gruo y las del gruo. A arr de aquí sea h V V f el valor de la carera asocada al segmeo y V. Ahora sea K γ K dode γ es la roorcó del caal asgado al segmeo ; γ [ ] ; h γ cambo a la marz S que ahora ee la forma sguee 3 :. Para efecos de arcó se hzo u equeño S M C M L L L L L C M M M C h L L L L L M C M h (3. 3 Esa defcó de la marz dfere de la que se rouso e el rabao orgal y ee la veaa descra e el exo.

11 Cada marz S solamee oma e cuea las correlacoes ere cumlmeos de los crédos del gruo co los de los demás gruos ero elma las correlacoes ere los demás gruos ere s que o cde drecamee sobre el segmeo bao aálss. óese que al como esá laeada a dfereca de la defda e el rabao orgal esas marces ee la roedad de que: M S Al gual que e el modelo orgal la cosae que erme sumar los VaR dvduales ara obeer el del oal de la carera es: h S M φ (3. Procededo de la forma acosumbrada defíase: K K z γ φ ν α + S ara h (3.3 Dode γ y γ. Es fácl verfcar que M α α π ν z VaR +. Ahora dvdedo (3.3 or V coduce a: ( ( ( { } + + H R z V / C M φ ν ψ α (3.4 Resolvedo ara H( se obee ( ( { } V z H C σ φσ ψ α (3.5 dode ( M M R σ (3.6 y or el eorema 5. ( { } V z C σ φσ ψ θ α (3.7

12 E lo aeror (3.4 esablece la sufceca de caal ara cada segmeo (3.5 es el líme de coceracó ara el segmeo y (3.8 es la exresó ara los límes dvduales. V Hacedo γ ψ γ ψ V h asegura sufceca de caal ara el orafolo. EJEMPLO 3.. Para lusrar los resulados que cede el modelo acualzado e comaracó co el del arículo orgal se usará la msma carera del eemlo 7.. La segmeacó de ésa resea e la abla 3.. Cuadro 3. Calfcacó A $ 478 C $ 34 C4 $ 49 D $ 53 D3 $ 39 $ $ 598 G $ 9 oal $ 444 Calfcacó B $ 558 C $ 338 C3 $ 483 E $ 54 E3 $ 54 3 $ 4 G $ 358 G5 $ 6467 oal $ 4386 Calfcacó 3 A $ 778 B $ 5848 C5 $ 5435 D $ 5765 E $ 8 $ 37 G3 $ 65 G4 $ 499 G6 $ 648 oal $ 4954 Refrédose al aédce A las marces S ara cada segmeo ee la forma: S M C C3 C C3 S C C M C 3 C 3 y S 3 C 3 C 3 C C 3 3 M 3. E el cuadro 3. se resume los valores de la carera sus ídces de coceracó y el caal asgado ara cada segmeo. Cuadro 3.. Segmeo V H( g K $ $ 93 $ $ $ $ 98

13 De (3. el arámero φ que erme la suma de los VaR ausados es: φ 3 M S.5783 Al calcular ν co (3.3 usado u vel de cofaza de 5% y suoedo ormaldad se obee las sguees relacoes ara sufceca de caal: ν $6 < K $ 93 ν $968 < K $9 97 ν 3 $93 > K 3 $9 8. óese que los resulados dfere de los obedos e el eemlo 7. del modelo orgal evdecado aú más que el ercer segmeo es el más resgoso ya que el caal asgado al úlmo segmeo o cubre su resgo. Eso se debe a la ueva defcó de la marz S que resula e u valor sgfcavamee mayor del arámero de ormalzacó φ. óese que como V γ V ψ ecesaramee se ee que: K γ K K V V V ara odos los segmeos. El sguee cuadro muesra las robabldades eseradas de mago el cocee de Raylegh y el ídce de Herfdahl-Hrschma corregdo or correlacó: Cuadro 3.3. Segmeo R ( M Correccó or correlacó Co esos valores uede verfcarse las relacoes (3.5 ara odos los segmeos del orafolo. Como era de eserarse el ercer gruo es el críco:

14 H ( ψ.93 > ( zαφσ σ V { } 3 C.5 Ahora de (3.7 se obee los msmos resulados del eemlo 7. del modelo orgal ara los límes dvduales que mlca sufceca de caal: θ ; f.7583 $444 $ θ ; f.454 $4386 $ 596 θ ; f 3.5 $4954 $ E resume gú crédo del rmer gruo excede su lme meras que e el segudo el crédo de $54 rebasa su coa. almee como era de eserarse el ercer gruo es el más roblemáco ya que sólo los res crédos más equeños resea el líme. Es eresae aalzar los efecos de la correlacó e ese eemlo. Lo aeror esablece que el rmer gruo uede eer crédos de cualquer amaño ero or oro lado el segmeo más resgoso debe clur sólo crédos muy equeños lo cual auque es lógco claramee o se cumle. Ahora co reseco a sufceca de caal se exama (3.8 y al comarar ψ co γ ν se obee: V ν 3 VaR ψ V 364 V óese que el resulado es el msmo que el del eemlo 7. y que la ueva esecfcacó del modelo es cogruee co el orgal auque smlfca cosderablemee los cálculos. S embargo se oa ua meoría or la ueva defcó de la marz S que resala aú más las dferecas de resgos ere segmeos. 4. Arovechameo de la esrucura ara la smlfcacó del cálculo y alcacó del modelo co formacó lmada. E la rácca cualquera de las meodologías de resgo crédo ee mlíca o exlícamee u crero de segmeacó de la carera e dode se suoe que los crédos de cada segmeo comare ceras caraceríscas e comú. Por eemlo e CredMercs M la agruacó de crédos esá e relacó a su calfcacó y su relacó lo cual mlca que odos los crédos dero de u segmeo ee las msmas robabldades de cumlmeo y mgracó a dferees esados de caldad. Además mlca que ee las msmas curvas de asas de descueo ara efecos de marcacó a mercado y las msmas asas de érdda dado cumlmeo e caso de caer e mago.

15 Aálogamee e CredRs + el crero de agruacó es el de la érdda dado cumlmeo; es decr: Se suoe que ara odos los crédos dero de ua cubea la érdda es el msmo úmero de udades esádar e caso de cumlmeo. Además se suoe que odos los crédos co la msma calfcacó y que resode de la msma maera a los facores de resgo que los exlca ee la msma robabldad de cumlmeo. Eso a su vez lleva el suueso mlíco de que se uede defcar gruos de crédos cuya correlacó de cumlmeo es la msma co reseco a los crédos de oros gruos. 4. Relacoes Báscas. E CyRCE auque el modelo es oalmee geeral y o hay resrccó algua ara que cada crédo ega ua robabldad de cumlmeo dferee y las correlacoes ueda ser dferees ere cualquer area de crédos de la carera bao aálss es coveee adoar algú o de axoomía orque de ora maera el roblema de esmacó de arámeros se vuelve mosble e la rácca. A uesro uco como la agruacó uede ser oalmee arbrara se ee mayor flexbldad ara escoger u crero de clasfcacó ya sea orque de aemao se sabe (o uye que las caraceríscas de resgo de cada segmeo defdo resode de maera dferee a los facores de resgo que los deerma orque la agruacó erme obeer cofabldad esadísca e la esmacó de arámeros o or ua combacó de ambas. Así ara efecos de esmacó se uede suoer que al eror de cada gruo las robabldades de cumlmeo y la correlacó ere dos crédos cualesquera dero del gruo so las msmas. Además se uede suoer que ere gruos la correlacó de cumlmeo ere cualquer area de crédos dode uo ereece al gruo y el oro al gruo es semre la msma. Además de lo que eso sgfca e érmos de la deeccó de coceracoes excesvas de resgo ya dscudas e las seccoes aerores eso roorcoa ua esrucura al modelo que ee mlcacoes muy moraes e cuao a esmacó de arámeros y ahorro de recursos de cómuo. Así s se suoe que dero de cada segmeo las robabldades de cumlmeo de los crédos so décas y cada area de crédos esá correlacoadas de la msma maera se ee que: σ σ σ ( ( ( cuado (.7 Eso a su vez de (.9 sgfca que la marz de covarazas doscráca de cada segmeo ee la esrucura sguee: M ( { + ( I } (4. Aálogamee óese que las submarces C de la marz sguee: M ee la esrucura

16 L C σ σ M O M L ( ( ( (4. Co eso la exresó ara la varaza de érddas ara segmeos dvduales queda: S ( { ( + ( } ( ( ( ( + (4.3 Recordado que V se obee: ( ' S V ( H + V ( V (4.4 dode H ' + ( H ( es el ídce de coceracó ausado or correlacó del segmeo. óese que e (4.4 se ha elmado odas las mullcacoes de marces lo cual mlca ahorros sgfcavos ao e la memora requerda ara almacear los daos como e las oeracoes de cálculo e s. Recordado que: M ( S S (4.5 ua vez hecho el cálculo de la varaza de érddas ara odos los segmeos es muy efcee hacer el aálss ara cada segmeo y oda la carera desde la exresó (. hasa la ( Alcacó del modelo co formacó lmada sobre la carera de crédos: Obecó del ídce de Herfdahl-Hrschma. Cualquer modelo de resgo crédo requere dos os de formacó a saber: Ua descrcó de la dsrbucó (or amaños de la carera de crédos sus robabldades de cumlmeo y como se correlacoa los cumlmeos ere los crédos. El modelo desarrollado resea varas ocoes ara hacer cálculos co formacó lmada. Del cso aeror debe ser evdee que o es esrcamee ecesaro coocer e dealle la cofguracó de la carera de crédos. óese que aredo de ua segmeacó

17 cualquera de la carera la úca formacó que se requere es: El valor oal de los crédos e cada segmeo V algua formacó sobre la dsrbucó de los crédos dero del segmeo que erma esmar el ídce de Herfdahl esmacoes de robabldades de cumlmeo las correlacoes de cumlmeo ara los crédos dero de cada segmeo y las correlacoes de cumlmeo ere crédos de dferees segmeos. El roblema de esmacó de robabldades de cumlmeo y correlacoes se aborda e la sguee seccó. E ésa sólo se dscurá como se uede obeer esmacoes del ídce de Herfdahl co alguas esadíscas báscas. Así suógase que la carera se ha segmeado e h gruos dsos. E rmer érmo s además de coocer el valor de la carera de crédos de cada segmeo V se cooce el crédo más grade de cada segmeo " " * f eoces el eorema 6. del arículo orgal que se resea e el aédce A dce que: V f H * ( θ (4.6 Por lo ao s se hace H θ ( se ee ua aroxmacó del ídce de coceracó ara cada segmeo. ormalmee la esmacó es muy coservadora. S se uede coar co daos del úmero de crédos or segmeo el crédo romedo f y la varaza del amaño de los crédos σ eoces se uede coocer el ídce co oda recsó. Para eso rmero óese que f V es el valor de la carera de crédos del segmeo y que el valor de oda la carera es smlemee h V V. Eoces: ( ( ( [ ] ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( ( + H V f f f f f f f f f f f f f ( σ De aquí se uede desear el ídce: ( f H ( + σ (4.7

18 Ahora habedo obedo el ídce de coceracó or segmeo se uede coocer el de oda la carera. de la forma sguee: h h f h V f V H( V V V H( (4.8 V E resume las exresoes (4.7 y (4.8 so cfras exacas ara los resecvos ídces de coceracó. Se obee co formacó basae lmada y s la ecesdad de coocer la carera; es decr: Solo se ecesa coocer or cada segmeo: El úmero de crédos y el valor de la carera o e su defeco el valor romedo de los crédos y la varaza o la desvacó esádar del valor de los crédos. 5. Esmacó de Probabldades de Icumlmeo y Correlacoes Idoscrácas. ormalmee el vehículo más socorrdo ara obeer robabldades de cumlmeo es medae esquemas de calfcacoes. De hecho aradgmas a acredados como CredRs + ó CredMercs M deede or dseño de que los crédos de la carera bao aálss esé calfcada. Evdeemee s u baco cuea co u bue ssema ara calfcar deudores y se ha realzado el rabao básco de obeer esadíscas sobre asas de cumlmeo asocadas a cada calfcacó eso es úl ara obeer robabldades de cumlmeo y sus resecvas correlacoes. E el caso de deudores calfcados or algua de las grades emresas calfcadoras como Sadard & Poors Moodys o ch se uede usar la formacó que ellos msmos roduce. Auque los ssemas de calfcacoes ee u valor rácco dscuble es ecesaro oar que el ulzar robabldades de cumlmeo asocadas a esquemas de clasfcacó resea alguos roblemas. E rmer lugar ráccamee oblga a segmear la carera de crédos de acuerdo a las calfcacoes lo cual o ecesaramee es deseable ara roósos de defcar segmeos resgosos de la carera. Por eemlo frecueemee se oe la msma calfcacó a deudores que desemeña su acvdad e secores dsos y que or lo ao sus robabldades de cumlmeo obedece a facores de resgo dferees o resode a los msmos facores de resgo de dferee maera. Por esa razó ae el comorameo cambae de los facores de resgo se uede eer ua arecacó erróea de los veles de resgo e los dsos rubros de calfcacó. Así es ecesaro hacer hcaé e que u ssema de calfcacoes o es u requso dsesable ara la esmacó de robabldades de cumlmeo. De hecho la base de cualquer esmacó de robabldades de cumlmeo y correlacoes so las asas de cumlmeo de deudores e dferees segmeos deedeemee de s los segmeos esá asocados a calfcacoes o o. Eso lo ha robado KMV co oda clardad y acualmee hay mucha vesgacó e ese camo e dode se busca esmar

19 robabldades de cumlmeo rcalmee e base al comorameo esocásco de los facores de resgo que deerma las robabldades de cumlmeo. 4 Regresado a la relacó básca del modelo (. de VaR y sufceca de caal los elemeos más moraes de la medda de resgo esá dados or el vecor de robabldades de cumlmeo y M la marz de covarazas ere cumlmeos de los crédos del orafolo. A lo largo de ese arículo se ha suueso que la carera de crédos se segmea segú (... h dode es u vecor que coee los saldos de los crédos que ereece al -ésmo segmeo. Por cosseca es ecesaro además arcoar el vecor de robabldades de cumlmeo y la marz de varazacovaraza como ya se ha dcado e la ercera seccó; es decr: Para cada segmeo se ee el vecor π de robabldades de cumlmeo de los crédos del segmeo ; 3...h. Además a cada segmeo le corresode ua marz de covarazas doscráca M de dmesó ( ; dode es el úmero de crédos e el segmeo. E esa seccó se aborda el ema de la esmacó de esas marces suoedo que al eror de cada segmeo los crédos ee las msmas robabldades de cumlmeo y esá décamee correlacoadas a ares. Cabe desacar que odas esas marces so osvas defdas al gual que M. E arcular como se verá e lo que sgue el roblema de esmar los coefcees de correlacó ara los crédos al eror de cada segmeo es éccamee comlcado orque se requere ua forma fucoal ara la dsrbucó de robabldad bomal mulvarada y correlacoada y dfere sgfcavamee de la forma e que se acosumbra esar e la correlacó que se dscue e la seccó ses sguee. A couacó se dscue varas formas de esmar la robabldad de cumlmeo y los coefcees de correlacó ara los crédos que coforma u segmeo del orafolo suoedo que se ee daos sobre asas de cumlmeo de deudores ara los dferees segmeos de la carera. Se resea los resulados eórcos relevaes sobre la robabldad de cumlmeo y el coefcee de correlacó y los dsos esmadores rouesos. Al fal de cada seccó se muesra los resulados obedos. Auque el rcal erés de la esmacó de arámeros se scrbe e el coexo de CyRCE los auores esa que los msmos coceos so alcables a oros aradgmas. 5.. Probabldades de Icumlmeo. Como se señaló e la roduccó aeror el uo de arda ara esmar robabldades y correlacoes de cumlmeo de crédos es la asa de mago observada hsórcamee. Acualmee se acea que las robabldades de cumlmeo camba e el emo obedecedo al comorameo de los facores de resgo que las afeca; or eemlo: Las asas de erés el PIB de los dferees secores ecoómcos y la ecoomía e geeral el o de cambo el vel de emleo ec. Para car la dscusó emecemos aalzado u caso smle e el que se suoe que la robabldad de cumlmeo de u 4 Véase Coss y Proe.

20 gruo de crédos es la msma e u cero horzoe de emo dvddo e erodos. Ua esmacó de dcha robabldad que uvamee se aoa razoable es omar u romedo móvl oderado de las asas de mago observadas e los erodos del horzoe cosderado. Eso colleva mlícamee el suueso de deedeca ere las asas de cumlmeo hsórcas. Ua equeña comlcacó adcoal es la auraleza cambae de la roa carera de crédos; es decr: E la rácca se observa que las careras de los bacos camba e sus dsos segmeos cualquera que haya sdo el crero de segmeacó ulzado; ao e el úmero de crédos como e su amaño. Además los cambos uede ser sgfcavos de u erodo a oro U esmador máxmo verosíml de la robabldad de cumlmeo bao el suueso de deedeca. E odos los méodos de esmacó se suoe que se cooce los daos sguees: úmero de crédos vgees e la carera e el erodo ;...- úmero de crédos vgees e - que cumle e el erodo ; 3... Por defcó la asa de cumlmeo π ara cada erodo ; 3... es: π (5. Eoces suoedo que odos los crédos de la carera ee la msma robabldad de cumlmeo y que so deedees la varable aleaora que deoa el úmero de cumlmeos e cada erodo de emo se dsrbuye segú ua bomal; es decr: Pr ;... (5. ( { º de magos ; } ( S los cumlmeos de u erodo a oro so deedees el esmador de máxma verosmlud de se obee de maxmzar la robabldad de que se haya observado la sucesó π π...π ; es decr: Max ( Pr { }... ; Max ( (5.3

21 ;. Como Ahora sea r s ( so cosaes la robabldad de cumlmeo que maxmza (5.3 es la msma que maxmza la exresó r (- s. omado la rmera dervada de esa exresó e gualado a cero se obee la exresó dada or: r s ( [ r( s] Obvamee la exresó aeror es cero ao e como e ; s embargo esos so mímos y o máxmos ara (5.3. Por lo ao la solucó de erés es la que sasface r(- s es decr: r r + s E érmos de asas de cumlmeo alcado (5. se obee. (5.4 π π ; (5.5 Por lo ao el esmador de máxma verosmlud de la robabldad de cumlmeo es el romedo oderado de las asas de mago dode el oderador e cada erodo es la roorcó que reresea el úmero de crédos vgees e cada erodo reseco a la suma oal de crédos vgees e el horzoe cosderado. 5.. La dsrbucó bomal del úmero de cumlmeos cuado los crédos esá correlacoados a ares. E ese aarado se rooe ua dsrbucó de robabldad bomal coua asocada al úmero de cumlmeos relaado el suueso de deedeca. De hecho lo que se esá buscado es ua exresó ara ua dsrbucó bomal mulvarada e dode las varables Beroull que la comoe esé correlacoadas. Co el obeo de desarrollar u oco de ucó sobre el roblema e rmer lugar se aalza el caso e que sólo hay dos varables Beroull co la msma robabldad de ocurreca que esá correlacoadas ere sí or medo del coefcee de correlacó ; es decr:

22 dode. x co co ; (5.6 - E ese caso se sabe que: E( x y que Se suoe que exse [ ] Var( x ( σ (5.7 que or defcó es: El roblema cosse e ecorar ua exresó ara: cov( x x cov( x x (5.8 σ ( { x x ; } ; Pr P { }. Por defcó de la covaraza ere varables aleaoras se sabe que cov( x x y susuyedo (5.7 y (5.8 se sabe que: E ( x x E( x E( x E (5.9 ( x x + ( (5. Por oro lado Por lo ao E ( x x Pr{ x x } P { x x } Pr P + ( (5.. Procededo de la msma maera ara los casos resaes E ( x x ( Pr{ x x } Pr P { x x }.

23 De dode se obee: P E ( x ( E xx ( ( ( (5. Las exresoes ara los dos casos resaes P y P se obee desarrollado E( x ( x y Ex ( x resecvamee. Es evdee que P P y que: P + ( (5.3 ( De ese aálss se deduce la exresó geeral ara la dsrbucó Beroull bvarada que esá dada or: + + { x x { } ( + ( ( Pr (5.4 Solo fala comrobar que lo aeror es ua dsrbucó de robabldad. Por el desarrollo hecho fáclmee se verfca que las robabldades suma uo. S embargo es morae aalzar la osbldad de que el coefcee de correlacó esé sueo a algua resrccó adcoal ara asegurar que odas las robabldades esá e el ervalo []; es decr: { K K { } Pr. Para oder garazar la o egavdad de (5. (5. y (5. se requere que : ( (5.5 Esas resrccoes se resume e la exresó sguee: m (5.6 Para coclur óese que:

24 y que ara.5 ara.5 <. S.5 eoces. De esas observacoes se deduce que m ara cualquer [ ] y or lo ao o hay gua resrccó adcoal sobre salvo que. Para coclur la bomal bvarada y correlacoada se uede ver como la suma de dos varables Beroull correlacoadas; es decr: Pr [ ] ; (5.7 { x + x ; } ( + ( ( 5.3. Ua geeralzacó de la Dsrbucó Bomal Mulvarada correlacoada y la esmacó de arámeros or Máxma Verosmlud. Auque la dsrbucó de la suma de dos varables Beroull dervada e la seccó aeror es muy dreca la geeralzacó a varables resea ua sere de roblemas éccos basae comlcados de resolver. E arcular se sabe que o hay ua solucó úca ara obeer ua fórmula geeral. 5 Al arecer la que ee mayor alcacó rácca es la que se resea a couacó. 6 Para eso sea: úmero de crédos vgees e la carera e el erodo ;...- úmero de crédos vgees e - que cumle e el erodo ; Para ua amla dscusó del ema véase arah. 6 JOE (997.

25 r Coefcee de correlacó ere cualquer area de varables Beroull. Probabldad de que cualquera de las varables ome valor uaro. Eoces ua fucó de robabldad asocada a la suma de - varables aleaoras Beroull correlacoadas esá dada or la sguee exresó: dode [ ( + ] [( ( + ] Pr { º demagos ; } ; (5.8 bao las sguees resrccoes [( + ] + ( ara [.5] (5.9 + ( ara (.5 ] (5. ( Esas dos relacoes se resume e: m { } (5. E geeral el úmero de crédos es grade y la robabldad de cumlmeo es equeña or lo cual se uede maear sólo la resrccó: (5. Pero eso equvale smlemee a:. óese que s el caso se reduce al de deedeca. S se suoe que los cumlmeos so deedees de u erodo a oro el esmador de máxma verosmlud de y se obee al maxmzar la sguee exresó:

26 { } ( [ ] ( ( [ ] ( [ ] max ;... Pr max (5.3 sueo a La exresó aeror es alamee o-leal y dfícl de maxmzar; s embargo la solucó se facla medae alguas rasformacoes. E rmer érmo óese que el roblema aeror es equvalee al sguee: { } [ ] ( [ ] [ ] max... max Pr γ γ γ γ γ γ (5.4 sueo a γ. almee ara roósos de omzacó se uede smlfcar aú más el roblema. Dado que la fucó a maxmzar es ua fucó o egava se uede omar logarmos a la fucó obevo llegado falmee al sguee roblema de omzacó equvalee: { } { } ( ( ( ( log log log max... log Pr max γ γ γ γ γ γ sueo a: γ Eoces usado los daos reales sobre y ulzado u algormo de omzacó aroado se obee * γ* que resuelve el roblema aeror y * γ*/(+γ* Esmacó medae la aroxmacó ormal.

27 Ua alerava que vale la ea exlorar es la de ulzar ua aroxmacó a la bomal medae la dsrbucó ormal. Para ese roóso recuérdese de (.8 y (.9 que la marz de covarazas asocada a cada erodo y cada segmeo ee la forma: [ + ( ] Σ ( I (5.5 óese que e cada erodo camba la dmesó de los vecores suma y la marz dedad de la exresó aeror ya que su dmesó corresode al úmero de acredados de acuerdo al erodo de cumlmeo. S se deoa or K al vecor aleaoro que mde el úmero de cumlmeos smuláeos dode cada comoee esá dada or ua varable aleaora Beroull es decr K co co ;... - (5.6 - El valor eserado del úmero oal de cumlmeos esá dado or: E( K E( K (5.7 De la msma maera se uede observar que la varaza del úmero oal de cumlmeos esá dada or: σ Var ( Var( K ( ( ( K ( [ + ( I ] + ( + ( [ ( + ] [ ] [ ] (5.8 Dado que el úmero oal de cumlmeos esá rereseado or la suma de varables aleaoras se uede ulzar ua aroxmacó ormal ara el úmero oal de cumlmeos

28 e f σ πσ ; ( dode: [ ] + ( ( σ. Co el f de garazar la o egavdad de σ es ecesaro que. E geeral el úmero de crédos es grade y se uede maear sólo la resrccó:. Así los esmadores de máxma verosmlud ara y se obee resolvedo el sguee roblema de omzacó: s a e Max π σ σ.. (5.9 Igual que e el caso de la bomal mulvarada la fucó obevo se uede smlfcar: ( e e f ; ( σ σ σ π πσ (5.3 omado logarmos y hacedo π se llega a la sguee exresó: ( [ ] ( [ ] [ ] + + f ( ( log log ( ( ; ( log π π ( Esmacó or el Méodo de Momeos.

29 Ua écca ulzada e muchos casos es la del méodo de los momeos e dode los momeos muesrales de ua dsrbucó se guala a los momeos oblacoales de la msma co el f de obeer u esmador de los arámeros asocados. El rmer momeo oblacoal γ se defe como valor eserado de ua fucó coua de ua varable aleaora x es decr γ E g x. [ ( ] El o de momeo más comú es la meda µ ' e dode g(. es smlemee la fucó dedad. radcoalmee el méodo de momeos cosdera oecas de la varable K. La meda µ ' ambé es coocda como rmer momeo de la dsrbucó meras que µ '' E ( x es el segudo momeo o cerado de la dsrbucó. óese que los dos momeos aerores os erme exresar la varaza de la varable aleaora K como: ( x E( µ '' ( µ ' [ ] Var( x E x Hasa aquí sólo se ha descro los momeos cosderado las caraceríscas de la oblacó. Desde esa ersecva las defcoes aerores so oco úles. Es ecesaro or lo ao defr las coraares muesrales de los momeos aerores; eso es los momeos muesrales ara ua varable aleaora K. Esos se defe como: γ ˆ g( x ; µ ˆ' x ; µ ˆ''. Ua vez defdos los momeos oblacoales y los momeos muesrales de la dsrbucó de ua varable aleaora se esma u momeo oblacoal ( o ua fucó de los momeos oblacoales ulzado los momeos muesrales ( o fucoes de los momeos muesrales corresodees. E el caso que os cocere se ulza la asa de cumlmeo π como varable aleaora es decr π (5.3 Dado que el úmero oal de acredados es coocdo el valor eserado de (5.3 esá dado or E( π E E (. x

30 Eoces suoedo que odos los crédos de la carera ee la msma robabldad de cumlmeo y que so deedees el esmador or el méodo de momeos esá dado or: ˆ ˆ π (5.33 Ahora be de (5.8 se sabe que ( [ ] ( + ( Var de dode se ee que ( ( ( [ ] + ( Var Var Var π (5.34 Por oro lado se sabe que ( ( ( [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ( S π π π π (5.35 Al alcar el méodo de momeos sobre (5.35 de (5.33 y (5.34 se obee ( [ ] ˆ ˆ + ( S π (5.36 De dode se ee que ( S ˆ ( ˆ ˆ π. Se sugere ulzar e lugar de - co el f de elmar el efeco de la observacó al úlmo erodo. Eoces el esmador ara esá dado or

31 S π ( ˆ ( ˆ ˆ ( Imlemeacó: Comaracó de méodos de esmacó. E la seccó aeror se exuso la eoría relava a las robabldades de cumlmeo así como la correlacó y alguos esmadores ecorados ara su esmacó. E esa seccó se resea u comaravo de las esmacoes obedas a arr de los méodos de esmacó eucados Resulados. Para la esmacó de las robabldades de cumlmeo y coefcees de correlacó se ulzaro las asas de cumlmeo hsórcas segú se observa e la base de daos de la Relacó de Resosabldades que las Isucoes aceras esá oblgadas a eregar mesualmee al Baco de Méxco co ua veaa móvl de meses; es decr se suoe que la robabldad de cumlmeo es la msma durae cada erodo de doce meses. 7 Los gráfcos 5. y 5. resea las esmacoes de la robabldad de cumlmeo hechas or los dferees méodos aquí reseados. Puede observarse que la robabldad esmada or el méodo de máxma verosmlud suoedo deedeca (Bomal smle sobreesma e odos los casos debédose báscamee a que la asa de cumlmeo observada debe quedar comleamee exlcada or la robabldad de cumlmeo e auseca de correlacó. 4.% 3.5% Esmacoes de la Probabldad de Icumlmeo Probabldad de Ic. 3.%.5%.%.5%.%.5%.% Bomal Correlacoada Aroxmacó ormal Méodo de Momeos Bomal Smle Gráfco 5.. Comaravo ere las esmacoes de la Probabldad de Icumlmeo. 7 Cabe desacar que sólo se ulzaro los crédos relacoados co baca múlle or lo que o se ulzó la formacó relacoada co arredadoras faceras emresas de facorae y la Baca de desarrollo.

32 El gráfco 5. muesra u comaravo ere los coefcees de correlacó esmados or los dsos méodos eucados. Puede observarse que los coefcees de correlacó muesra la msma edeca ara odas las esmacoes e esudo. Esmacoes del Coefcee de Correlacó ere Icumlmeos Correlacó ere Icumlmeos..5%.%.5%.%.5%.% Bomal Correlacoada Aroxmacó ormal Méodo de Momeos Gráfco 5.. Comaravo de las Correlacoes ere Icumlmeos. El sguee cuadro reresea los resulados ara las aroxmacóes de cumlmeo obedos a arr de las méodos de esmacó aes eucados. emo Aroxmacó Aroxmacó Aroxmacó Méodo de Smle Correlacoada ormal Momeos Cuadro 5..

33 De la msma maera se resea las esmacoes ara el coefcee de correlacó ere los cumlmeos. emo Bomal Aroxmacó Méodo de Correlacoada ormal Momeos Cuadro 5.. óese que cualquera de los res méodos arroa resulados de órdees de magud muy arecdos. Evdeemee el más secllo es el de momeos ya que o requere gú rocedmeo de omzacó. De los oros dos méodos es morae mecoar que la esmacó a ravés de la aroxmacó ormal es dfícl de obeer debdo a que la fucó de desdad asocada se deerma e la froera de las resrccoes de los arámeros. 6. Comleado La Marz de Covarazas. E la seccó qua aeror se abordó el roblema de esmacó de robabldades de cumlmeo y correlacoes doscrácas de cada segmeo de la carera. Para comlear el cuadro solo resa esmar la correlacó ere cumlmeos de crédos de dferees segmeos. Eso erme esmar los elemeos de las submarces C que coee las covarazas ere los cumlmeos de los crédos del gruo y las del gruo. El suueso básco e ese caso es que el coefcee de correlacó es gual ara cualquer area de crédos de dos segmeos dsos. De la relacó (4. de la cuara seccó recuérdese que: L C σ σ M O M L ( ( ( (6. dode y reresea a los vecores suma de dmesó y resecvamee.

34 Para roósos de esmacó dado que las robabldades de cumlmeo se esma e érmos doscrácos or algua de las éccas descras e la seccó aeror solo se requere esmar las correlacoes ere cumlmeos de deudores de dferees segmeos. Además eso es coveee or oras razoes; a saber: Prmero or razoes de esabldad umérca ues las correlacoes esá resrgdas al ervalo [- ] lo cual erme la obecó de cfras co ua meor recsó además de que e geeral resula más esables que las covarazas. U segudo beefco es que al esar ormalzadas ofrece resulados comarables La úlma razó es que se reduce el úmero de arámeros a esmar así como los grados de lberad ara cosderacoes de ruebas de hóess ya que los elemeos de la dagoal semre so. E realdad el roceso de esmacó de las correlacoes va más de acuerdo a lo que se acosumbra ver e los lbros de exo. 6.. El Coefcee de Correlacó Ua medda esádar de deedeca ere dos varables dgamos X y Y es el momeo µ coocdo como la covaraza de X y Y defda como: Cov ( X Y µ ( x µ ( y µ d ( x y E E {( x µ X ( y µ Y } { XY} E{ X } E{ Y } X Y (6. E érmos llaos uede decrse que la covaraza reresea u romedo oderado de las medas codcoales meddo sobre la meda codcoal; eso uede verse exresado µ como { X [ E{ Y X} E{ Y }] } µ E X (6.3 A esar de que la covaraza es ua forma aural de medr relacoes es coveee coar co ua medda que sea varae ae cambos de escala o oscó. Para ello se defe el Coefcee de correlacó como ( X X ( X Var( X Cov (6.4 Var Geomércamee se uede esar e el coefcee de correlacó como ua medda de orogoaldad. Para ello cosdérese u esaco real co el sguee roduco ero: r r r r r r r r X Y x yd x y E X Y V ( { } Eoces s los vecores X y Y se mde e oro a sus resecvas medas la covaraza queda rereseada or el roduco ero de esos dos vecores meras que la correlacó ere ellos o es más que el roduco ero de los vecores ormalzados. ormalmee lo aeror se exresa de la maera sguee:

35 xy x µ x µ x µ x µ x x x x y µ y µ y µ y µ y y y y (6.5 Para ver que (6.4 y (6.5 ee la msma forma fucoal recuérdese que la orma de u vecor es la raíz cuadrada del roduco ero de ése cosgo msmo. Recordado que e esaco Eucldao (6.5 reresea el coseo del águlo ere dos vecores se verfca que la medda esá resrgda al ervalo [- ] y que además da ua erreacó geomérca de la deedeca ere dos vecores. Aquí cabe mecoar que auque dos vecores so orogoales (deedees s y sólo s su roduco ero es cero e el erreo de la robabldad el eer u roduco ero (covaraza de cero o ecesaramee mlca la orogoaldad de los vecores meras que la orogoaldad de ésos colleva a u roduco ero gual a cero. gura : Geomería de la Correlacó Hay dos cosderacoes que resula fudameales e el esudo del coefcee de correlacó (6.5: la rmera es que ése es u coefcee de erdeedeca leal. E geeral la varacó coua es demasado comlea como ara ser resumda e u solo úmero. El segudo aseco es que el uso de como medda de erdeedeca es coveee sólo e el caso de varacó ormal o cas ormal. 6.. Esmadores de. Ua vez esudado al coefcee de correlacó (6.5 es ecesaro aeder el roblema de cómo se uede esmar. E los csos sguees se dscue dferees éccas de esmacó a arr de ua muesra dada Correlacó or Produco de Momeos.

36 Ua rmera aroxmacó e la esmacó de la exresó (6.5 es esmar cada uo de los momeos or searado y oserormee ferr a arr de ellos la correlacó muesral. edremos eoces: ˆ Cov( X X Var( X ( Var X ( X ( X Y Y ( X X ( Y Y ( ( X Y XY X X Y Y (6.6 Auque a rmera vsa arece ua esmacó de o heurísco uede mosrarse que e el caso de ua muesra bormal (6.6 es el esmador de máxma verosmlud de. Ese hecho erme el uso de (6.6 como esmador de la correlacó e la mayoría de los casos ráccos sobre odo cuado se cuea co ua muesra sufceemee grade Correlacó de Daels. El esmador de Daels es ua geeralzacó de la fórmula (6.6. Dcho esmador se ulza cuado se desea robar deedeca ere las seres observadas; su exresó es la sguee: ( D (6.7 ( a b / ( E esa exresó ( deoa b x y y resecvamee. Como odrá verse (6.6 es u caso arcular de (6.7 que ee la veaa de que ( b a b ( y a deede de ( x y ( a o ee que resrgrse a ua fucó sobre los valores de la seres so que adme or eemlo meddas basadas e ragos. Eso le da ua gra versaldad ya que la defcó ao de a como de b erme corolar el aró de deedeca que se desea deecar Esmacó de la marz C. Hasa el momeo se ha dscudo de maera eórca la esmacó de la correlacó ere dos varables aleaoras. Como se comeó al co de la seccó uesro erés es obeer la eraccó de u couo de varables aleaoras e arcular de cumlmeos de deudores a ravés de la marz de correlacoes. E el modelo de resgo crédo desarrollado or la esrucura a arcular que resea se ha vso que la marz de covarazas segmeada ee la forma rereseada e (3. y solo queda esmar las submarces C que ee la forma exresada e (6.. Como uede verse e (6.7 el

37 roblema de esmacó de la marz se resume a u roblema de esmar ( h h correlacoes a ares ues las correlacoes asocadas a las marces de varazas y covarazas rísecas se esma de acuerdo a la seccó recedee. Al omar la msma muesra e odas las esmacoes se asegura que la marz resulae sea osva defda. Así el esmador de cada submarz C de correlacoes queda dado or la sguee exresó: C ˆ ( ˆ ˆ ( ˆ ˆ ˆ (6.8 dode ˆ robabldad de cumlmeo del gruo. ˆ robabldad de cumlmeo del gruo Esmacó. E la mlaacó del modelo hasa el momeo la esmacó de la correlacó se hace co ua veaa móvl de τ erodos. Co eso el esmador (6.7 queda e los sguees érmos: ( ( ( ( ( ˆ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ τ X X X X X X X X (6.9 e dode ( τ τ τ X X Resulados. Los daos ulzados so las asas de cumlmeo hsórcamee observadas asocadas a los dferees segmeos e los que se dvdó la carera. Se obee de la Relacó de Resosabldades y so las msmas que se ulza ara obeer las robabldades de cumlmeo y las correlacoes doscrácas de la seccó cco. Acualmee or u acuerdo sucoal el crero rcal de segmeacó es or baco y or acvdad ecoómca de los deudores. Así or cada baco se segmea la carera de crédos e gruos segú se muesra e el cuadro 6.. Los resulados reseados se obuvero alcado la exresó (6.9 co ua veaa móvl de τ meses. Cuadro 6.: Segmeacó de la carera or Acvdad Ecoómca

38 Gruo Descrcó Bacos e Suacó Esecal A B C D E G H I J K L M O P Q R S Or Agrculura Gaadería Slvculura Pesca y Caza Idusra Exracva Idusra de Almeos Idusra exl Idusra de Madera y Pael Idusra Químca Merales o Meálcos y Pláscos Meales Báscos y Producos Meálcos Maquara y Equo Oras Idusras Cosruccó Comerco Producos ermados Comerco Maeras Prmas y Maquara Vveda areas de Crédo y Oros Com. Comucacoes y rasores Servcos aceros Servcos Profesoales éccos y Persoales Servcos Recreavos Servcos socales y Comuales Oros Como se señaló aerormee el coefcee de correlacó os roorcoa ua medda de erdeedeca razoable e la medda e que la muesra rovega de ua oblacó ormal o cas ormal. auralmee los daos emleados ara uesro aálss muesra ua desvacó de la ormaldad al esar cofados al ervalo [ ]. Para suerar ese roblema écco se robó la rasformacó de o logísco sobre las seres defda or y + e x (6. dode y es la sere observada. Deseado x de esa relacó se obee: y x log (6. y Co eso la varable ya queda defda sobre el ervalo [-88] lo cual es u elemeo deseable e las ruebas de ormaldad. Al alcar la rueba de Lllefors 8 ara deermar la ormaldad de la sere se obuvero los resulados reseados e el cuadro 6.. Los resulados sugere que al rasformar las seres el suueso de ormaldad se cumle y or lo ao las esmacoes de correlacoes así obedas so más robusas. 8 Refereca?

39 Cuadro 6.. Gruo Obs. Esadísco Valor críco Rechazar Bacos e Suacó Esecal Sí Agrculura Gaadería Slvculura Pesca y Caza Idusra Exracva Sí Idusra de Almeos Idusra exl Sí Idusra de Madera y Pael Idusra Químca Merales o Meálcos y Pláscos Meales Báscos y Producos Meálcos Maquara y Equo Oras Idusras Cosruccó Sí Comerco Producos ermados Sí Comerco Maeras Prmas y Maquara Sí Vveda areas de Crédo y Oros Com Comucacoes y rasores Servcos aceros Servcos Profesoales éccos y Persoales Servcos Recreavos Sí Servcos socales y Comuales Oros U esquema de esmacó geeralzado E la seccó 5 se abordó el roblema de esmar ao las robabldades de cumlmeo como las correlacoes doscrácas arovechado la esrucura de la marz de varazas-covarazas rouesa e (3.. Ese esquema de esmacó deó de lado el roblema de esmar las marces C msmo que fue raado e la seccó aeror. Como uede arecarse la esmacó de los facores de resgo e dos eaas reresea la veaa de smlfcar la obecó de los dsos esmadores coado co formas cerradas o e el eor de los casos co fucoes que erme la esmacó umérca al resolver u roblema de omzacó. o obsae el uo aeror es deseable coar co esmadores couos que caure las relacoes subyacees ere robabldades correlacoes doscrácas y correlacoes ere cumlmeos de dsos segmeos. E esa seccó se resea u méodo que erme esmar couamee los facores de resgo ulzados e u modelo de cumlmeo como CyRCE. 7. Varazas de Icumlmeos E la roduccó aeror se comeó que los dsos méodos de esmacó ara las robabldades y correlacoes de cumlmeo rouesos e el resee documeo

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