REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No.2, 2002

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1 REVISTA INVESTIGACION OPERACIONAL Vol. 23, No.2, 2002 UN SISTEMA BASADO EN CASOS PARA LA TOMA DE DECISIONES EN CONDICIONES DE INCERTIDUMBRE Ilaa Guérrez Maríez, Rafael E. Bello Pérez y Adrés Tellería Rodríguez Deparameo de Ceca de la Compuacó, Uversdad Ceral de Las Vllas, Saa Clara, Cuba RESUMEN El desarrollo de éccas para cosderar la cerdumbre e el proceso de oma de decsoes es ua de las areas fudameales de muchos vesgadores e el campo de la Ielgeca Arfcal. E los Ssemas Basados e Coocmeo, como ssemas parculares para la oma de decsoes, el uso de esas éccas es de especal cosderacó. E ese arículo se aalza la problemáca de la cerdumbre e los Ssemas Basados e Casos y se propoe u modelo ue muesra vías para su deermacó y maejo, usado éccas probablíscas combadas co cocepos de la eoría de los Cojuos Rugosos (Rough Ses). El modelo propueso se basa e ua esrucura de orgazacó de la base de casos ue facla el cálculo de la cerdumbre de los valores así como el proceso de recuperacó. Palabras clave: Ssemas Basados e Casos, cerdumbre, probabldades, cojuos rugosos. ABSTRACT The developme of echues o cosder he uceray he process of makg of decsos s oe of he fudameal asks of may vesgaors he feld of Arfcal Iellgece. I Kowledge Based Sysems, lke parcular sysems for he makg of decsos, he use of hese echues s of specal cosderao. I hs arcle he problem of he uceray s aalyzed he Cases Based Sysems ad propose model ha shows ways for s deermao ad hadlg, usg probablsc echues combed wh coceps of he Rough Ses heory. The proposed model s based a case base orgazao, whch allows he calculao of he ceray of he values as well as he recovery process. Key words: Case Based Sysems, uceray, probables, rough ses MSC: 62C99. INTRODUCCION Cuado el esado real de las cosas dfere del esado deseado surge u problema. Resolver u problema coduce a u proceso de defcacó y seleccó de la accó adecuada para su solucó. A ese proceso se le deoma Toma de Decsoes, dode ua decsó es la eleccó de ua ere dversas aleravas. E la acualdad la oma de decsoes objevamee fudameada, se ha coverdo e ua area fudameal e la dreccó de dferees procesos, co éfass e la empresaral, s embargo, las decsoes o so sólo areas relavas a la dreccó. Cualuer hombre ha omado odo po de decsoes a lo largo de su vda. U problema ípco de Toma de Decsoes es el problema del dagósco (Cohe, 988, Kucher, 999, Borola, 988). La base del proceso de Toma de Decsoes es la formacó ue se ee del domo de aplcacó. A más y mejor formacó, mayor caldad e la defcó del problema, e las propuesas de solucó, e el aálss de varaes y e la seleccó de la accó más coveee. Parcularmee, la formacó y las caráceríscas dspobles del domo, perme clasfcar los problemas de decsó e dos grades ramas,: problemas de decsó esrucurados y o esrucurados. E la prmera de ellas esá los problemas co sufcee esrucura como para permr la evaluacó de aleravas por medo de modelos y comúmee so resuelos usado méodos cuaavos, sólo represea u peueño subcojuo de los procesos de decsó. E la seguda se ubca los problemas carees de esa formulacó y ue frecueemee es ecesaro recalcularlos a ravés de u proceso eravo de búsueda. Es precsamee e esa seguda clase de problemas de Toma de Decsoes, dode las éccas de Ielgeca Arfcal (I.A.) so aplcables. Segú (Dubos, 998), los problemas de decsó se formalza de la sguee maera: 03

2 Las preferecas de u agee por ceros esados del mudo esá corporadas e ua fucó de uldad, la cual expresa ué a deseable es u esado. Las uldades se comba co el resulado de las probabldades de las accoes para dar ua uldad esperada de cada ua de ésas. De esa forma se defe la uldad esperada de u esado dada ua evdeca como: dode UE (A E) = P( Re sulado (A) E,Hacer(A) ) U( Re sulado (A) () ) U(S): Uldad del esado S de acuerdo co el agee ue esá omado las decsoes. Resulado (A): Posbles esados de resulado de ua accó o deermsa A, dode so los resulados ue puede obeerse. P(Resulado (A) E,Hacer(A)): dode E resume la evdeca ue sobre el mudo ee el agee y Hacer(A) es la proposcó de ue sea ejecuada la accó A e el esado acual. Prcpo de Máxma Uldad Esperada (MUE): El agee debe elegr auellas accoes ue perma obeer el máxmo de la uldad esperada del agee. Ere las éccas de I.A. empleadas e la solucó de problemas de Toma de Decsoes esá los Ssemas Basados e Reglas (Buchaa 983), las Redes Neuroales Arfcales (Barr 994, Skapura 996), Ssemas de Ifereca Borrosos (Sh-ua 988, Cohe 988, Klr 995b) y los Ssemas Basados e Casos (Koloder 992, Koloder 993, Aamod 996, Marel 994). La aplcabldad del Razoameo Basado e Casos e la Toma de Decsoes se ha aalzado por dferees auores, ere ellos. (Almoayyel 997, Ahoff 996, Koloder 99, Baldw 994) Además de méodos para elegr la decsó a omar es ecesaro cosderar oro aspeco de mucha mporaca e la Toma de Decsoes: el problema de la cerdumbre de la formacó (Sael 973, Shapro 990, Mahur 996, Russell 996). El problema de la Toma de Decsoes se cosdera dero de ua líea coua ue va de la cereza a la urbuleca, pasado por el resgo y la cerdumbre. Segú el ecoomsa bráco Shackle:...e u mudo predesado la decsó pudera ser lusora, e u mudo de coocmeo perfeco, úl, e u mudo s orde aural, efcaz. Nuesra acvdad uva de la vda mplca ue la Toma de Decsoes o es lusora, úl, efcaz ya ue la Toma de Decsoes e ese sedo excluye ao el coocmeo perfeco como la aaruía, y por ao ee ue ser defda e los límes de la cerdumbre. (Klr 995a) E ese rabajo se presea u modelo para maejar la problemáca de la Toma de Decsoes basada e casos e codcoes de cerdumbre. El modelo propueso perme asgar valores de cerdumbre a los daos de ua base de casos y realzar los procesos de recuperacó y adapacó cosderado la cerdumbre volucrada e la formacó. El modelo propueso se basa e ua esrucura de orgazacó de los casos ue facla el proceso de recuperacó de los msmos. Para modelar la cerdumbre coeda e la base de casos y propagarla e los procesos de fereca se ulza u efoue probablísco combado co los cocepos fudameales de la eoría de los cojuos rugosos. 2. SISTEMAS BASADOS EN CASOS. INCERTIDUMBRE Los Ssemas co Razoameo Basado e Casos (CBS) so ua de las ecologías acuales para cosrur Ssemas Basados e el Coocmeo. E ellos los uevos problemas se resuelve cosderado la solucó dada a problemas smlares resuelos e el pasado. La aruecura básca de u CBS cosse de ua base de casos, u procedmeo para buscar casos smlares y u procedmeo de adapacó para ajusar las solucoes de los problemas smlares a los reuermeos del uevo problema. 2.. Compoees de u Ssema Basado e Casos Las compoees fudameales de u Ssema Basado e Casos so: la base de casos, el módulo de recuperacó y el módulo de adapacó Base de Casos U caso de la base es descro a parr de los valores ue se le asga a los rasgos predcores y a los rasgos objevos. Los rasgos predcores so los ue deerma los valores de los rasgos objevos. U caso ue ega rasgos predcores y p rasgos objevos se descrbe del sguee modo: 04

3 O (x (O ),..., x (O ),..., x (O ), y (O ),..., y j (O ),..., y p (O )) (2) dode: x (O ): es el valor del rasgo predcor =, para el caso O =,m de la base y j (O ): es el valor del rasgo objevo j =, p para el caso O =,m de la base La base de casos esá formada por u cojuo de casos y puede ser represeada a ravés de ua abla de decsó, e la cual las columas so eueadas por varables ue represea los rasgos predcores y los rasgos objevos (decsoes) y las flas represea los casos. La Tabla muesra u ejemplo de ua base de casos. Auí los casos se represea por O,...,O m, los rasgos predcores por: x, x 2,..., x y los rasgos objevos (decsoes) por y,...,y p. Tabla. Tabla de decsó ue represea ua base de casos. Caso x... x y... y p O x (O )... x (O ) y (O )... y p (O) O m x (O m )... x (O m ) y (O m )... y p (O m ) Módulo de Recuperacó El módulo de recuperacó cosa de dos eapas fudameales: la eapa de acceso y la eapa de recuperacó propamee dcha. El algormo de acceso a los casos debe ser rápdo y efcee. Ese depede de las éccas de dzacó usadas y su dseño se vuelve u aspeco críco cuado la base de casos es muy grade. Ere las éccas de acceso a casos podemos mecoar: Acceso exaco. Se busca el caso ue ecaje exacamee co el caso uevo. Acceso Jeráruco. Báscamee se busca los casos e u árbol, omado decsoes e cada odo hasa ue ya o se pueda avazar. S se ecuera ua hoja se muesra los casos correspodees, s se llegó hasa u odo, se muesra odos los casos ue se derve de él. Esa úlma écca es la ue se usa e uesro modelo. E la seguda se seleccoa los casos más smlares al uevo problema. Para deermar ué a smlar es u caso a oro se ha desarrollado varas éccas. La más seclla cosse e coar el úmero de caraceríscas smlares ere los dos casos. El problema de esa écca es ue la mporaca de las caraceríscas vara de u coexo a oro. Ora écca cosse e ulzar u cojuo de heuríscas ue perma deermar cuales caraceríscas ee mayor relevaca (peso) y formular ua fucó de semejaza ue volucre la smlud ere cada uo de los rasgos eedo e cuea el peso de los msmos. U modelo maemáco de esa úlma écca es el sguee: Fucó de semejaza ere u uevo problema a resolver O 0 y u caso O de la base (,O ) = = ( O,O ) β O = (3) 0 p δ p 0 05

4 dode: : Número de rasgos predcores. p : Peso o relevaca del rasgo. δ (O 0, O ): Fucó de comparacó ere los casos O 0 y O aededo al rasgo. Esa fucó puede esar defda de dferees formas, por ejemplo: Para rasgos umércos. δ ( O,O ) 0 s x(o0 ) = x(o ) = 0 e.o.c (4) s x(o0 ) x(o ) < ε δ ( O0,O ) = (5) 0 e.o.c ε: Valor umbral defdo por el usuaro. x(o) x(o ) δ ( O,O ) = (6) max m max, m : Valores máxmo y mímo respecvamee ue alcaza el rasgo. El resulado de aplcar esa fucó de semejaza e el módulo de recuperacó os brda la uldad del caso aalzado ese problema como u problema para la oma de decsoes Módulo de Adapacó Ua vez seleccoados los casos smlares, se efecúa el procedmeo de adapacó, ue cosse e la modfcacó y combacó de las solucoes de los casos smlares para formar ua ueva solucó, ua erpreacó, o ua explcacó depededo de la area ue lleve a cabo el ssema. Es deseable ue el ssema ambé geere jusfcacoes o explcacoes ue apoye a la solucó creada para el uevo caso. Al acceder a los casos smlares, lo mejor ue puede pasar es ecorar u caso exacamee gual al uevo, pero geeralmee o sucede así, y es ecesaro realzar el proceso de adapacó. La adapacó puede realzarse por el usuaro o de maera auomáca por el ssema. S la adapacó la realza el usuaro, el ssema sólo realzaría la búsueda de los casos smlares. S la adapacó la ejecua el ssema, eoces debe coeer algú coocmeo, al como fórmulas o reglas. Las éccas desarrolladas para la realzacó de la adapacó e forma auomáca ha dado e geeral bueos resulados. E (Koloder 993) se mecoa los sguees méodos de adapacó: Resacacó. E ese po de écca se ulza el marco o coexo de suacoes aerores, pero co uevos argumeos. Ajuse de parámeros. Se ajusa los parámeros de la solucó de casos aerores de acuerdo co las dferecas ere las descrpcoes de los casos e cuesó. Búsueda local. Se realza búsuedas dero de jeraruías semácas y se solucoa el problema por aalogía. E el presee rabajo se propoe u uevo efoue dode se hace uso de la cerdumbre de la solucó Veajas y Desveajas de los Ssemas Basados e Casos sobre oras Tecologías Veajas. Aduscó de coocmeo. La udad básca del coocmeo es el caso. Los seres humaos por lo geeral arcula su coocmeo medae ejemplos de problemas y solucoes aerores (casos), más ue por medo de reglas específcas y absracas. 06

5 2. Perme propoer solucoes a problemas rápdamee. Eso lo logra ya ue las respuesas o se derva a parr de cero, so de casos resuelos prevamee. 3. Apredzaje. S la msma suacó se presea repedamee, o se ee ue cosrur o geerar la msma solucó a parr de cero. 4. Propoe solucoes e domos o eeddos compleamee por el ssema. 5. Ofrece u medo de evaluacó de solucoes cuado o se cuea co u méodo algorímco. 6. Se cera e las caraceríscas o pares más mporaes del problema. Desveajas. Cofía cegamee e los casos prevos almaceados e su memora para ear propoer su solucó. 2. Puede ser ue o recupere el caso más apropado para la solucó del uevo caso. Esas desveajas podría elmarse co la roduccó de u mecasmo de maejo de la cerdumbre e esos ssemas. El desarrollo de ese mecasmo cosuye el objevo fudameal del presee rabajo cerdumbre e los ssemas basados e casos La formacó complea es ompresee: cas oda la formacó ue se ee del mudo es o cera, complea o precsa. La cerdumbre cala uesra compresó del mudo real. El propóso de los ssemas de formacó es modelar el mudo real. Por ello dchos ssemas ee ue ser capaces de modelar la cerdumbre. De forma empírca, la cerdumbre es cas ua medda separable de cas cualuer meda resulae de ua combacó de evables errores de medcó y límes de resolucó de los srumeos de medcó ulzados. De forma cogva, esa emerge de la vaguedad y ambgüedad heree al leguaje aural. Se ha hecho claro ue hay dsos pos de cerdumbre. La cerdumbre es u cocepo muldmesoal. Las eorías maemácas cláscas para caracerzar suacoes bajo cerdumbre ha sdo la eoría de cojuo y la eoría de las probabldades. (Klr, 995a, Klr, 998) El érmo cerdumbre se ulza de forma geeral para abarcar dferees pos de cerdumbre: mprecsó, compleez, vaguedad e cosseca. La mprecsó es relava a la exseca de u valor el cual o puede ser meddo co la precsó adecuada, la compleez a la auseca de valores para alguas varables cosderadas, la vaguedad a la auseca de u líme claro para u cocepo o cojuo y la cosseca descrbe ua suacó e la cual hay dos o más valores e coflco para ser asgados a ua varable. (Bosoe 985, Bosc, 993) Por muchos años la cerdumbre fue cocebda sólo e érmos de la eoría de las probabldades. Acualmee se ha desarrollado oros efoues ue ha demosrado su capacdad para caracerzar suacoes bajo cerdumbre. Los más coocdos de ésos so: la Teoría de la Evdeca (Shafer, 976), la Teoría de la Posbldad (Zadeh, 978), la Teoría de las Meddas Borrosas (Sugeo 974) y la Teoría de los Cojuos Rugosos. (Pawlak, 982, Klr, 995b, Klr, 998, Neufeld, 997, Orlowska, 998, Pawlak, 995a, Pawlak, 995b) Obvamee el Razoameo Basado e Casos o escapa de la problemáca de la cerdumbre. Hay posbldades de mprecsó ao e el coocmeo (base de casos) como e el plaeameo del problema. El coocmeo del problema radca esecalmee e la coleccó de casos, luego la prmera errogae es s el caso represea o o el objevo para el cual fue pueso e la base, es decr cuál es el grado de cereza de ue la solucó coeda e el caso sea válda?. Oro aspeco referdo co el coocmeo del ssema es el modelo de orgazacó de los casos. Ese modelo perme almacear los casos uzás o como u odo, y luego recuperar los casos más semejaes recosruyedo los msmos, auí la fuee de cerdumbre esá dada por la medda e ue el modelo perme descompoer y recompoer los casos. Los resulados plaeados e ese rabajo esá oreados a resolver el prmer aspeco, es decr deermar la cerdumbre de los valores represeados e la base y ua vez deermada, mapularla e los módulos de recuperacó y adapacó de forma al ue se solucoe las sguees errogaes:. Supogamos ue esamos rabajado co res rasgos predcores: FORMA, TAMAÑO y COLOR y ue por algú méodo dado, se ha deermado ue el rasgo FORMA es el rasgo más mporae y por ao el ue mayor peso ee. S embargo los valores ue ha omado ese rasgo ee muy bajo vel de cerdumbre, surge eoces la próxma errogae es correco asgar u peso grade a u rasgo del cual esamos a seguros? 07

6 2. Cosdérese el rasgo COLOR co los valores {AZUL, ROJO, VERDE, NEGRO}, eer e cuea la cerdumbre, sgfca ue el rasgo COLOR oma u valor e el caso almaceado y oro e la descrpcó del problema a resolver, pero sobre ambos valores hay dudas sobre su cereza. Por ejemplo: COLOR=AZUL (0.9) e el caso y COLOR=ROJO (0.6) e la descrpcó del problema. La suacó aeror os oblga a pesar e dos aspecos. El prmero es ue ahora la fucó de comparacó edrá como argumeos valores sobre los ue exse dudas y por lo ao el valor de la fucó de comparacó ere esos colores dadas las cerdumbres 0.9 y 0.6 o ee ue ser gual ue e el caso e ue ambos valores de cerdumbres sea. Cosderar el valor de la cerdumbre e los valores dados a los rasgos os oblga a redefr las fucoes de comparacó de rasgos defdas orgalmee. De auí surge la sguee errogae: cómo cosrur fucoes de comparacó de rasgos cosderado cerdumbre e los valores dados a esos? Supogamos los casos recuperados so O 5 y O 5 y ue ambos ee el msmo vel de semejaza. S embargo el valor del rasgo objevo es dferee para ambos (suacó de coflco). Por ué caso adapar? Hemos señalado alguos momeos del razoameo basado e casos dode resula ecesaro eer e cuea la mapulacó de la cerdumbre. E el sguee epígrafe se presea alguas deas prelmares sobre la elaboracó de u modelo para la mapulacó de la cerdumbre e los CBS. 3. MODELO PARA LA MANIPULACION DE LA INCERTIDUMBRE EN UNA BASE DE CASOS 3.. Descrpcó del Problema Se resuelve u problema de Toma de Decsoes ulzado el razoameo Basado e Casos e codcoes de cerdumbre. Desde la perspecva del efoue basado e casos los problemas de decsó se descrbe de la forma sguee: los casos e la base se compoe de u cojuo de rasgos predcores de la forma (valor, cerdumbre) y u rasgo objevo de la forma (valor, cerdumbre), dode los valores so dscreos y de cardaldad fa. U uevo problema se descrbe e érmos de los valores ue oma los rasgos predcores e la ueva suacó dode el agee ee ue omar la decsó y el ssema debe ser capaz de ferr ué decsó debe omar a parr de la expereca acumulada e la base de casos. Luego el modelo a desarrollar ee ue:. Dar ua vía para calcular la cerdumbre presee e los casos almaceados e la base de casos (pues usualmee la base de casos se crea a parr de fuees dode o esá explícamee regsrados los valores de cerdumbre). Es decr debemos ecorar para cada valor x (O ) dado al rasgo predcor ( =,) e el caso O ( =,m) ua medda ξ (O ) y para cada decsó y j (O ) dado al rasgo objevo j (j =,p) e el caso O ( =,m), ua medda ν j (O ), ambas meddas deoa las cerdumbres de dchos valores. 2. Desarrollar u procedmeo de recuperacó para la seleccó de los casos más semejaes al uevo problema a parr de las descrpcoes plaeadas e el caso y la suacó dode el agee debe omar la ueva decsó, cosderado ue e la descrpcó de ambas suacoes hay cerdumbre. 3. Desarrollar u proceso de adapacó ue a parr de las decsoes omadas e los casos recuperados y la cerdumbre asocada deerme cuál debe ser la decsó a omar y co ué cerdumbre se oma Esrucura Geeral del Modelo Desarrollado El cálculo de la cerdumbre asocada al valor de cada rasgo se calcula a parr de dos magudes. La prmera de ellas ee e cuea la formacó almaceada e la base de casos y represea la cerdumbre de ue u rasgo ome u valor dado de su domo coocédose la decsó omada. La seguda magud represea la cerdumbre del valor coocda su fuee de obecó (exaca, creros de experos, srumeos de medcó) y por ao puede varar de uo a oro caso. Ambas magudes so calculadas como probabldades y se les deoma Prmera y Seguda Probabldad respecvamee (para abrevar P y P 2 ). 08

7 La probabldad P se calcula usado el árbol de decsó ue descrbe la eraccó ere los valores de las varables predcoras y objevos. Para la cosruccó del árbol se calcula los veles de asocacó de las varables predcoras respeco a las varables objevos, usado el esadísco Ch Cuadrado (Valve ad Oomme, 992). De esa forma e el árbol sólo esará presees auellos rasgos cuyo vel de asocacó esé por ecma de u valor predefdo por el expero. El reso de los rasgos se cosdera o asocados y para ellos la probabldad P de u valor se calcula como su frecueca de aparcó e la base. La creacó del árbol perme smplfcar el proceso de seleccó de los casos más semejaes, pues perme o eer ue cosderar odos los casos e el proceso de recuperacó. Por ora pare los veles de asocacó calculados perme realzar la asgacó de los pesos o su modfcacó, e caso de ue los pesos haya sdo prevamee asgados. Ua vez calculadas ambas probabldades para calcular la cerdumbre oal ξ (O ) de los rasgos predcores y la cerdumbre oal υ j (O ), se comba ésas a ravés de ua co--orma g. Para el uevo caso esa cerdumbre se calcula eedo e cuea sólo P 2. g = g (P, P 2 ) (7) Ua vez calculada la cerdumbre de odos los valores para los rasgos predcores y objevos y la cerdumbre de los valores del uevo caso, se procede a realzar los procesos de razoameo (recuperacó y adapacó). El procedmeo de recuperacó se basa e ua fucó de semejaza la cual compara la descrpcó del uevo problema O 0 co las descrpcoes de los casos O almaceados e la base, cosderado la mporaca de cada rasgo o peso p, los valores de las comparacoes del rasgo, δ y las cerdumbres de los valores comparados. β(o 0, O ) = f ( p δ (O 0, O )) (8), δ ' = f 2 (δ, ξ (O 0 ), ξ (O )) (9) Ua vez seleccoados los casos más semejaes es posble ue esos propoga decsoes dferees por lo ue se hace ecesaro deermar cuál de las decsoes debe omarse. Esa eleccó se realza eedo e cuea el grado de semejaza calculado e el procedmeo aeror y a la cerdumbre de la decsó de los casos recuperados. µ(β(o 0, O ), υ j (O )) (0) Esa fucó dode la smlud (uldad) de cada esado, se comba co las cerdumbres (probabldades) de las decsoes os da la uldad esperada de cada caso. Luego por el prcpo de máxma uldad esperada, para omar ua decsó omamos el caso ue haga máxma la fórmula aeror Modelo Maemáco para la Deermacó de la Cerdumbre Ese modelo esá efocado a la exseca de ua sola decsó y, auue pudera ser exeddo al caso e ue exsa múlples decsoes Fudameos Maemácos para la Cosruccó del Arbol de Decsó Sea y la decsó (rasgo objevo), la cual oma valores e cojuo: {y,..., y,..., y θ } dode θ es la cardaldad del cojuo de valores ue oma dcho rasgo objevo. Sea x ( =,) el cojuo de rasgos predcores, los cuales oma los valores e los cojuos {x,..., x p,..., x η } dode η es la cardaldad del cojuo de valores ue oma el rasgo predcor x. 09

8 Para cada varable predcora x deermamos la abla de cogeca ue la relacoa co la varable objevo y de la sguee forma: Tabla 2. Tabla de cogeca ue relacoa las varables x y y. x Y... Y... Y θ y X O... O... O θ θ j= O... j x p... O p O p O pθ... θ j= O... pj x η O η... O η... O η θ θ j= O ηj η O k... η O k η O kθ k= k= k= dode: O p (x ) es el úmero de casos ue oma smuláeamee los valores x p y Y, p =,η, =,θ. Segú (Valve ad Oomme, 992) los valores O p (x ) ue se muesra e la Tabla 2, cosuye las frecuecas observadas. S embargo, de acuerdo a las reglas de probabldad esas frecuecas debía ser: ue so las llamadas frecuecas esperadas o eórcas. E p η θ Ok(x ). k= j= O pj (x ) (x ) = () Esas frecuecas esperadas debe ser comparadas co las frecuecas observadas O p (x ) e la Tabla 2. Las dferecas O p (x ) - E p (x ) se llama resduales, se eleva al cuadrado para evar la compesacó de dferecas posvas egavas y se dvde por las frecuecas esperadas E p (x ) para esablecer magudes relavas. Resula e el esadísco: η θ p= = 2 x (x ) = (O p (x ) E E p p (x ) (x )) 2 (2) S la hpóess fudameal de depedeca es cera, ese esadísco ee dsrbucó aproxmadamee gual a la Ch-cuadrado,co grados de lberad deermado por el produco (C-)*(R-), dode C y R so el úmero de flas y columas de la Tabla 2. La prueba Ch-cuadrado ee realmee muchas lmacoes y los prcpales deracores llega cluso a decr ue el úco caso e ue puede ser aplcado co fabldad, es el caso de las ablas 2*2. Ua de las prcpales lmacoes es ue sumsra muy poca formacó sobre la forma y sobre la esrechez de la asocacó ere las varables. Por ello juo co el Ch-cuadrado o e su lugar se ulza esadíscos o pruebas ue habla de la forma o foraleza del elace como es el caso del esadísco coocdo como V de Cramer, ue se ulza para deermar el grado de asocacó. 0

9 2 x (x) V(x) = (k ) (3) dode k = m(o de flas, o de columas). Cuao mayor sea el valor de V, mayor será el grado de asocacó. S el valor V(x ) α (vel prefjado de aemao) la asocacó es cosderada. El mejor predcor es auel ue ega el mayor valor de V(x ) Algormo para la Cosruccó del Arbol de Decsó Para cosrur el árbol de decsó se hace uso de las sguees defcoes esablecdas e la eoría de los Cojuos Rugosos Defcoes Defcó de cojuo cocepo asocado a ua decsó: Es el cojuo de casos ue ee el msmo valor para dcha decsó. { O : y(o ) } Y = = (4) y Defcó de Relacó de Idcerbldad I: Es u relacó de euvaleca respeco a deermados rasgos defda sobre el cojuo de casos. Defcó de cojuo dscerble relavo a I asocado a u caso I (O ): Es el cojuo formado por los casos ue esá relacoados co O respeco a la relacó de dscerbldad I. A parr de esas defcoes se esablece ua medda ue asga u vel de cerdumbre a la decsó a ravés de la sguee fórmula: Esa eoría ee las sguees desveajas: Y I(O ) µ (O ) = (5) y I(O ). No esablece ua jeraruía ere los valores de los arbuos para cosderar la relacó de dscerbldad. 2. Deerma la cerdumbre asocada a la decsó, s cosderar la cerdumbre ue puede esar presee e los valores de los rasgos. Para dar solucó a esos problemas propoemos el sguee algormo para crear u árbol. Medae el msmo se parcoa la base de casos de acuerdo a las relacoes de dscerbldad ue se esablece co las varables más predcoras. Esas relacoes se esablece e cada vel del árbol y a su vez cosuye la base para el cálculo de la cerdumbre e los msmos. Se esablece la sguee defcó: Defcó de cojuo cocepo asocado a u valor de u rasgo: Es el cojuo de casos ue ee el msmo valor para dcho rasgo. (6) p { O :x(o ) } xp X = =

10 Algormo Sea K el cojuo de rasgos predcores x ales ue V(x ) α. { x : V(x } K = ) α (7) AD: Suar e la raíz de cada árbol uo de los cojuos cocepos asocados a la decsó. AD2: K = K. AD3: Elegr e el cojuo K el rasgo predcor ue esá más asocado co los valores del rasgo objevo y y expadr la raíz de cada árbol por los cojuos dscerbles asocados al cojuo cocepo ue se ecuera e la raíz y a cada uo de los cojuos cocepos asocados al rasgo predcor elegdo. AD4: Elmar el rasgo seleccoado de K. AD5: Reper meras K [ φ. a) Dero del cojuo K elegr el cojuo de los rasgos predcores ue esé más asocados co el rasgo predcor ue se ecuera e las hojas. Reducr K a ese cojuo. b) S K = φ ermar. E caso coraro elegr dero de K el rasgo predcor más asocado co el rasgo predcor ue se ecuera e las hojas (deermado el grado de asocacó como se mosró aerormee) y expadr cada hoja del árbol por el cojuo dscerble asocado a los cojuos cocepos ue se ecuera e la rama correspodee y a cada uo de los cojuos cocepos asocados al rasgo predcor seleccoado. c) Elmar el rasgo seleccoado de K. Cosderacoes: ) La raíz se ecuera e el vel l = 0. ) S e el vel l = l aparece el rasgo x, eoces e ese vel el úmero de odos será c η dode c es la cadad de odos del vel aeror y η es la cardaldad del cojuo de valores ue oma dcho rasgo. ) S el valor x p del rasgo x aparece e la rama b, aparecerá uevamee e las ramas b + jη, j =, c -. v) Cada rama coduce a u odo dode se ecuera el cojuo dscerble correspodee a odos los cojuos cocepos asocados a los valores ue esá e dcha rama. Ese odo se deoa por Ilb dode dca ue es u odo del árbol e cuya raíz esá el cojuo cocepo Y, l es el vel del árbol dode se ecuera y b es la rama. (Como u msmo valor de u rasgo ue se ecuere e los veles ermedos, aparece e varas ramas, para deoarlo se cosdera ue b es la prmera rama e la ue aparece). E parcular para el cojuo cocepo Y ue se ecuera e la raíz el cojuo I 0 dscerble asocado se deoa como. v) A los cojuos dscerbles ue se ecuera e el úlmo vel del árbol se les deoma hojas. v) El úmero de hojas del árbol y por ao el úmero de ramas será gual al produco de las cardaldades de cada uo de los rasgos ue aparece e el árbol de decsó. v) La uó de los cojuos dscerbles ue se ecuera e cada vel cosuye el cojuo de odos los casos ue se ecuera e la raíz y su erseccó es vacía Cálculo de la Cerdumbre Prmera Probabldad. Algormo PP: Probabldad asocada a los valores de los rasgos ue o aparece e el árbol de decsó. 2

11 S el rasgo x K c P ( x (O ) x ) xp = p (8) = PP2: Probabldad asocada a los valores de los rasgos ue aparece e el árbol de decsó. S el rasgo x K Para =,θ S el valor x p del rasgo x aparece e el vel l, e la rama b, del árbol asocado a Y eoces O I lb PP3: Probabldad asocada a los valores de la decsó Para =,θ I lb I lb Ilb P ( x( O ) = xp ) = I (9) b l η O Y S O sedo u cojuo dscerble ue se ecuera e las hojas del árbol correspodee P I = θ j c U I x K lb ( y (O ) y ) = P(x (O ) = x ) lb j= j (20) Seguda Probabldad. Algormo SP: Para odo x Para odo O hacer ) S el valor x j de la varable x (O ) es omado de ua fuee e la cual o hay movos para o cofar: ( x (O ) = x ) P (2) 2 j = ) S el valor x j de la varable x (O ) es omado a parr del crero de varos experos eoces: ( x (O ) = x ) r= r r= a ( x ) P = (22) dode: a, a 2,...,a, so los experos ue esá asgado el valor del rasgo x del caso O. a r (x k ) deoa la respuesa del expero r sobre ese valor. 2 j c c r r j 3

12 c r es el grado de compevdad del expero. cuado el valor se afrma a r (x k ) = (23) 0 cuado el valor se ega S el valor x j de la varable x (O ) es omado a parr de u srumeo de medcó. P 2 (x (O ) = x j ) = P (24) dode P es la cerdumbre asocada al srumeo de medcó ulzado ue se deerma a parr de (Fgueroa, 994) y cosuye ua probabldad. SP2: Para odo O hacer S y (O ) = y k P 2 ( y (O ) y ) = P 2 ( x (O ) = x ) j = k = (25) Para el uevo problema ambé se calcula el valor de la seguda probabldad asocada a sus rasgos predcores sguedo el paso SP del algormo aeror. Para ese caso e parcular, dcha probabldad será cosderada ua medda de cerdumbre. O sea ξ (O 0 ) = P 2 (x (O 0 )) Cálculo de la Cerdumbre Toal de los Rasgos Predcores y Objevos Por úlmo calculamos la cerdumbre oal de cada valor del rasgo predcor x y del rasgo objevo y para cada caso usado ua de las fucoes de combacó ue ha sdo ulzadas e la leraura para propagar cerdumbre y ue se cooce como co- ormas arumedeaas por ejemplo: g(x,y) =x + y xy (26) g(x,y) = x + y + xy (27) ere oras. Esas fucoes de combacó cumple las sguees propedades:. S 0 < x,y < eoces 0 < g(x,y) < 2. g(x,y) = g(y,x) 3. g(x,g(y,z)) = g(g(x,y),z) 4. g(x,0) = x 5. S x y eoces g(x,z) g(y,z) 6. g(x,) = Esa úlma propedad resula mporae ya ue garaza la segurdad absolua cuado cualuera de las dos probabldades asgadas es. De esa forma deoamos por: a la cerdumbre del valor del rasgo x para el caso O y por ξ (O ) = g(p,p 2 ) (28) 4

13 a la cerdumbre del valor del rasgo objevo y para el caso O Trasformacó de la Fucó de Semejaza e el Módulo de Recuperacó υ (O ) = g(p,p 2 ) (29) Se corpora los valores de la cerdumbre a la fucó (2) obeédose la sguee fucó de semejaza: dode: : úmero de rasgos predcores. P ' : peso o relevaca del rasgo. (,O ) = ' δ = ( O,O ) β O = (30) 0 p ' p ' 0 ξ(o0 ) + ξ(o ) ' δ s ( ξ(o0 ) ξ(o )) ε δ (O0,O ) = 2 (3) 0 e.o.c Como se puede observar e la fórmula aeror s para el problema o para el caso co ue esamos comparado, el valor del rasgo ue se esá cosderado esá por debajo de u umbral predeermado, dcho rasgo o se oma e cosderacó ya ue esaríamos comparado valores cuyo vel de cerdumbre esá por debajo de lo permsble. S prevo a la deermacó de la cerdumbre, el expero había asgado u peso p a los valores de los rasgos x eoces: p ' p + = m = ξ (O ) + V(x ) m 3 (32) E caso coraro p ' = m = ξ (O ) + V(x ) m 2 (33) Para aplcar la ueva fucó de semejaza se cosdera sólo el cojuo de casos correspodees a la uó de los cojuos ue se ecuera e las hojas de cada árbol dode sería ubcado el caso segú los rasgos predcores cosderados, depedeemee de los valores del rasgo objevo Deermacó de la Decsó E uesro caso la adapacó se efecúa deermado el caso de mayor uldad esperada. Eso se realza a ravés de la fórmula: µ (O ) = γβ(o 0,O ) + ( - γ) υ (O ) (34) dode γ es u parámero ue se seleccoa segú el crero del expero. A medda ue α ede a sgfca ue se le esá dado mayor mporaca a la semejaza ue a la cerdumbre de la solucó. 5

14 4. UN EJEMPLO DE APLICACION La Tabla 3 muesra u ejemplo de ua base de casos. Auí los rasgos predcores so: Coraccó Muscular, Dolor de Cabeza, y Temperaura y el rasgo objevo (la decsó) es Degue. Tabla 3. Tabla de decsó ue represea ua base de casos. Caso x x 2 x 3 y Co. Muscular Dolor de Cabeza Temp Degue O No No Normal No O 2 S No Ala No O 3 S No Normal No O 4 S S Ala S O 5 No S Normal No O 6 No S Ala S O 7 No No Normal No O 8 S S Ala No O 9 S No Ala S O 0 No No Normal S 4.. Cosruccó de Arbol de Decsó a parr de los Nveles de Sgfcacó de las Varables Predcoras Tabla 4. Tabla de cogeca ue relacoa x co y. Tabla 5. Tabla de cogeca ue relacoa x 2 co y. x y No S x 2 y No S No S Tabla 6. Tabla de cogeca ue relacoa x 3 co y. No S Tabla 7. Esadíscos. x 3 y No S Ala Normal X 2 V X 0 0 X X E ese caso como esamos e preseca de ua base de casos muy peueña por ser u ejemplo rreal, omaremos α = 0. para cosrur el árbol de decsó. Luego los rasgos más asocados so el rasgo x 3 co 0.40, le sgue el rasgo x 2 co 0.8 y por úlmo el rasgo x ee valor 0 luego o se cosdera asocado. El algormo para la cosruccó de los árboles de decsó muesra los sguees resulados: 6

15 {O, O 2, O 3, O 5, O 7, O 8 } Ala x 3 Normal {O 2,O 8 } {O,O 3,O 5,O 7 } No x 2 S No x 2 S {O 2 } {O 8 } {O,O 3,O 7 } {O 5 } Fgura. Arbol de decsó asocado al valor de la decsó y. {O 4,O 6,O 9,O 0 } Ala x 3 Normal {O 4,O 6,O 9 } {O 0 } No x 2 S No x 2 S {O 9 } {O 4,O 6 } {O 0 } { } Fgura 2. Arbol de decsó asocado al valor de la decsó y Deermacó de la Prmera Probabldad Tabla 8. Caso X Co Muscular P X 2 Dolor de Cabeza P X 3 Febre P Y Degue O No 0.5 No 0.75 Normal 0.60 No 0.30 O 2 S 0.5 No 0.50 Ala 0.30 No 0.25 O 3 S 0.5 No 0.75 Normal 0.60 No 0.30 O 4 S 0.5 S 0.60 Ala 0.75 S 0.30 O 5 No 0.5 S 0.25 Normal 0.60 No 0.50 O 6 No 0.5 S 0.60 Ala 0.75 S 0.30 O 7 No 0.5 No 0.75 Normal 0.60 No 0.30 O 8 S 0.5 S 0.50 Ala 0.30 No 0.0 O 9 S 0.5 No 0.30 Ala 0.75 S 0.25 O 0 No 0.5 No Normal 0.25 S 0.0 P 4.3. Deermacó de la Seguda Probabldad Para uesro ejemplo supogamos ue el rasgo (Coraccó Muscular) oma sus valores a crero de experos; el rasgo 2 (Dolor de Cabeza) oma sus valores de forma exaca y el rasgo 3 (Febre) oma sus valores a parr de u srumeo de medcó. Para el rasgo x, segú (22): Supogamos ue exse res experos a, a 2, a 3 co grado de expercdad c = 0.8, c 2 = 0.9, c 3 = 0.8 respecvamee. Los resulados de sus voacoes se muesra e la Tabla 9. 7

16 Tabla 9. Resulados de las voacoes de los experos. Asgacó de valores Experos Para el rasgo x 3, segú (24): x (O ) = No a, a 3 x (O 2 ) = S a 2, a 3 x (O 3 ) = S a, a 2, a 3 x (O 4 ) = S a, a 3 x (O 5 ) = No a, a 2, a 3 x (O 6 ) = No a, a 2, a 3 x (O 7 ) = No a, a 2, a 3 x (O 8 ) = S a, a 2, a 3 x (O 9 ) = S a, a 2, a 3 x (O 0 ) = No a, a 2, a 3 Supogamos ue e los casos O y O 8 la emperaura se mde co u ermómero cuya cerdumbre es y e los resaes casos co u ermómero cuya cerdumbre es 0.8. Caso Tabla 0. Seguda probabldad asocada a los valores de los rasgos predcores y objevos. x Co Muscular P 2 x 2 Dolor de Cabeza P 2 x 3 Febre P 2 y Degue O No 0.64 No Normal No 0.8 O 2 S 0.68 No Ala 0.8 No 0.83 O 3 S No Normal 0.8 No 0.93 O 4 S 0.64 S Ala 0.8 S 0.8 O 5 No S Normal 0.8 No 0.93 O 6 No S Ala 0.8 S 0.93 O 7 No S Normal 0.8 No 0.93 O 8 S S Ala No.00 O 9 S No Ala 0.8 S 0.93 O 0 No S Normal 0.8 S Cálculo de la Cerdumbre Toal La Tabla muesra los resulados: Tabla. Cerdumbres asocadas a los valores de los rasgos predcores y objevos. P 2 Caso x Co Muscular ξ (O ) x 2 Dolor de Cabeza ξ 2(O ) x 3 Febre ξ 3 (O ) y Degue O No 0.82 No Normal No 0.86 O 2 S 0.84 No Ala 0.86 No 0.88 O 3 S No Normal 0.92 No 0.96 O 4 S 0.82 S Ala 0.95 S 0.86 O 5 No S Normal 0.92 No 0.97 O 6 No S Ala 0.95 S 0.96 O 7 No S Normal 0.92 No 0.96 O 8 S S Ala No.00 O 9 S No Ala 0.95 S 0.95 O 0 No S Normal 0.85 S 0.93 υ (O ) 8

17 4.5. Recuperacó de Casos Semejaes Cosderemos el sguee problema: Tabla 2. Valores co sus cerdumbres asocadas para el problema a resolver. Nuevo caso x Dolor Muscular ξ (O ) x 2 Dolor de Cabeza ξ 2 (O ) x 3 Febre ξ 3 (O ) O 0 S 0.82 S Ala 0.8 Para deermar los casos más semejaes omamos e cosderacó los casos correspodees a la hoja 2 de cada árbol. Luego cosderaremos los casos O 4, O 6 y O 8 aplcar la fucó de semejaza co el uevo caso. Así se reduce osesblemee el úmero de comparacoes ue eemos ue realzar. E ese caso los pesos se deerma usado la fórmula (33) obeédose p = 0.64, p 2 = 0.72, p 3 = 0.77 y ε = 0.8 y la fucó de comparacó (4) para odos los rasgos. De esa forma a parr de (30) y (3) se obee los sguees resulados: β(o 0,O 4 ) = 0.82 β(o 0,O 6 ) = 0.64 β(o 0,O 8 ) = 0.93 Los casos más semejaes so O 4 y O 8 ue como puede aprecarse ee los msmos valores para los rasgos predcores y valores dferees para el rasgo objevo. Esa suacó se deoma cosseca y es ua de las problemácas acuales de los Ssemas Basados e el Coocmeo. E u ssema radcoal la fucó de semejaza hubese dado el msmo valor s embargo auí las dferecas se esablece co el maejo de la cerdumbre Creacó de la Solucó Para seleccoar el caso ópmo ere los casos recuperados y resolver el problema de la cosseca, omemos, γ = 0.5 e la fórmula (34) eoces ueda: µ (O 4 ) = 0.84 µ (O 8 ) = 0.96 Evdeemee el caso ópmo para adapar es el caso O 8 luego la solucó al uevo caso es No. La corporacó de ese uevo a la base hace ue sea ecesaro recalcular las cerdumbres, de la forma aalzada auí. 5. CONCLUSIONES E ese arículo se ha abordado la problemáca de la oma de decsoes co maejo de la cerdumbre e u Ssema Basado e Casos desde la perspecva de la eoría probablsa y usado las defcoes fudameales relacoadas co la eoría de los cojuos rugosos. Las deas plaeadas perme la asgacó de u valor de cerdumbre a los valores de los rasgos predcores y objevos e ua base de casos. El modelo plaeado, hace ue se reduzca osesblemee el úmero de comparacoes e el proceso de recuperacó y ue se facle de forma sgfcava el proceso de adapacó. El Ssema Compuacoal (TREEDATA) (Tellería y Guérrez 200) ue mplemea el modelo ha sdo usado exosamee e areas de dagósco. Los reuermeos mímos para el uso de dcho ssema so los sguees: Procesador 386 co 6 Mb de memora RAM y.5 Mb de espaco lbre e dsco duro. Se ecesa además ue esé salados los objeos ADO y OLEDB de Mcrosof. 9

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