La ecuación general de capitalización y los factores de capitalización unitarios: una aplicación del análisis de datos funcionales

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1 Moográco Número Marzo La ecuacó geeral de capalzacó y los acores de capalzacó uaros: ua aplcacó del aálss de daos ucoales Cèsar Vllazó La Saou Resume La órmula geeral de capalzacó sólo ee e cuea el crecmeo del valor de u capal aeedo a que los pos de erés de las sucesvas reversoes so posvos. Pero cuado cosderamos ua sucesó de pos EURIBOR a día y calculamos los correspodees valores ales vemos que dcho crecmeo o es uorme so que presea ervalos de empo co ua uere aceleracó y oros co aceleracó. Nos plaeamos pues la ecesdad de ormular de uevo la ley geeral de capalzacó de orma que cluya dchas caraceríscas y llegaremos a la ya coocda ecuacó derecal de segudo orde del crecmeo y a su solucó geeral. Para poder ecorar la solucó parcular para cada caso cocreo os propoemos llevar a cabo ua esmacó co los daos que dspoemos ulzado las éccas que os orece el aálss de daos ucoales y más cocreamee las éccas de suavzacó co ucoes B-sple. Creemos oporuo clur u apédce e el que de orma muy resumda pero compresble epoemos los prcpos báscos del ause co ucoes sples segudo de u breve resume del aálss de daos ucoales y ermamos co la decó de las bases de las ucoes sples. Observaoro de Dvulgacó Facera Podemos cosderar que esa prmera apromacó ha resulado sasacora sobre odo eedo e cuea las dculades que plaea la esmacó de ucoes esrcamee crecees y co basae varabldad.

2 ÍNDICE RESUMEN ANTECEDENTES 4 FÓRMULA GENERAL DE CAPITALIZACIÓN CAPITALITZACIÓN CONTINUA A TIPO DE INTERÉS CONSTANTE. DEDUCCIÓN TRIVIAL DEL TIPO. DESCOMPOSICIÓN EN PERIODOS SUCESIVOS DE CAPITALIZACIÓN. FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS 5.4 INTERPRETACIÓN Y LIMITACIONES DE EJEMPLO FORMA DE LA CURVA DE CRECIMIENTO: PUNTOS DE INFLEXIÓN 4 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL CRECIMIENTO DEL VALOR ACUMULADO 5 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL d C dc w d d 6 DE LOS DATOS DISCRETOS 8 A LOS DATOS FUNCIONALES 7 AJUSTE POR MQO CON B-SPLINES 7. FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS FCU CON TIPOS A 6 MESES 7. VALORES FINALES CON TIPOS A MES 9 8 AJUSTE CON FUNCIONES ESTRICTAMENTE MONÓTONAS 9 IMPLICACIONES DEL AJUSTE CON B-SPLINES 9. EL SESGO DE LA ESTIMACIÓN 9. LA VARIANZA DE LA ESTIMACIÓN 9. EL ERROR CUADRÁTICO MEDIO EQM 9.4 RELACIÓN ENTRE SESGO VARIANZA Y ERROR CUADRÁTICO MEDIO 9.5 CUANTIFICACIÓN DE LA RUGOSIDAD ROUGHNESS Fgura APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN MQ RESPUESTA A LAS IMPLICACIONES DEL AJUSTE CON B-SPLINES FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS A UN MES. AJUSTE CON RESTRICCIÓN DE CRECIMIENTO Y PENALIZACIÓN. SUAVIZACIÓN CON PENALIZACIÓN EN LA CURVATURA LA SUAVIZACIÓN CON NODOS EQUIDISTANTES 6 7. INTERPOLACIÓN DE LOS FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS EXTENSIONES DE LA INTERPOLACIÓN TABLAS Y FIGURAS Tabla : Puos de leó apromados de los acores de capalzacó uaros a día durae el prmer año. Tabla : Dsrbucó de los puos de leó durae odo el perodo de observacó. Fgura : Dvsó del ervalo de egracó e subervalos parcales. Fgura : Evolucó de los pos EURIBOR a día. Fgura : Evolucó de los acores de capalzacó uaros desde eero de hasa dcembre de 9. El empo esá epresado e raccó de año. Fgura 4: Tpos EURIBOR a 6 meses. Tabla : Facores de capalzacó uaros a 6 meses y el ause. Fgura 5: Represeacó de las cras 5 dcadas e la abla. Fgura 6: Tpos EURIBOR a mes. Fgura 7: Valores ales reales calculados co el EURIBOR a MES y valores ales a MES esmados s resrccoes. Fgura 8: úlmas 6 observacoes y los valores ausados. Fgura 9: Observacoes dscreas ause co varabldad ala y ause s rugosdad. Tabla4: Nodos orde de las sples úmero 6 de ucoes bases creacó de las B-sples odos erores Fgura : Suavzacó de los acores 7 de capalzacó uaros a MES co la resrccó de crecmeo absoluo y s pealzacó por varabldad. Fgura : Suavzacó de los acores de capalzacó uaros a MES co la resrccó de crecmeo absoluo co u acor de pealzacó gual a dos y u parámero de suavzacó 5. Fgura : Valores reales observados y valores esmados de los acores de capalzacó uaros. La suavzacó se ha hecho s resrccoes de crecmeo pero co pealzacó a la dervada seguda co u parámero de pealzacó. Fgura : Errores de la esmacó; auque e el ramo al se dspara o llega a ser más del 5 por ml. Fgura 4: Suavzacó e co odos maeedo los dos odos eerores y sus correspodees valores esmados. Observaoro de Dvulgacó Facera

3 Observaoro de Dvulgacó Facera Fgura 5: Velocdad de crecmeo de los acores uaros de capalzacó a mes calculados co la prmera dervada de la ucó suavzadora que hemos represeado e la gura 4. Fgura 6: Aceleracó del crecmeo de los 8 acores de capalzacó uaros calculados como la seguda dervada de las B-sples que da lugar a la ucó suavzadora de la gura 4. APÉNDICE INTRODUCCIÓN A.. EJEMPLO DE APROXIMACIÓN MEDIANTE SPLINES A. NODOS Y GRADOS DE LIBERTAD 9 Tabla A Tabla A Tabla A EJEMPLO A. A. GENERALIZACIÓN: LA FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON A.. PROPIEDADES A.. CONTINUACIÓN EJEMPLO A A.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS Y EL POLINOMIO DE NEWTON A.5 DEFINICIÓN DE DIFERENCIA DIVIDIDA A.5. CONSECUENCIAS DE LA DEFINICIÓN EJEMPLO A.4 A.6 LA FORMA DE LA CURVA Y LAS DIFERENCIAS DIVIDIDAS DE UNA FUNCIÓN A.7 DIFERENCIAS DIVIDIDAS DEL MONOMIO A.8 DEFINICIÓN DE B-SPLINE A.8. PROPIEDADES DE LAS B-SPLINE 4 A.9 ESTIMACIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS ORDINARIOS MQO CON UNA FUNCIÓN B-SPLINE TABLAS Y FIGURAS DEL APÉNDICE 6 Tabla A4 Tabla A5 Derecas dvddas de ua ucó de orde Fgura A Fgura A 7 Fgura A Fguras A4 A5 y A6 CONCLUSIONES Y PROLONGACIÓN 8 DEL TRABAJO BIBLIOGRAFÍA CONSULTADA 9 PROGRAMARIO UTILIZADO SOBRE LOS AUTORES

4 4 ANTECEDENTES El año 87 Saley Jevos e su obra The Theory o Polcal Ecoomy. Repr. Eded by R. D. Collso Blac. Harmodsworh: Pegu Boos 97 ormuló los prcpos que más arde hemos erpreado como la ley geeral de capalzacó. Desde eoces Isolera e su obra Curso de Maemáca Facera y Acuaral y poserormee oros auores aplcaro el razoameo de Jevos e el caso de u capal somedo a u proceso de capalzacó. FÓRMULA GENERAL DE CAPITALIZACIÓN Cosderamos u capal C somedo a u proceso de capalzacó aquél que los ereses que ha do producedo se ha do acumulado medaamee al capal. Ello supoe que ao el capal C como el propo empo so ucoes couas eedédose que la prmera es ua ucó coua del empo y la seguda es la varable depedee real. Igualmee supodremos que el po de erés que se debe aplcar e cada sae es ua ucó coua del empo que represearemos por. S el capal C esá verdo durae u ésmo de empo: d los ereses producdos por dcho capal será: C d dc Esa ecuacó derecal se puede resolver áclmee; para hacerlo pasamos C al segudo membro y a couacó egramos: lc d Dode es la cosae que se ha sumado e cualquer egral deda. Es del odo lógco que el valor de u capal depeda de ua cosae deermada; pero s eemos e cuea que odo proceso de capalzacó ee ua echa de co y que ambé alza e u sae cocreo T edríamos que cosderar la aeror egral como deda obeedo: La egral deda: C C ep T T d d 4 Mde los ereses acumulados por ua udad moeara durae el perodo de capalzacó que va desde el sae cal hasa el momeo al T. CAPITALITZACIÓN CONTINUA A TIPO DE INTERÉS CONSTANTE E la prácca o se acosumbra a ulzar el régme geeral de capalzacó ya que su aplcacó es muy egorrosa y se subsuye por la capalzacó coua o al y como se deoma e la leraura aglosaoa la capalzacó compuesa couamee que quere decr que el valor al de u capal se puede obeer aplcado u po de erés cosae por odo el perodo. S e la órmula geeral de capalzacó resolvemos la egral del epoee del segudo membro edremos que: C T C ep T d. DEDUCCIÓN TRIVIAL DEL TIPO C e T S cosderamos que es cosae durae odo el perodo de capalzacó: de orma que ua vez egrada la ucó resula T; a poseror ello sgca que el valor de la ucó T ambé es gual a T. Así: { } CONSTANT T T Y de esa orma hemos obedo como valor al: C T C La orma más cómoda de obeer el po de erés e capalzacó coua cosse e aslar de la ecuacó 6 resulado: e T T Es evdee que la apromacó de por ua cosae será meor cuado más pequeño sea el perodo de capalzacó y la subsucó de por o plaeará gú problema s es u ésmo.. DESCOMPOSICIÓN EN PERIODOS SUCESIVOS DE CAPITALIZACIÓN Podemos ulzar ua propedad de la egral deda que os perma descompoer el ervalo oal de egracó e subervalos a pequeños como deseamos. Eso es dvdedo el ervalo oal de egracó T e subervalos parcales cosecuvos de orma que el or- T T Observaoro de Dvulgacó Facera

5 Observaoro de Dvulgacó Facera ge del prmer subervalo es gual a y el eremo del úlmo es gual a T y además hacemos que el eremo de cada subervalo sea el orge del sguee de acuerdo co el esquema dseñado e la gura. Teedo e cuea lo que acabamos de armar podemos descompoer el ervalo de egracó e los subervalos descros e la gura así la egral 4 quedaría escra de la sguee orma: T d d d d d d A cada ua de las egrales aerores podemos aplcarle el eorema del valor medo lo que sgca que ese u couo de parámeros que verca la sguee ecuacó: T d d Co ello la egral d d d T d d se puede escrbr de orma equvalee medae la epresó: T d Teedo e cuea que odas y cada ua de las epresoes que aparece e el segudo membro de queda reducdas a cosaes las que pode- resulado: mos desgar por T d Co lo cual el valor al de u capal C colocado e u régme de capalzacó dedo por ua ucó coua que hemos deducdo segú la órmula 5 se puede calcular de maera equvalee medae ua sucesó de capalzacoes compuesas couamee co los pos de erés dscreos [ [] y los valores ales obedos so décamee guales: C T C ep T d C T C ep 9. FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS S cosderamos que el capal calmee verdo es de ua udad moeara el segudo membro de la seguda ecuacó de queda: ep Cada ua de las epoecales que aparece recbe el ombre de acor capalzacó que de orma geérca podemos desgar por e. Por eemplo s el po aual de capalzacó coua es del 6 6% el acor de capalzacó uaro es: e S se ha verdo u mlló de euros el valor al al cabo de u año es: INTERPRETACIÓN Y LIMITACIONES DE Sempre que los ervalos de empo sea suceemee pequeños es deree aplcar la prmera o la seguda de las. S cosderamos que el plazo más pequeño ulzado e los mercados aceros es u día TN y que los pos sempre so auales el cremeo de epresado e años sería gual a: años. EJEMPLO Cosderamos ua sucesó de po EURIBOR a DÍA desde de dcembre de 998 hasa de dcembre de 9 gura. Ulzado la ermología preseada e el aparado. dspoemos de ua sere emporal de 4.9 pos daros: 48 de orma que cosderados couamee coguraría ua ucó de la cual descoocemos la esrucura ucoal pero sí sabemos que el valor al de ua udad moeara verda durae los 4.9 días a los pos daros correspodees os daría a de eero de u valor al de Esa operacó es compleamee líca dado que coocemos los pos daros aes de realzar la reversó. També podríamos calcular los pos de erés equvalees e capalzacó coua medae la órmula: daro l. 6 Hemos dvddo los pos EURIBOR por 6. porque: la covecó ulzada e los mercados moearos de la EUROZONA es cosderar el año comercal de 6 días e las operacoes a coro plazo y los pos EURIBOR esá epresados e porceae. Los daos se ha obedo de la web del Baco de España. No eemos e cuea la echa valor lo úco que haría sería reardar la colocacó e dos días y reardar ambé la reversó pero supoemos que o alera el valor al de la versó. La eplcacó de la órmula se puede ecorar e el epígrae A.6 del Apédce. 5

6 6 Co odo ello dspodríamos de la sere emporal de pos e capalzacó coua: 48 que os proporcoa los msmos valores ales. E la gura hemos represeado la evolucó de los valores ales logrados durae ese perodo de empo. De la smple observacó podemos eraer las sguees coclusoes: La sere de valores ales es crecee dado que los pos de erés so sempre posvos. El crecmeo o es uorme. Es decr la curva presea u comporameo rregular pasado de covea a cócava y vceversa lo cual sgca que la ecuacó derecal plaeada represeava de la evolucó del valor al de u capal y su solucó que es ua ucó epoecal del po: ep T d o so sucees para capurar odas las caraceríscas de la orma shape de la curva represeada e la gráca. FORMA DE LA CURVA DE CRECIMIENTO: PUNTOS DE INFLEXIÓN Se puede pesar que a pesar que el crecmeo o sea uorme y sosedo o vale la pea eer e cuea los pocos cambos e la aceleracó que se deduce de las grácas. Pero s calculamos el valor apromado de las dervadas segudas a parr de los valores capalzados obedos ulzado la órmula : C C C C C y aplcado ahora esa órmula calculamos los valores apromados de la dervada seguda de las colocacoes a DÍA; u resume de ello se puede ver e la abla dode hemos ecorado los valores apromados de la dervada seguda para el mes de eero de 999 y vemos que ha cambado de sgo 8 veces durae el perodo de u mes. Podríamos hacer lo msmo omado dsos perodos pero para o alargar ecesaramee el proceso hemos dvddo el perodo oal de observacó e 6 ervalos guales que coee 5 observacoes cada uo más uo adcoal de sólo 6 valores ales; e cada uo de esos ervalos hemos coado el úmero oal de cambos de sgo que represea e medaa u % co u pco del 49% e el perodo compreddo ere el 8/4/9 y La eplcacó de la órmula se puede ecorar e el epígrae A.6 del Apédce. 4 el //9 y u mímo del 9% e el ervalo de empo que va desde el 5//5 al /7/6 resulados que preseamos e la abla. Teedo e cuea lo que acabamos de observar sobre el comporameo y la evolucó de la ucó valor al de u capal podemos ormular las sguees hpóess: La ucó C es moóoa crece sempre que los pos de erés sea posvos; por ao la dervada prmera deberá ser posva. La ucó C puede ser cócava o covea depededo del ervalo de empo que se cosdere lo que sgca que la dervada seguda o ee sgo cosae. Para poder corporar esas hpóess os propoemos modcar el modelo especcado para la ecuacó derecal y su solucó represeava del valor al de u capal segú lo que eplcamos e el sguee epígrae. 4 VELOCIDAD Y ACELERACIÓN DEL CRECIMIENTO DEL VALOR ACUMULADO E lugar de velocdad y aceleracó e el crecmeo del valor acumulado podríamos ulzar u leguae meos ísco y hablar de: curva crecee o decrecee y orma de la curva y/o de cocavdad covedad y puos de leó. O de maera equvalee de: dervada prmera posva o egava dervada seguda egava o posva Preermos ulzar esa omeclaura porque ee u sedo más gráco y quzás más cercao a lo que queremos eplcar. Cosderamos el valor al de u capal e el sae de empo C ; e ese momeo el valor acumulado crece a ua velocdad V que al y como hemos vso e las represeacoes grácas de la evolucó del valor al de u capal será deree de la velocdad lograda e el sae V. Esa úlma cosderacó os perme roducr el cocepo de aceleracó del crecmeo del valor al de u capal: la aceleracó es el cambo de velocdad por udad de empo: V V Aceleracó V Para poder deermar la ecuacó de aceleracó eemos que realzar alguas hpóess sobre el comporameo de la dereca de velocdades V V : 5 Observaoro de Dvulgacó Facera

7 Observaoro de Dvulgacó Facera a Es evdee que dcha dereca ederá a ser mayor meor cuao mayor meor sea el ervalo de empo cosderado de orma que s pérdda de geeraldad podemos decr que V V será drecamee proporcoal a la amplud del ervalo. b També depederá de la velocdad lograda e el momeo V ; supodremos pues que la dereca V V es ambé drecamee proporcoal a V que es la velocdad e el puo cal del ervalo cosderado. c Falmee cosderamos que esa dereca de velocdades depede de u parámero varable w que represea el cambo e la velocdad y por ello lo deomaremos parámero de aceleracó; cuao mayor sea w mayor será la aceleracó; por ao la dereca V V ambé será drecamee proporcoal al parámero de aceleracó w. E cosecueca el cremeo de velocdad: V V V es drecamee proporcoal a cada ua de las sguees magudes: al ervalo a la velocdad cal V al parámero de aceleracó descoocdo w Escrbedo la ecuacó de proporcoaldad compuesa que relacoa el cremeo de velocdad co esas res varables: V V V w Podemos epresar la ecuacó de aceleracó 5 como: V V V w Eso os permrá obeer w. V V w Cuado ede a cero se rasorma e d y s la ucó V es couamee 4 derecable se covere e dv co lo que eemos: dv V w d Teedo e cuea que dv represea la aceleracó d A resula que: A V w Y despeado w eemos: A w V Es decr w represea la rao de aceleracó respeco a la velocdad o sea la aceleracó relava e dca que la aceleracó del crecmeo del valor acumulado valor capalzado se mde como raccó de la velocdad. Dado que: dc V d d C dv A d d subsuyedo e la ecuacó 8 resula: d C dc w d d Ecuacó derecal de segudo orde que ua vez resuela os proporcoará ua órmula más geeral de la evolucó del capal acumulado que la deducda e el epígrae e la que sólo se ee e cuea la velocdad e el crecmeo del capal acumulado. 5 RESOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL d C dc w d d Es muy seclla de resolver pero para hacerla aú más seclla deomamos: y a dc per a d dy d C d d Subsuyedo esos resulados e : dy w y d Y separado las varables queda: dy w y Realzado las operacoes e egrado para despear y : u dy y u w d d y u y ep Deshacedo el cambo de varable queda: Separado las varables: dc u y ep du dc u y ep u u w d w d u du w d 4 Cuado se haga la esmacó de ese modelo o solamee se debe mpoer la codcó de coudad so ambé la derecabldad de la ucó de velocdad

8 8 Iegrado: C C y ep u w d Dode y es el valor de la dervada de C que como hemos vso es la velocdad del crecmeo del valor al e el puo es decr: dc y d. Dado que los pos de erés EURIBOR so o egavos la ucó C es posva y moóoa crecee e cosecueca su dervada prmera y ambé ee dc d que ser posva. Esas dos resrccoes hay que eerlas e cuea cuado se ee hacer ua esmacó de la ucó de aceleracó w. 6 DE LOS DATOS DISCRETOS A LOS DATOS FUNCIONALES E el eemplo hemos comprobado que el crecmeo de los valores ales e cada vecmeo o es uorme dado que se produce cambos e la velocdad de crecmeo. S embargo os covedría poder aplcar la eoría de la evolucó del valor al epresada por la ecuacó derecal y la solucó ormulada e 8. Teedo e cuea que esamos eresados e la evolucó de la aceleracó del crecmeo del valor al ecesamos ausar ua ucó w al que su dervada ercera sea deree de cero pero debdo a que w es la dervada seguda del crecmeo del valor al del capal s ausásemos u polomo ese debería ser de grado 5. A pesar de que esa sere emporal de valores ales observados sea dscrea presea uas caraceríscas de crecmeo de cocavdad y/o de covedad smlares a las de ua ucó aalíca eplíca:. De orma que s dcha ucó es crecee cumple que ' > y para saber s es cócava o covea buscaríamos el sgo de su dervada seguda e u puo o e u ervalo segú el caso y lo msmo podemos decr de la ucó de aceleracó. du 8 Es evdee que s o ecoramos u procedmeo de ause de cálculo rápdo y ecee la eoría sobre la evolucó del crecmeo del valor al de u capal o podría ser corasada y quedaría e u mera elucubracó eórca. Aoruadamee o es ese el caso ya que auque alguas de las caraceríscas de crecmeo del valor al queda escoddas o como mímo emascaradas por el carácer dscrecoal de los daos se puede poer de maeso a ravés del aálss de daos ucoales Fucoal Daa Aalyss: FDA. La orma eplíca que os orece el aálss de daos ucoales para represear cualquer puo de valor al es el de u par ordeado y dode el prmer elemeo correspode al empo y el segudo al valor obedo e aquella echa. S asummos la eseca de ua ucó que da orge a los valores ales obedos podemos presear los daos medae el modelo: y Dode es ua ucó suavzadora co lo que hemos raspasado las pares agulosas de las observacoes cales al érmo de error que ambé subsume los errores de observacó. Hemos rasormado pues las observacoes dscreas e daos ucoales. La suavzacó de los daos se puede llevar a cabo ulzado sples. E uesro caso sguedo el aálss de daos ucoales de Ramsay y Slverma ulzaremos u ssema de base de sples o B-sples de acuerdo co la ermología usada por Carl de Boor 5 que se puede cosular e el apédce A y que ulzaremos aquí e las aplcacoes práccas que desarrollaremos a couacó. 7 AJUSTE POR MQO CON B-SPLINES 7. FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS FCU CON TIPOS A 6 MESES Ua udad moeara se vere a 6 meses al po EURI- BOR del día. El día de vecmeo se reueva auomácamee la versó durae 6 meses más hasa llegar a la úlma reversó. S el día de la reovacó hay mercado el po de erés es el de ese día s o hubese mercado se oma el po de erés del úlmo día hábl; por eemplo s la reovacó cae e domgo omamos el po del veres y s ese día ampoco hubese sdo hábl el del ueves y así hasa llegar a la úlma reversó 6. La represeacó gráca de los pos EURIBOR a 6 meses se puede ver e la gura 4. Cosderamos la evolucó de los valores ales de esa udad moeara a 6 meses verda el de dcem- 5 Capíulo IX pága 87 y sguees. 6 Tampoco eemos e cuea la echa valor porqué cosderamos que o ee gua cdeca mporae dado que sólo reardaría e dos días oda la sere ao e la echa de co como e la de vecmeo. 9 Observaoro de Dvulgacó Facera

9 Observaoro de Dvulgacó Facera bre de 998 versó cal y sus sucesvas reversoes hasa el de dcembre de vecedo ésa el de uo de y por ao será el úlmo valor al meras que el prmer valor al observado correspode al prmer vecmeo el de uo de 999 ercera columa e la abla. La represeacó gráca del couo dscreo de valores ales obedos e cada vecmeo se puede observar e la gura 5 líea pueada; las echas de vecmeo esá epresadas e años y raccó de año. A couacó realzamos u ause ulzado el méodo que hemos eplcado e el epígrae A9 del apédce; las ucoes bases ulzadas e la esmacó so de orde 6 grado 5 y como el úmero de odos erores es de el úmero de sples será gual a 9. Los valores obedos e el ause se puede ver e la cuara columa de la abla y su represeacó gráca e la líea coua de la gura 5. Tal como podemos observar los valores ausados cumple la codcó de ser crecees e cualquer momeo pero o sempre será así como podemos ver e el ause sguee. 7. VALORES FINALES CON TIPOS A MES S co el msmo crero calculamos los valores ales co los pos EURIBOR a MES podemos ver e la gura 7 que los valores ausados durae los res úlmos meses de la muesra so decrecees; e la gura 8 hemos represeado los 6 úlmos valores reales y ausados y podemos comprobar como a parr del duodécmo los valores ausados empeza a comporarse de maera eraña de orma que se logra u mámo de res meses aes de alzar la sere de valores observados. 8 AJUSTE CON FUNCIONES ESTRICTAMENTE MONÓTONAS Cuado se ecuera co ese obsáculo Ramsay y Slverma 5 propoe como ucó de ause ua ucó esrcamee moóoa crecee; para hacerlo pare de la hpóess que s esmamos la velocdad del crecmeo la ucó obeda debe ser posva de orma que s de acuerdo co 9 desgamos para la ucó suavzadora la dervada de dcha ucó la hacemos gual a ua epoecal aural co u epoee de la orma W es decr: d ep[ W ] d La solucó se obee egrado los dos membros: ep[ W u[]du Dode es la cosae de egracó que deberá ser esmada a parr de los daos. La ecuacó 8 que epresa el valor al del capal es e ese caso: ep u w d Dode hemos subsudo: C por ; C por ; y por que evdeemee uca puede ser ula y almee por co la aldad de geeralzar la solucó dada por 8. Esa es la msma ecuacó que hemos obedo e subsuyedo queda: W u Qué papel uega la ucó w? u w d log Supogamos que w ; eoces segú eemos la solucó: S w es ua cosae dsa a cero la solucó w es: e. Aquí el epoee es leal respeco al empo y el propo parámero de aceleracó. S w es ua ucó el comporameo de depederá de los valores que ome ; por eemplo s esá cerca de cero su comporameo será leal; s es posvo eoces los valores posvos de w mplcará localmee u crecmeo epoecal y s es egavo el comporameo de crecmeo será asóco. 9 IMPLICACIONES DEL AJUSTE CON B-sples El ause co B-sples plaea más dudas además del crecmeo esrco que covee resolverlas aes de aderaros e la esmacó prácca: De acuerdo co la regla dada e el epígrae A. del apédce sobre el úmero de grados de lberad que deerma el úmero de ucoes bases que usaremos e el ause se plaea el problema que ése será sempre mayor que el úmero de observacoes. La pregua que os ormulamos es: Ello valda o cuesoa de algua orma la esmacó por B-sples? La esmacó por MQO co ucoes B-sple es correca? O e oras palabras Qué crero se ulza para deermar la bodad del ause? Hasa ahora hemos escogdo como úmero de odos el de las observacoes y los hemos ado e la msma du 9

10 ubcacó pero la eleccó del úmero de odos y su ubcacó luye e la bodad del ause? La varabldad de la ucó esmada represea u obsáculo para cosderar como bueo u ause? 9. EL SESGO DE LA ESTIMACIÓN El méodo de esmacó co B-sples cosse e ecorar los parámeros que mmce la suma de errores al cuadrado de orma que de la ecuacó 9 de daos ucoales y resula que la ucó a mmzar es: [ y []. Para valores grades de la muesra el sesgo de la esmacó vee dado por: Sesgo [ ˆ [] E[ ˆ [] Y cuado el amaño de la muesra ede a o el sesgo ede a cero. 9. LA VARIANZA DE LA ESTIMACIÓN Ua de las razoes de la suavzacó es la de reducr la lueca del rudo sobre la varacó de la ucó esmada ˆ; por ao esamos eresados e que la varaza de la esmacó Var [ ˆ [] E{ [ ˆ E[ ˆ ] []{} sea lo más pequeña posble o como mímo que o sea ecesaramee grade. 9. EL ERROR CUADRÁTICO MEDIO EQM Se dee por la sguee órmula: [ ˆ E [ ˆ [] EQM [] { {} Medae esa órmula esperamos lograr ere oros los msmos obevos que co la varaza de la esmacó. 9.4 RELACIÓN ENTRE SESGO VARIANZA Y ERROR CUADRÁTICO MEDIO Ese ua seclla relacó ere esas res herrameas es: [ ˆ [] Sesgo [ ˆ [] Var [ ˆ [] EQM Esa relacó os muesra que s queremos reducr el sesgo debe ser a cosa de cremear la varaza y recíprocamee. Ramsay y Slverma 7 ha hecho ua smulacó co muesras aleaoras y el prcpal resulado ha sdo:...la varaza de la muesra se cremea rápdamee cuado ulzamos u úmero muy ecesvamee grade de ucoes bases pero al msmo empo el cuadrado del sesgo ede a dsmur haca cero. Y e el eemplo prácco que cosdera: Vemos que los meores resulados del error cuadráco medo se reere al mímo del EQM se obee cuado ulzamos ere y ucoes bases. 9.5 CUANTIFICACIÓN DE LA RUGOSIDAD ROUGHNESS 8 Cosderamos los daos represeados co e la gura 8 y dos auses: uo que sgue basae la rugosdad de las observacoes y ora esmacó que es ua líea reca y que sólo ee e cuea la edeca y que por ao gora la varabldad de los daos orgales. Fgura 8 E geeral la rugosdad de ua curva se mde por el cuadrado de la dervada seguda y s queremos corporarlo al ause de ua ucó es ecesaro que epresemos la rugosdad e udades de ucó e lugar de e udades de dervada por ello hemos de calcular la egral co lo que la medda aural de la rugosdad es: [ [] PEN d Dode PEN dca la pealzacó por curvaura y la dervada seguda de la ucó. 9.6 APLICACIÓN EN LA ESTIMACIÓN MQ E el modelo y los esmadores MQO se obee mmzado la suma de errores al cuadrado: e e y y. Esa ucó se pealza de acuerdo co el valor de 8 mulplcado por u parámero de pealzacó. Eoces la suma pealzada de errores al cuadrado es: 7 Obra cada pág E los pocos mauales y arículos que he ecorado sobre odo e español se ha raducdo por curva agulosa. Aquí hemos preerdo ulzar la raduccó dreca de la ermología glesa porque os parece que recoge más elmee lo que los auores de Boor Ramsay y Slverma ere muchos oros quere epresar. 9 La eplcacó sobre la ucoaldad del parámero lambda esá dspoble e: hp://7...:565/lbrary/da/hml/smooh.bass.hml 8 Observaoro de Dvulgacó Facera

11 Observaoro de Dvulgacó Facera El parámero de pealzacó 9 : S PENMQ y PEN y 9 es coocdo co el ombre de parámero es muy grade la curva ausada puede llegar a ser ua líea reca como el eemplo de la gura 8. A medda que el parámero dsmuye aumea la rugosdad de la curva esmada y se ausa meor a los daos orgales pero se cremea la varabldad de la suavzacó. El valor arbudo al parámero depede del valor de PEN ; eemos que escoger pues ere curvaura de la ucó suavzadora y error de la esmacó. Falmee covee eer e cuea que la curva erpoladora o varía arbraramee ya que es la curva más suave derecable dos veces que meor se ausa a los daos. RESPUESTA A LAS IMPLICACIONES DEL AJUSTE CON B-SPLINES E el rabao «Sples os ad peales» Paul H.C. Elers Bra D. Mar realza u esudo comparavo ere alguos méodos de suavzacó lebles ere los que cluye el de las bases de las B-sples. A couacó resummos las coclusoes y lo hacemos eado segur el orde e que hemos plaeado las mplcacoes del ause co B-sples e el epígrae : El úmero de B-sples o ee por qué ser eror al úmero de observacoes sempre que los odos esé gualmee espacados. Ese resulado ya ue demosrado eórcamee por Boor pero o lo vercó de orma empírca. Los auores de reereca ere oros ha demosrado a ravés de la smulacó esa aseveracó. E la aplcacó prácca lo edremos e cuea y podremos los odos erores gualmee espacados. A esa dsrbucó de los odos Ramsay y Slverma la deoma e. Respeco a la esmacó por MQO ya hemos comeado e el epígrae aeror la ecesdad de pealzarlos y segú demuesra los auores de reereca las B-sples perme ua eleccó leble del parámero de pealzacó. Falmee queremos desacar las sguees propedades absoluas del méodo de suavzacó co B-sples: o Tee propedades umércas ecelees. o Perme ormacó que se puede vsualzar áclmee. o Las ucoes bases de las B-sples esá espacadas Ramsay y Slverma arma eacamee obra cada pág. 85. Publcado e co de Joh Wley & Sos Ic. WIREs Comp Sa. De Boor Elers & Mar de orma que os perme resolver be problemas a gra escala. o El orde de las B-sples y el vel de pealzacó se puede escoger de orma depedee. Esas recomedacoes y propedades las ulzaremos a couacó e la aplcacó prácca que esamos llevado a cabo. FACTORES DE CAPITALIZACIÓN UNITARIOS A UN MES. AJUSTE CON RESTRICCIÓN DE CRECIMIENTO Y PENALIZACIÓN E la abla 4 resummos oda la ormacó ecesara para empezar a realzar la suavzacó co resrccó de crecmeo. Vemos que el úmero de odos es gual al de observacoes e oal; que el orde de las sples es 6 co lo cual el grado será gual a 5. Así os aseguramos que la ucó ee dervada coíua. Teedo e cuea la órmula que hemos eplcado e el aparado A. del apédce hallamos que el úmero de ucoes bases será 7; así esamos e codcoes de aplcar lo que hemos epueso e el epígrae para obeer ua suavzacó de los daos que represeamos couamee e la gura : podemos ver que la curva esmada es moóoa crecee s gú po de rugosdad pero que al al e los úlmos odos se dspara co lo cual o quedamos sasechos co ese resulado. Además ambé sucede lo msmo e los ervalos [] [8 a 69] y [6 a 6]. Es decr e u oal de 66 odos los valores esmados de la suavzacó moóoa esá por ecma de las observacoes meras que e u oal de 67 odos las observacoes so mayores que las esmacoes. E resume hemos logrado ua suavzacó crecee pero a cosa de u error e la esmacó ecesvamee grade. Hemos realzado ora suavzacó mpoedo la codcó de que la ucó esmada sea moóoa crecee co ua pealzacó sobre la egral de la dervada seguda al cuadrado gual a y u parámero de suavzacó 5 de. La represeacó gráca que se puede ver e la gura ha meorado u poco el resulado porque el úlmo valor esmado es meras que el correspodee e la esmacó aeror era S embargo esamos leos del valor real que es de

12 . SUAVIZACIÓN CON PENALIZACIÓN EN LA CURVATURA Hemos realzado ua esmacó por mímos cuadrados co ua pealzacó e la dervada seguda y u parámero de suavzacó de. Los resulados de esa esmacó que se puede ver e la gura los podemos cosderar sasacoros dado que los errores so relavamee pequeños gura y sólo empeza a ser mayores alrededor de los odos eerores pero eso es u problema geérco de la esmacó co polomos y las B-sples o dea de serlo auque co u cero grado de soscacó. LA SUAVIZACIÓN CON NODOS EQUIDISTANTES Ua vez logrado el obevo de suavzar ua sere de daos dscreos llega el momeo de erpolar. Se puede llevar a cabo deedo ua sucesó de odos erores equdsaes maeedo de odos modos los dos odos eerores y los correspodees valores de la varable que hemos esmado. Podemos escoger cualquer cra y e ese caso hemos elegdo como el úmero oal de odos recordemos que la deomacó que ulza Ramsay y Slverma para der esa sucesó de odos equdsaes es: e. Así se verca que se cumple el obevo prcpal de ese rabao: coocer cuáles so los acores de capalzacó ermedos cuado los perodos de capalzacó so superores al día.. INTERPOLACIÓN DE LOS FACTORES DE CAPI- TALIZACIÓN UNITARIOS Ulzado la msma ucó de suavzacó que hemos aplcado e. hemos calculado la erpolacó elgedo u empse gual a y maeedo los dos odos y los valores esmados por ésos. La represeacó gráca se puede ver e la gura 4. E la gura 5 se observa la represeacó gráca de la velocdad del crecmeo de los acores uaros de capalzacó para la msma sucesó de odos. Cabe desacar que a pesar de que los valores so pequeños so sempre posvos; la velocdad de crecmeo se reduce dráscamee e los dos eremos sobre odo al al del perodo cosderado. Y para ermar e la gura 6 esá represeada la aceleracó del crecmeo de los acores de capalzacó uaros. Aquí sí que se ve claramee la reduccó de la velocdad cuado los pos de erés de la reversó se ha reducdo de orma drásca. EXTENSIONES DE LA INTERPOLACIÓN Además s las suavzacoes se realza sempre co la ucó smooh moooe y co ua sucesó de odos e para odos los plazos posbles superores al día y co los msmos odos eerores se puede realzar erpolacoes de orma que para los plazos más coros sería erapolacoes y ello os permría hacer prevsoes de los acores de capalzacó uaros a ua semaa a u mes ec. a parr de suavzacoes realzadas co plazos de res meses de ses meses e cluso de u año s se dspoe de seres lo suceemee largas. Observaoro de Dvulgacó Facera

13 Observaoro de Dvulgacó Facera TABLAS Y FIGURAS Tabla Puos de leó apromados de los acores de capalzacó uaros a día durae el prmer año. Fechas Tempo VF a DÍA Dervada seguda Forma de la curva CONVEXA CONVEXA CONVEXA CÓNCAVA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CÓNCAVA CÓNCAVA CÓNCAVA CÓNCAVA CONVEXA CONVEXA CÓNCAVA CÓNCAVA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CONVEXA CÓNCAVA CÓNCAVA CONVEXA CONVEXA CONVEXA Tabla Dsrbucó de los puos de leó durae odo el perodo de observacó. Fecha cal Fecha al Observacoes Puos de leó PI / Observacoes //99 7/9/ % 8/9/99 4/5/ 5 8 % 5/5/ 9// 5 8 % // 6/9/ % 7/9/ /6/ 5 74 % 4/6/ 8// 5 7 8% 9// 6// 5 7 9% 7// /6/ % /6/4 7//5 5 5 % 8//5 4// % 5//5 /7/ % /7/6 9// % //7 4//7 5 8 % 5//7 /7/ % /8/8 7/4/ % 8/4/9 //9 5 48% 4//9 // 9 7 7% TOTALES 49 6 % Fgura Dvsó del ervalo de egracó e subervalos parcales. - - T - Fgura Evolucó de los pos EURIBOR a día Evolucó dels pus Eurbor a DIA Evolucó del po EURIBOR a DIA //98 //99 // // // // //4 //5 //6 //7 //8 //9

14 4 Fgura Evolucó de los acores de capalzacó uaros desde eero de hasa dcembre de 9. El empo esá epresado e epresado e años y raccó de año Fgura 4 Tpos EURIBOR a 6 meses //98 //99 // // // // //4 //5 //6 //7 //8 //9 // Tabla Facores de capalzacó uaros a 6 meses y su ause. Observacoes Tempo VF6M VF6M Hay 5 observacoes odos; la prmera y la úlma correspode a los odos eerores; por ao hay odos erores. El empo esá epresado e años y raccó de año. VF6M dca los valores logrados por ua udad moeara verda el de dcembre de 998 y la úlma cra el valor que se logrará el de uo de. E la úlma columa esá los valores ales esmados e las msmas echas. Observaoro de Dvulgacó Facera

15 Observaoro de Dvulgacó Facera Fgura 5 Represeacó de las cras dcadas e la abla. Los valores ausados orma ua curva coua porque así esá especcado e las bases de las B-sples. Valors als a 6M Valores ales a 6M Fgura 6 Tpos EURIBOR a mes Tpus a mes Tpo EURIBOR a mes VF6M VF6M Fgura 7 Valores ales reales calculados co el EURIBOR a MES y valores ales a MES esmados s resrccoes. Se puede observar cómo al al del perodo la curva empeza a eer pedee egava hecho que se coradce co la eoría porque los pos auque sea baos so sempre posvos. E la gura 8 sólo hemos represeado los úlmos valores y se puede observar co mayor clardad el mámo así como el error comedo e la esmacó VF mes Real vumes Fgura 8 Úlmas 6 observacoes y los valores ausados. Valores ales logrados observados mesualmee co pos EU- RIBOR a MES a parr del oveo año y la esmacó co ucoes sple s resrccoes; se puede observar cómo a medda que os acercamos al odo eeror eremo por la derecha los valores esmados se dspara y se alea de los daos VF mes real vumes Fgura 9 Observacoes dscreas ause co varabldad ala y ause s rugosdad. Los puos represeados por dca las observacoes la curva e azul u ause co poca pealzacó por rugosdad y la líea morada u ause co ua pealzacó muy ala. 5

16 6 Tabla4 Nodos orde de las sples úmero de ucoes bases creacó de las B-sples odos erores > os <- dadesvumes$emps > os [] [9] [7] [5] [] [4] [49] [57] [65] [7] [8] [89] [97] [5] [] [] [9] > order <- 6 > order [] 6 > bass <- leghos order - > bass [] 7 Tabla4 couacó > vbass <- creae.bsple.bassrageos bass order os > vbass Bass obec: Type: bsple Rage:.849 o.95 Number o bass ucos: 7 Order o sple: 6 [] Ieror os [] [9] [7] [5] [] [4] [49] [57] [65] [7] [8] [89] [97] [5] [] [] [9] Observaoro de Dvulgacó Facera

17 Observaoro de Dvulgacó Facera Fgura Suavzacó de los acores de capalzacó uaros a MES co la resrccó de crecmeo absoluo y s pealzacó por varabldad Aus amb resrccos Smooh moooe Ause co resrccoes Smooh moooe VF mes Real valmes Fgura Suavzacó de los acores de capalzacó uaros a MES co la resrccó de crecmeo absoluo co u acor de pealzacó gual a dos y u parámero de suavzacó Fgura Valores reales observados y valores esmados de los acores de capalzacó uaros. La suavzacó se ha hecho s resrccoes de crecmeo pero co pealzacó e la dervada seguda co u parámero de pealzacó Fgura Errores de la esmacó; auque e el ramo al se dspara o llega a ser más del 5 por ml Fgura 4 Suavzacó e co odos maeedo los dos odos eerores y sus correspodees valores esmados Fgura 5 Velocdad de crecmeo de los acores uaros de capalzacó a mes calculados co la prmera dervada de la ucó suavzadora que hemos represeado e la gura VelVFMese

18 8 Fgura 6 Aceleracó del crecmeo de los acores de capalzacó uaros calculados como la seguda dervada de las B-sples que da lugar a la ucó suavzadora de la gura AccVFMese APÉNDICE INTRODUCCIÓN Uo de los obevos que os hemos plaeado es hacer ua erpolacó cuado los perodos de capalzacó so superores a DÍA de orma que os perme comparar de maera able valores capalzados e dsos perodos y co dsos pos. Eplcamos los méodos de erpolacó e u apédce 4 para o errumpr el hlo coducor que os ha llevado hasa el esudo del crecmeo del valor al de u capal medae el aálss de daos ucoales FDA Termamos ese apédce co el méodo de esmacó ulzado ua ucó B-sple y deamos el reso de dealles de la esmacó para el eo prcpal. La palabra sple o ee raduccó aquí hemos opado por ulzar la decó que se ecuera e Opmo 5 : ucó polómca a rozos que erpola ua sere de odos de maera que cada rozo es u polomo de grado y e cada odo los dos polomos cocurrees ee odas sus dervadas guales hasa el orde. A.. EJEMPLO DE APROXIMACIÓN MEDIANTE SPLINES Nos propoemos apromar la curva de Gauss desde - hasa medae polomos. Lo prmero que eemos que hacer es dvdr el ervalo e subervalos de gual dmesó e ese caso cosderaremos cuaro subervalos dedos de la sguee maera: ] ] ]. Empezamos la apromacó co segmeos de reca es decr co polomos de orde 6 y por ao de grado ; covee recordar que el orde de u polomo es el úmero de parámeros que se ha de hallar para der el polomo meras que el grado se reere a la máma poeca de la varable del polomo. E la prmera gráca de la gura A podemos ver la apromacó medae segmeos de reca que vee dados por las ecuacoes sguees: 6 6 para para para para < < < < < para cualqueroro valor S ahora ausamos u polomo de orde obedríamos co las sguees ecuacoes: 6 6 para para para para < < < < < para cualquer oro valor La gráca represeada e la gura A se ausa u poco más a la campaa de Gauss s be aú o hemos logrado ua represeacó lo basae aada. Ahora ausamos u polomo de orde 4 o de grado dedo por las sguees ecuacoes:: para para para para < < < para cualquer oro valor < < 4 Se puede prescdr de la lecura de ese apédce s el lecor es coocedor del ema que raamos aquí. 5 Opmo es u servco de dccoaro raduccó ec. de la Geerala de Caaluña. 6 Es coveee rabaar co el orde del polomo e lugar del grado porque el couo de odos los polomos de grado - o es u espaco leal meras que sí lo es el couo de odos los polomos de orde. També es ecesaro recordar que u polomo de orde ee grados de lberad. De Boor pág.. A A A Observaoro de Dvulgacó Facera

19 Observaoro de Dvulgacó Facera Ahora sí que hemos logrado ua represeacó gráca apromada de la campaa de Gauss gura A. A. NODOS Y GRADOS DE LIBERTAD E geeral el prmer paso de u ause por sples cosse e dvdr el ervalo e L subervalos medae los puos equdsaes o o l ; l L ; co ello los ervalos so: ] ]. L L E eemplos cosrudos para lusrar lo que se demuesra se oma los ervalos guales y o eemos gú problema pero cuado se raa de observacoes que se ha obedo e ervalos desguales es cuado se demuesra la abldad del aálss ucoal de daos que os perme hacer parcoes uormes o como dce de Boor good meshes. 7 Los dos eremos del ervalo oal y odos los puos ulzados para der los ervalos se desga co el ombre de odos 8 ; y so los odos eerores y los que hemos ulzado para der los ervalos so odos erores. E el eemplo de la campaa de Gauss el úmero oal de odos es L 5 de los cuales dos so eerores: - y y el reso so odos erores: - y. La gráca A correspode a polomos ausados de orde y grado : so segmeos de líeas recas; la gráca A es ua represeacó gráca de polomos ausados de orde y de grado. E realdad so segmeos de parábolas de segudo grado. Falmee la gura A correspode a la represeacó gráca de polomos ausados de orde 4 y grado gual a so segmeos de parábolas cúbcas. Es evdee pues que a medda que cremeamos el orde y cosecueemee el grado de los polomos se aumea la bodad del ause. Para der u segmeo de líea reca eemos dos grados de lberad aos como el orde del polomo y por ao co los cuaro segmeos de líea reca dspoemos de 8 grados de lberad 4 recas para coecees pero debdo a que queremos que la ucó sple resulae sea coua perdemos res de ellos uo por cada vérce lo que os da u oal eo de 5 grados de lberad. E el caso de la sple de orde dspoemos de grados de lberad para cada uo de los cuaro polomos eso es u oal de para 4 polomos pero e ese caso al ser la ucó sple es coua y derecable e cada uo de los vérces perdemos grados por coudad y por derecabldad e oal 6 que resados de los que eíamos da u eo de 6 grados de lberad. Co el msmo cálculo e la sple de orde 4 eemos 4 grados de lberad por cuaro polomos que da u oal de 6 perdedo co la codcó de coudad e la dervada prmera y e la dervada seguda eso da u oal de 9 que resados de los 6 cales resula u eo de 7 grados de lberad. La abla A resume los cálculos: 7 E las aplcacoes práccas la prmera esmacó la haremos co las observacoes al como vee; para la erpolacó ulzaremos ervalos guales. 8 Esrcamee hablado deberíamos hablar de puos de rupura o puos de corol; de odas ormas s los odos o so cocdees como ocurre e odas las aplcacoes práccas que hacemos aquí es correco ulzar esa ermología Ramsay & Slverma pág. 48 y 49. 9

20 Tabla A Orde Número de polomos Clase Clase Clase Grados de lberad eos Ora orma de coar grados de lberad remaees cosse e sumar al orde el úmero de odos erores resulado: Tabla A Orde del polomo Nodos erores Grados de lberad Vemos que cuado cremeamos el orde obeemos ua meor apromacó de orma que para el orde 4 la apromacó es a buea que cluso las dervadas de segudo orde so couas al y como se puede comprobar e la ercera de las grácas y ambé a parr de los valores que oma las dervadas segudas e los odos erores: Tabla A Dervadas segudas Nodos erores Límes por la zquerda Límes por la derecha Es evdee que para lograr sples más lebles o eemos ora opcó que: I. cremear el orde de los segmeos de los polomos y/o II. cremear el úmero de odos o cocdees. Respeco a la prmera de las dos posbldades ya sabemos la compledad de cálculo cuado ulzamos polomos de orde quo y superor. Respeco a la seguda sólo cabe decr que s dspoemos de N daos que puede ser ceeares o mles de observacoes y a cada cual le asgamos u odo eror edríamos N- odos erores. Teemos que buscar pues u méodo que smplque el úmero de operacoes y que a la vez sea leble. Observaoro de Dvulgacó Facera

21 Observaoro de Dvulgacó Facera EJEMPLO A. Nos proporcoa los daos sguees de valoracó de ua versó e momeos equdsaes de empo: C ; C ; C 7; C 8. Queremos hacer ua erpolacó polómca ulzado la órmula de Newo: p a a a a El orde de ese polomo es y por ao su grado es:. E el caso del eemplo el polomo será de orde 4 porque dspoemos de cuaro daos. Así el ssema de ecuacoes que ormaremos para resolverlo respeco a las cógas será compable y deermado. El polomo es: p 4 a a [ ] a [ ][ ] a4 [ ][ ][ ] Dado que los ervalos de empo so guales los podríamos omar como udad de medda: y por ao edríamos. Subsuyedo sucesvamee la ecuacó A4 obeemos los sguees valores para los parámeros a a a y a 4 : p 4 p 4 p 4 p 4 C C C C a a 7 a 8 a4 El polomo que buscamos es: O be: a a p4 C 7 5 C 6 A. GENERALIZACIÓN: LA FÓRMULA DE INTERPOLACIÓN DE NEWTON 9 El polomo erpolador de Newo se puede geeralzar áclmee para cualquer couo de puos y orde del polomo. De esa maera s queremos apromar la ucó medae u polomo de orde escrbremos la epresó: a 4 A4 p a a a a A5 Dado que el polomo es de orde el grado del polomo que correspoderá a la poeca mayor será. Desgado para los puos de la ucó por los que ee que pasar el polomo p los coecees a a a se puede ecorar áclmee al como podemos ver a couacó. S dspoemos de ua úca observacó el polomo es de orde grado queda reducdo a ua cosae que podemos ecorar subsuyedo por e la epresó A Y resula: p a S dspoemos de dos puos el polomo es de orde o grado : p a a Teedo e cuea que coocemos p a queda: p a p p p a a a A7 Podemos esablecer la ley de recurreca para u polomo de orde : p p a També para u polomo de orde : p p a p a Y para cualquer polomo de orde : p p a p a Para ecorar el valor del coecee a del úlmo polomo A8 hemos de subsur por y resula: p p a Despeado a y eedo e cuea que p : 9 Se puede cosular: Code C. Hdalgo A. y López A. 7 Ierpolacó polómca Uversdad Polécca de Madrd. De Boor lo llama ses; Ramsay y Slverma 5 breapos; Code Hdalgo y López 7 y Paluszy Prauzsch y Boehm puos de corol. La demosracó se puede ver e de Boor pág. 4. Cuado escrbmos p queremos dcar que el polomo de orde es ua ucó dscrea evaluada eclusvamee e los puos. Vale ambé para el reso de polomos. a p A6 A8 A9 A

22 A.. PROPIEDADES E los cálculos sucesvos de los coecees del polomo hemos vso que a depede de odos los puos: : por ello se puede armar que a es ua ucó de los puos aerores al que oma la varable depedee. Los valores de los parámeros a a depede de los argumeos : pero o depede del orde e que se haya omado porque el polomo erpolador depede sólo de los daos y o del orde. S añadmos ua observacó odos los cálculos precedees os srve y eemos que el coecee de la poeca añadda al polomo es: a p A.. CONTINUACIÓN EJEMPLO A E los daos del eemplo A. os proporcoa ua ueva observacó: C 4 ; para poder aplcar la órmula A8 hemos de calcular el valor del polomo p co 4 y 4 4 se obee: p Subsuyedo a B y eedo e cuea que 4 C4 resula: 4 p4 4 5 a5 4 4 Y el polomo de orde 5 que aproma la ucó C es: p 5 C 5 A.4 DIFERENCIAS DIVIDIDAS Y EL POLINOMIO DE NEWTON Dada ua ucó evaluada eclusvamee e los puos dscreos: E los cuales oma los valores: A8 Nos pde que calculemos el polomo erpolador de Newo: p a a a a Los coecees se calcula aplcado las órmulas que ya hemos deducdo aes y que so: p a p a p A Pero dado que p es ua ucó de y de podemos subsurlo por p ; eoces eemos: p p a Para a : p p a Y e geeral segú A7: a p A A A4 Respeco a lo que acabamos de realzar eemos que señalar lo sguee: E las órmulas de A a A4 hemos subsudo el valor del polomo de orde : p por la epresó escra más eplíca y el del polomo de orde : p per: co el de poer de maeso los parámeros que ervee e el cálculo de los coecees del polomo erpolador. A.5 DEFINICIÓN DE DIFERENCIA DIVIDIDA Llamamos dereca dvdda d.d. de orde de la ucó evaluada eclusvamee e los pus dscreos a la epresó: Las derecas dvddas d.d. de prmer orde so: A5 A6 Meras que las d.d. de segudo orde se obee de la epresó: desde gual a hasa A7 E la abla A5 hemos desarrollado las d.d. de ua ucó de orde. Como podemos observar sólo se obee ua Observaoro de Dvulgacó Facera