Vida media residual de mixturas finitas y aplicaciones a sistemas coherentes

Transcripción

1 Vda meda resdual de mxuras fas y aplcacoes a ssemas coherees Vda meda resdual de mxuras fas y aplcacoes a ssemas coherees Navarro Camacho, Jorge jorgeav@umes Deparameo de Esadísca e Ivesgacó Operava Uversdad de Murca Herádez Maríez, Pedro José pedrojheradez@upces Deparameo de Méodos Cuaavos e Iformácos Uversdad Polécca de Caragea RESUMEN Esudamos alguas propedades de la vda meda resdual de mxuras fas Cocreamee, hemos obedo propedades de ordeacó, moooía y comporameo asóco Hemos demosrado que, bajo ceras codcoes, el comporameo asóco (cuado ede a fo) de la vda meda resdual de la mxura es smlar al de la compoee más fuere (e el orde vda meda resdual) També hemos cosderado el caso de mxuras egavas para aplcarlas al esudo del comporameo de la vda meda resdual de ssemas coherees Palabras claves: Mxura egava; vda meda resdual; ordeacó; moooía; ssemas coherees Clasfcacó JEL (Joural Ecoomc Leraure): C4 Área emáca: Esadísca aplcada a los Méodos Cuaavos XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

2 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J - INTRODUCCIÓN Es be sabdo que las fucoes vda meda resdual y razó de fallo deerma de forma úca la fucó de dsrbucó y, por ao, coee oda la formacó del modelo (véase Barlow y Proscha (975) y Navarro, Ruz y Zoroa (998)) Deermar la forma de la vda meda resdual de la mxura o es fácl, cluso auque sea coocda la forma de la vda meda resdual de cada ua de las compoees de la mxura Exse pocos resulados sobre la vda meda resdual de mxuras (véase, Fkelse (00,00)) Además, la forma de la vda meda resdual esá relacoada co la forma de la razó de fallo (véase Klefsjo (98), M (995), Bradley y Gupa (003), Bekker y M (003) y Savs (003) ) - PROPIEDADES GENERALES La vda meda resdual para ua varable aleaora posva X vee dada por para D, y además, e = Rxdx R () ( 0) e = R x dx= E X = µ () 0 Lema : Sea X ua varable aleaora posva co meda fa E ( X ) y fucó vda meda resdual e cumpledo que lm e = λ [ 0 ], eoces, logg lm =, λ dode G = R( x) dx y, por coveo, / 0 = + Demosracó: De la defcó de e y G, se deduce que log er log G lm = lm = lm dx = e x λ dode la prmera gualdad se obee de (), la seguda de ( ) y la ercera aplcado la regla de L Hôpal y eedo e cuea que ( 0) 0 lm G dx = lm log = e 0 ( x) e, (3) lm G = E X lm R x dx= 0 ya que de (), 0 XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

3 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Defcó : Ua fucó de fabldad R se dce que es ua mxura geeralzada fa de las fucoes de fabldad R, R,, R, s wr R para odo, dode w, w, w so úmeros reales ales que =, (4) = w = S pérdda de geeraldad, podemos supoer e (4) que w 0 para odo y R R j para j Cuado w, w, w sea úmeros reales posvos edremos ua mxura posva S w < 0 para algú, eoces dremos que R es ua mxura egava E ese caso, ecesamos supoer que la fucó R es ua fucó de fabldad ya que el segudo membro de (4) puede que o defa ua fucó de fabldad S e es la fucó vda meda resdual asocada a la mxura geeralzada R dada e (4) y e, e,, e so las fucoes vda meda resdual de las compoees R, R,, R, que supodremos fas, eoces de (), = dode w e e w = (5) = wr j= = wr j j E parcular, s R es ua mxura posva, eoces w 0 y m { e,, e } e max { e,, e } (6) para odo Además, óese que cualquer mxura egava dada por (4) se puede expresar como ua mxura de dos compoees de la forma dode y p ( ) R = pr + p R, (7) R + + p = w >, w > 0 w > 0 = w > 0 wr w XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 3 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

4 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J R w < 0 = w < 0 wr Señalar que R + y R so fucoes de fabldad obedas como mxuras posvas de las fabldades w R S embargo, esas fucoes puede eer dferees propedades que las que ee sus compoees Por ejemplo, =,,, y R + o R segur u modelo dferee Por ao, s R es ua mxura egava eoces p > y R puede ser ua dsrbucó expoecal para R = p R + p p R (8) + p y, por ao, R + (la compoee posva) es ua mxura posva de R p (la mxura egava) y R (la compoee egava) Además, de (6) y (8) se deduce la sguee propedad medaa para mxuras egavas Proposcó : S se cumple (4) para = y w > eoces para odo { e e } e { e e } m, max, Demosracó: S se cumple (4) para = y w >, eoces R = w R w w R (9) p dode w < 0 Por ao, el resulado se obee aplcado (6) a la mxura posva dada e (9) Observacó : Esa propedad se puede aplcar ambé a las fucoes de fabldad R + y R defdas e (7) Nóese que aquí, para cualquer, e ( + ) esá compredda ere e y e E parcular, s se cumple (5) para =, w >, y las compoees de la mxura esá ordeadas e el orde vda meda resdual R mrl R ), eoces R mrl R mrl (es decr, e mrl e para odo E la sguee proposcó demosramos que las fucoes vda meda resdual de ua mxura geeralzada de dos compoees esá ordeadas Proposcó 5: S se cumple (4) para =, w > y las fucoes vda meda resdual e y e de R y R, respecvamee, sasface e e 0, eoces para u XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 4 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

5 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Demosracó: De las defcoes, eemos que dode G e R e w e 0 ( ) + ( ) + ( ) G wg w G = = R wr w R =, =,, y dervado, obeemos R R w R ( ) e = e e y de esa forma queda demosrada la proposcó E parcular, s las compoees de la mxura esá ordeadas e el orde vda meda resdual R mrl R, eoces Rp mrl R p para p > p, dode R p y R p cumple (4) para = co w = p> y w = p >, respecvamee Como ejemplo véase la Fgura,, Fgura Fucoes vda meda resdual de mxuras geeralzadas de dos dsrbucoes expoecales co µ =, µ = / y w = 0k para k = 0,,,0 (de abajo a arrba) Las líeas horzoales represea las fucoes vda meda resdual de las compoees de la mxura XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 5 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

6 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Ua propedad muy coocda para mxuras posvas (véase, Klefsjo (98)) es que la mxura de dsrbucoes que ega vda meda resdual crecee (IMRL), ee ambé vda meda resdual crecee (IMRL) Necesamos la sguee proposcó para obeer u resulado smlar para la vda meda resdual de mxuras egavas Proposcó 4: S se cumple (4) para =, R ( ) y R ( ) so couas e y las fucoes vda meda resdual e y e ( ) de R ( ) y R ( ), respecvamee, so dferecables e, eoces la fucó vda meda resdual e de R ( ) es dferecable e y sasface ( e e ) e e e = α + ( α ) + α α, (0) e e e e e dode α = wg G, G = R e y G R e / Demosracó: De las defcoes, eemos que Dervado, dode = = α + ( α ) e e e = α + ( α ) + α, () e e e e e α = α ( α ) e e La demosracó se complea susuyedo el valor de α e la expresó () La proposcó aeror se puede exeder a mxuras geeralzadas medae la sguee proposcó La demosracó es smlar Proposcó 5: S se cumple (4), R, R,, R so couas e y las respecvas fucoes vda meda resdual e, e,, e so dferecables e, eoces la fucó vda meda resdual e de R es dferecable e y sasface e G e G ( e ej ) j = w + ww j = < j j, e G e G G e e dode G = R e y G R e G = para =,,, XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 6 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

7 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Como ua cosecueca medaa, eemos la sguee propedad Proposcó 6: S se cumple (4) co w > 0, R es coua y su vda meda resdual sasface e 0, para u 0 y para odo,,, =, eoces e 0 Además, para mxuras egavas co sólo u peso posvo, eemos la sguee propedad Proposcó 7: S se cumple (4) co w >, R es coua y su vda meda resdual sasface e, y además, w < 0, R coua y vda meda resdual, e, sasface 0 0 e para u 0 y para odo,3,, Demosracó: =, eoces e 0 E ese caso, las fucoes vda meda resdual e + y e de las compoees posva ( R + ) y egava ( R ) de la mxura defda e (7), cumple que e+ = e y e 0 Eso úlmo se obee de la Proposcó 6, eedo e cuea que R es ua mxura posva de R R y e 0,,, para =,, Eoces, aplcado la Proposcó 4, a la mxura dada e (7), obeemos que e 0 eedo e cuea que p w = >, e + 0 y e 0 E parcular, s las proposcoes aerores se puede aplcar para odo 0, obeemos que las mxuras posvas de dsrbucoes IMRL so ambé IMRL (Klefsjo, 98) y que las mxuras egavas de ua dsrbucó DMRL co peso posvo y varas dsrbucoes IMRL co pesos egavos so DMRL El sguee ejemplo muesra que esa úlma propedad o es cera cuado la mxura ee más de u peso posvo Ejemplo : S cosderamos ua mxura geeralzada de dsrbucoes expoecales co medas µ =, µ = / y µ 3 = /3, y pesos w = w =, y w 3 =, eoces es fácl probar que (4) defe ua fucó de fabldad Además, aplcado la Proposcó 5 y eedo e cuea que e = µ para 0, eemos que ww < e ( µ ) µ j / j / µ j = e e, j µµ j e G para 0 Por ao, e uesro ejemplo, obeemos que y así, e e G = e e e, 3 6 e es esrcamee decrecee e ( 0, ) y esrcamee crecee e µ, dode = l( ) 047 y, e cosecueca, la mxura es BFR y o cumple la, XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 7 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

8 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J proposcó aeror La gráfca de e se da e la Fgura Nóese que lm e = Por ao, asócamee es equvalee a la vda meda resdual de la compoee más fuere de la mxura e = Fgura Vda meda resdual de ua mxura geeralzada de res dsrbucoes expoecales co medas µ =, µ = / y µ 3 = /3, y pesos w = w =, y w 3 = Las líeas horzoales represea la vda meda resdual de las compoees de la mxura Noar que la vda meda resdual de la mxura o es moóoa so bañera (BMRL) 3- COMPORTAMIENTO ASINTÓTICO Ua propedad muy coocda de mxuras posvas es que, e el caso absoluamee couo, la razó de fallo de la mxura ee, bajo ceras codcoes, el msmo comporameo asóco que la compoee más fuere de la mxura e el orde razó de fallo (véase M (999), Fkelse y Esaulova (005, 006) y Navarro y Herádez (006)) Obeemos propedades smlares para el comporameo asóco de la vda meda resdual de mxuras geeralzadas E prmer lugar, damos u resulado para mxuras posvas Proposcó 3: S se cumple (4) co w > 0 para odo =,,,, y las fucoes vda meda resdual ee,, e,, e de R, R, R,, R, respecvamee, sasface λ [ ] lm e = 0,, () XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 8 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

9 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J y e e para =,3,, y, (3) ξ [ ] lm e = 0,, (4) eoces ξ = λ Demosracó: Del Lema, () y (4), se deduce que log G lm = / ξ (5) y Además, como 0 log G lm = / λ (6) w > para odo =,,,, se cumple que ( ) log G log wg = log w + log G, y aplcado (5) y (6), se cocluye que ξ λ Por oro lado, de (6) y (3), se cumple que e e para y, por ao, ξ λ E cosecueca, ξ = λ Obvamee, de (6), s λ = 0 e (), eoces el líme e (4) exse y vale cero E la sguee proposcó damos u resulado smlar para mxuras egavas Proposcó 3: S se cumple (4) co w > y w < 0 para =,3,,, y se verfca (), (3) y (4), eoces ξ = λ Demosracó: Como w < 0 para =,3,,, eoces eemos que ( ) log G log wg = log w + log G Además, aplcado (5) y (6), se obee que ξ λ Por oro lado, como e e para =,3,, y, eoces e e odo, dode e es la vda meda resdual de la compoee egava R defda e (7) Eoces, de la Proposcó 5, e e cosecueca, ξ = λ XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 9 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306 para para odo y, por ao, ξ λ E

10 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Obvamee, de la Proposcó, s λ = e (), eoces el líme e (4) exse y es Más adelae veremos que la compoee líder de la mxura (para el comporameo asóco) debe eer peso posvo E el sguee ejemplo aplcamos la proposcó aeror Ejemplo 3: Sea ua mxura fa de dsrbucoes expoecales Esa famla de dsrbucoes se llama clase hperexpoecal geeralzada (GH) (véase Baggs y Nagaraja (996)) S pérdda de geeraldad podemos supoer que µ > µ para =,3,, Es fácl probar que ua codcó ecesara para que sea fucó de dsrbucó es que w > 0 Cosderemos res casos E prmer lugar, s w > 0 para,,, =, eoces de (6), e µ <, y aplcado la Proposcó 6, e es crecee Por ao, se cumple (4), y de la Proposcó 3 se obee que lm e = µ E segudo lugar, s w > y w < 0 para =,3,,, eoces de la Proposcó 7, e es decrecee Obvamee, e 0 y, por ao, se verfca (4) y aplcado la Proposcó 3, se obee que lm e = µ Falmee, s w > 0 para =,,, k y w < 0 para = k+, k+,,, eoces, como R + es ua mxura posva, aplcado el prmer caso, se obee que lm e+ = µ, dode e + es la vda meda resdual de la compoee posva defda e (7) Así, R se puede erprear como ua mxura de R + y R para = k+, k+,, y, de esa forma, se lm e = µ < lm e = µ E cosecueca, esa cumple () y (3) ya que + represeacó se correspode co el segudo caso y, por ao, lm e = µ A couacó, eucamos dos lemas, ecesaros para obeer resulados para la fucó vda meda resdual de mxuras geeralzadas Lema 3: S las fucoes vda meda resdual e y e de R y R, respecvamee, sasface que, eoces e lm f e G lm 0 G >, (7) =, (8) G = R x dx para =, dode XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 0 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

11 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Demosracó: De (7), exse η > y 0 > 0 ales que para 0 Eoces, eemos que e e > η >, (9) ( 0) exp ( 0) G R e e = = dx G R e e e 0 x e x 0 e ( 0) η exp dx exp dx e( 0) e 0 ( x) e( x) e 0 x para 0, dode la seguda gualdad se obee de la fórmula de versó para la vda meda resdual () y la desgualdad de (9) Además, como e ( 0 ) <, aplcado (3), eemos que dx =, e 0 ( x) y, e cosecueca, se verfca (8) Lema 3: S se verfca (4) y las fucoes vda meda resdual e, e,, e de R, R,, R, respecvamee, sasface eoces w > 0 y e lm f e > para =,3,,, (0) G lm G = w, () R x dx dode G = y G = R x dx Demosracó: E prmer lugar, se observa que G w w = G Eoces, aplcado el Lema3, se obee G = + 0 G G lm = w 0 G Falmee, como w 0 queda demosrado el lema XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

12 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Lema 33: S las fucoes vda meda resdual e y e de R y R, respecvamee, sasface que e ( 0 ) <, (7) y e lm sup e eoces R lm 0 R Demosracó: De las defcoes, eemos que R e G =, R e G y aplcado () y el Lema 3, se obee (3) <, () = (3) Ahora, ya esamos e codcoes de obeer el resulado prcpal sobre el comporameo asóco de la vda meda resdual de mxuras geeralzadas Teorema 3: S se verfca (4) y las fucoes vda meda resdual e, e,, e de R, R,, R, respecvamee, sasface (0) y e lm sup e eoces la fucó vda meda resdual e < para =,3,,, (4) de R sasface Demosracó: E prmer lugar, óese que e lm = (5) e e G R = w w e G + = R Eoces aplcado los Lemas 53 y 533, se obee (5) Observacó 3: Nóese que la codcó (4) se puede susur por la sguee codcó más débl R lm = 0, para =,3,, (6) R XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

13 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J Nóese ambé que, s el líme de la codcó (6) exse, eoces es cero por el Lema 3 y la regla de L Hôpal S embargo, e alguos casos, la codcó (4) es más fácl de comprobar que la codcó (6) A couacó, esudamos la moooía asóca de la vda meda resdual de la mxura, es decr, cuado ede a Proposcó 3: S se verfca (4) y las fucoes vda meda resdual e, e,, e de las fucoes de fabldad couas R, R,, R, respecvamee, sasface (0), (4), y lmsup e < para =,3,, (7) ( e e ) e e lmsup j eoces la fucó vda meda resdual e de R sasface j <, para j, (8) ( e e ) lm = 0 E parcular, s lm e 0 Demosracó: De la Proposcó 5, eemos que > ( < ), eoces lm 0 e > G e G Gj e ej e j, = G e < j G G e e e e e = w e + ww dode G = R e y G R e eemos que < j j = para =,,, Además, del Teorema 3 lm e/ e = y, por ao, ( e ej ) G e G Gj e lm e = lm w e + ww j G e = < j G G e ej e ej y, como e (véase 9 e Fkelse (00)), de (7), e,, e esá acoadas cuado ede a Por ao, de (4) y los Lemas 3 y 3, se obee que Gj e ej ( ) lm j < lm G e e e = ww G G e e e e j j j Falmee, la demosracó se erma aplcado el Lema 3, el Teorema 3, y las propedades (4) y (8) XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 3 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

14 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J E la sguee proposcó exedemos el resulado aeror usado codcoes más fueres Proposcó 3: S se verfca (4) y las fucoes vda meda resdual e, e,, e de las fucoes de fabldad couas R, R,, R, respecvamee, sasface (0), (4), lmsup e e < para =,3,, (9) y lm sup e e ( e ej ) e j <, para j, (30) eoces la fucó vda meda resdual e de R sasface E parcular, s lm e 0 e lm = e > ( < ), eoces lm 0 e > Demosracó: De la Proposcó 5, obeemos que j < ( e ej ) G G = w + ww j = < j j e e G e e e e e G e e G e e e, dode G = R e y G R e eemos que lm / = y, por ao, e e = para =,,, Además, del Teorema 3, ( e ej ) e G e e G Gj e lm = lm w + ww j e = G e e < j G e ej e Aplcado los Lemas 3 y3 y las codcoes (4) y (9), resula que j ( e ej ) e G G e lm = + lm ww j < j j j e G G e e e e e Para acabar la demosracó, aplcamos el Lema 3, el Teorema 3 y las codcoes (4) y (30) També se cumple que, e es esrcamee crecee para mxuras posvas co > y esrcamee decrecee para mxuras egavas co sólo u peso posvo E ese úlmo caso, s w > 0, la compoee de la mxura co el peso posvo es la compoee líder cuado ede a La Fgura 5 muesra la gráfca de la fucó vda meda resdual de XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 4 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

15 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J mxuras posvas y egavas de dsrbucoes expoecales co = La Fgura 5 muesra la gráfca de la vda meda resdual de ua mxura egava de res dsrbucoes expoecales 4- APLICACIONES A SISTEMAS COHERENTES A lo largo de esa seccó, represearemos por e p la fucó vda meda resdual de u ssema e sere co compoees e el cojuo P y por e ( k, ) la fucó vda meda resdual del esadísco X ( k, ) També supoemos que las fucoes vda meda resdual usadas exse y so fas para odo Por ao, las propedades para mxuras geeralzadas, se puede usar para obeer propedades de los ssemas coherees Por ejemplo, de () y el Teorema 3, se obee el sguee resulado Teorema 4: S T es u ssema coheree co camos mmales P, P,, P m ales que se cumple e P lm f ep A > (3) y para odo A {,, m} ( { } ) resdual T e lm sup e P PA < (3) A, dode P A = P j, eoces la fucó vda meda j A e del ssema T sasface que e e lm / = T P Observacó 4: El camo que verfque (3) se puede llamar camo líder del ssema coheree T S las compoees so depedees, eoces el ssema e sere P = m ( : ) es mejor que X m ( X : Q) X X P Q = e el orde razó de fallo (y, por ao, e el orde vda meda resdual, e P e Q ) sempre que P Q (véase, Nada y Shaked (00) o Navarro y Shaked (006)) y, eoces (3) se puede susur por para =,3,, m ya que e PA P e P lm f ep e, para odo A E el Teorema 4, la codcó (3) se puede susur por ua codcó más débl smlar a (6) usado que, e ese caso, los ssemas e sere esá ordeados e orde >, XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 5 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

16 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J esocásco (s) y, por ao, R PA R, para odo A E cosecueca, se obee el P sguee resulado Teorema 4: S T es u ssema coheree co camos mmales P, P,, P m ales que se cumple (3) para odo A {,, m} ( { } ) A y se cumple P RP lm = 0, (33) R para =,3,, m, eoces la fucó vda meda resdual e T del ssema T sasface que lm e / e = T P Falmee, damos alguos ejemplos para mosrar cómo se aplca esos resulados a ssemas coherees Ejemplo 4: Cosderemos u ssema -ou-of-3, es decr, que fucoa s al meos lo hace dos de sus res compoees, cuyos camos mmales so P = {, }, {,3} P = y P 3 = {, 3} Por ao, aplcado la propedad que perme expresar cualquer ssema coheree como ua mxura geeralzada de ssemas e sere, la fucó de fabldad del ssema vedrá dada por R = R + R + R R { } { } { },3,,3,3 (,3) S supoemos que las compoees so depedees y ee dsrbucoes expoecales co e = µ para 0 y µ > µ > µ 3, eoces la dsrbucó del ssema es ua mxura egava de cuaro dsrbucoes expoecales Por ao, del Teorema 4, eemos que lm e µ µ =, µ + µ (,3) ya que el camo líder es P y el correspodee ssema e sere ee ua dsrbucó R = + expoecal co fucó de fabldad { } exp ( µ µ, ) = =, eoces por lo dcho aerormee, R 3R R S µ µ µ 3 =,,3,,3 es decr, es ua mxura egava de dos dsrbucoes expoecales Por ao, de la Proposcó 7, ee vda meda resdual decrecee (DMRL) y, del Teorema 3, se obee lm e = µ / (,3) XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 6 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

17 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J La Fgura 3 muesra la gráfca de la fucó vda meda resdual e (,3) para dferees valores de µ, µ y µ 3 Fgura 3 Fucoes vda meda resdual de u ssema -ou-of-3 e(,3) co compoees expoecales depedees co, µ = 3, µ = y µ 3 =, µ = µ =, µ 3 =, µ = µ = µ 3 = 5 y µ = y µ = µ 3 = (de arrba a abajo) Las líeas dscouas represea el comporameo asóco XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 7 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306

18 Navarro, Jorge y Herádez, Pedro J 5- Referecas bblográfcas AGRAWAL, A y BARLOW RE (984) A survey of ework relably ad domao heory Operao Research :6 63 ASADI, M y BAYRAMOGLU I (006) The mea resdual lfe fuco of a k- ou-of- srucure a he sysem level IEEE Tras Relably 55():34 38 BAGGS GE, NAGARAJA HN (996) Relably properes of order sascs from bvarae expoeal dsrbuos Commu Sa Sochasc Models :6 63 BALAKRISHNAN, N y CRAMER, E (007) Progressve cesorg from heerogeeous dsrbuos wh applcaos o robusess (o appear A Is Sa Mah) BARLOW RE y PROSCHAN F (975) Sascal heory of relably ad lfe esg Hol, Rehar ad Wso, New York BEKKER L y MI J (003) Shape ad crossg properes of mea resdual lfe fucos Sa Probab Le 64:5 34 BRADLEY, DM, GUPTA RC (003) Lmg behavour of he mea resdual lfe A Is Sa Mah 55:7 6 EVERITT BS y HAND DJ (98) Fe mxure dsrbuos Chapma ad Hall, New York FINKELSTEIN, MS (00) The falure rae ad he mea resdual lfeme of mxures I: Sysem ad Bayesa relably Ser Qual Relab Eg Sa 5 World Scefc Publshg, Rver Edge, pp FINKELSTEIN, MS, ESAULOVA, V (005) Asympoc behavor of a geeral class of mxure falure raes Adv Appl Probab 38:44 6 KAMPS U y CRAMER, E (00) O dsrbuos of geeralzed order sascs Sascs 35:69 80 KLEFSJO B (98) The NBUE ad HNBUE classes of lfe dsrbuos Naval Res Logs Q 9: MI, J (995) Bahub falure rae ad upsde-dow bahub mea resdual lfe IEEE Tras Relabl 44(3): MI, J (004) A geeral approach o he shape of falure rae ad MRL fucos Naval Res Logs 5: NANDA, AK y SHAKED, M (00) The hazard rae ad he reversed hazard rae orders, wh applcaos o order sascs A Is Sa Mah 53: NAVARRO J y HERNANDEZ PJ (004) How o oba bahub shaped falure rae models from ormal mxures Probab Eg Iform Sc 8(4):5 53 NAVARRO J y SHAKED, M (006) Hazard rae orderg of order sascs ad sysems J Appl Probab 43: WU, JW (00) Characerzaos of geeralzed mxures of geomerc ad expoeal dsrbuos based o upper record values Sa Papers 4:3 33 XVI Joradas ASEPUMA IV Ecuero Ieracoal 8 Rec@ Vol Acas_6 Issue : 306