Para el caso τ = 20 [min], la función se puede representar de las siguientes formas: a) Función Matemática: b) Tabla de Valores

Transcripción

1 1 RAPIDEZ DE CAMBIO Semaa 05 1 Varables depedees y o depedees Defr los cocepos: varable, cosae, cremeo, varacó. Defr los cocepos: varable depedee, varable depedee. Recoocer varables depedees e depedees. Coocer la expresó maemáca para expresar la depedeca de ua fucó: Cosrur gráfcos segú u paró deermado: ejes, udades, cadades, puos, curva de mejor adapacó. Iroduccó Uo de los aspecos más desacables de la auraleza es su carácer varable. La Terra y odos los ssemas bológcos ha expermeado, expermea y expermeará cambos, por lo que resula evable e mporae pesar la auraleza e érmos de cambos. E parcular, la ceca físca esuda la varacó de las dversas cadades físcas e fucó del empo. Esa varacó puede cossr: Aumeo o cremeo Dsmucó o decremeo Varacó cero (e cuyo caso se dce que la cadad físca se maee cosae E geeral, e la auraleza se da dos pos de feómeos: Feómeos deermíscos, e los cuales se puede esablecer u paró ssemáco y cossee, el cual puede expresarse a ravés ua fucó relavamee smple que perme modelarlo y predecrlo e forma razoable. Feómeos aleaoros, e los cuales o se puede esablecer ese paró ssemáco y cossee, y que requere herrameas maemácas más sofscadas, como la eoría de las probabldades. E ese curso, os vamos a cerar e feómeos deermíscos, e aquellos que se puede modelar a ravés de ua fucó. Para efecos de ese curso, vamos a hacer las sguees suposcoes para suacoes comues El empo es varable y su valor sempre aumea (la eoría de la relavdad aalza el caso de que esa suposcó sea falsa. E el rascurso del empo cualquer cosa puede varar de cualquer modo. El empo aumea uformemee para odos los cambos, y e forma depedee de ellos. E érmos específcos Fucó y = f(x Se dce que y es fucó de x s exse u modo ssemáco para ecorar el valor de y a parr de x. 2 E la fucó, x es la varable depedee, meras que y es la varable depedee. Ua fucó puede ser represeada de res maeras dferees Tabla de valores umércos Ecuacó maemáca Gráfco Cosderemos el sguee ejemplo: La reproduccó de mcroorgasmos por moss, que se lusra e la fgura 1. Ese proceso requere, e érmos medo, el rascurso de u deermado ervalo de empo, llamado empo de geeracó τ. Ese feómeo se puede represear maemácamee a ravés de la fucó ( τ N = 2, dode: N: Nº de Mcroorgasmos (varable depedee : empo (varable depedee Para el caso τ = 20 [m], la fucó se puede represear de las sguees formas: a Fucó Maemáca: b Tabla de Valores c Gráfcos (ver fgura 2 20 ( 2 N = Fgura 1 Reproduccó de mcroorgasmos por moss [m] N [mcroorgasmo]

2 3 4 (a (b (a (b Fgura 2 Gráfcos para la reproduccó de mcroorgasmos por moss. a : escala leal y N: escala leal; a : escala leal y N: escala logarímca o de poecas de 10 Ierpolacó y exrapolacó. U día de verao realzamos el sguee expermeo: a las 10 de la mañaa lleamos u vaso co agua corree, lo pusmos derás de ua veaa lumada por el sol, rodujmos u ermómero e el agua y mramos la hora e u reloj. Medmos la emperaura a ervalos regulares de empo; cuado observamos que la emperaura del agua había dejado de subr, pusmos el vaso a la sombra y couamos las medcoes de empo y emperaura. Las medcoes se cosga e la sguee abla Tempo[m] Temperaura [ºC] 0 18, , , , , , , , , , , , , , , ,6 A parr de los daos, se puede obeer u gráfco a base de puos, como el mosrado e la fgura 3a. Usualmee se dbuja ua curva que pasa por los puos, como el de la fgura 3b. Fgura 3 Gráfcos de la varacó de la emperaura de u vaso de agua. a Solamee los puos meddos; b gráfco co curva que pasa por los puos. Cuado uo hace u cojuo de medcoes y las grafca, obee puos que represea el valor de la fucó e los saes meddos. Tal como se lusra co la líea azul de la fgura 13, e prcpo o se puede afrmar ada acerca del valor de la fucó ere los saes meddos, y poserormee a ellos, pues o se cooce su comporameo, e especal s varía mucho ere puos meddos cosecuvos. Ierpolacó: Proceso de esmar valores ere puos correspodees a daos meddos. Se puede hacer cuado los daos esá muy cercaos e el empo y/o cuado se ee la cereza de que las flucuacoes del valor de la fucó ere ales daos o es muy volea. E ales casos, se puede asumr que la fucó ere esos puos es aproxmadamee leal, por lo que se puede razar ua reca ere ambos puos y usarla para esmar el valor e el sae deseado, como e la líea roja de la fgura 4. Exrapolacó: Proceso de hacer predccoes basadas e la exesó de ua curva más allá de los puos límes que correspode a medcoes. Se Posble fucó Ierpolacó puede hacer cuado el sae buscado es muy cercao al úlmo dao y/o cuado se ee la cereza de que la fucó maee la edeca marcada por los úlmos daos meddos más allá de ésos. E ales casos, se puede razar la reca deermada por los dos úlmos puos y usarla para esmar el valor e el sae deseado, como la reca verde de la fgura 4. La dea de exrapolacó esá mplíca e muchos aspecos de la vda codaa, como e la ecoomía (proyeccoes de crecmeo e flacó o e odo lo que ega relacó co proóscos (esado clmáco 235 Exrapolacó 350 Fgura 4 Ierpolacó y exrapolacó de daos.

3 5 2 Cocepo de cambo Calcular varacó de varables. Recoocer la oacó. Calcular varacoes a parr de gráfcos o ablas. Noacó y coveo para dferecas Cuado os eresa saber e cuao ha varado cera cadad físca calculamos dferecas. Cosdere ua cadad físca F(, como la mosrada e la fgura 5a. Se defe el cambo F de la fucó ere los saes y + como: F = F ( + F( Al respeco, podemos aalzar los sguees casos: Cambo posvo: F(+ > F( F > 0 (ver fgura 5a Cambo cero o ulo: F(+ = F( F = 0 (ver fgura 5b Cambo egavo: F(+ < F( F < 0 (ver fgura 5c F F( ( + F( F( F( = F ( + F( F( F( + F F (a (b (c Fgura 5 Cocepo de cambo. a Cambo posvo; b cambo ulo; c cambo egavo 6 3 Relacoes leales y o leales Defr los cocepos: varables drecamee proporcoales, relacó leal. Recoocer fucoes leales y o leales e dsas varables. Maejo de las expresoes: Coocer la expresó maemáca asocada a la fucó leal: Defr los cocepos: pedee o clacó e ercepo o puo de core co eje Y Calcular, a parr de u gráfco u ora fuee, los parámeros la reca: pedee e ercepo. Evaluar fucoes leales y grafcar fucoes leales. Relacó leal y ecuacó de la reca Sea dos puos dferees cualesquera (x1,y1 e (x2,y2 e u ssema de coordeadas caresao. (ver fgura 6. La dsaca más cercaa ere esos dos puos esá dada por la líea reca que los ue. Los dos puos deerma ua úca reca de exesó fa. Ua líea reca ee ua ecuacó cuya forma es y = mx +, dode m es la pedee de la reca y es el ercepo co el eje y. Ora forma de expresarla es Ax + By + C = 0, dode A, B y C so úmeros reales. Cuado dos varables x e y se relacoa segú y = mx +, se dce que ee ua relacó leal. E el caso parcular = 0 y = mx, co m 0, se dce que y es drecamee proporcoal a x. E érmos gráfcos, los ercepos de ua ecuacó leal co dos varables so los puos dode esa cruza los ejes de coordeadas. Por ejemplo, s razamos la gráfca de la ecuacó: 3x + 4y = 13 (ver fgura 7, sus ercepos so (0,3 y (4,0. El (0,3 se llama el ercepo e y y el (4,0 el ercepo e x. Algebracamee, los ercepos represea solucoes de la ecuacó e dode uo de los varables ee el valor de 0. E el ercepo e y el valor de x es 0. E el ercepo e x, el valor de y es 0. (x 1,y 1 Eje Y (Ordeada Orge Fgura 6 Defcó de reca Fgura 7 Iercepos de ua reca La pedee de ua líea reca se refere a la clacó que esa ee co respeco al eje horzoal. E refereca a la fgura 8, podemos decr que: S la líea reca es horzoal, su pedee es 0 (m = 0 S la reca esá clada a la derecha su pedee es posva (m > 0 S esá clada haca la zquerda su pedee es egava. (m < 0 α (x 2,y 2 m Eje X (Abcsa

4 7 S la líea reca es vercal, la pedee es fa (m =. Se defe el águlo de clacó α de la reca como g -1 ( α = m α = g ( m Ajuse de la mejor reca. E muchos casos al represear gráfcamee los valores meddos, ésos se ubca alrededor de ua líea reca (ver fgura 9, cuya ecuacó es de la forma: y = m x + C E ua prmera aproxmacó, se puede razar la reca co ua regla rasparee, sedo de esperar que quede aos puos expermeales por sobre la reca como por debajo de ella dsrbudos aleaoramee. E esa aproxmacó, las cosaes C y m (pedee se obee drecamee del gráfco. S se dspoe de u compuador o ua calculadora ceífca, se puede deermar m y C usado el crero que la suma de los cuadrados de las dferecas de cada medcó co el valor correspodee de la mejor reca sea u mímo: 2 ( y y m = E = mímo Para obeer el mímo hay que dervar la fucó E e gualarla a 0, para poserormee obeer los valores m y C. Ese po de cálculo será vso co dealle e Maemáca I. El resulado de ese aálss es: m ( x x ( y y = ( x x Pedee fa C = y m x Fgura 8 Pedee de ua reca 2 Fgura 9 Ajuse de la mejor reca dode y = y y x = x Ejemplo: U barco perolero sufre u accdee, por lo que comeza a derramar peróleo. Desde u helcópero se moorea el amaño de la macha, obeédose el sguee regsro de daos: Tempo [h] 0 1/ Dámero [km] 0 0,4 1,0 2,0 3,0 4,0 6,0 Área [km 2 ] 0 0,13 1,84 4,3 6,9 12,3 29,6 a Haga u gráfco del área de la macha para los saes dcados. Trace la reca que mejor represea al cojuo de puos y ecuere ua relacó algebraca ere ambos. b Haga u gráfco del área de la macha e érmos de su dámero; comee. Vamos a esmar la mejor reca de la fucó Area v/s Tempo. Usado ua plalla de cálculo como Mcrosof Excel u OpeOffce Calc resula muy fácl. Los puos obedos y la mejor reca se vsualza e la fgura 10. Tempo [h] Area [km^2] Area [km^2] Nº x y x-xprom (x-xprom^2 y-yprom (x-xprom(y-yprom y (mejor reca 1 0,00 0,00-3,04 9,22-7,87 23,88-1,15 2 0,25 0,13-2,79 7,76-7,74 21,55-0,41 3 1,00 1,84-2,04 4,14-6,03 12,27 1,82 4 2,00 4,30-1,04 1,07-3,57 3,69 4,79 5 3,00 6,90-0,04 0,00-0,97 0,03 7,76 6 5,00 12,30 1,96 3,86 4,43 8,71 13, ,00 29,60 6,96 48,50 21,73 151,35 28,56 Promedos 3,04 7,87 Sumas 74,55 221,50 Area [km] 30,00 25,00 20,00 15,00 10,00 5,00 0,00 m 2,97 C -1,15 Ajuse de Mejor Reca -5,00 0,00 2,00 4,00 6,00 8,00 10,00 Tempo [h] Daos Expermeales Mejor Reca Fgura 10 Problema de ejemplo: puos meddos y mejor reca segú esmacó de mímos cuadrados

5 9 4 Fucoes Recoocer fucoes: leal, verso, cuadráca, verso cuadráco, expoecal crecee y decrecee y peródca, a parr de gráfcos y de ecuacoes smples. Coocer la expresó maemáca asocada a alguas de las fucoes aerores. Evaluar expresoes maemácas asocadas a fucoes. Evaluar valdez de represeacó de fucoes referda a feómeos físcos. Calcular varacoes a parr de gráfcos, ablas o fucoes. Grafcar esquemácamee alguas de fucoes dcadas aerormee. 10 Refereca: hp://euler.us.es/~reao/clases/eam2002-3/ode21.hml Cosderacoes respeco de la parábola La fucó parabólca y = Ax 2 + Bx + C es de gra erés para la físca, pues srve de modelo de suacoes como el movmeo reclíeo uformemee acelerado y el lazameo de proyecles. B y E la fgura 11 vemos la gráfca de ua parábola, e la cual podemos defcar los coefcees de la ecuacó. El puo (p,q es el puo de flexó de la parábola, mímo o máxmo depededo de la oreacó de la parábola C q Fgura 11 Gráfco de ua fucó parabólca p x

6 11 C represea el erseco de la parábola co el eje y (x = 0. El puo de erseccó ere la parábola y el eje de las ordeadas es el puo (0,C B represea la pedee de la reca agee a la parábola e el eje y, e el puo (0,C E la fgura 12 se muesra la relacó ere el valor de A y la aberura de la parábola S la aberura es haca arrba (dreccó +y, eoces A > 0. S la aberura es haca abajo (dreccó -y, eoces A < 0. A > 0 A< 0 E la fgura 13 se muesra los dferees valores que puede omar B, depededo de A (que dca la aberura de la parábola y p (coordeada x del puo de flexó. Fgura 12 Relacó ere el valor de A y la aberura de la parábola Fgura 13 Valores de B e fucó de A y p