Tarificación de bonos sobre catástrofes (cat bonds) con desencadenantes de índices de pérdidas. Modelación mediante un proceso de Ornstein-Uhlenbeck

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1 REVISTA DE MÉTODOS CUANTITATIVOS PARA LA ECONOMÍA Y LA EMPRESA (24). Págas Dcembre de ISSN: X. D.L: SE Tarfcacó de boos sobre caásrofes (ca bods) co desecadeaes de ídces de pérddas. Modelacó medae u proceso de Orse-Uhlebeck Pérez-Frucuoso, María José Deparameo de Ecoomía y Admsracó de Empresas Uversdad a Dsaca de Madrd (España) Correo elecróco: marajose.perez@udma.es RESUMEN Ese arículo propoe u modelo aleaoro e empo couo para calcular el ídce de pérddas desecadeae de los boos sobre caásrofes a parr de la cuaía declarada de sesros hasa el momeo de su vecmeo. Bajo la hpóess de que la cuaía oal de ua caásrofe se defe como la suma de la cuaía declarada de sesros y la cuaía de sesros pedee de declarar, modelzamos la dámca leal decrecee de esa úlma cuaía medae u proceso browao advo o proceso de Orse-Uhlebeck. La cuaía declarada de sesros, eoces, se obee por dfereca ere la cuaía oal de los sesros y la cuaía de sesros pedee de declarar. Falmee, se comprueba la valdez del modelo propueso esmado sus parámeros fudameales y corasado la bodad del ajuse realzado sobre ua muesra de seres de daos de ses udacoes ocurrdas e dferees localdades españolas propesas a sufrr ese po de caásrofes. Palabras claves: boos sobre caásrofes; cuaía de sesros pedee de declarar; cuaía declarada de sesros; asa de declaracó de sesros; ídce de pérddas por caásrofes; proceso de Orse-Uhlebeck. Clasfcacó JEL: C51; C52. MSC2010: 60G15; 62P05. Arículo recbdo el 4 de marzo de 2015 y acepado el 15 de ovembre de

2 Prcg Loss Idex Trggered Ca Bods. A Orse-Uhlebeck Process-Based Model ABSTRACT Ths paper develops a couous-me radom model of loss dex rggers for ca bods o he bass of he loss amou curred ul her maury. Assumg ha oal loss amou due o a caasrophe s defed as he sum of he curred loss amou plus he curred-bu-o-ye repored loss amou, we model he decreasg lear dyamcs of he laer amou by meas of a addve Browa process (or Orse Uhlebeck process); ad ge he former by he dfferece bewee he oal loss amou ad he curred-bu-o-ye-repored loss amou. Fally, we es he valdy of he model by esmag s core parameers ad by corasg he goodess of f hrough a daa seres of sx floods occurred several Spash ces proe o suffer such kd of caasrophes. Keywords: caasrophe bods; curred-bu-o-ye-repored loss amou; curred loss amou; clam reporg rae; loss dex rgger; Orse- Uhlebeck process. JEL classfcao: C51; C52. MSC2010: 60G15; 62P

3 1. Iroduccó Los boos sobre caásrofes so acvos faceros que codcoa su coberura a la ocurreca de u deermado desecadeae (rgger) esablecdo e el momeo de la emsó. La seleccó de ese desecadeae se realza e fucó de los resgos cuberos y la forma e que se esrucure el proceso de demzacó, raado, desde el puo de vsa del versor, de maxmzar su raspareca y, desde el puo de vsa del parocador, de mmzar el resgo de base o de coberura sufcee. Por esa razó, a lo largo del empo, los desecadeaes ulzados e los procesos de ulzacó del resgo asegurado ha do varado desde los desecadeaes cales de demzacó y de ídces paramércos a la edeca acual de ídces de pérddas secorales (o ídces de pérddas de la dusra aseguradora). Ello se debe, báscamee, a que, free a la esrucura apoyada e los lbros de coabldad del desecadeae de demzacó, los desecadeaes de ídces de pérddas so más smples de compreder para el versor y reduce el resgo moral. Además, desde el puo de vsa del asegurador, eva que mucha de su formacó cercaa a la cofdecaldad se haga públca. S embargo, el prcpal coveee de ese ssema de esrucuracó de los boos sobre caásrofes derva de ulzar ídces pobremee desarrollados que o represee felmee las pérddas de la dusra y geere resgo de base. U aspeco relevae e el aálss, ao eórco como prácco, de esos srumeos facero-acuarales co desecadeaes de ídces de pérddas, es su arfcacó a lo largo de u horzoe emporal deermado. Desde u efoque exclusvamee acuaral, para fjar el preco de u produco de seguros, radcoalmee se rabaja co las hpóess de la Teoría Clásca del Resgo, que supoe las cuaías dvduales de los sesros como varables aleaoras depedees y equdsrbudas. Además, la prma se obee aplcado el prcpo de muualdad a parr del cual los resgos se dsrbuye ere oda la masa asegurada; de forma que, e promedo, los errores se compesa y la esperaza maemáca de la sesraldad oal, o prma pura, es sufcee para llevar a cabo la coberura. S embargo, ese procedmeo de deermacó del preco del seguro es cogruee co la valoracó realzada e los mercados faceros, e los que la cuafcacó de los acvos dervados se obee, evado las oporudades de arbraje, medae la réplca de careras formadas por acvos smples cuyos resulados so guales, e odo momeo del perodo de egocacó, al del acvo dervado objeo de valoracó. La arfcacó de los boos sobre caásrofes e ese coexo requere la defcó de u modelo que perma calcular la evolucó emporal de la cuaía oal de las pérddas dervadas de ua caásrofe y, por ao, de la rao de sesraldad subyacee de ese po de coraos. Dversos auores se ha ocupado de esa cuesó. Cumms y Gema (1995) y Gema y Yor, (1997) desarrolla modelos de valoracó de opcoes y fuuros sobre resgos caasrófcos basados e dos hpóess: por ua pare, ulza procesos geomércos de Weer para descrbr la declaracó 342

4 saáea de los sesros y, por ora, procesos de Posso, que corpora al modelo la posbldad de ocurreca de grades caásrofes. Aase (1999, 2001) modela la dámca del ídce de pérddas a ravés de u proceso de Posso compueso co salos aleaoros para valorar fuuros y opcoes sobre fuuros sobre caásrofes como caso parcular del modelo desarrollado por Embrechs y Meser (1997), que represea el comporameo del subyacee medae ua mxura de procesos de Posso compuesos y ua frecueca de sesraldad aleaora. Loubergé e al. (1999) aplca el modelo de valoracó de opcoes sobre caásrofes desarrollado por Cumms y Gema (1995), para calcular el preco de u boo caasrófco cuyo desecadeae es u ídce de pérddas de la dusra aseguradora. Lee y Yu (2002) corpora el resgo de crédo e la valoracó de los boos caasrófcos a ravés de u movmeo geomérco browao así como facores práccos asocados al azar moral y al resgo de base. Cox y Pederse (2000) propoe u méodo de cálculo del preco de u boo sobre caásrofe e mercados compleos a parr de la defcó de ua deermada esrucura emporal de los pos de erés y de ua esrucura de probabldades de ocurreca del resgo caasrófco. Muerma (2003) ulza la modelacó del ídce de pérddas desarrolla por Aase (1999) para realzar ua valoracó, cossee e érmos acuarales, de las opcoes y fuuros egocados e el Chcago Board of Trade (e adelae, CBOT) durae la década de los 90 del sglo pasado. Nowak y Romauk (2013) aplca modelos de ETTI (pos de erés spo lbres de resgo) bajo la hpóess de que la ocurreca de la caásrofe es depedee del comporameo de los mercados faceros. Falmee, Zog-Gag y Chao-Qu (2013) cosdera u eoro de pos de erés esocáscos para descrbr las pérddas caasrófcas a ravés de u proceso de Posso compueso o homogéeo. Esa revsó de la leraura facero-acuaral poe de mafeso el uso frecuee del movmeo geomérco browao para modelar el comporameo del ídce de pérddas desecadeae de los dervados vculados a seguros e geeral y, dero de ese po de acvos, de los boos sobre caásrofes e parcular. Trabajar bajo esa hpóess lleva a asumr u crecmeo expoecal, e promedo, de la declaracó de sesros saáea; meras que lo que revela la evdeca empírca es que dcho crecmeo ede a ser uforme e el empo. E Cumms y Gema (1995), se asume además, que esa asa es dscoua al roducr el proceso de salo debdo a las grades caásrofes e la defcó de S( ); e Gema y Yor (1997), la roduccó de las grades caásrofes se hace e la defcó del ídce de pérddas, L( ), drecamee. Ese plaeameo agregado e cuao al comporameo de la velocdad de declaracó de los sesros o se correspode co ua dsrbucó más o meos uforme de la ocurreca de los msmos dero de u ervalo emporal cocreo, pues es dfícl eeder que el proceso de agregacó sesral sea expoecal y o leal. 343

5 Para resolver esas cossecas, Alegre e al. (2003) desarrolla u modelo aleaoro e empo dscreo que modela el comporameo del ídce de pérddas subyacee de los fuuros y opcoes sobre resgos caasrófcos egocadas e el CBOT, a parr de la defcó de la cuaía oal de ua caásrofe como la suma de dos varables aleaoras, la cuaía declarada de sesros y la cuaía de sesros pedee de declaracó, lmado la posbldad de ocurreca de caásrofes a ua por perodo. Para reflejar la cerdumbre del rmo de las declaracoes e el empo, se defe u proceso esocásco dscreo formado por varables aleaoras de Beroull, deomadas asas omales de declaracó de sesros, que perme smular peródcamee dos velocdades de declaracó de sesros, ua rápda y ora lea. Falmee, los auores demuesra que, dvdedo famee los perodos de observacó, el modelo dscreo aleaoro ede a u modelo couo basado e u proceso de Weer. Poserormee, Pérez-Frucuoso (2008, 2009) realza ua exesó al campo couo del modelo dscreo aleaoro aeror asumedo que la dámca de la cuaía de sesros pedee de declarar sgue u movmeo geomérco browao represeavo de u decrecmeo emporal de esa varable a razó de ua fucó real de varable real, deomada asa de declaracó de sesros, para la cual se propoe res defcoes aleravas: cosae, asóca y mxa. Para el caso de ua asa de declaracó de sesros cosae (asa saáea de declaracó de sesros), la cuaía declarada de sesros, varable fudameal para el cálculo del ídce de pérddas e caso de ocurreca de ua caásrofe, se obee eoces fáclmee como dfereca ere la cuaía oal de la caásrofe y la cuaía de sesros pedee de declarar. Co el objevo de desarrollar ua modelzacó más ajusada del ídce de pérddas por caásrofes desecadeaes de los boos sobre caásrofes, e ese arículo se presea ua defcó alerava para la dámca de las declaracoes de sesros basada e u proceso de Orse- Ulhebeck. La corporacó de u movmeo browao advo a ravés del proceso de Orse- Ulhebeck perme cosderar la rregulardad de las declaracoes de sesros de forma cosae e el empo y o proporcoal a la cuaía de sesros pedee de declarar. La esrucura del arículo es la sguee. Tras la preseacó de las hpóess báscas sobre las que se modela la ocurreca de las caásrofes y la declaracó de los sesros y descrbr las expresoes más relevaes obedas e el modelo orgal, la Seccó 3 presea las solucoes de las varables cuaía declarada de sesros y cuaía de sesros pedees de declarar cuado la dámca de ésa úlma se represea medae u proceso de Orse-Ulhebeck. E la Seccó 4, se calcula el ídce de pérddas por caásrofes a parr de los resulados obedos e la seccó aeror. E la Seccó 5, se realza ua valdacó del modelo propueso a ravés de la esmacó de los parámeros del modelo orgal y del modelo de Orse-Ulhebeck y de la comparacó de los 344

6 resulados obedos e ambos casos. Y falmee, la Seccó 6 presea las prcpales coclusoes alcazadas co la realzacó del arículo. 2. Revsó del modelo orgal de elaboracó del ídce de pérddas 2.1. Hpóess sobre la ocurreca de caásrofes Sguedo a Pérez-Frucuoso (2008), se cosdera que [ 0,T] [ 0,T ] es el perodo de resgo del boo sobre caásrofes, al que T T es la fecha de vecmeo o amorzacó del corao y [ 0,T] el momeo e el que se produce la caásrofe cubera co la emsó del boo. Se defe K como la varable aleaora que represea la cuaía oal de la caásrofe de esdad ocurrda e el momeo co =1, 2, 3 de forma que: =1, s la caásrofe ocurrda es de pequeña cuaía; =2, s es de cuaía meda; e =3, s es de gra cuaía (Alegre e al., 2003). Falmee, se roduce e el modelo ua varable dcador, δ, cuyo valor es 0 s o se produce la caásrofe cubera e el boo e u momeo [ 0,T], o 1 e oro caso Hpóess sobre la declaracó de sesros. Prcpales solucoes del modelo orgal E el modelo orgal desarrollado por Pérez-Frucuoso (2008), se asume que el proceso de declaracó de los sesros asocado a la ocurreca de ua caásrofe se ca e el msmo sae e el que ésa se produce y se exede hasa el momeo del vecmeo del boo, T. Eoces, para u momeo de valoracó (,T ] [ 0,T ], se defe la cuaía oal de la caásrofe ocurrda e el momeo, K, como la suma de dos varables aleaoras: K = S ()+ R () (1) dode S ( ) es la cuaía declarada de sesros y R 345 la cuaía de sesros pedees de declaracó ambas referdas al momeo de valoracó. A parr del aálss de la evdeca empírca, se cosdera como hpóess fudameal del modelo que la esdad e la declaracó de los sesros es muy elevada medaamee después de la ocurreca de la caásrofe y va dsmuyedo co el empo hasa aularse cuado ya o queda más sesros por declarar. Como cosecueca de ello, y e ua prmera fase de cosruccó del modelo, se represea la sesraldad saáea a ravés de ua ecuacó dferecal que descrbe u crecmeo de la cuaía de sesros declarada proporcoal a la varable cuaía de sesros pedee de declarar: ds ( ) = α R ( )d (2)

7 sedo α u valor cosae deomado asa saáea de declaracó de sesros co α 2 3 > α y α 1. Las varables R ( ) y S esá sujeas a las sguees codcoes de cooro: (a) Codcó de cooro cal, = : s el momeo de valoracó del boo cocde co el momeo de ocurreca de la caásrofe: R ( ) = K y S = 0, la cuaía de sesros pedee de declaracó cocde co el volume oal de la caásrofe y, cosecueemee, la cuaía la cuaía declarada de sesros es cero. (b) Codcó de cooro fal, : s la valoracó del boo se produce e u momeo lo sufceemee alejado de la ocurreca de la caásrofe (ede a fo): lm R ( ) = 0 y lm S ( ) = K, las pérddas asocadas a la caásrofe ya se ha declarado e su oaldad y, por ao, ya o queda gú sesro pedee de declarar. Dferecado la ecuacó (1), resula: ds ( ) = dr ( )d (3) y subsuyedo e la ecuacó (2), ds ( ) por el resulado obedo e la expresó (3), se obee la ecuacó dferecal que descrbe la evolucó de la cuaía de sesros pedee de declarar, R ( ), como: dr ( ) = α R ( )d (4) Para capurar el comporameo rregular de las declaracoes de sesros caasrófcos a lo largo del empo, se roduce u proceso de Weer e la ecuacó (4) dado lugar a la sguee ecuacó dferecal esocásca (Pérez-Frucuoso, 2008, 2009): dr ( ) = α R ( )d + σ R ( )dw [,T] (5) sedo α la asa saáea de declaracó de sesros, que represea la edeca del proceso; σ ua cosae que dca la volaldad del proceso; y W ( ) u proceso de Weer esádar asocado a la caásrofe del po ocurrda e el momeo. 346

8 La ecuacó dferecal (5) se resuelve aplcado el lema de Iô a la rasformacó y = l R ( ) (Arold, 1974), de dode, cosderado las codcoes de cooro (a) y (b), se obee: R ( ) = K e 2 α + σ 2 ( )+σ W ( ) (6) La cuaía declarada de sesros hasa, S ( ), se derva fáclmee como dfereca ere la cuaía oal de la caásrofe y la cuaía de sesros pedee de declarar, subsuyedo (6) e la ecuacó (1), que esablece la relacó ere las varables R ( ) y S ( ); eso es: S ( ) = K R = K 1 e 2 α + σ 2 ( )+σ W ( ) (7) y s ecesdad de defr ua ecuacó dferecal esocásca para descrbr su dámca. 3. Varacoes del modelo orgal. El modelo de Orse-Uhlebeck E el modelo orgal, cuado corporamos la rregulardad e el comporameo de las declaracoes de sesros e el empo, asummos que su esdad es proporcoal a la cuaía de sesros pedee de declarar y lo represeamos medae u movmeo browao geomérco. El proceso de Weer roducdo e el modelo recoge las dferecas e la esdad de declaracó de sesros ya que se cosdera que cada caásrofe ee caraceríscas propas o explcadas e el modelo. S embargo, perurbar la asa de declaracó de sesros co u rudo blaco amplfcado por σ puede dar lugar a valores de dcha asa egavos, lo que provocaría u crecmeo emporal de la cuaía de sesros pedee de declarar, R ( ), debdo a la varacó versa defda para dcha varable. Eso puede suceder cuado, después de realzadas las declaracoes de sesros, la asacó de los peros dé lugar a valoracoes de pérddas ferores a las esmadas calmee. Por ello, la corporacó de la aleaoredad medae u proceso de Weer úcamee es válda para valores de σ ales que la probabldad de que la cuaía de sesros pedee de declarar sea crecee, es práccamee desprecable. Para solvear esa posble coradccó e el modelo orgal, cosderamos e ese arículo que la rregulardad de la esdad e la declaracó de los sesros es cosae e el empo y, por ao, o depede de la cuaía de sesros pedee de declarar. Ese hecho queda reflejado roducedo u proceso de Weer e la ecuacó (4) medae u movmeo browao arméco e lugar de uo geomérco, dado lugar a la sguee ecuacó dferecal esocásca: 347

9 dr ( ) = α R ( )d +σ dw (8) Ese po de proceso gaussao se cooce como proceso de Orse-Uhlembeck y su solucó puede obeerse a ravés del cálculo de Iô. Para ello, cosrumos u polomo de Taylor de la fucó f ( Z,), dode Z es u proceso de Iô de la forma dz = a d + b dw, d 0, y deeemos su desarrollo e ο( d): df ( Z,)= f Z, Z = f Z, Z dz + f Z, d f Z, 2 2 Z ( a d + b dw )+ f Z, 2 +L dz d f Z, 2 2 Z 2 +L Z 2 a d + b dw = f Z, ( a Z d + b dw )+ f Z, d f Z, b 2 2 +ο d f ( Z,) = a + f ( Z,) f ( Z,) + b Z 2 2 Z d + b f ( Z,) dw Z (9) Ulzamos (9) para aplcar el proceso de Iô e (8) co la fucó f ( R ( ),)= R ( )e α : d R ( )e α = α R ( )e α + α R ( )e α d +σ e α dw ( ) = σ e α dw ( ) (10) Iegrado ere 0 y - ambos lados de la gualdad y cosderado la codcó de cooro cal esablecda e la Seccó 2, la expresó de la cuaía de sesros pedee de declarar, R ( ), e ese caso es: R ( ) = K e α ( ) +σ e α ( ) e α s dw ( s) (11) A parr de ese resulado, la cuaía declarada de sesros hasa, S ( ), se obee de forma smple, subsuyedo (11) e la ecuacó (1) y operado: 0 S ( ) = K K e α ( ) +σ e α ( ) = K 1 e α ( ) σ e α 0 ( ) 0 e α s dw ( s) = e α s dw ( s) (12) R ( ) es u proceso gaussao cuyos momeos prcpales, meda y varaza, resula: 348

10 Var[ R ( ) ]= E R E[ R ( ) ]= K e α ( ) [ E( R ( ) )] 2 = E σ e α ( ) = ( σ ) 2 e 2α = ( σ ) 2 e 2α ( ) 1 2α E e 2α s dw s 0 e 2α ( 1)= σ 0 = σ 2 2α y, por ao, R ( ) sgue ua dsrbucó ormal de parámeros: e α s dw ( s) 2 e 2α 2 = 1 e 2α ( ) E e 2α s ds = 0 R 2 ( ) N K e α ( ), σ 2α 1 e 2α ( ) (13) 4. Deermacó del ídce de pérddas por caásrofes e el modelo de Orse-Uhlembeck U ídce de pérddas por caásrofes se defe como el cocee ere la cuaía oal de pérddas asocadas a ua o varas caásrofes ocurrdas a lo largo de u deermado perodo de empo y u valor cosae cuya defcó depede del po de ídce ulzado. Ese ídce perme cuafcar la magud de las declaracoes de sesros que se espera e la dusra aseguradora después de la ocurreca de ua o varas caásrofes. Los boos sobre caásrofes que ulza ídces de pérddas como desecadeaes de las demzacoes sólo cosdera, para la elaboracó de dchos ídces, la ocurreca de ua caásrofe durae el perodo de resgo y, a la hora de realzar los pagos, se basa e el valor que el ídce de pérddas ulzado alcace e el momeo del vecmeo del corao, T. Por ao, el valor del ídce al vecmeo del boo T puede defrse como: = δ S ( T ) LI T ce 0 s δ = 0 = S ( T ) s δ ce =1 (14) Subsuyedo e (14) S ( T ) por su expresó dada e la ecuacó (12), el valor de dcho ídce ee la sguee expresó: = δ, S ( T ) LI T ce ce K 1 e α ( T ' ) σ e α = δ T ' ( T ' ) 0 e α s dw ( s) (15) 349

11 Resula evdee que LI T es aleaoro porque S ( T ) es ua varable aleaora: a pror, e el momeo de la emsó del boo, se descooce s se va a producr la caásrofe cubera e el msmo y, por ao, se gora el momeo de su ocurreca y la cuaía de los daños asocados a dcha caásrofe. A couacó, se aalza cómo se va modfcado la dsrbucó de probabldad del ídce de pérddas cuado, e lugar de realzar la valoracó e el momeo de la emsó del boo, se alcaza u sae [,T ] y se corpora la formacó dspoble sobre las declaracoes sesrales realzadas hasa ese momeo. Para ello, se defe ua ueva varable aleaora codcoada, LI * ( T ) = LI( T )/F, que represea la cuaía oal de las pérddas declaradas hasa T, sedo F ua flracó que represea la posble hsora de declaracoes de sesros realzadas durae el ervalo [,]. Para obeer LI * ( T ) = LI( T )/F, se calcula, e prmer lugar, la cuaía oal de declaracoes de pérddas e cualquer momeo [,T ], LI( ), que es el codcoae de LI( T ) (es decr LI( ) F ), resulado: = δ, S ( T ) LI T ce ce K 1 e α ( ) σ e α = δ ( ) 0 e α s dw ( s) (16) Deermado LI(), se roduce e la varable LI(T ) dado lugar al sguee valor del ídce codcoado: LI * T = δ /F ce L( )+ ( K /F )1 e α ( T ' ) σ e α T ( T ) e α s dw ( s) (17) A parr de esa expresó, el preco del boo sobre caásrofes e u momeo de su perodo de egocacó puede calcularse aplcado la eoría geeral de valoracó de opcoes véase, por ejemplo, Loubergé e al.(1999) o Pérez-Frucuoso (2008). 5. Valdacó del modelo. Esmacó de los parámeros y comparacó de los modelos orgal y de Orse-Ulhembeck E la aplcacó prácca del modelo eórco desarrollado para deermar u ídce de pérddas por caásrofes desecadeae de los boos sobre caásrofes, los prcpales parámeros a esmar so la asa de declaracó de sesros y la volaldad corporada medae el proceso de Weer e el modelo orgal y a ravés del proceso de Orse-Ulhembeck e el modelo aleravo. Para ello, se 350

12 dspoe de daos sobre el porceaje de sesros pedee de declarar, acumulado semaalmee, e 6 udacoes ocurrdas e dsas regoes de España e las que ese po de sucesos se produce co elevada frecueca 1 : Alcra (01/10/1991), Sa Sebasá (23/06/1992), Barceloa (14/09/1999), Zaragoza (20/10/2000), Valeca (20/10/2000) y Murca (20/10/2000). Semaa Alcra Sa Sebasá Barceloa Zaragoza Valeca Murca ,94 88,08 90,68 60,11 97,54 88, ,65 36,04 68,38 56,91 80,18 75, ,96 23,67 50,68 38,3 60,15 48,7 4 24,05 16,68 41,42 29,79 43,16 31, ,86 12,29 31,58 23,4 31,96 21, ,36 9,94 25,43 19,15 27,55 15, ,53 8,72 19,56 18,09 19,54 11,27 8 8,04 7,76 16,68 15,43 15,29 8,71 9 6,94 6,8 13,28 15,43 14,76 8, ,23 5,78 10,54 10,64 14,7 6, ,08 5,18 8,15 6,91 11,06 5, ,71 4,33 6,8 3,72 8, ,56 3,45 6,13 3,72 6,98 3, ,6 2,69 3,41 2,66 6,21 2,6 15 1,75 1,81 3,41 2,66 5,17 2,8 16 1,3 1,59 2,61 1,6 4,22 2, ,77 1,39 1,81 1,6 3,5 2, ,29 1,16 1,26 1,6 2,72 2, ,0 0,96 0,56 0 2,26 1, ,76 0,0 1,88 1, ,45 1,69 1, ,28 1,61 0, ,2 0,9 0, ,17 0,54 0, ,11 0,36 0, ,06 0,19 0, ,0 0,0 0,0 Tabla 1: Daos asocados a ses udacoes ocurrdas e España E el modelo orgal R ( ) es ua varable aleaora cuya dsrbucó depede de la dsrbucó de probabldad de la cuaía oal de la caásrofe, K. S realzamos la hpóess, habual e la leraura acuaral, de que dcha cuaía es u valor cosae véase, por ejemplo, Cumms y Gema (1995) o Gema y Yor (1997), la varable R ( ) segurá ua dsrbucó logormal, sedo los parámeros de la dsrbucó ormal asocada (Johso e al., 1994): N lk α + σ 2 2 ( ),σ co E[ R ( ) ]= K e α. 1 Esos daos se ha obedo a ravés del Deparameo Técco y de Reaseguro del Cosorco de Compesacó de Seguros. 351

13 S embargo, cosderado las propedades de la dsrbucó ormal así como las caraceríscas de los daos dspobles, es posble obeer ua expresó más apropada para obeer los esmadores de los parámeros de los modelos aalzados, α y σ, a parr de la cuaía de sesros pedee de declarar e y e -1, operado como sgue: R R ( ) 1 = K K e ( α + σ ) 2 2 ( )+σ w ( ) e ( α + σ ) 2 2 ( 1)+σ w ( 1) = e 2 α + σ 2 +σ w ( 1) Eso mplca que R R ( ) 1 dspersó de la dsrbucó ormal asocada: l R R sgue ua dsrbucó logormal, co parámeros de edeca y ( ) 1 ~ N α Eoces, s defmos la varable X( ) como: 2 + σ 2, σ 2 = l R ( ) R ( 1) ~ N α X 2 + σ 2 2, σ (18) y aplcamos sobre ese resulado el méodo de esmacó de máxma-verosmlud, el esmador de la asa de declaracó de sesros resula: ( ˆ α ) EMV = X ˆ 2 ( σ ) EMV 2 (19) dode X = 1 X( ) y muesral. =1 ( ˆ σ ) 2 = 1 ( X( ) X ) 2 so, respecvamee, la meda y la varaza =1 La varaza muesral ha sdo esmada a ravés de la cuas-varaza muesral, ya que esa úlma es u esmador sesgado de la prmera: S 2 = 1 ( X( ) X ) 2 (20) 1 =1 352

14 Co los daos dspobles e la Tabla 1, calculamos e prmer lugar la meda muesral para cada caásrofe. Ua vez obeda dcha meda, deermamos la cuas-varaza aplcado la ecuacó (20) y, falmee, calculamos la asa de declaracó de sesros, ˆ α EMV, subsuyedo los valores obedos de la meda muesral y la cuas-varaza e la ecuacó (19). Los resulados dervados de ese proceso se muesra e las Tablas 2 y 3. X ( ˆ σ ) 2 ˆ ( α ) EMV Alcra 0, , , Sa Sebasá 0, , , Barceloa 0, , , Zaragoza 0, , , Valeca 0, , , Murca 0, , , Tabla 2: Esmadores para el modelo orgal Alcra N( 0, ;0, ) Barceloa N( 0, ;0, ) Zaragoza N( 0, ;0, ) Valeca N( 0, ;0, ) Murca N( 0, ;0, ) Sa Sebasá N 0, ;0, Tabla 3: Dsrbucoes ormales de X() para el modelo orgal E el modelo de Orse-Ulhemberk, R ( ) es u proceso gaussao defdo e (13) como: R 2 ( ) N K e α ( ), σ 2α 1 e 2α ( ) A couacó, obeemos ua expresó cerrada para los esmadores de los parámeros asa de declaracó de sesros y volaldad e ese modelo, aplcado el méodo de máxma- verosmlud. Para ello, e prmer lugar deermamos la fucó de desdad de R ( ) codcoada a R ( 1) e u proceso de Orse-Ulhembeck: ( σ ) 2 f R ( ) R ( 1),α (,σ )= ( 2π) 1 2 2α 1 e 2α 1 2 e R ( ) R ( 1)e α 2 ( σ ) 2 1 e 2α α y, cosderado que = ( 1) =1, el logarmo de la fucó de desdad codcoal resula: 353

15 2 l f R ( ) R ( 1),α (,σ )= 1 2 l2π 1 2 l σ 2α 1 e 2α ( ) α ( σ ) 2 R ( ) R ( 1)e α 2 1 e 2α A parr de esa expresó, sumado odas las fucoes de desdad dvduales para las observacoes, se obee la sguee fucó log-verosíml: ll α (,σ )= l f R ( j) R ( j 1),α,σ = 2 = 2 l2π 2 l σ 2α 1 e 2α ( ) α ( σ ) 2 1 e 2α R ( j) R ( j 1)e α 2 (21) Para obeer el esmador del parámero σ, dervamos la ecuacó (21) respeco de dcho parámero e gualamos a cero: l L α (,σ ) = + σ σ 2α ( σ ) 3 1 e 2α R ( j) R ( j 1)e α 2 = 0 (22) Operado e la expresó (22), el esmador máxmo-verosíml de σ, ( ˆ σ ) resula: EMV 2 ( ˆ σ ) EMV 2α = 1 e 2α R ( j) R ( j 1)e α 2 (23) Segudamee, subsumos el esmador dado por la expresó (23) e la fucó log-verosíml (21) para obeer la msma fucó, pero depedee exclusvamee de α : ll( α )= 2 l2π 2 l 1 R ( j) R ( j 1)e α 2 2 (24) El esmador máxmo-verosíml de α, expresó (24) respeco a α e gualado a cero: ( ˆ α ) se calcula dervado, e prmer lugar, la EMV 354

16 l L α (,σ ) = α 2 2 R ( j) R ( j 1)e α R ( j 1) = R ( j) R ( j 1)e α 2 ( 2 e α R ( j)r ( j 1) R j 1 = R ( j) R ( j 1)e α 2 Eoces, resolvedo esa ecuacó para α, ( ˆ α ), resula: EMV = 0 0 = R ( j)r ( j 1) R j 1 e α = α = l R ( j)r j 1 ( R ( j 1 ) 2 R ( j)r ( j 1) R ( j 1) 2 ( 2 e α ( j)r ( j 1) R ( j 1) R ( ˆ α ) EMV = l 2 (25) Por ao, las expresoes de los esmadores máxmo-verosímles de los parámeros del modelo de Orse-Uhlebeck so: ( ˆ α ) EMV = l ( R ( j 1 ) 2 2 ( ˆ σ ) EMV = 2 ˆ α 1 e 2α ˆ l R ( j)r ( j 1) y R ( j) R ( j 1)e α ˆ 2 355

17 Los resulados obedos para la esmacó de los parámeros del modelo de Orse-Uhlembeck e las ses udacoes cosderadas y el proceso gaussao segudo por se muesra e las Tablas 4 y 5. R ( ) ˆ ( α ) EMV ˆ 2 ( σ ) EMV Alcra Sa Sebasá Barceloa Zaragoza Valeca Murca 0, , , , , , , , , , , , Tabla 4: Esmadores para el modelo de Orse-Ulhemberk Alcra Sa Sebasá Barceloa Zaragoza Valeca Murca ( ( ( ( ( ( Tabla 5: Proceso gaussao segudo ) ) ) ) ) ) N K exp( 0, );27, exp( 0, ) N K exp ( 0, );68, exp( 0, ) N K exp( 0, );22, exp( 0, ) N K exp ( 0, ); 42, exp( 0, ) N K exp ( 0, ); 41, exp( 0, ) N K exp ( 0, );31, exp( 0, ) R ( ) por para el modelo de Orse-Ulhemberk Para corasar la bodad del ajuse realzado y deermar qué modelo se ajusa mejor a la realdad que queremos represear, realzamos ua comparacó de los errores de los esmadores e las 6 udacoes dspobles paraa el modelo orgal y el modelo de Orse-Uhlebeck medae u aálss gráfco; véase Fguras 1 a 12. Fgura 1: Errores Sere Alcra modelo orgal Fgura 2: Errores Sere Alcra modelo OU 356

18 Fgura 3: Errores Sere Sa Sebasá modelo orgal Fgura 4: Errores Sere Sa Sebasá modelo OU Fgura 5: Errores Sere Barceloa modelo orgal Fgura 6: Errores Sere Barceloa modelo OU Fgura 7: Errores Sere Zaragoza modelo orgal Fgura 8: Errores sere Zaragoza modelo OU Fgura 9: Errores Sere Valeca modelo orgal Fgura 10: Errores Sere Valeca modelo OU 357

19 Fgura 11: Errores Sere Murca modelo orgal Fgura 12: Errores sere Murca modelo OU Del aálss vsual de los gráfcos de errores mosrados e las Fguras 1 a 12, podemos exraer la sguees coclusoes: - Los dos modelos desarrollados da lugar a los msmos resulados e la sere de daos de Alcra. - El modelo de Orse-Uhlebeck parece ajusarse mejor que el modeloo orgal e la sere de daos de Barceloa. - No es posble coclur cuál de los dos modelos se ajusa mejor a los daos dspobles sobre la udacó ocurrda e Valeca. - Los errores para las esmacoes de la sere de daos de Murca so mayores que los errores que se produce e las res seres de daos aalzadas aerormee. A pesar de ello, el modelo de Orse-Uhlebeck parece presear meores errores y por ao sería la mejor aproxmacó a los daos reales dspobles. - La udacó ocurrda e Zaragoza presea uas caraceríscas algo dferees al reso de udacoes aalzadas. El proceso de declaracó de sesros e ese caso se vo alerado por la ocurreca, medaamee después de la caásrofe orgal, de oras udacoes de meor esdad lo que codcoó los daos dspobles, dado lugar a mayores errores e las esmacoes realzadas sobre los valores reales. Por esa razó, el aálss gráfco e ese caso, poe de mafeso que el modelo de Orse-Uhlebeck se ajusa mejor al prcpo del proceso declaracó; meras que para las semaas fales del msmo, el modelo orgal resula más fable. - Falmee, las predccoes sobre la udacó de Sa Sebasá produce los msmos resulados que e el caso aeror. El modelo de Orse-Uhlebeck se ajusa mejor al prcpo y el modelo orgal al fal del proceso de declaracó de sesros. 358

20 E resume, para las seres de daos de Alcra y Valeca, los dos modelos da lugar a los msmos resulados. S embargo, e el reso de seres, el modelo de Orse-Uhlebeck parece dar mejores resulados (meores errores) que el modelo orgal. Para verfcar esos resulados gráfcos, calculamos la raíz de la suma cuadrado de los errores para cada modelo (véase Tabla 6), a parr de la sguee expresó: RSCE = SCE = 1 dode Y es el valor observado e ˆ Y es el valor esmado. =1 2 ( Y Y ˆ ) RSCE Modelo Orgal RSCE OU Alcra 3, , Sa Sebasá 7, , Barceloa 4, , Zaragoza 8, , Valeca 5, , Murca 5, , Meda 5, , Tabla 6: Valores de la RSCE para los modelos orgal y de Orse-Uhlebeck Como puede dervarse de los resulados obedos, el modelo de Orse-Uhlebeck presea uos errores meores para odas las udacoes cosderadas, excepo para Alcra e la que el modelo de Orse-Uhlebeck ee u error lgeramee superor al modelo orgal. E los casos de Sa Sebasá, Zaragoza y Murca, los errores comedos co el modelo orgal se reduce cosderablemee al realzar el ajuse co el modelo de Orse-Uhlebeck. Podemos coclur, por ao, que el modelo de Orse-Uhlebeck ajusa mejor que el modelo orgal la realdad caasrófca que queremos represear. 6. Coclusoes Para deermar el ídce de pérddas por caásrofes y proceder poserormee a la valoracó del acvo dervado del que es subyacee, la mayor pare de los modelos precedees véase, por ejemplo, Cumms y Gema (1995) o Gema y Yor (1997) asume u crecmeo emporal de la cuaía declarada de sesros y represea dcha evolucó a ravés de u movmeo geomérco browao. La hpóess ceral de ese arículo, s embargo, esablece u modelo browao advo o proceso de Orse-Uhlebeck para represear la dámca leal decrecee de la varable cuaía de sesros pedees de declarar. Ua vez deermada esa varable, el oal de sesros declarados se obee como dfereca ere la cuaía oal de la caásrofe y la cuaía de sesros pedee de declaracó, elmado de esa forma la ecesdad de defr ua ecuacó dferecal esocásca para descrbr su dámca. El ídce de pérddas caasrófcas resula de mulplcar la 359

21 cuaía declarada de sesros por ua varable aleaora dcoómca que dca s se ha producdo o o la caásrofe. El modelo couo propueso e ese rabajo perme calcular fáclmee el ídce de pérddas desecadeae de los boos sobre caásrofes, lo que smplfca cosderablemee su arfcacó a lo largo de su perodo de maduracó. La esmacó de los parámeros, ao del modelo orgal como del modelo aleravo basado e u proceso browao advo de Orse-Uhlebeck, se ha realzado aplcado la meodología de máxma verosmlud sobre los daos de las ses udacoes dspobles ocurrdas e dferees localdades españolas. La comparacó realzada de los dos modelos, medae el aálss gráfco de los errores y el cálculo de la raíz cuadrada del error cuadráco medo, perme coclur que el modelo aleravo propueso, desarrollado a parr de u proceso gaussao de Orse-Uhlebeck, es el que mejor ajusa la realdad que queremos represear. Referecas Aase, K. (1999): A Equlbrum Model of Caasrophe Isurace Fuures ad Spreads. Geeva Papers o Rsk ad Isurace Theory, 24, Aase, K. (2001): A Markov model for he prcg of caasrophe surace fuures ad spreads. Joural of Rsk ad Isurace, 68 (1), Alegre, A.; Pérez-Frucuoso, M.J. & Devolder, P. (2003): Modèles dscres d'opos sur rsques caasrophques. Belga Acuaral Bulle, 3, Arold, L. (1974): Sochasc Dffereal Equaos: Theory ad Applcaos. New York: Joh Wley & Sos. Cumms, J.D. & Gema, H. (1995): Prcg Caasrophe Isurace Fuures ad Call Spreads: A Arbrage Approach. Joural of Fxed Icome, 4, Cox, S.H. & Pederse, H. (2000): Caasrophe Rsk Bods. Norh Amerca Acuaral Joural, 4(4), Embrechs, P. & Meser, S. (1997): Prcg surace dervaves, he case of CAT fuures. E H. Bühlma (ed.): Securzao of Isurace Rsk: The 1995 Bowles Symposum. SOA Moograph M-FI97-1. Schaumburg: Socey of Acuares, pp Gema, H. & Yor, M. (1997): Sochasc me chages caasrophe opo prcg. Isurace: Mahemacs ad Ecoomcs, 21, Johso, N.L., Koz, S. & Balakrsha, N. (1994): Couous Uvarae Dsrbuos, Volume 1. New York: Joh Wley & Sos. 360

22 Lee, J.P. & Yu, M.T. (2002): Prcg defaul-rsky Ca bods wh moral hazard ad bass rsk. Joural of Rsk ad Isurace, 69 (1), Loubergé, H.; Kellez E. & Gll, M. (1999): Usg Caasrophe-Lked Secures o Dversfy Isurace Rsk: A Facal Aalyss of Ca Bods. Joural of Isurace Issues, 22 (2), Muerma, A. (2003): Acuarally Cosse Valuao of Caasrophe Dervaves. The Wharo Facal Isuos Ceer Workg Paper Seres, 03-18, 21 pp. Recuperado de hp://ceseerx.s.psu.edu/vewdoc/dowload?do= &rep=rep1&ype=pdf. Nowak, P. & Romauk, M. (2013): Prcg ad smulaos of caasrophe Bods. Isurace: Mahemacs ad Ecoomcs, 52, Pérez-Frucuoso, M.J. (2009): Elaborag a caasrophc loss dex for surace-lked secures (ILS) a couous model. Asa-Pacfc Joural of Rsk ad Isurace, 3(2), Pérez-Frucuoso, M.J. (2008): Modelg loss dex rgger for Ca bods: A couous approach. Varace, 2(2), Zog-Gag, M. & Chao-Qu, M. (2013): Prcg caasrophe rsk Bods: a mxed approxmao mehod. Isurace: Mahemacs ad Ecoomcs, 52,