INSTITUTO POLITECNICO NACIONAL CENTRO DE INVESTIGACIÓN Y DESARROLLO DE TECNOLOGÍA DIGITAL MAESTRIA EN CIENCIAS CON ESPECIALIDAD EN SISTEMAS DIGITALES

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1 INSTITUTO POLITCNICO NACIONAL CNTRO D INVSTIGACIÓN Y DSARROLLO D TCNOLOGÍA DIGITAL MASTRIA N CINCIAS CON SPCIALIDAD N SISTMAS DIGITALS MODLADO D ANTNAS MPLANDO DIFRNCIAS FINITAS N L DOMINIO DL TIMPO TSIS QU PARA OBTNR L GRADO D MASTRO N CINCIAS P R S N T A: ATZIRY MAGALY RAMÍRZ AGUILRA ABRIL 4 TIJUANA B. C. MXICO

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3 AGRADCIMINTOS: A DIOS Porque e ese rabao durae el desarrollo del msmo seí u preseca señor me lleaba cada día de u fuera cofaa. CITDI - IPN M más scero agradecmeo al Cero de Ivesgacó Desarrollo de Tecología Dgal Isuo Polécco Nacoal por m formacó académca. CONACT PIFI Al Coseo Nacoal de Ceca Tecología al Programa Iegral de Formacó de Ivesgadores por el apoo ecoómco. A odas cada ua de las sguees persoas: forma mu especal a m drecor de Tess: Dr. Mguel Agusí Álvare Caballas por su paceca apoo cosae. A los membros de la comsó revsora: Dr. Alfoso Ágeles Valeca Dr. Sergo Aoo errera García ) Dr. Jua García Lópe M. e C. José Abel eráde Ruedas por el empo dedcado para la revsó de ese rabao. Falmee quero agradecer a odas aquellas persoas que me brdaro su carño colaboracó de algua maera hcero posble la ermacó de ese rabao de ess que o las mecoe gracas a odos 3

4 DDICATORIAS - A usedes m esposo Pedro m ho Isaac ms grades amores porque me ha eseñado lo mas hermoso de la vda sempre esuvero apoádome. - A ms padres: Armado Pa por su amor auado co su compresó apoo cofaa e odo momeo. A usedes les debo lo que so ese gra logro. Los amo. - A m hermao Isaac: por el grade eemplo de valor lucha a la vda. - A ms hermaos: r e Ibe por su apoo amor cofaa que sempre ha deposado e m. - A m mamá Maresher: por su hermoso eemplo. - A ms amgos: Yadra Carlos Maro Reé José Jua Fracsco Gusavo OZ7) porque fuero u apoo mporae e ese eapa. - A odos ms compañeros de geeracó. 4

5 ÍNDIC Lsa de Fguras... Lsa de Tablas Resume... 3 Absrac 4 Obevo 5 Capíulo I Iroduccó. Iroduccó 6 Capíulo II Comporameo lecromagéco. Iroduccó 9. cuacoes de Mawell cuacó de Oda...3. Solucó de la ecuacó de Oda...4 Velocdad de fase 5.5 Polaracó T TM. 6.6 Codcoes de Froera... 7 Capíulo III Algormo de Yee 3. Iroduccó 8 3. Dferecas Fas Algormo de Yee 3.4 sabldad Numérca Valores propos emporales Valores propos del espaco Garaía de sabldad Dspersó Numérca Campos Icales. 34 Capíulo IV Codcoes de Froera Absorbees 4. Iroduccó Codcoes de Froera Absorbees Acoplameo Perfeco de Capas PML) PML e u espaco de D modo T PML e u espaco de D modo TM Coducvdad e PML Resulados de Coefcee de Refleó. 43 Capíulo V Trasformacó de Campo Cercao e Campo Leao 5. Iroduccó Relacó que defe la rasformacó de Campo Cercao e Campo Leao para 5

6 u espaco de D- T Defcó del Teorema de Gree Valor de la fucó de Gree Relacó del Campo Leao Relacó que defe la rasformacó de Campo Cercao e Campo Leao para u espaco de D- TM Capíulo VI Modelado de Cooro 6. Iroduccó Modelado de Cooro Méodo de scalera. 6 Capíulo VII Modelado de Aeas Parabólcas Clídrcas 7. Iroduccó 6 7. Aeas Parabólcas Clídrcas Cosruccó de la Aea Parabólca Clídrca Reflecor Aea Fuee Parámeros de Aea Campo Cercao Campo Dfracado Respuesa e frecueca Coclusoes 76 Referecas Bblografía Apédce A specro lecromagéco... 8 Apédce B Dagrama de fluo para el cálculo de FDTD D Modo T 83 6

7 LISTA D FIGURAS Fgura. Grafca de ) cos ω ) e res saes de empo: T/8 T/ Fgura 3. Arreglo de las compoees de e u espaco de res dmesoes... Fgura 3. Dsrbucó e el empo de las compoees de para el cálculo de FDTD. Fgura 3.3 Varacó de la velocdad de fase umérca co respeco a la dreccó de propagacó para cuaro dferees resolucoes Fgura 3.4 Varacó de la Velocdad de fase umérca co respeco a la dreccó de propagacó para cuaro dferees amaños de celdas. 34 Fgura 4. spaco dscreo de FDTD lmado e D Fgura 4. spaco dscreo co oa PML 39 Fgura 4.3 srucura de la oa PML 4 Fgura 4.4 Resulados de FDTD para a) PML NTMAX; b) PML NTMAX; c) PML NTMAX; d) PML5 NTMAX. 4 Fgura 4.5 Dsrbucó del espaco dscreo para el cálculo del coefcee de refleó. 43 Fgura 4.6 Comporameo de la OM e fucó del empo.. 44 Fgura 4.7 Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML el ídce de coducvdad para T señal susodal Fgura 4.8 Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la señal que geera la fuee para T Fgura 4.9 M Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la señal que geera la fuee para TM M3 47 Fgura 4. Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la polaracó de la OM para ua señal Gaussaa M3 48 Fgura 5. Defcó del campo leao el campo cercao dero del espaco dscreo Fgura 5. Ssema radae rodeado por dos cooro C a C... 5 Fgura 5.3 srucura que defe el campo cercao leao de u espaco dscreo.. 5 Fgura 6. srucura a cosrur dero de FDTD. 59 Fgura 6. Técca de escalera aplcada a la esrucura PC dero de FDTD-D-TM. 6 Fgura 6.3 Técca de escalera aplcada a la esrucura PC dero de FDTD-D-T.. 6 Fgura 7. Reflecor Parabólco Clídrco a) res dmesoes; b) dos dmesoes 6 Fgura 7. Aperura fcee de ua aea parabólca clídrca. 64 Fgura 7.3 Reflecor parabólco dero de FDTD D.. 65 Fgura 7.4 Reflecor parabólco e forma de escalera dero de FDTD T 65 Fgura 7.5 Ubcacó de los deecores para el cálculo del campo cercao 67 Fgura 7.6 Campo cercao para la señal coua.. 68 Fgura 7.7 Campo cercao para la señal dscrea 68

8 Fgura 7.8 Campo cercao de la señal coua para dferees ubcacoes de la aea-fuee. 69 Fgura 7.9 Campo cercao de la señal dscrea para dferees ubcacoes de la aea-fuee. 7 Fgura 7. Zoa de campo dfracado de campo cercao 7 Fgura 7. Comporameo del campo dfracado para la señal coua. 7 Fgura 7. Comporameo del campo dfracado para la señal dscrea.. 7 Fgura 7.3 Comporameo del campo dfracado para la señal coua. 73 Fgura 7.4 Comporameo del campo dfracado para la señal dscrea.. 73 Fgura 7.5 Comporameo e frecueca para ua señal Gaussaa Fgura 7.6 Valor del campo cercao e el domo de la frecueca.. 76 LISTA D TABLAS Tabla. Codcoes de Froera para las compoees de.. 7 Tabla 3. Grupo de ecuacoes para la polaracó TM T... 3

9 RSUMN Paredo de las ecuacoes de Mawell e forma dferecal e egral se obee la ecuacó de oda su solucó. Se obee las propedades de los campos que forma las odas elecromagécas como: velocdad de propagacó velocdad de fase polaracó; así como la rasformacó de la oda elecromagéca OM) al propagarse a ravés de dferees medos codcoes de froera). Se dscrea las ecuacoes de Mawell sguedo la écca de Yee para ular la écca umérca de Dferecas Fas e el Domo del Tempo FDTD). Se cosruo el algormo se defero las ecuacoes de FDTD para u espaco de dos res dmesoes. Se realo el aálss de esabldad umérca velocdad de propagacó cosderado u espaco de dos dmesoes. Para dar solucó al problema de refleó provocada por los lmes del espaco dscreo se mplemea la écca de Acoplameo Perfeco de Capas PML) se muesra resulados del coefcee de refleó para la polaracó Trasversal lécrca T) Trasversal Magéca TM) para ua fuee que geera ua señal coua dscrea. mpleado el eorema de Gree se deduce la ecuacó que obee el campo leao a parr del valor del campo cercao. Los valores de campo cercao fuero obedos empleado FDTD. l aálss se desarrollo para ambas polaracoes T TM). Se aplcaro esas éccas e el dseño de ua aea parabólca clídrca. Debdo a la curvaura del reflecor fue ecesara ular la écca de escalera para adapar la malla de FDTD a la parábola. Se calcularo los parámeros de Campo Cercao Campo Dfracado debdos al reflecor. Las solucoes se obuvero ambé e fucó de la frecueca para lo cual se aplcó la Trasformada Dscrea de Fourer. 3

10 ABSTRACT Begg from he dffereal ad egral form of he Mawell equaos he wave equao ad s soluo are obaed. The properes of he felds of he elecromagec waves were obaed as: propagao veloc phase veloc ad polarao as well as he rasformao of he elecromagec wave whe s propagaed hrough dffere medums. I order o use he umerc echque called Fe Dfferece Tme Doma FDTD) he Mawell equaos were grded followg he Yee echque. We bul he algorhm ad defed FDTD equaos wo ad hree dmesos. The umerc sabl aalss ad he propagao veloc he mesh were doe wo dmesos. To solve he refleco problem orgaed b he boudares of he dscree space he Perfecl Mached Laers PML) echque was used. The refleco coeffce resuls for Trasversal lecrc T) ad Trasversal Magec TM) polarao usg a couous wave ad pulses as source are show. Usg he Gree s heorem he far feld equao from he ear feld values was obaed. The ear values were calculaed b FDTD. The aalss was developed for boh polaraos.t ad TM). We appled hese echques o desg a parabolc cldrcal aea. Due o he reflecor curvaure was ecessar o use he sars echque o adap he FDTD mesh o he parabola. We calculaed he ear feld ad dffraced feld from he reflecor. The soluos from FDTD were obaed also he frequec doma for ha we appled he dscree Fourer Trasformed. 4

11 OBJTIVO Crear u algormo compuacoal que smule el comporameo elecromagéco e aeas meálcas empleado el méodo umérco de Dferecas Fas e el Domo del Tempo FDTD) 5

12 CAPÍTULO I INTRODUCCIÓN uesros días las comucacoes ere grupos e dvduos a cora grades dsacas so crucales. so ha causado la ecesdad de meorar cada uo de los elemeos que forma pare de u ssema de comucacó lo cual ha dado lugar a uevas ecologías que facla el dseño que cada uo de ellos. la rasfereca de formacó a grades dsacas las aeas uega u papel mporae a que so las ecargadas de emr recbr la formacó. l orge de las aeas daa desde la formacó de las ecuacoes de Mawell hechas por James Clerc Mawell que fue el resposable de la uó de la eoría de la elecrcdad co la del magesmo orgado la eoría del elecromagesmo [3]. Mawell argumeó que el resulado de sus ecuacoes descrbe la preseca de odas elecromagécas OM) las cuales so capaces de rasporar eergía a grades dsacas. Fue erch er que lo corroboró co la aparcó de los dpolos heraos hasa 9 Gullero Marco realó la prmera rasfereca de formacó a grades dsacas co la aparcó de la rado [4]. la acualdad se puede dsgur dferees pos de odas elecromagécas dferecádose cada ua de ella por la logud de oda. La dscó ere cada ua se hace e fucó de la forma de radarlas esá defdas e el especro elecromagéco mosrado e el Apédce A. la acualdad co los avaces de los ssemas de cómpuo se ha mplemeado la solucó de las ecuacoes de Mawell e forma dscrea surgedo éccas umércas como: Méodo de Momeos Dferecas Fas Dferecas Fas e el Domo del Tempo ec. por mecoar alguos. Dferecas Fas e el Domo del Tempo FDTD) resuelve las ecuacoes de Mawell e forma dferecal e el domo del empo espaco ulado la écca de Dferecas Fas. Fue roducdo por Kae Yee e 966 [] dode e ese empo el líme de velocdad de cómpuo así como la fala de ua écca efca para elmar los problemas de refleó provocados por los lmes del espaco dscreo o permó su aplcacó. S embargo esos problemas so superados es ua de las éccas mas uladas para el aálss dseño de ssemas radaes de OM. la cosruccó de FDTD se debe de cosderar el aálss de: esabldad umérca covergeca) la velocdad de propagacó de la OM e el espaco dscreo así como las refleoes producdas por los límes del espaco dscreo. Además el modelo dseño o aálss de cualquer elemeo dero del algormo ee que ser defdo co la cosruccó de ese ssema dero de él de esa forma verfcar los resulados obedos. 6

13 ese rabao de ess se presea la cosruccó de FDTD para el modelo de ua aea parabólca clídrca e u espaco de D es desarrollado e los sguees capíulos: Capíulo : ese capíulo se descrbe el couo de ecuacoes de Mawell e forma dferecal e egral se defe la ecuacó de oda para u espaco recagular. Se da solucó a la ecuacó de oda llegado a la defcó de oda plaa se epoe los parámeros de velocdad de fase velocdad de grupo polaracó que so caraceríscas de las odas vaeras. Por úlmo se presea las codcoes de froera que sasface las odas elecromagécas cuado cde e espacos co dferees caraceríscas elécrcas. Capíulo 3: se capíulo presea la formacó del algormo de FDTD. Comea co el desarrollo de la écca de Dferecas Fas la cual se ula para dar solucó dscrea a las ecuacoes dferecales. sa écca es mplemeada e las ecuacoes de Mawell e forma dferecal obeedo el couo de ecuacoes dfecales fas e forma dscrea para u espaco recagular de dos res dmesoes. Para verfcar que las solucoes del méodo umérco covera a la solucó real se hace u aálss de sabldad umérca defdo por Coura Fredrch Lev CFL) Vo Neuma para u espaco de D cosderado las polaracoes Trasversal lécrca T) Trasversal Mageca TM) el cual es mosrado e ese capíulo. Ademas se presea ua comparacó de la velocdad de propagacó de la oda dero del méodo umérco co el real eso es posble por medo de la dspersó umerca. Por úlmo se muesra como declarar dero de FDTD ua fuee que geera ua señal coua ua señal dscrea. Capíulo 4: la smulacó del comporameo elecromagéco mplemeado FDTD los límes del espaco dscreo produce refleoes. se problema fue abordado desde la aparcó de FDTD surgedo u couo de éccas defdas como Codcoes de Froera Absorbees ABC) de las cuales Acoplameo Perfeco de Capas PML) preseó los meores resulados para dar solucó al problema de las odas refleadas dero de FDTD. ese capíulo se presea el couo de ecuacoes que forma la écca PML cosderado u espaco de dos dmesoes las polaracoes TM T. se couo de ecuacoes se mplemea e el algormo de FDTD se muesra las grafcas de coefcees de refleó varado los parámeros que forma la écca PML. Se presea los resulados para las dos polaracoes cosderado ua fuee que geera ua señal susodal Gaussaa. Capíulo 5: Ua de las aplcacoes que presea FDTD es e el aálss dseño de Aeas. Para lograrlo se cosrue el ssema radae dero de FDTD los parámeros que caracera el comporameo de la aea debe ser deermados por FDTD. l parámero de campo leao de ua aea perme defr el paró de radacó de la aea. ese capíulo se defe la écca para la obecó del campo leao producdo por las aeas. Dero de FDTD calcular el comporameo elecromagéco a ua dsaca grade sgfca amplar el espaco de rabao eso sgfcaría verr memora de cómpuo empo de procesameo. se problema fue abordado solucoado aplcado el Teorema de Gree co el cual es posble defr el comporameo del campo leao e fucó de u valor coocdo campo cercao) s ecesdad de amplar el espaco de rabao. Se muesra el Teorema de Gree se aplca a la relacó del campo 7

14 cercao obeedo el valor de campo leao. Se realó ese procedmeo para u espaco de dos dmesoes para las polaracoes T TM. Capíulo 6: La cosruccó de cualquer elemeo dero de FDTD se logra defedo su geomería así como sus caraceríscas elécrcas e odo el espaco dscreo. ese capíulo se muesra la écca de Modelado de Cooro defda para cosrur cualquer elemeo que presea u cooro po coducor perfeco PC) llamada Méodo de scalera. Capíulo 7: ese capíulo se cosrue dero de FDTD ua aea po parabólca clídrca la cual cosa de dos pares prcpales:. el radador o aea fuee. el reflecor. l radador es ua aea po dpolar el reflecor es de forma crcular clídrca. Prmero se defe las caraceríscas de las aeas parabólcas clídrcas así como las fórmulas que descrbe los parámeros de Drecvdad Gaaca Aperura fcee. A couacó se descrbe la forma e que se cosruó el radador el reflecor ulado para ese úlmo el méodo de escalera. Por úlmo se repora los resulados obedos de los parámeros de campo cercao campo dfracado así como el aálss e frecueca del ssema radae. Apédce A: Se muesra el especro elecromagéco dode se epoe las desgacoes de bada de frecueca de las odas elecromagécas. Apédce B: Defe el dagrama de bloques para el cálculo de FDTD para u espaco de dos dmesoes e polaracó T. 8

15 CAPÍTULO II COMPORTAMINTO LCTROMAGNÉTICO. Iroduccó l orge de la eoría elecromagéca se esablecó co las ecuacoes de Mawell. Dchas ecuacoes esá represeadas e forma dferecal e egral so relacoes que esá e fucó del empo el espaco. Ua represeacó de ese couo de ecuacoes es resumda co la ecuacó de oda co la cual se esablece la eseca de odas elecromagécas que vaa e el espaco empo que so capaces de rasporar eergía. ese capíulo se presea el couo de las ecuacoes de Mawell se defe la ecuacó de oda para u domo recagular. A couacó se da solucó a la ecuacó de oda llegado a la defcó de oda plaa se epoe los parámeros de velocdad de fase velocdad de grupo polaracó leal caraceríscas de la oda vaera. Por úlmo se presea las codcoes de froera que sasface las odas elecromagécas cuado se propaga e espacos co dferees caraceríscas elécrcas.. cuacoes de Mawell La eoría elecromagéca se esablecó co el descubrmeo de la erdepedeca del campo elécrco co el campo magéco es represeada e cuaro relacoes coocdas como cuacoes de Mawell [3]. sas ecuacoes esá represeadas e forma dferecal e egral la defcó de ellas cosderado u medo homogéeo sorópco leal lbre de cargas se muesra a couacó: I. Le de Gauss para el campo elécrco Dferecal D..a) Iegral D ds..b) S II. Le de Gauss para el campo magéco B..a) B ds..b) S III. Le de Farada B J m..3a) 9

16 S B ds dl J ds..3b) L S m IV. Le Geeralada de Ampere S D J e..4a) D ds dl - J ds..4b) L S e Dode es el campo elécrco el campo magéco D desdad de fluo elécrco B desdad de fluo magéco J e J m desdad de corree elécrca magéca S represea ua superfce arbrara co u vecor uaro ds L es el cooro que lma la superfce co u vecor uaro dl. Además: B..5a) D..5b) Dode es la permeabldad magéca la permvdad elécrca las cuales represea las propedades del medo. Cosderado u medo co pérddas elécrcas magécas se defe las sguees relacoes []: J e..5c) Jm..5d) Dode es la coducvdad elécrca del medo magéca. represea la coducvdad La solucó de las ecuacoes de Mawell defe el comporameo elecromagéco M) de u espaco esas depede de las codcoes del problema. A couacó se presea u proceso que facla la solucó de combado las ecuacoes de Mawell dado como solucó ua ecuacó dferecal coocda como ecuacó de oda..3 cuacó de Oda Ua represeacó seclla del couo de ecuacoes de Mawell es defda por medo de la ecuacó de oda la cual es descra a couacó. l couo de ecuacoes de Mawell e forma dferecal so ecuacoes dferecales acopladas dode la solucó de ua de ellas correspode la solucó de las resaes. Cosderado el espaco vacío s

17 pérddas elécrcas magécas relacoado el couo de ecuacoes e forma dferecal co las ecuacoes..5a)..5b) eemos: Aplcado el vecor roacoal a la ecuacó.3.c):.3.a).3.b).3.c).3.d) Aplcado la dedad vecoral.3.) Obeemos:.3.3).3.4a) Susuedo la ecuacó.3.a).3.d) e.3.4a) obeemos: Smplfcado:.3.4b).3.5) La ecuacó dferecal parcal.3.5) es defda como la ecuacó de oda vecoral para el campo elécrco. Para u ssema de coordeadas recagulares de res dmesoes se defe las sguees ecuacoes de oda escalares para el :.3.6a).3.6b).3.6c)

18 Sguedo el msmo procedmeo para la ecuacó.3.d) se obee la ecuacó de oda vecoral para el campo magéco la cual se defe como: las compoees escalares para el :.3.7).3.8a).3.8b).3.8c) Defedo como ua cosae: Susuedo e la ecuacó.3.6b): c.3.9) c Las udades de la cosae c so [ seg].3.) m la cual descrbe la varacó de ua dsaca respeco al empo. Por lo ao esa cosae defe la velocdad de propagacó de la 7 oda. Para el espaco lbre 4π m 8.85 F m co ello 8 c 3 m seg que defe la velocdad de propagacó de las odas elecromagécas e el espaco vacío ausee de pérddas elécrcas magécas. La solucó de las ses compoees de campo.3.6a-c).3.8a-c) defe el comporameo elecromagéco pero ambé es posble que sólo esa dos compoees de ellas e u deermado problema ua de ora de la cual represea la solucó mas smple de esas ecuacoes escalares de oda es coocda como la oda plaa que será defda mas adelae..3. Solucó de la ecuacó de oda A couacó se descrbrá la solucó de la ecuacó de oda vecoral e coordeadas recagulares para u espaco vacío lbre de cargas s pérddas elécrcas magécas represeadas por las ecuacoes.3.5).3.7). Cada ua de esas ecuacoes es descra por res ecuacoes escalares defdas por las relacoes.3.6a-c).3.8a-c). Se mosrará la solucó a la ecuacó de oda escalar.3.6a) por speccó será posble defr las oras solucoes.

19 La represeacó de la ecuacó.3.6a) es: ) ) ) ) c.3.) que es ua ecuacó dferecal parcal de segudo orde co res varables espacales ) ua varable emporal ). Para resolver esa ecuacó dferecal se ula el méodo de separacó de varables el cual defe que la solucó oal es escra como u produco de cuaro solucoes que so fucoes de cada ua de las varables por lo ao la solucó de es escra como: ) A ) B ) C ) D ) Ahora se obedrá el valor de A ) B ) C ) ) realado las dervadas llegamos a:.3.a) D.Susuedo.3.a) e.3.) A B BCD ACD C ABD ABC c D.3.b) Dvdedo cada érmo de.3.b) ere ABCD despeado c : c A A c B B c C C D D.3.c) Como se puede observar e la ecuacó.3.c) cada uo de los érmos que la forma esá e fucó de ua sola varable por lo ao es posble represearlas como ecuacoes dferecales ordaras. sa ecuacó ambé es posble represearla e fucó de ua cosae dode el prmer membro de la ecuacó es gual al segudo membro cuado cada uo de ellos es gual a ua msma cosae por lo ao la ecuacó.3.c) se puede defr como: c A d A c d B d B c d C d D ω D d d d C ω.3.a).3.b) ω dode ω es la cosae de separacó c sedo: 3

20 dode.3.3) se defe como la cosae de oda úmero de oda o vecor de oda. La solucó a la ecuacó.3.b) es: D ) Pe Qe ω ω.3.4a) dode P Q so cosaes que se defe e fucó de las codcoes cales del problema que se va a resolver. Cosderado que o ese empos egavos o < la solucó se smplfca a: ω D Pe.3.4b) ) De la msma forma se defe ahora la solucó de la ecuacó.3.a) la cual es posble separar de la sguee maera: d A.3.5a) A d d B.3.5b) B d d C.3.5c) C d La solucó a la ecuacó.3.5a) es: ) P e Q e A.3.6a) de la msma forma se obee la solucó a las ecuacoes.3.5b c): ) B P e Q e ) P e Q e C b).3.6c) Dode las cosaes P Q so defdas e fucó del problema que se aala. Ua ve defdas cada ua de las solucoes se susue cada ua de ellas a la solucó complea defda por la relacó.3.a) quedado: ω ) Pe [ P e Q e ][ P e Q e ][ P e Q e ] ) Depededo del problema que se aala se elge la eseca de las solucoes a las cuales se realará el produco. La relacó.3.7) represea el comporameo de la compoee escalar e u espaco de res dmesoes. De esa msma forma es defda para cada ua de las 4

21 compoees escalares que descrbe la ecuacó de oda vecoral del campo elécrco campo magéco. La solucó mas seclla de u problema lecromagéco M) es cosderar la eseca de dos compoees de campo u campo escalar elécrco u campo escalar magéco de ellos cosderar la propagacó de ua oda e ua sola dreccó esa solucó parcular es defda como oda plaa..4 Velocdad de fase Las solucoes posbles a la ecuacó de oda defe u movmeo susodal de ua oda co respeco al empo espaco ua solucó parcular de ella puede ser defda por la sguee ecuacó: cos ω.4.) ) ) Observado el comporameo de la oda.4.) e res empos dferees T 8 T 4 dode T es el perodo de la señal fado u puo de fase cosae A B C para cada sae de empo como se muesra e la Fgura. es posble aprecar que al aumear el empo la oda se propaga e ua sola dreccó. Fgura. Gráfca de ) cos ω ) T/8 T/4. e res saes de empo: La ecuacó.4.) descrbe el movmeo de ua oda propagádose e la dreccó lmada e las dreccoes dode el argumeo de la fucó coseodal defe la fase 5

22 de la oda descrbe la dreccó de propagacó así como la velocdad de propagacó. Los puos de fase cosae A B C es posble defrlos por la sguee ecuacó: dervado la ecuacó.4.a) respeco al empo se obee: ω cosae.4.a) despeado d ω.4.b) d d ω V f.4.c) d Dode la ecuacó.4.c) defe la relacó de cambo de dsaca de propagacó respeco al empo o velocdad de fase V. Cosderado que la solucó de oda es defda como: f ) cos ω ).4.3a) dode el argumeo de la fucó coseodal dfere e sgo de la ecuacó.4.). Para ese caso la dreccó de propagacó de la oda es defda e dreccó por lo ao la velocdad de fase es defda como: d ω V f.4.3b) d Cosderado que la oda se propaga e el espaco lbre la velocdad de fase es: V f ±c.4.4) dode el sgo defe la dreccó de propagacó de la oda..5 Polaracó T TM Además de la velocdad de fase ora caracerísca mporae a cosderar de las odas vaeras es el po de polaracó co la que se propaga. La cofguracó del e la solucó de u problema de Campo elecromagéco defe el modo o polaracó de la oda. se dos dferees modos que a couacó se descrbe. Modo Trasversal Magéco TM) sa polaracó se presea cuado ese ua compoee de drgda e la dreccó de propagacó las compoees de esá e u plao rasversal a la dreccó de propagacó. 6

23 Modo Trasversal lécrco T) sa polaracó se presea cuado ese ua compoee de drgda e la dreccó de propagacó las compoees de esá e u plao rasversal a la dreccó de propagacó. l po de polaracó que presea ua oda elecromagéca se defe asumedo que ese u espaco de ua o dos dmesoes..6 Codcoes de Froera Al propagarse ua oda elecromagéca e u deermado medo m esa cde co oro medo m dode sus propedades elécrcas so dferees a las de m las compoees de sufre cambos e su dreccó magud. Para deermar esos cambos se aala el comporameo de las compoees de froera ere los dos medos dferees. l comporameo de las compoees de froera del medo se aala separado cada ua de las compoees del campo e dos subcompoees: ua agecal ora ormal a la froera. Por medo de las ecuacoes de Mawell es posble defr ese comporameo del campo so resumdas e la Tabla. [3]. Tabla. Codcoes de Froera para las compoees de COMPONNT RLACIÓN CONDICIONS Campo lécrco Tagecal * Cualquer medo Tagecal * M Delécrco M Coducor Normal D D ρ s Cualquer medo co cargas e la froera Normal D D Cualquer medo ausee de cargas e la froera D ρ M Delécrco s Normal D M Coducor co desdad de carga. Campo Magéco Normal * B B Cualquer medo Normal Cualquer medo Tagecal K ) K Cualquer medo co corree e la froera Tagecal * Cualquer medo ausee de corree e la froera Tagecal * M co permeabldad fa * Codcoes que sasface las compoees varaes e el empo. ** Para codcoes varaes e el empo se obedece esa relacó sólo s. 7

24 CAPÍTULO III ALGORITMO D Y 3. Iroduccó Las ecuacoes de Mawell so ecuacoes dferecales parcales de segudo orde que descrbe la preseca de odas elecromagécas. La ecesdad de ecorar su solucó compuacoal ha crecdo e el rascurso del empo ese e la acualdad dferees méodos umércos que preede dar solucó a ese problema. l méodo de Dferecas Fas e el Domo del Tempo FDTD) es ua écca umérca que resuelve las ecuacoes de Mawell e forma dferecal e el domo del empo espaco. ese capíulo se presea la cosruccó del algormo de FDTD comeado co el desarrollo de la écca de Dferecas Fas la cual se ula para solucoar e forma dscrea las ecuacoes dferecales. Se defe las ecuacoes de Mawell e forma dscrea para u espaco recagular de res dos dmesoes. Para verfcar que las solucoes del méodo umérco covera a la solucó real se reala u aálss de esabldad umérca defdo por Coura Fredrch Lev CFL) Vo Neuma []. Se presea ua comparacó de la velocdad de propagacó de la oda dero del méodo umérco co el real por úlmo se defe el couo de fuees uladas e ese méodo umérco. 3. Dferecas Fas l méodo de dferecas fas es u méodo umérco que se ula para resolver ecuacoes dferecales parcales e forma dscrea. sa écca cosse e reemplaar las dervadas parcales por ua ecuacó defda como dferecas fas apromada que s be o cumple eacamee co la ecuacó dferecal desde el puo de vsa prácco se oma como al. Las fórmulas de dferecas fas so obedas por medo de la epasó de las seres de Talor. Cosderado la dervada parcal F ) fado el valor de realado la apromacó e dos puos se ee:. 3 F F ) F ) F ) F ) a) 4! 8 3! 8

25 9 ) ) ) )... 3! 8! 4 3 F F F F F 3..b) Cosderado que la eleccó de cremeo del empo) es ua cadad mu pequeña se cosdera desprecables los érmos a parr de las dervadas de segudo orde de las ecuacoes 3..). Cosderado esa apromacó resado las ecuacoes se ee: ) F F F 3..a) despeado ) F ) F F F 3..b) sa ecuacó es defda como dfereca fa de segudo orde cerada e el empo para la fucó ) F. La ecuacó 3..b) se puede epresar como: F F F 3..3) Dode e so úmeros eeros que represea u puo dscreo e el empo espaco así como De la msma forma es posble obeer ) G fado u empo varado el espaco : G G G 3..4) sa ecuacó se defe como dfereca fa de segudo orde cerada e el espaco para la fucó ) G. La apromacó realada para la defcó de las dferecas fas puede varar cosderado más érmos de las seres de Talor lo cual mplca maor eacud e los resulados umércos pero se requere maor empo de procesameo. se méodo umérco marca la posbldad de solucoar las ecuacoes dferecales de Mawell e forma dscrea.

26 3.3 Algormo de Yee Para solucoar el campo elecromagéco mplemeado la écca de dferecas fas se reemplaa cada ua de las ecuacoes dferecales parcales de las ecuacoes de Mawell por ecuacoes de dferecas fas cerales de segudo orde. Cosderado u espaco recagular e res dmesoes resolvedo el operador roacoal de las ecuacoes vecorales..3a)..4a) se ee el sguee couo de ecuacoes escalares: 3.3.a) 3.3.b) 3.3.c) 3.3.d) 3.3.e) 3.3.f) La solucó del couo de ecuacoes 3.3.a-3.3.f) defe el comporameo elecromagéco e u espaco recagular de res dmesoes. Para la solucó dscrea de ese couo de ecuacoes se defe las dferecas fas cerales e u espaco fo ) para las compoees de la sguee dsrbucó de empo: - las compoees de campo magéco e u empo ½ ecuacoes 3.3.a- 3.3.c)) - las compoees de campo elécrco e u empo. Susuedo las ecuacoes de dferecas fas despeado cada ua de las compoees se ee el sguee couo de ecuacoes:

27 3.3.a) 3.3.b) 3.3.c) 3.3.d) 3.3.e) 3.3.f) Ua represeacó geomérca de las compoees de que forma las ecuacoes 3.3.) fue propuesa e 966 por Kae Yee es lusrada e la Fgura 3. []. esa fgura se observa ua celda dode esá ubcadas las ses compoees de campo de al

28 forma que cada compoee de campo magéco es rodeada por cuaro compoees de campo elécrco a su ve cada compoee de campo elécrco es rodeada por cuaro compoees de campo magéco. Fgura 3. Arreglo de las compoees de e u espaco de res dmesoes. sa dsrbucó de compoees marcó el comeo del algormo de Dferecas Fas e el Domo del Tempo FDTD) co el cual es posble resolver las ecuacoes de Mawell e forma dscrea. La dsrbucó e el empo para el cálculo de cada ua de las compoees se puede observar e la Fgura 3. -½ ½ Fgura 3. Dsrbucó e el empo de las compoees de para el cálculo de FDTD. Cada compoee de campo magéco es calculada para u empo ese valor depede de ua compoee de campo magéco prevamee calculada e u empo de compoees de campo elécrco calculados e. Por oro lado cada compoee de campo elécrco es calculada e ) ulado compoees de campo elécrco prevamee calculadas e compoees de

29 3 campo magéco calculadas e. sa dsrbucó de empo para el cálculo de las compoees perme calcular uas compoees después oras. l espaco dode se desea defr el comporameo elecromagéco es dvddo e pequeñas celdas véase Fgura 3. cada ua de ellas represea u puo dscreo del espaco. Cada ua de las celdas se caracera por su amaño represeado por por sus caraceríscas elécrcas cada ua de las compoees defdas e la celda es resuela e cada sae de empo. Debdo a la corbucó que uvo Kae Yee e ese arreglo de las compoees el couo de ecuacoes 3.3.) se deoma Algormo de Yee []. Para u espaco de dos dmesoes el grupo de ecuacoes 3.3.) se dvde e dos grupos depededo la dreccó de propagacó de la oda elecromagéca: Trasversal lécrco T) Trasversal Magéco TM). l grupo Trasversal lécrco descrbe el comporameo de ua oda dode o ha compoee de campo elécrco rasversal a la dreccó de propagacó el modo Trasversal Magéco se refere cuado o ha compoees de campo magéco rasversal a la dreccó de propagacó. l couo de ecuacoes que obedece a cada uo de esos grupos se muesra e la Tabla 3. cosderado que o ha varacoes e la dreccó. Tabla 3. Grupo de ecuacoes para la polaracó TM T TM T La represeacó dero del algormo de FDTD de ese couo de ecuacoes es:

30 4 Grupo TM 3.3.3a) 3.3.3b) 3.3.3c) Grupo T 3.3.4a) 3.3.4b) 3.3.4c)

31 5 La eleccó del cremeo del espaco empo uega u papel mporae a que el valor de esos depede la eacud del méodo umérco. Cada uo de esos puos so aalados por medo de la esabldad dspersó umérca los cuales se defe e las sguees seccoes. l programa de cómpuo realado para obeer los resulados que se muesra e ese rabao de ess se desarrolló para u espaco de dos dmesoes cosderado los dos modos de propagacó. 3.4 sabldad Numérca Para el algormo de Yee la eleccó del valor umérco de los cremeos del espaco ) del empo ) defe la esabldad umérca de FDTD. La esabldad umérca es ua relacó que debe de cumplr los parámeros del cremeo del empo espaco co lo cual se asegura que los resulados coverge a la solucó real. l aálss umérco que se reala para obeer la relacó de esabldad umérca para las éccas umércas que da solucó a las ecuacoes dferecales parcales fue preseado por Coura Fredrch Lev CFL) Vo Neuma []. La écca que ellos presea perme desacoplar la ecuacó de dferecas fas e dos problemas de valores propos uo para el espaco oro para el empo. Al obeerse el couo de valores propos para cada caso se compara los resulados obedos defedo el couo de valores que puede omar e fucó de para garaar la esabldad. A couacó se descrbe el aálss que se ho para obeer la relacó de esabldad umérca para u espaco de dos dmesoes para ello se elge el grupo Trasversal lécrco se cosdera que el medo es homogéeo o ha pérddas elécrcas magécas. Susuedo las epresoes de dferecas fas e las ecuacoes que represea la polaracó T: 3.4.a) 3.4.b) 3.4.c)

32 6 se es el grupo de ecuacoes que descrbe el modo T e dferecas fas cerales. Paredo de esas ecuacoes se defe los Valores propos emporales espacales. 3.4.Valores propos emporales Desacoplado las ecuacoes 3.4.) defedo como solucó u couo de valores propos que correspode a la pare emporal se ee: Λ 3.4.a) Λ 3.4.b) Λ 3.4.c) Dode Λ represea el couo de valores propos emporales es gual para el couo de ecuacoes 3.4.). Cosderado que cada uo de ellos correspode a u valor smércamee colocado e ±½ del empo del puo que se va a evaluar se geerala el valor de Λ como: V V V Λ 3.4.3) dode V represea las compoees vecorales. Defedo u facor de crecmeo como: V V V V q 3.4.4) susuedo 3.4.4) e 3.4.3) se obee: ) V q V V q Λ 3.4.5a) facorado V :

33 q ) Λ q ) Λq q 3.4.5b) Resolvedo la ecuacó cuadráca 3.4.5b) se ee: Λ Λ q ± 3.4.5c) { a a Para obeer la esabldad umérca el valor de q debe cumplr: q es decr la eergía de la oda e u empo deermado es meor o gual al de u empo aeror. Cosderado la ecuacó 3.4.5c) defedo que el valor mámo que puede omar es uo para que se cumpla a ee que ser u úmero magaro lmado ere - por lo ao se defe que: Im Λ) 3.4.6a) smplfcado: Im Λ) Im Λ) 3.4.6b) La ecuacó 3.4.6b) represea el couo de valores propos correspodees al empo. Ahora se defe los correspodees al espaco Valores propos del espaco Desacoplado el couo de ecuacoes 3.4.) correspodees al espaco defedo u couo de valores propos como solucó para cada ua de ellas se obee: Λ 3.4.7a) Λ 3.4.7b) 7

34 8 Λ 3.4.7c) Para obeer el couo de valores propos e el espaco se calcula ua solucó a cada ua de las ecuacoes 3.4.7). sa solucó es defda como ua oda plaa umérca varae e el espaco la cual se cosdera moocromáca. sas solucoes queda descras como: ) J I J I e ~ ~ 3.4.8a) ) J I J I e ~ ~ 3.4.8b) ) J I J I e ~ ~ 3.4.8c) Dode ~ es el vecor de oda umérco que descrbe la dreccó de propagacó de la oda umérca e u espaco de dos dmesoes. Susuedo el couo de ecuacoes 3.4.8) dero de la ecuacó 3.4.7a): ) ) ) ) ) J I J I J I e e e Λ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3.4.9a) despeado ) J I e ~ ~ : ) ) ~ ~ e e Λ 3.4.9b) Aplcado la dedad de uler de la fucó seo se obee: ~ se Λ 3.4.9c) Sguedo el msmo procedmeo para la ecuacó 3.4.7b) 3.4.7c) se obee el sguee resulado: ) [ ] ~ se Λ 3.4.9d)

35 se ~ ~ ) se Λ 3.4.9e) Susuedo las ecuacoes 3.4.9c) 3.4.9d) e la ecuacó 3.4.9e) smplfcado se ee: ~ ~ [ se )] se Λ Λ Λ 3.4.a) facorado despeado Λ : Λ ~ [ se )] 4 ~ se ) ) 3.4.b) Los valores que puede omar la fucó seo esá dero de - para cualquer valor de ~ ó ~ esa fucó elevada al cuadrado mplca que los valores so sempre posvos. Cosderado el valor mámo de los érmos seodales de la ecuacó 3.4.d) susuedo se obee: 4 Λ ) ) 3.4.a) De la relacó 3.4.a) de comprueba que el valor de Λ es u úmero magaro por lo ao: Im Λ) c ) ) ) ) c 3.4.b) Dode c represea la velocdad de propagacó de la oda. La ecuacó 3.4.b) represea el couo de valores propos que correspode al espaco Garaía de esabldad Para obeer la relacó que garaa la esabldad umérca se defe la relacó que ese ere los valores propos emporales co los espacales: 9

36 c 3.4.) ) ) De la ecuacó 3.4.9c) se observa que el valor mímo que puede omar la fucó 3π ~ ω seodal es cuado vale sabemos que: ± para famee pequeño. c Relacoado esas cosderacoes se ee: Despeado ~ 3 ω 3 cosα π ± cosα π 3.4.3a) c ~ 3 ω 3 seα π ± seα π 3.4.3b) c de cada ua de esas dos ecuacoes se obee: Susuedo 3.4.4) e la relacó 3.4.) se ee: ±3π c ω cosα 3.4.4a) c ±3π ω seα 3.4.4b) c c 3π ω cosα c 3π ω seα 3.4.5) Susuedo ω π e la relacó 3.4.5) dode T represea el perodo de la oda: T c 3cT 3cT cosα seα 3.4.6) Reducedo la ecuacó 3.4.6) se defe que: 4 3T 3.4.7) l valor del perodo T) de la oda elecromagéca es más grade que se defe que: por lo ao 3

37 4 3T 3.4.8) Susuedo e la relacó 3.4.): c ) ) 3.4.9) Despeado : 3.4.) c ) ) La relacó 3.4.) defe los valores que debe de omar para lograr la esabldad umérca del algormo de FDTD para u espaco de dos dmesoes. Para u elegdo fuera de ese rago el méodo dverge de la solucó real. Para la ecuacó 3.4.) se reduce a: 3.4.) c se procedmeo llevado para el couo de ecuacoes para Trasversal lécrco se comprueba para el Trasversal Magéco. 3.5 Dspersó Numérca Las ecuacoes de Mawell defdas por dferecas fas produce dspersó eso es la velocdad de propagacó de ua oda elecromagéca e el espaco umérco es dsa a la velocdad de propagacó e el vacío. La ecuacó que descrbe las varacoes de la velocdad de propagacó se defe como relacó de dspersó umérca. Para u espaco dscreo la obecó de la relacó de dspersó umérca se hace resolvedo las ecuacoes de dferecas fas de las ecuacoes de Mawell obeedo la relacó que descrbe el vecor de oda umérco ~ ). Para defr la relacó de dspersó umérca e las ecuacoes de Mawell para u espaco de dos dmesoes se cosdera el couo de ecuacoes que descrbe el modo Trasversal lécrco cosderado que el medo es homogéeo o ha pérddas elécrcas magécas cosderado su represeacó e dferecas fas como se muesra e las ecuacoes 3.4.). Se defe u couo de solucoes dscreas para cada compoee vecoral la cual represea ua oda umérca como: 3

38 3 ) J I J I e ω ~ ~ 3.5.a) ) J I J I e ω ~ ~ 3.5.b) ) J I J I e ω ~ ~ 3.5.c) Susuedo el couo de ecuacoes 3.5.) e la ecuacó 3.4.a) ) [ ] ) [ ] ) [ ] ) [ ] e e e e J I J I J I J I ω ω ω ω ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ ~ 3.5.a) smplfcado ) ) ~ ~ e e e e ω ω 3.5.b) susuedo la dedad de uler de la fucó seo: ) ~ se se ω 3.5.c) Sguedo el msmo procedmeo para la ecuacó 3.4.b c) se obee: ) ) ~ se se ω 3.5.d) ) ) ~ ~ se se se ω 3.5.e) Susuedo las ecuacoes 3.5.c d) e la ecuacó 3.5.e) se obee: ~ ~ se se se c ω 3.5.3)

39 La ecuacó 3.5.3) defe la relacó de dspersó umérca para el algormo de Yee e dos dmesoes para el couo Trasversal lécrco. sa ecuacó relacoa el vecor de oda umérco co la frecueca de la oda los cremeos de empo espaco su valor depede de la dreccó de propagacó la eleccó del valor de los cremeos de espaco empo la logud de oda. Para obeer el valor de ~ de la ecuacó 3.5.3) se ula el méodo de Newo Raphso. Cosderado se obee la sguee relacó a solucoar: dode: ~ ~ A ) se B ) C ~ A ) Bse A ) se 3.5.4a) ~ ~ Ase ~ cosα seα A ; B ω C se c dode defe el úmero de eracoes que se resuelve. Las Fguras muesra las gráfcas que descrbe la relacó 3.5.4a). l valor cal ~ que se elge es el valor del vecor de oda e el espaco físco π ) el valor de λ c a que sasface la relacó de esabldad umérca es el valor más ulado para espacos de dos res dmesoes []. Se cosdera res eracoes para la covergeca de la solucó para ua resolucó de apromadamee -5.. Fgura 3.3 Varacó de la velocdad de fase umérca co respeco a la dreccó de propagacó para cuaro dferees resolucoes. 33

40 Los valores de dspersó umérca que se observa e la Fgura 3.3 so valores ormalados co el valor de la velocdad de fase físca. el problema se cosdera u espaco umérco co caraceríscas elécrcas smlares a la del espaco vacío s pérddas. Meras más cercaos sea esos valores a se ee meor dspersó el error umérco dsmue. La Fgura 3.3 muesra las varacoes de la velocdad de propagacó varado la dreccó de propagacó para 4 dferees resolucoes. Se observa que a maor resolucó la velocdad presea meos error sedo e 45 la dreccó que presea meos error para cualquera de las resolucoes [5]. La fgura 3.4 muesra las varacoes de la velocdad de propagacó e fucó de la relacó del amaño de celdas /. Se observa que al dsmur respeco a camba la dreccó e la cual se ee míma dspersó. Para la relacó se presea meor dspersó e odas las dreccoes e comparacó a las oras relacoes [5]. Fgura 3.4 Varacó de la Velocdad de fase umérca co respeco a la dreccó de propagacó para cuaro dferees amaños de celdas. 3.6 Campos Icales La roduccó de los campos cales o fuees al algormo de FDTD ha varado desde su surgmeo []. la aparcó de ese algormo se modeló ua oda plaa la cual se 34

41 orgaba roducedo valores a las compoees de e el sgo del valor umérco de cada compoee defía la polaracó de la oda elecromagéca. sa écca ocasoó problemas debdo al defasameo que esía e la roduccó del valor cal de co. Ora de las éccas que se ula e la roduccó de fuees es defda como fuees duras. sa cosse e defr e u puo del espaco umérco ua fucó varae e el empo represeada e ua compoee de o. l po de fucó que se roduce depede del problema que se desea resolver [] las más uladas so:. La fucó seodal se π f ) 3.6.) s. La fucó Normal o Gaussaa co poradora s f ) ) o AB se π e 3.6.) Dode f es la frecueca de la poradora AB el acho de bada de la señal es elegdo 3AB para u meor resulado [3]. s La caracerísca de ese po de fuees es que roduce ua señal varae e el empo a la cual se le adhere las señales refleadas. 35

42 CAPÍTULO IV CONDICIONS D FRONTRA ABSORBNTS 4. Iroduccó Toda smulacó umérca es lmada por la capacdad físca del ssema de cómpuo empleado e parcular el algormo del comporameo elecromagéco FDTD. se problema fue abordado desde la aparcó de FDTD surgedo dferees éccas que daba solucó a las refleoes producdas por los límes del espaco. l couo de esas éccas so defdas como Codcoes de Froera Absorbees ABC) la efceca de ellas es calculada por el coefcee de refleó el cual deerma la proporcó de señal que es refleada. Acoplameo Perfeco de Capas PML) es ua écca de ABC que ha preseado los meores resulados para dar solucó al problema de las odas refleadas dero de FDTD. ese capíulo se presea el couo de ecuacoes que forma la écca PML cosderado u espaco de dos dmesoes las polaracoes TM T. se couo de ecuacoes se mplemea e el algormo de FDTD se muesra las gráfcas de coefcees de refleó varado los parámeros que forma la écca PML. Se presea los resulados para las dos polaracoes cosderado ua fuee que geera ua señal susodal Gaussaa. 4. Codcoes de Froera Absorbees FDTD rabaa e u espaco dscreo dode se propaga las OM el cual debe esar lmado como se muesra e la Fgura 4.. sos límes Ω dero del espaco dscreo Ω represea la posbldad de refleoes que debe de ser elmadas. Ω Ω Fgura 4. spaco dscreo de FDTD lmado e D 36

43 l comporameo aural de ua oda elecromagéca al cdr e u espaco cuas caraceríscas elécrcas so dferees del que se esa propagado lmes del espaco dscreo) es de refleó o rasmsó. Dero del espaco dscreo la posbldad de refleó se debe de cosderar a que esas refleoes afeca al problema que se esa aalado defedo u comporameo elecromagéco fuera de lo real. A la ve ese problemas e los que se desea coocer el comporameo elecromagéco e u espaco fo o o lmado esas cosderacoes se ee que omar e cuea dero de FDTD. Ua posble solucó a ese problema es eeder el espaco umérco e odas las dreccoes de al forma que smule el espaco ecesaro pero esa solucó represea mucho empo de procesameo lo cual se cosdera desfavorable. Ora posble solucó es lmar el espaco dscreo elmar las posbldades de refleó. se e la acualdad ua gra varedad de éccas que raa de dar solucó a ese problema agrupado odas esas e u ombre defdo como Codcoes de Froera Absorbees ABC) alguas de ellas so: ABC de Balss-Turel Operador de gqus- Mada ABC de Mur ABC de Trefehe-alper Operador de gdo rapolacó de Lao Superabsorcó de Me-Fag obeedo maor formacó e la refereca []. Ua écca más de ABC es defda como Acoplameo Perfeco de Capas PML) la cual se cera ese rabao de ess. 4.3 Acoplameo Perfeco de Capas PML) 994 Bereger propuso ua écca que da solucó a las Codcoes de Froera Absorbees para FDTD que lleva por ombre Acoplameo Perfeco de Capas para la absorcó de Odas lecromagécas PML) [4]. sa écca cosse e elmar los efecos de refleó que puede producr los límes del espaco dscreo. Bereger dseñó ua oa oa PML) dero del espaco dscreo ubcada e cada froera de la malla dode la OM que se roduce e ella perde sufcee poeca aes de llegar a las paredes que lma la malla. l espaco dscreo es lmado por Coducores lécrcos Perfecos PC). Para lograr lo aes descro separó los compoees del campo elécrco magéco colocó pérddas elécrcas magécas espacos de coducvdad) e cero úmero de capas froeras las cuales absorbe la eergía de las OM eva la posbldad de refleó. Las pérddas elécrcas magécas o ese físcamee pero so roducdas maemácamee para resolver el feómeo de refleó. Como resulado de eso se obee u medo absorbee que es depedee del águlo de cdeca la frecueca de la oda elecromagéca. Co la écca PML se obuvero resulados comparables co las sofscadas cámaras aecocas [] de al forma que su mplemeacó e FDTD para la solucó del comporameo elecromagéco es cofable. 37

44 A couacó se descrbe la écca de PML cosderado u espaco de dos dmesoes las polaracoes T TM PML e u espaco de D modo T Cosdere el couo de ecuacoes para u espaco de D del grupo T represeadas e la Tabla 3.. Los érmos so las coducvdades elécrcas magécas respecvamee represea pérddas e el espaco lbre. S ua oda elecromagéca que se propaga e el espaco lbre e cde e u espaco co pérddas elécrcas magécas su comporameo va a ser de refleó s embargo s se cumple la relacó: 4.3.) o o dode o es la permvdad elécrca e el vacío es la permeabldad magéca e el vacío la mpedaca e el vacío es gual a la mpedaca de u espaco co perddas elécrcas magécas lo que equvale a elmar la posbldad de refleó [4]. La relacó 4.3.) eva la posbldad de que ua oda que vaa e el espaco vacío e cde ormalmee e u medo co pérddas elécrcas magécas sufra refleó pero au así ese el problema de las odas cdees e forma oblcua a que co ellas o se sasface esa relacó. Bereguer uvo la dea de separar las compoees de campo elécrco magéco de las celdas que forma el líme del espaco umérco co ello cosderar las odas cdees oblcuas. Para el grupo T la compoee es dvdda e dos compoees: ello represea el sguee couo de ecuacoes: ) 4.3.a) ) 4.3.b) 4.3.c) 4.3.d) 38

45 dode se sasface que. Para ese couo de ecuacoes se observa que el valor de puede ser escogdos de maera depedee permedo las sguees posbldades: * * - S las relacoes 4.3.) se reduce al couo de ecuacoes de Mawell para el espaco vacío. - S * el espaco absorbe las compoees que se propaga e dreccó. - S * el espaco absorbe las compoees que se propaga e dreccó. Las ulmas dos posbldades forma la écca PML cosderado que se cumple las sguees codcoes: 4.3.3) o o la Fgura 4. se muesra ua esrucura de dos dmesoes propuesa por Bereger que resuelve FDTD mplemeado la écca PML. esa fgura se muesra u espaco vacío e dode se ecuera ua fuee que esa orgado OM. Los límes del espaco esá cosudos por celdas e las que sus compoees so calculadas por medo de las ecuacoes 4.3.) odo el espaco dscreo es lmado por paredes que presea ua coducvdad mu elevada que so defdas como PC. Además se observa que e los * lados A C la oa PML presea coducvdades e esos lados se aeúa las compoees e los lados B D la oa PML presea coducvdades * logrado que se aeúe las compoees e cada ua de las esquas del espaco esá defdas las cuaro coducvdades. PML ) PML ) o o Vacío B A FUNT C PML ) PC D PML Fgura 4. spaco dscreo co la oa PML 39

46 4.3. PML e u espaco de D modo TM l couo de ecuacoes que sasface la oa PML para el modo TM e las que se dvdero la compoee e so: ) ) 4.3.4b) 4.3.4c) 4.3.4d) 4.3.4a) dode se sasface que. Al gual que para el modo T las coducvdades puede ser elegdas de forma depedee formádose las sguees posbldades: * * - S las relacoes 4.3.4) se reduce al couo de ecuacoes de Mawell para el espaco vacío. - S * el espaco absorbe las compoees que se propaga e dreccó. - S * el espaco absorbe las compoees que se propaga e dreccó. La codcó de acoplameo 4.3.3) ambé se sasface para ese couo de ecuacoes. 4.4 Coducvdad e PML La magud de las pérddas o coducvdades deberá de cremearse co la profuddad de cada lado de la oa PML sguedo e fucó de la sguee relacó [3] m m ma 3.4.) δ dode δ es el grosor de la oa PML represea su profuddad como se muesra e la Fgura

47 Zoa PML Vacío δ PC Fgura 4.3 srucura de la oa PML l valor de ma es defda por medo de: M ma 4.4.) 5π dode r es la permvdad relava M es el ídce de coducvdad [4]. Para verfcar la cadad de señal refleada se defe el coefcee de refleó que descrbe la relacó que ese ere el campo cdee el campo refleado esá defdo por medo de la sguee relacó: dode r represea el campo elécrco refleado r r ρ log 4.4.3) el campo elécrco cdee. Meras más pequeña sea esa relacó meor es la cadad de campo refleado co ello se verfca que la oa PML presea meores resulados. la Fgura 4.4 se muesra los resulados de FDTD para u espaco de D que presea las sguees caraceríscas:. spaco Dscreo a. Polaracó: T b. Tamaño: c. Resolucó: λ d. Icremeo del empo: c e. Cosaes lécrcas: spaco vacío. Fuee a. Señal: Susodal b. Frecueca:.5G c. Ubcacó: 5 5 4

48 La Fgura 4.4 muesra cuaro dferees resulados del programa FDTD dode se vararo el empo de eecucó del programa de cómpuo el grosor de la oa PML. la fgura 4.4a) se observa el comporameo del campo M aes de llegar a los límes del espaco dscreo e la fgura 4.4b) se cremea el empo de eecucó respeco a la fgura 4.4a) de al forma que la oda alcaa los límes del espaco dscreo es posble observar las refleoes producdas por las paredes del espaco dscreo e la fgura 4.4c) es maor el empo de eecucó del programa de cómpuo respeco a la fgura 4.4b) de al forma que se observa los efecos de las refleoes e odo el espaco dscreo producedo erfereca e odo el espaco; e la fgura 4.4d) se presea el msmo empo de procesameo del programa que e la fgura 4.4c) pero e esa espaco se roduo ua oa PML de 5 capas de al forma que es posble observar que o se produce sufcees refleoes como e la fgura aeror. a) b) c) d) Fgura 4.4 Resulados de FDTD para a) PML NTMAX; b) PML NTMAX; c) PML NTMAX; d) PML5 NTMAX. 4

49 Para obeer los resulados que se muesra e la Fgura 4.4 se cosruó el programa de cómpuo e el eoro MATLAB e el Apédce B se muesra el dagrama de bloques de FDTD para u espaco de D co polaracó T. A couacó se muesra las resulados del cálculo del coefcee de refleó para las polaracoes TM T cosderado que la fuee geera las dos pos de señales: susodal Gaussaa varado el grosor de la oa PML varado los ídces de coducvdad. 4.5 Resulados de Coefcee de Refleó Se muesra los resulados obedos del cálculo del coefcee de refleó para FDTD mplemeado la écca PML. Para realar el cálculo del coefcee de refleó se obuvo el campo cdee el campo refleado de u espaco cuas caraceríscas so: Tamaño: Resolucó: λ ; Icremeo del empo: c 9 Cosaes lécrcas: spaco vacío; 8.85 F m 4π m Se obee dferees valores de coefcee de refleó varado la polaracó de la OM el po de señal que geera la fuee varado los parámeros grosor e ídce de coducvdad de la oa PML. Para observar el campo cdee campo refleado se defe u deecor el cual almacea el comporameo de la OM cdee refleada. La ubcacó de la fuee el deecor dero del espaco dscreo uega u papel mu mporae ésas se muesra e la Fgura λ 4λ L. Deecor Fuee L L3 5λ L4 5λ Fgura 4.5 Dsrbucó del espaco dscreo para el cálculo del coefcee de refleó 43

50 Se ubca el deecor a λ respeco a la fuee obeedo el campo cdee e fucó del empo. se msmo deecor percbe la oda refleada de u lado del espaco dscreo deecado el campo cdee. Las dmesoes del espaco dscreo que se escogero se defe de al forma que el deecor sólo capure la oda refleada de ua sola pared o le afece la refleó de las oras paredes. Co los valores defdos de es posble precsar que u período de la señal se cumple co 4 e el empo λ e. Se ubca la fuee a 6λ respeco al lado L del espaco dscreo se crea ua oda plaa. La cadad de empo que se va a dear ecedda la fuee depede del po de señal para la señal susodal se apaga la fuee hasa que se forme perodos es decr 4 para la señal gaussaa se apaga ua ve que pasa por el valor mámo. Se coloca el puo de deeccó a 4λ respeco al L se eecua el programa cudado que co ese empo de corrdo el programa au o llega las refleoes producdas por el lado L4. La fgura 4.6 muesra el comporameo elecromagéco esperado e el puo de deeccó para ua fuee que geera ua señal susodal: Fgura 4.6 Comporameo de la OM e fucó del empo Para calcular el coefcee de refleó se ula la relacó 4.4.3) dode r es el promedo de las ampludes del campo elecromagéco refleado es el campo elecromagéco promedo cdee. 44

51 La Fgura 4.8 muesra los resulados del coefcee de refleó de la écca PML mplemeada e FDTD cosderado u espaco co las sguees caraceríscas:. spaco Dscreo Polaracó: T Tamaño: Resolucó: λ Icremeo del empo: c Cosaes lécrcas: spaco vacío. Fuee Señal: Susodal Frecueca:.5G Ubcacó: 3 5 Se reala varacoes del úmero de capas que cubre la oa PML ambé el ídce de coducvdad M. Fgura 4.7 Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML el ídce de coducvdad para T señal susodal. 45

52 De la Fgura 4.7 es posble observar que se presea meor refleó para M gual co 3 4 obeedo meores resulados para M 3. Para valores del ídce de coducvdad gual a 5 se obuvo maor refleó preseado el resulado meos favorables para M5. Para cada ua de los dsos ídces de coducvdad se observa que meras maor sea el úmero de capas que cubre la oa PML el valor del coefcee de refleó es meor. la Fgura 4.8 se observa las curvas que descrbe el valor del coefcee de refleó para u espaco que presea las msmas caraceríscas que las pruebas aerores cosderado que la fuee geera ua señal Gaussaa Susodal que presea las sguees caraceríscas: Fuee Señal: Gaussaa Susodal Frecueca Poradora:.5G AB: 7 λ : 4 AB Ubcacó: 3 5 La oa PML se defe para M gual a 3 se varía el úmero de capas. La curva coua presea ua señal susodal la pueada ua señal Gaussaa co poradora. Fgura 4.8 Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la señal que geera la fuee para T M3. 46

53 De la Fgura 4.8 es posble observar que presea meor coefcee de refleó cuado se propaga co ua señal Gaussaa que co ua señal susodal. A su ve ambé es posble observar que dsmue ese coefcee de refleó al aumear al úmero de capas que cubre la oa PML. Oro puo a cosderar es que ese maor esabldad e la dfereca que se presea e el coefcee de refleó ere cada capa que cubre la oa PML para la señal Gaussaa que e la señal susodal. La Fgura 4.9 presea esa msma prueba solo que ahora se realó para la polaracó TM. Fgura 4.9 Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la señal que geera la fuee TM M3. De la Fgura 4.9 se observa que se presea meor coefcee de refleó para la señal susodal que para la señal Gaussaa oado que al gual que e odos los casos aerores al aumear el úmero de capas que cubre la oa PML se obee meor coefcee de refleó. A su ve ambé es posble observar que se presea maor esabldad e la curva de la señal Gaussaa e comparacó a la señal susodal. la Fgura 4. se presea el valor del coefcee de refleó para u espaco que presea las msmas caraceríscas que las pruebas aerores para ua fuee que cumple co los valores: 47

54 Fuee Señal: Gaussaa Frecueca Poradora:.5G AB: 7 λ : 4 AB Ubcacó: 3 5 Para defr las oa PML se mauvo fo el ídce del coefcee de refleó M gual a 3 se varía el úmero de capas que cubre esa oa. Se reala las pruebas para las polaracoes TM T dode las caraceríscas del espaco dscreo para las dos polaracoes fuero las msmas. Fgura 4. Resulados del coefcee de refleó varado el úmero de capas que cubre la oa PML la polaracó de la OM para ua señal Gaussaa M3. De la Fgura 4. es posble observar que para la polaracó T se presea meor refleó e comparacó co la polaracó TM a su ve es posble observar que meras maor sea el úmero de capas que cubre la oa PML es meor el coefcee de refleó. 48

55 CAPÍTULO V TRANSFORMACIÓN D CAMPO CRCANO N CAMPO LJANO 5. Iroduccó Ua de las grades aplcacoes que ee FDTD es e el dseño de aeas para lo cual es ecesaro cosrurlas dero del espaco dscreo. La forma de verfcar la veracdad de ese dseño es calculado sus parámeros comparádolo co los resulados a defdos e forma aalíca. l valor del campo leao es u parámero de las aeas co el cual es posble defr el paró de radacó. Calcular el comporameo elecromagéco a ua dsaca grade sgfca amplar el espaco de rabao eso represea verr memora de cómpuo empo de procesameo. Por medo de FDTD es posble coocer el valor del campo e u puo leao s ecesdad de amplar el espaco de rabao. so se reala co los daos a coocdos del campo cercao herrameas maemácas como lo es el Teorema de Gree. la fgura 5. es posble observar el problema al que se efrea FDTD al querer calcular el valor del campo e u lugar fuera del espaco dscreo. Aea CAMPO LJANO CAMPO CRCANO spaco dscreo Fgura 5. Defcó del campo leao el campo cercao dero del espaco dscreo. ese capíulo se muesra la relacó que descrbe el valor del campo leao por medo del valor coocdo del campo cercao. Para cosegurlo se defe el Teorema de Gree e fucó del campo cercao ua fucó de Gree que depede de la dsaca que defe el campo cercao la correspodee al campo leao. A couacó se obee el valor de la fucó de Gree llegado al valor del campo leao. Se reala ese procedmeo para u espaco de dos dmesoes para las polaracoes T TM. 49

56 5. Relacó que defe la Trasformacó de Campo Cercao e Campo Leao para u espaco de D T s posble obeer el valor del campo leao por medo del campo calculado dero del espaco dscreo eso se reala mplemeado el Teorema de Gree co el cual es posble represear el valor del campo e u puo leao e ua dsaca r ) debdo a u valor coocdo como lo es el campo cercao a ua dsaca r ). l procedmeo a segur para la obecó del campo leao cosderado la polaracó T es el sguee []:. Se defe el Teorema de Gree para las compoees escalares r ) compoee de campo elécrco fucó de Gree. G r r. Obeer el valor de ) 3. Obeer el valor de r ) e campo leao. r r ) G A couacó se descrbe la mplemeacó del eorema de Gree para u espaco de dos dmesoes para el modo T. 5.. Defcó del Teorema de Gree Por medo del eorema de Gree es posble defr el comporameo elecromagéco e u puo leao la Fgura 5. defe u ssema radae que es rodeada por u cooro cerrado C a a ua dsaca r dode es ubcado u vecor uaro ˆ a el cual es ormal al cooro represea el campo cercao. Rodeado al cooro C a se defe u cooro C a ua dsaca r dode es ubcado u vecor uaro ˆ defe el campo leao. sa fgura marca la posbldad de defr el Teorema de Gree a dos compoees escalares ) r' G r r' ) dode r' ) represea ua cadad fasoral r defe la dsaca e u puo leao o el puo dode se desea coocer el comporameo elecromagéco r ua dsaca cercao o dsaca del valor del campo cercao. r r Fgura 5. Ssema radae rodeado por dos cooro C a C 5

57 l Teorema de Gree para esas dos compoees se defe por medo de la sguee ecuacó []: G ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) G G ds G dc S r r' r' r' r r' r r' r' r' r r' r r C G r r' ) ) ) ) r' r' G r r' dc C a a a 5..) dode dc descrbe u dferecal de cooro. l procedmeo a segur es resolver la ecuacó 5..) para la cual se resolverá prmero la egral de cooro a couacó la egral de superfce. Resolvedo la Iegral de cooro obeemos: C ) r' r r' ) G r G r r' ) r r r' ) r' ) dc ) r' r r' ) G r G ) ) r' ) r' G r r' r r r π G r r' ) r ) r' C dc 5..a) 5..b) acedo r lo que sgfca que la dsaca se hace fa co ello el valor de las compoees de campo se desvaece como r. Susuedo e las compoees r' ) G r r' ) queda: C r r' ) G ) ) ) r' lm πr r' G r r' 5..3a) r r r C lm π r 5..3b) r r r r r r r Ahora de dará solucó a la egral de superfce de la ecuacó 5..). Susuedo la fucó de Gree para solucoes armócas e el empo defda como: G r r' δ r r' G r r' 5..4) ) ) ) ) e la ecuacó 5..) de la msma forma susumos la ecuacó de oda e forma fasoral defda como la ecuacó de elmhol : ) ) r' r r' ) 5..5) Susuedo las ecuacoes 5..4) la 5..5) e 5..) se obee: 5

58 { ) r' [ δ r r' ) G r r' )] G r r' ) [ r' )]} ds r' ) δ r r' ) ds S Susuedo 5..3c) 5..6) e la ecuacó 5..) se ee: ) r G r r' ) Ca Ca r r' ) ) r' G ) r' dc a a G a a r r' ) ˆ ) r' ) r' ˆ G r r' ) S r) 5..6) dc 5..7) La relacó 5..7) descrbe el valor del campo elécrco e u puo leao depede del valor de la fucó de Gree de la compoee de campo elécrco e u puo coocdo. 5.. Valor de la fucó de Gree Ahora se defrá el valor de la fucó de Gree. La Fgura 5.3 descrbe el espaco dscreo de dos dmesoes dode se desea calcular el valor del campo e u puo leao P producdo por ua aea. Se defe u cooro cerrado recagular por smería co el espaco dscreo) que rodea a el ssema radae la dsaca de separacó ere esos dos es defda por r. La dsaca desde la aea co el puo leao es defda por r. Por medo del valor del campo que ese e el cooro es posble coocer el valor del campo e u puo leao P que se ecuera ubcado a ua dsaca r r. Para dar solucó a ese problema se ee que realar las sguees cosderacoes de la fucó de Gree. P Puo Leao CAMPO LJANO Dsaca de la Aea al Puo Leao SPACIO DISCRTO r r r' Dsaca del Puo Cercao al Puo Leao Aea φ φ r ˆ r Dsaca de la Aea al Puo Cercao ˆa Cooro recagular cerrado CAMPO CRCANO C a Fgura 5.3. srucura que defe el campo cercao leao de u espaco dscreo. 5

59 La forma aalíca de la fucó de Gree queda represeada por medo de la fucó de ael para u espaco de dos dmesoes es defda como: G 4 r r' ) ) r r' ) 5..8a) Cosderado que se desea coocer el valor de esa fucó e u puo mu leao es decr que ega ua dsaca que eda al fo la fucó 5..8a) queda defda como: 3 r-r' e lm G r r' ) 5..8b) rr' 8π r - r' Para obeer el valor de r - r' aplcaremos la le de coseos obeedo: φ φ ) r - r' r' r r' r cos 5..9a) reducedo aplcado la epasó bomal a la ecuacó 5..9a) obeemos r - r' r 5..9b) Susuedo la ecuacó 5..9b) e la relacó 5..8b) cambado la oacó de por r : 3 r r cos φ φ ) e lm G r - r' ) 5..a) r -r' 8π ) r reducedo: 3 r rˆ r' lm G r r' ) e e 5..b) r -r' 8πr La operacó gradee e coordeadas esfércas queda defda como: r V V ˆ V V rˆ θ ˆ φ 5..c) r r θ rseθ φ Aplcado el gradee a la fucó G r r' ) obeemos: lm r-r' G r r' ) r 3 e 8πr r 3 rˆ r' r rˆ r' r) e e ˆ 8πr e 5..) 5..3 Relacó de Campo Leao Susuedo la fucó de Gree 5..) e la ecuacó 5..7) obeemos: 53

60 Smplfcado: 3 8πr rˆ r' [ ˆ e ] dc r rˆ r' ) r e e ) r' ) r' r) a a C a 3 r ) e r ) ) r ˆ r' r r' r' e dc 8πr C ˆa a ˆ a ˆ 5..a) 5..b) La egral de cooro esa compueso por dos érmos los cuales será smplfcados aplcado álgebra vecoral. Trabaado co el prmer érmo de la egral de la ecuacó 5..b) el gradee de la fucó r ) e coordeadas caresaas se defe como ) r' ˆ ˆ 5..3a) Aplcado la le de Farada: B 5..3b) resolvedo: ˆ B B B ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5..3c) Sabedo que B o por medo de la ecuacó 5..3b) 5..3c) es posble reemplaar las compoees de de la ecuacó 5..3a) por las del relacoado esas ecuacoes se obee: r' ) ˆ ω ) ω ) 5..4a) ˆ acedo ẑ r ) se ee: ˆ ω r' ) r' ) r' ) ω ˆ ˆ ˆ ˆ r' )) 5..4b) resolvedo ˆ ω r' ) [ r' ) ω ˆ ˆ r' )] 5..4c) Por lo ao la ecuacó 5..4a) camba a: r' ) r' ) ω ˆ 5..4d) Susuedo 5..4d) e el prmer érmo de la egral de cooro defda e 5..b): ˆ r' ) a ω ˆ a [ ˆ r' )] 5..5a) Resolvedo: 54

61 ω ˆ 5..5b) [ ˆ ] r' ) r' ) ˆ a a Trabaado ahora co el segudo ermo de la egral 5..b) aplcado dedades se obee: r' ) ˆ rˆ { ˆ ˆ r' )} rˆ 5..6a) a [ ] a ) r ) r ) r r' ˆa ˆ ˆa 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5..6b) a 443 Susuedo las ecuacoes 5..6b) 5..5b) e 5..b) se obee: r π 4) e e lm ) r [ a )] [ a )] r e rr' r ω ˆ ˆ r' ˆ ˆ r' ˆ 8π C a rˆ r' [ ] dc 5..7) La relacó 5..7) defe el valor del campo leao por medo de FDTD para u espaco de D para la polaracó T []. l valor de las compoees de campo elécrco campo magéco so de forma fasoral para lograr su coversó se aplca la rasformada dscrea de Fourer dero del cálculo de FDTD. Ua ve coverdos los campos vecorales a fasores se resuelve la egral de cooro para ello se aplca el méodo rapeodal. 5.3 Relacó que defe la Trasformacó de Campo Cercao e Campo Leao para u espaco de D TM Llevado a cabo el aálss que se realó para la polaracó T es posble obeer la relacó que descrbe el valor del campo leao para u espaco de dos dmesoes co polaracó TM. l Teorema de Gree para las compoees r ) ecuacó []: S ) ) G ) G ) ) ) r' r r' r r' r' ds ) r' Ca ) r' G r r' ) a G r r' ) Resolvedo la Iegral de cooro C : G r r' ) ) ) ) r' r' G r r' dc r r C ) r' a ) r' C dc r r' ) G r G G r r ) r r' ) G r r' ) r r queda defda por la r' ) G C r r' ) dc r ) r' dc 5.3.) 5.3.a) 55

62 r r' ) G ) ) r' ) r' G r r' πr r r 5.3.b) acedo r lo que sgfca que la dsaca se hace fa co ello el valor de las compoees de campo se desvaece como r r' ) G queda: C r r' ). Susuedo e las compoees r) r G ) ) ) r' lm πr r' G r r' 5.3.3a) r r r C lm π r 5.3.3b) r r r r r r r Ahora de dará solucó a la egral de superfce de la ecuacó 5..). Susuedo la fucó de Gree para solucoes armócas e el empo defda e la ecuacó 5..4) la ecuacó de oda e forma fasoral para el campo magéco defda como la ecuacó de elmhol : ) r ) r ) 5.3.4) se obee: { ) r' [ δ r r' ) G r r' )] G r r' ) [ r' )]} ds r' ) δ r r' ) ds S 5.3.5) Susuedo 5.3.3b) 5.3.5) e la ecuacó 5.3.) se obee: ) r G r r' ) Ca Ca r r' ) ) r' G ) r' dc a a G a a r r' ) ˆ ) r' ) r' ˆ G r r' ) S r) dc 5.3.6) La relacó 5.3.7) descrbe el valor del campo elécrco e u puo leao depede del valor de la fucó de Gree de la compoee de campo magéco e u puo coocdo. l valor de la fucó de Gree que se obuvo para la polaracó T es el msmo para la polaracó TM. Susuedo la ecuacó 5..) e la ecuacó 5.3.6) smplfcado se obee: 3 r ) e r ) ) r ˆ r' r r' r' e dc 8πr Ca ˆa ˆ a ˆ 5.3.7) 56

63 La egral de cooro esa compueso por dos érmos los cuales será smplfcados aplcado álgebra vecoral. Trabaado co el prmer érmo de la egral de la ecuacó 5.3.7) el gradee de la r e coordeadas caresaas se defe como: fucó ) Aplcado la le de Ampere: resolvedo: r' ˆ ˆ 5.3.8a) ) D 5.3.8b) ˆ D D D ) ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5.3.8c) Sabedo que D o por medo de la ecuacó 5.3.8b) 5.3.8c) es posble reemplaar las compoees de de la ecuacó 5.3.8a) por las del relacoado esas ecuacoes se obee: r' ) ˆ ω ) ω ) 5.3.9a) acedo r ) ˆ ẑ eemos: ˆ ω r' ) r' ) r' ) ω ˆ ˆ ˆ ˆ r' )) 5.3.9b) resolvedo ˆ ω r' ) [ r' ) ω ˆ ˆ r' )] 5.3.9c) Por lo ao la ecuacó 5..4a) camba a: r' ) ω ˆ r' ) 5.3.9d) Susuedo 5.3.9d) e el prmer érmo de la egral de cooro defda e 5.3.7): r' ) ω ˆ [ ˆ r' )] 5.3.a) ˆa Resolvedo: ˆ r' ) [ a ω ˆ ˆ a r' )] 5.3.b) Trabaado ahora co el segudo ermo de la egral 5.3.7) aplcado dedades se obee: r' ) ˆ a rˆ { ˆ [ ˆ a r' )]} rˆ 5.3.a) a 57

64 r' ˆa ˆ ˆa 3 ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ 5.3.b) ) r ) r ) r a 443 Susuedo las ecuacoes 5.3.b) 5.3.b) e 5.3.7) se obee: lm r r r ) e r r e π 4) 8π Ca r r r [ [ r )] [ r )] r] e r ˆ ω ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ dc a a 5.3.) La ecuacó 5.3.) descrbe el valor del campo leao para u espaco de dos dmesoes co polaracó TM. l valor de las compoees de campo elécrco campo magéco so de forma fasoral para lograr su coversó se aplca la rasformada dscrea de Fourer dero del cálculo de FDTD. Cada ua de las operacoes vecorales produco puo proo cru) que se muesra e las ecuacoes 5.3.) 5..7) se resuelve e odo el cooro ua ve deermados se calcula la egral de cooro e forma dscrea. 58

65 CAPÍTULO VI MODLADO D CONTORNO 6. Iroduccó Las éccas umércas como herrameas para el dseño o aálss de dsposvos so amplamee uladas e la acualdad. FDTD es u algormo co el cual es posble defr el comporameo elecromagéco producdo por ssemas radae como lo so las aeas. l dseño de ua aea dero de FDTD se logra cosruédola dero del espaco dscreo defedo su geomería así como sus caraceríscas elécrcas magécas. ese rabao se desea cosrur ua aea parabólca clídrca crcular para lo cual es ecesaro cosrur el reflecor el cual presee ua geomería po clídrca crcular. U problema al que se efrea los modelos umércos e la cosruccó de ssemas radaes es e aquellos que presea geomería crcular debdo a que el espaco dscreo esa defdo e forma de celdas brda poca poeca para la defcó eaca de esa esrucura como podemos aprecar e la Fgura 6.. Ora es e la defcó de fos dealles que puede presear cada esrucura a su ve cuado se ee cambos vergosos de las cosaes elécrcas magécas e la esrucura a aalar. srucura spaco lbre Fgura 6. srucura a cosrur dero de FDTD Dero de FDTD ese dos pos de éccas que da solucó a los problemas que se plaearo e la cosruccó de los obeos: Resolucó Múlple de Mallas Modelado de Cooro []. La Resolucó Múlple de Malla plaea la posbldad de aumear o dsmur la resolucó del ssema e los puos de la esrucura que requere mas dealle de cosruccó obeedo ua maor apromacó a la geomería de la esrucura. La desveaa de realar varacoes e el amaño de las celdas es que se presea rascoes e la velocdad de propagacó de la oda dero del espaco dscreo co ello el orge de posbles refleoes. Co la écca Modelado de Cooro es posble 59

66 obeer la esrucura s modfcar el amaño de las celdas del espaco dscreo es ulada e maor pare para la cosruccó de esrucuras po PC. ese capíulo se defe la écca de Modelado de Cooro para la cosruccó de obeos dero de FDTD co esrucura PC defedo el méodo de escalera. 6. Modelado de Cooro sa écca descrbe la geomería de ua esrucura PC se basa prcpalmee e apromar la esrucura a su forma real s aumear el úmero de celdas del espaco dscreo. Dero de Modelado de cooro se defe la écca: Méodo de escalera. 6.3 Méodo de scalera l méodo de escalera es ua écca co la cual es posble cosrur el cooro de ua esrucura po PC dero de FDTD. Cosse e apromar e forma de escalera el cooro de la esrucura PC que se desea modelar. la Fgura 6. se muesra el méodo de escalera para u espaco de dos dmesoes co polaracó TM. Para defr la esrucura PC las compoees de campo que presea maor eacud co la esrucura PC se hace gual co cero esablecedo ua cadea coua de compoees de campo gual co cero. spaco lbre scalera PC Y Z X Fgura 6. Técca de escalera aplcada a la esrucura PC dero de FDTD-D-TM Al cdr ua OM co polaracó TM e ua esrucura cuos compoees de campo elécrco o ee valor la OM se reflea comporádose la esrucura como u reflecor. 6

67 Ua ve defdo las compoees de campo que se hace cero se reala el cálculo dreco de FDTD. Ua caracerísca de esa écca es que el área de las celdas permaece cosae para odo el espaco dscreo es posble aplcarla para la polaracó T TM. la Fgura 6.3 es posble aprecar el espaco dscreo de dos dmesoes co polaracó T la esrucura PC que se desea cosrur dero de FDTD. spaco lbre scalera PC Y Z X Fgura 6.3 Técca de escalera aplcada a la esrucura PC dero de FDTD-D-T Al cdr ua OM co polaracó T e ua esrucura que se compora como u PC las compoees de campo elécrco e la froera so gual a cero la OM se reflea. Para u espaco de dos dmesoes co polaracó T las compoees de campo elécrco se hace cero. Para la defcó cosruccó de los cooros de las esrucuras PC se defe las celdas que coforma la esrucura dero del espaco dscreo se defe las compoees que se hace cero. 6

68 CAPÍTULO VII Modelado de Aeas Parabólcas Clídrcas 7. Iroduccó Se cosrue dero de FDTD ua aea po parabólca clídrca la cual cosa de dos pares prcpales:. el radador o aea fuee. el reflecor. l radador es ua aea po dpolar el reflecor es de forma crcular clídrca. Prmero se defe las caraceríscas de las aeas parabólcas clídrcas así como las fórmulas que descrbe los parámeros de Drecvdad Gaaca Aperura fcee. A couacó se descrbe la forma e que se cosruó el radador el reflecor ulado para ese úlmo el méodo de escalera. Por úlmo se repora los resulados obedos de los parámeros de campo cercao campo dfracado así como el aálss e frecueca del ssema radae los cuales os descrbe los parámeros de drecvdad gaaca aperura efcee del ssema. 7. Aeas Parabólcas Clídrcas Los elemeos que cosue ua aea parabólca clídrca so u reflecor ua aea fuee. l reflecor es u dsposvo e forma de u cldro parabólco cuas magudes varía segú la ecesdad del usuaro la aea fuee puede ser de po dpolar leal arreglos leales o guías de oda [7]. la Fgura 7.a) se muesra ua aea parabólca clídrca co ua aea fuee po dpolar leal aleada e forma paralela al ee vercal del cldro. d V θ f a) b) Fgura 7. Reflecor Parabólco Clídrco a) res dmesoes; b) dos dmesoes 6

69 Los facores a cosderar e la cosruccó del reflecor esá defdos por la geomería de la parábola so: el foco f) la Aperura d) el Vérce V) los cuales se muesra e la Fgura 7. b). La superfce de u reflecor parabólco clídrco perme que las odas clídrcas emdas por la aea fuee se reflee se rasme e odas plaas e el plao de aperura del reflecor [4]. La defcó de los parámeros de ese po de aeas a ha sdo esudados publcados amplamee. Aquí se cosderará el Méodo de Dsrbucó de Aperura [7] para defr la Drecvdad Gaaca del ssema. La drecvdad para ese po de reflecores esa defda por: πd D ap 7..) λ Dode D es la Drecvdad d es la aperura máma del reflecor ap es la aperura efcee o aprovechable del reflecor la cual es deermada por: Dode θ ) θ θ θ ap co G f θ ) a dθ 7..) G f represea la Gaaca de la aea θ es el águlo formado de la líea horoal del vérce hasa el flo del reflecor defedo la aperura máma de ése. La relacó ere θ d esa defda como: θ d f co 7..3) 4 Cosderado que se seleccoa ua aea fuee que rada e forma omdreccoal G θ ) ) la ecuacó 7..) se covere a f la relacó del foco co la aperura es: f d θ θ ap 4co l cos 7..4) θ co 4 7.5) valuado grafcado la ecuacó 7..4) para 9 o o θ se obee la fgura

70 Aperura fcee θ f/d Fgura 7. Aperura fcee de ua aea parabólca clídrca o Para u valor de θ 9 o ua relacó de rado f/d.5 se obee la máma aperura efcee veáse Fgura 7.) co ello la Drecvdad máma de la aea reflecora a su ve s θ es meor que 9 ó f/d maor que.5 la Drecvdad de la aea dsmue. 7.3 Cosruccó de la Aea Parabólca Clídrca Para lograr el dseño de cualquer ssema radae dero de FDTD se cosdera la forma geomérca se rabaa por gualarlo dero de FDTD. A couacó se descrbe la cosruccó de cada uo de los elemeos que forma la aea dero de FDTD Reflecor l reflecor es ua esrucura meálca que se compora como u PC a la frecueca de la señal cdee. Por lo ao el campo elécrco agecal a su superfce es gual co cero sasfacedo las codcoes de froera que se muesra e la Tabla.. Para la cosruccó del reflecor parabólco clídrco se ula la écca de modelado de cooro: Méodo de scalera. La apromacó del cooro de la esrucura PC a forma de escalera se reala de la sguee forma:. Defr los parámeros que caracera ua curva parabólca como lo so: el foco V aperura d). f) coordeadas del vérce ) V 64

71 . valuar la ecuacó de la parábola: V ) 4[ f )] V varable depedee a la coordeada véase la Fgura 7.3. defedo como d V ) f. V PML Fgura 7.3 Reflecor parabólco dero de FDTD D 3. Para roducr la parábola e el espaco dscreo se aproma los valores de la coordeada a u valor eero. sas coordeadas defe ua parábola. 4. De los valores obedos e el puo 3 se defe los uevos valores de las coordeada realado la apromacó e forma de escalera. 5. Las coordeadas que forma la escalera correspode a los de las compoees de campo que la forma. l valor de dchas compoees se hace cero dero del algormo FDTD depededo del po de polaracó co la que se esa rabaado como se muesra e la Fgura 7.4. scalera spaco lbre Reflecor Parabólco Z X Fgura 7.4 Reflecor parabólco e forma de escalera dero de FDTD - T 65

72 7.3. Aea fuee Ua aea dpolar que rada e forma omdreccoal odas clídrcas se cosrue dero de FDTD. sa aea es defda e u puo del espaco s s ) por medo de ua señal varae e el empo e ua compoee para la polaracó T e para la polaracó TM. Se cosdera que la aea es almeada por dos pos de fuees: ua que geera ua señal coua represeada por ua señal susodal ora que geera ua señal dscrea que es represeada por ua señal Gaussaa co poradora. Las señales se muesra a couacó: Señal coua: s π f ) 7.3.) s s s s Señal dscrea: η o s f ) ) e η s s s s π 7.3.) Dode f es la frecueca de la poradora; el acho de bada de la señal η la meda co u valor maor que 3 [4]. 7.4 Parámeros de Aea Los parámeros de ua aea defe el comporameo del ssema radae. Dcho comporameo depede de las varaes que se presea e la cosruccó de ese ssema ua de ellas es su forma geomérca amaño maeral de cosruccó ere oros. Los parámeros que se cosdera e ese rabao so: Campo cercao Campo dfracado. Cada uo de ellos so verfcados dero de FDTD so comparados sus resulados co los defdos e forma aalíca Campo Cercao Uo de los parámeros mporaes a cosderar e el dseño de ua aea es el valor del campo cercao a que por medo de él es posble defr la radacó e la oa de campo leao. La oa de campo cercao es la radacó obeda a ua dsaca de 5λ alrededor de u ssema radae [7]. 66

73 l comporameo lecromagéco e la oa de campo cercao de la aea e FDTD se obee colocado u couo de deecores alrededor de la pare froal del ssema radae cosderado ua msma dsaca r5λ respeco a la aea-fuee como se muesra e la Fgura 7.5. º 8 θ r r5λ Zoa de Campo Cercao Fgura 7.5 Ubcacó de los deecores para el calculo del campo cercao La ubcacó de los deecores es defda e fucó de la ecuacó de crcufereca: r ) ) 7.4.) f f dode f f represea las coordeadas de la aea-fuee r es 5 λ. Se cosdera la coordeada como varable depedee a la como la depedee. Los deecores defe el comporameo M e fucó del empo cosderado los valores del campo ua ve que se haa esablado. Se reala las sguees pruebas: Se cosdera u espaco dscreo de amaño co resolucó λ co las cosaes elécrcas so las del espaco lbre co polaracó T. Se c obee el valor del campo cercao e dos reflecores co dferees aperuras: 3 8ms coservado fo la ubcacó del foco a ua dsaca respeco al vérce de.5λ formádose las dos dferees relacoes f/d:.5.46 respecvamee. La ubcacó de la aea-fuee es la msma que la defda e el foco. Los resulados se puede observar e las Fguras

74 .9.8 f/d.5 f/d.46 Campo Cerao Normalado θ r Grados) Fgura 7.6 Campo cercao para la señal coua.9.8 f/d.5 f/d.46 Campo Cercao Normalado θ r Grados) Fgura 7.7 Campo cercao para la señal dscrea la Fgura 7.6 se muesra los resulados del campo cercao para ua aea-fuee que rada ua señal coua dode la líea oscura represea f/d.5 la suave f/d.46. el ee de las ordeadas se varía la dreccó de propagacó θ r desde hasa 8 e el ee de las abscsas se presea el valor del campo cercao ormalado. 68

75 Se observa que a 9 se ee ua maor drecvdad para f/d.5 respeco a la curva que represea f/d.46. Además se puede observar que el lóbulo prmaro para f/d.46 es mas acho respeco a f/d.5. la Fgura 7.7 se observa el valor de campo cercao para ua aea-fuee que rada ua señal dscrea cosderado las msmas aperuras que la prueba aeror. Para ese po de señales se obee u comporameo smlar al de la señal coua solo que co maor esabldad. Para las dos señales es posble observar que para ua relacó f/d.5 se ee la máma Drecvdad como se había prevso e forma aalíca co la ecuacó 7.5). La sguee prueba que se reala es varado la ubcacó de la aea-fuee maeedo fa la aperura de la aea reflecora f/d.5. Las dos dferees poscoes de la aea-fuee se defe como: Foco: Idca que la aea-fuee esa ubcada e la msma coordeada e que fue defdo el foco para la cosruccó de la parábola la cual correspode a ua dsaca respeco al vérce de.5λ; Aleada: Idca que la aea-fuee esa ubcada a ua dsaca mas aleada del foco la cual correspode a.5λ respeco al vérce a λ del foco; Los resulados del campo cercao se muesra e las Fguras Campo Cercao Normalado Foco Aleada θ r Grados) Fgura 7.8 Campo cercao de la señal coua para dferees ubcacoes de la aeafuee 69

76 Campo Cercao Normalado Foco Aleada θ r Grados) Fgura 7.9 Campo cercao de la señal dscrea para dferees ubcacoes de la aeafuee las Fguras se muesra los resulados del campo cercao ormalado e o o θ r 8 para las poscoes de la aea-fuee: Foco líea oscura) Aleada líea suave). La Fgura 7.8 correspode a ua señal coua la Fgura 7.9 a ua señal dscrea. la Fgura 7.8 se observa que para la aea-fuee ubcada e el foco se ee la máma Drecvdad a 9 represeada por el lóbulo prmaro s embargo para la aea-fuee ubcada e ua poscó mas aleada se ee la formacó de lóbulos secudaros e esa dreccó. la Fgura 7.8 se observa el msmo comporameo defdo para la señal coua. esa fgura se puede observar que el comporameo del campo presea maor esabldad e comparacó a la Fgura Campo Dfracado Dero del dseño de ua aea reflecora el campo dfracado es u valor de relevaca debdo a las fugas de campo producdo por ese feómeo. La dfraccó es producda por los flos del reflecor parabólco ese campo represea pérddas de poeca de la señal que se desea evar. Para obeer el valor del campo dfracado se ubca deecores alrededor de la aea abarcado la pare rasera) se obee el valor del campo elécrco de gual forma que se realó para el cálculo de campo cercao. l cálculo de ese parámero se realó cosderado las msmas varacoes que se hcero para el cálculo del campo cercao. 7

77 La defcó de la oa del campo dfracado esá e fucó de las coordeadas que defe uo de los flos del reflecor r r ) de la aea-fuee v v ) véase la Fgura 7.. Coocedo esos valores es posble defr el águlo α que ese ere esos dos puos la líea horoal eedda sobre la aea-fuee de la aea hacedo: r a α ) 7.4.) r v o Defdo ese valor la oa de campo dfracado esa compredda e α > θ r > 8 α. v 8 Deecor -9 Reflecor Zoa de Campo Dfracado α Aea-Fuee 9 Zoa de Campo Cercao Fgura 7. Zoa de campo dfracado de campo cercao Las Fguras lusra los resulados obedos de campo dfracado varado la poscó de la aea-fuee maeedo fa la relacó f/d gual a.5. l valor de α o para esas varacoes es de α la oa de campo dfracado esa compredda ere o o 8 > θr >. Se cosdera u espaco dscreo de amaño co resolucó λ co las cosaes elécrcas so las del espaco lbre co c polaracó T..8 Foco Aleada Campo Cercao Normalado.6.4. Campo Dfracado θ r Grados) Fgura 7. Comporameo del campo dfracado para la señal coua. 7

78 .8 Foco Aleada Campo Cercao Normalado.6.4. Campo Dfracado θ r Grados) 9 Fgura 7. Comporameo del campo dfracado para la señal dscrea la Fgura 7. se muesra el comporameo del campo cercao ormalado defedo la oa del campo dfracado para ua señal coua. Se observa que para ua aeafuee mas aleada del vérce de la parábola se ee maor magud de campo dfracado que la que se ecuera más cercaa. se msmo comporameo se puede observar e la Fgura 7. la cual represea el comporameo del campo dfracado para ua señal dscrea. Cabe mecoar que para la Fgura 7. se observa que para θ r gual a -9 pare rasera del reflecor) se presea campo producdo por la dfraccó a dfereca de lo que se observa e la Fgura 7. dode el campo dfracado o represea gra flueca e esa dreccó. Ahora se muesra el valor de la oa de campos dfracados varado la aperura del reflecor. Para la defcó de la oa de campo dfracado e cada uo de esos reflecores se ula la relacó 7.4.) reerado que para esas varacoes ese valor camba debdo a que la poscó de los flos del reflecor es dferee la relacó f/d para cada uo de ellos varía correspode a los sguees valores: Para f/d.5 α para f/d.46 α8.88 Los resulados se muesra e las Fguras

79 .8 f/d.5 f/d.46 Campo Cercao Normalado Campo Dfracado f/d.46 Campo Dfracado f/d θ r Grados) Fgura 7.3. Comporameo del campo dfracado para la señal coua. Campo Cercao Normalado Campo Dfracado f/d.46 Campo Dfracado f/d.5 f/d.5 f/d θ r Grados) Fgura 7.4 Comporameo del campo dfracado para la señal dscrea la Fgura 7.3 se ee el comporameo del campo dfracado para ua señal coua dode se observa que para ua relacó f/d.46 la magud del campo dfracado es maor es decr para ua aperura pequeña del reflecor el campo dfracado es maor. Para la relacó f/d.5 la magud de ese campo es meor debdo a que la aperura es maor. la Fgura 7.4 es posble observar que el comporameo del campo dfracado para ua señal dscrea de la cual se observa u comporameo smlar 73

80 al de la Fgura 7.3. Ua ve más para ese po de señales se observa u comporameo co maor esabldad. 7.5 Respuesa e frecueca l algormo de FDTD es u algormo varae e el empo eso os marca la posbldad de coocer el comporameo de las señales geeradas dero FDTD e el domo de la frecueca. so se logra por medo de la Trasformada Dscrea de Fourer TDF). Al msmo empo e que el algormo de FDTD es verfcado para cada sae de empo se reala el cálculo de la TDF e el puo de erés hacedo: ω ma ω e 7.5.) Dode es u úmero eero. Se reala el cálculo de la TDF de u pulso Gaussao co poradora a ua frecueca de.5g u Acho de Bada ) gual a 5M. Se coloca deecores e la pare de froal de la aea parabólca clídrca a ua msma o o dsaca de la fuee varado la coordeada θ r ere θ r 8 oa de campo cercao). Las caraceríscas del reflecor la aea correspode a ua aperura gual a 6ms la ubcacó de la aea es la msma que la del foco del reflecor correspode a f/d.5. la Fgura 7.5 se observa el comporameo e el domo de la frecueca del campo cercao e cada uo de los deecores para odo el cclo de empo. Fgura 7.5 Comporameo e frecueca para ua señal Gaussaa 74