SISTEMAS FOTÓNICOS MULTICAPA

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1 IX SCULA D INVIRNO J. J. GIAMBIAGI Pare B: De la ao a la macro escala: respuesa elecromagéca de esrucuras complejas SISTMAS FOTÓNICOS MULTICAPA Amparo Pos Marí Deparameo de Ópca Uversdad de Valeca, spaña amparo.pos-marí@uv.es Jua Aoo Mosoru Serra Deparameo de Físca Aplcada Uversdad Polécca de Valeca, spaña jmosor@fs.upv.es DPARTAMNTO D FÍSICA, FACULTAD D CINCIAS XACTAS Y NATURALS UNIVRSIDAD D BUNOS AIRS 6 al 0 de Agoso de 007

2 SISTMAS FOTÓNICOS MULTICAPA. Iroduccó.. sudo de ua erfase delécrco-delécrco... Codcoes e la froera... Leyes de la reflexó y de la refraccó..3. Relacoes ere ampludes: Fórmulas de Fresel. Oda cdee co el vecor perpedcular al plao de cdeca. Oda cdee co el vecor paralelo al plao de cdeca Coefcees de reflexó y de rasmsó..4. Ierpreacó de las fórmulas de Fresel. Aálss de las ampludes y cambos de fase para: Reflexó exera. Agulo de Brewser. Reflexó era. Agulo críco..5. Relacoes ere esdades: Facores de reflexó ( reflecaca ) y de rasmsó (rasmaca)..6. Ley de Brewser. Aplcacoes para la obecó de luz polarzada por reflexó y rasmsó (pla de lámas, láseres )..7. Reflexó oal era (TIR). Reflexó oal era frusrada. Aplcacoes (guías, dvsores de haz)..8. Impedaca. quvaleca co líeas de rasmsó. 3. Ópca de mulcapas. 3.. Láma delgada homogéea e sóropa (capa o película). sudo a parr de las fórmulas de Fresel. Trasmaca, reflecaca y absorbaca. Aplcacó: capa areflecae. 3.. Formulacó marcal. Marz de ua erfase delécrco-delécrco. Marz de ua láma delécrca. Marz de ua mulcapa delécrca. Ssemas mulcapa peródcos.

3 3.3. Aplcacoes. Ssemas mulcapa arreflecaes. Ssemas mulcapa de ala reflecaca. Flros selecores de frecueca. Ssemas mulcapa aperódcos. 4. Bblografía. 3

4 . Iroduccó. Cuado ua oda plaa llega a la superfce de separacó (erfase o froera) de dos medos homogéeos leales e sóropos co dferees propedades ópcas (dferee ídce de refraccó) da lugar a: Ua oda que se propaga e el segudo medo (oda rasmda). Ua oda que se propaga, de vuela, e el prmer medo (oda reflejada). S se cosdera ua froera plaa, la smería del problema mpoe que esas dos odas, rasmda y reflejada, sea ambé plaas. l esudo compleo del problema de la reflexó/refraccó mplca la obecó de las expresoes que deerma: las dreccoes de propagacó (propedades cemácas) las ampludes, cambos de fase y polarzacó (propedades dámcas) de las odas reflejada y rasmda. Para realzar ese esudo se ulzará las codcoes de coudad de los campos e la froera ere los dos medos maerales. sas relacoes, que se derva de las ecuacoes de Maxwell, esablece que las compoees agecales de y H oma el msmo valor a ambos lados de la froera. Aplcado esas codcoes de coudad deducremos, e prmer lugar, las dreccoes de propagacó de las odas reflejada y rasmda que se expresa medae las leyes de la reflexó y de la refraccó. A couacó se esudará las relacoes ere las ampludes (coefcees de reflexó y rasmsó) e esdades (reflecaca y rasmaca) de las odas obeedo las expresoes coocdas como fórmulas de Fresel. l aálss de esas fórmulas poe de mafeso la exseca del águlo de Brewser (o de polarzacó) y del águlo líme del que se derva el feómeo de reflexó oal era (TIR). Para coclur esa pare del ema se verá alguas aplcacoes. la seguda pare del ema se ulzará las fórmulas de Fresel para abordar el esudo de las películas delgadas que se ulza, ya sea como ua sola capa o como elemeos mulcapa, e muchas aplcacoes de ópca y opoelecróca. 4

5 Comezaremos por esudar el caso más secllo de ua sola láma delgada, o capa, de u cero ídce de refraccó rodeada de u susrao y u recubrmeo de ídces dsos. Para ello aplcaremos las fórmulas de Fresel e cada ua de las dos froeras de la láma obeedo las expresoes de los coefcees de reflexó y rasmsó de la película. l procedmeo aeror o es vable e el caso de ua película mulcapa, sobre odo s el úmero de capas es elevado, por el gra úmero de ecuacoes que es ecesaro maejar. Por esa razó se roducrá u méodo marcal que aborda de modo más secllo y ssemáco el esudo de las películas mulcapa. se méodo perme descrbr el comporameo de ua láma medae su marz caracerísca. Para coclur se verá alguos ejemplos de aplcacó de las películas delgadas ao secllas como mulcapas peródcas y aperódcas (fracales, fboacc, ec ). sudo de ua erfase delécrco-delécrco... Codcoes e la froera. leccó del ssema de coordeadas: Fgura. orge O e la superfce de separacó (froera) de los dos medos; eje Z e la dreccó de la ormal N a esa superfce y drgdo desde el medo al medo ; 5

6 plao de cdeca cocdee co el plao XZ. Oda INCIDNT: Oda RFLJADA: Oda TRANSMITIDA: ( r, ) o e ( k r ω ) ( k r r ω r) ( r, ) e () r or ( r, ) o e ( k r ω ) NOTACIÓN: a parr de ahora, el superídce dca la compoee agecal (g) o ormal () y el subídce el medo ó e el que os ecoramos. Coudad del campo elécrco: g [ ( r, ) ] [ ( r, ) ] g [ ( r, ) + ( r, ) ] g [ ( r, ] g () r ) sa relacó se ha de cumplr: a) ω ω ω (3) b) r r k r k r k r (4) r Además, de (), (3) y (4) se deduce [ ] g [ ] g o + (5) or o Coudad del campo magéco: g [ H ( r, ) ] [ H ( r, ) ] g [ H ( r, ) + H ( r, ) ] g [ H ( r, ] g (6) r ) De esa ecuacó se deduce ambé las relacoes (3) y (4), y adcoalmee la codcó [ H H ] g [ H ] g o + (7) or o A parr de (4), se deduce las leyes de la reflexó y la refraccó. De (5) y (7), se obee las relacoes ere las ampludes y las fases de las odas (fórmulas de Fresel). 6

7 .. Leyes de la reflexó y de la refraccó. ª ley. k, k r, k y N so coplaaros k, k r, k Π( XZ) (plao de cdeca). ª ley. Reflexó: θ r θ (8a) Refraccó: sθ sθ (8b).3. Relacoes ere ampludes: fórmulas de Fresel Oda cdee co el vecor perpedcular al plao de cdeca (polarzacó, rasversal elécrca T o polarzacó s): Fgura. Codcoes de coudad: a) Campo elécrco ecuacó (5) : o + or o (9) b) Campo magéco ecuacó (7) : H o + H or r H o H µ c ( o + or ) o (0) µ µ 7

8 Se defe los coefcees de reflexó or r y de rasmsó o o o, que depede de la polarzacó de la oda cdee. ese caso o o, or or y o o, y a parr de (9) y (0) se obee (para el caso µ µ µ 0 ) r + + k k k z z k z k + k z + k z z z () r cdeca ormal ( θ 0 ) + + () Oda cdee co el vecor paralelo al plao de cdeca (polarzacó, rasversal magéca TM o polarzacó p): Fgura 3. 8

9 Codcoes de coudad: a) Campo elécrco ecuacó (5) : o cos θ or r o (3) b) Campo magéco ecuacó (7) : H o + H or H o H µ c µ + (4) µ ( o or ) o ese caso o o, or or y o o, y a parr de (3) y (4) se obee (para el caso µ µ µ 0 ) r + k k + k z z z k k k k z k + k k + k z z z k k k (5) cdeca ormal ( θ 0 ) r + + r (6).4. Ierpreacó de las fórmulas de Fresel. La represeacó gráfca de los coefcees de reflexó y rasmsó e fucó del águlo de cdeca perme aalzar, para cada po de polarzacó, las varacoes de las ampludes reflejada y rasmda respeco de la amplud cdee. Se aalzará los dos casos posbles, es decr, < reflexó exera y > reflexó era, cosaado la exseca, e ambos casos, del águlo de Brewser o águlo de polarzacó. el segudo de los casos se podrá de mafeso la aparcó del feómeo de reflexó oal era (TIR) para el águlo líme (o águlo críco). 9

10 Reflexó exera. Águlo de Brewser. Fgura 4a. < are ~ vdro θ 56º B '5 Reflexó era. Águlo críco. Fgura 4b. > vdro ~ are '5 θ 4'8º c B θ 33'7º 0

11 .5. Relacoes ere esdades: facores de reflexó (reflecaca ) y de rasmsó (rasmaca). Fgura 5 Se defe la reflecaca, R, (y la rasmaca, T) como el cocee de flujos, a ravés del elemeo de área A, de la oda reflejada (y la rasmda) y de la oda cdee. Se puede probar que R or o, T (7) o o Ambas depede de la polarzacó de la luz cdee. Para las polarzacoes cosderadas e aparados aerores ( y ), a parr de los coefcees de reflexó y rasmsó () y (5), se obee R r, T R r, T (8) s dreco comprobar el prcpo de coservacó de la eergía ( R + T ) para cada ua de las compoees del campo: R T, R + T (9) +

12 Para cdeca ormal ( 0 θ ) se obee + + T T T R R R o o (0) S se represea gráfcamee el valor de la reflecaca y la rasmaca e fucó del águlo de cdeca, ao para reflexó exera como era, se obee: Fgura 6a. 56º '5 are ~ vdro < B θ Fgura 6b. 33'7º 4'8º '5 vdro ~ are > B c θ θ Para c θ θ > : 0 T T R R

13 .6. Ley de Brewser. Aplcacoes para la obecó de luz polarzada. De acuerdo co las fórmulas de Fresel, para θ θ (águlo de Brewser) se cumple que r 0. esas codcoes: a) La oda reflejada esá oalmee polarzada (sólo ee compoee ). b) La oda rasmda esá parcalmee polarzada. B c) Ley de Brewser: aθ B Fgura 7. Aplcacoes: * Polarzador de pla de placas de vdro: Fgura 8. 3

14 * Veaas de Brewser e láseres: Fgura Reflexó oal era (TIR). Reflexó oal era frusrada (FTIR). Aplcacoes. Para el caso de reflexó era ( > ), el águlo de cdeca máxmo para el que exse oda rasmda es el águlo críco θ, para el que θ 90º. A parr de la ley de la refraccó (.8b), se obee que sθ c /. xpermealmee se observa que para águlos de cdeca mayores que θ c oda la luz es reflejada haca el prmer medo, producédose el feómeo de reflexó oal era (TIR). c Fgura 0. ese caso, s sólo se geerase ua oda reflejada por eraccó co la froera ere ambos medos, las codcoes de coudad del campo elecromagéco o podría cumplrse. De hecho, e el segudo medo aparece ua oda que se propaga úcamee e la dreccó paralela a dcha froera y que se 4

15 aeúa muy rápdamee e la dreccó Z, exguédose práccamee a ua pequeña dsaca z p de la erfase. La peeracó de esa oda evaescee e el segudo medo puede aprovecharse para producr el feómeo de reflexó oal era frusada (FTIR) o efeco úel ópco. Para ello, se súa u uevo maeral delécrco a ua dsaca de la erfase meor que z p, de maera que la luz alcaza esa susaca ras propagarse a ravés de u medo prohbdo. Fgura. Aplcacoes: * Prsmas de reflexó oal: Fgura. * Guado de la luz e ua fbra ópca: Fgura 3. 5

16 * Prsma acoplador e ua guía ópca: Fgura 4. * Cubo dvsor de haz: Fgura Impedaca. quvaleca co líeas de rasmsó. La propagacó e u medo homogéeo es equvalee a la propagacó de ua oda TM e ua líea de rasmsó. La magud aáloga al ídce de refraccó es ahora la mpedaca Z que caracerza a la líea de rasmsó. Así, el caso de dos líeas de rasmsó de logud semfa e mpedacas Z y Z es aálogo al de ua erfase ere dos medos de ídces y, obeédose e ambos casos expresoes formalmee décas. 6

17 3. Ópca de mulcapas 3.. Láma delgada homogéea e sóropa (capa o película). Aalzamos ahora el comporameo de ua láma delgada de caras plaoparalelas de ídce película y espesor h, deposada sobre u maeral de ídce 3 susrao y rodeada por oro medo de ídce recubrmeo. Fgura 6. leccó del ssema de coordeadas: orge O e la superfce de separacó (froera) de los dos medos; eje Z e la dreccó de la ormal N a ésa superfce y drgdo desde el medo al medo ; plao de cdeca cocdee co el plao XZ. ( r, ) j oj e ( k j r ω ) k jz z oj e e ( k jx x ω ) j ( z)e ( k jx x ω ), j,,3 () z < 0 ( z) 0< z < h () 3 z > h 7

18 sudo a parr de las fórmulas de Fresel. Cuado ua oda plaa cde sobre la láma da lugar a ua sere de odas plaas reflejadas y rasmdas. sas odas resula de las erferecas múlples de las odas reflejadas y rasmdas e cada froera. Aplcado las codcoes de coudad a los campos y H e cada froera y eedo e cuea las fórmulas de Fresel, puede obeerse los coefcees de reflexó, r, y rasmsó,, de la película. Para ambas polarzacoes ( y ) se obee expresoes formalmee décas, dadas por las ecuacoes sguees: r + 3+ (0) r + r (0) + r r ( h) (0) + r 3 r 3 3 e φ φ φ / 3 e e e φ (3) 4π dode φ k z h h es la fase acumulada por la oda al recorrer (da y λ vuela) la película, y dode r j y j so los coefcees de reflexó y de rasmsó e la erfase j. (Nóese que esos coefcees será dferees para cada polarzacó o de la oda cdee). Trasmaca y reflecaca. De maera aáloga a como se hzo e el caso de ua úca erfase, la rasmaca y la reflecaca e ese caso vee dadas por R ( (0)) ( + r, 3 3 T ( 3+ (0)) ( (4) Aplcacó: capa areflecae. Cosderado cdeca ormal se obee R 0 elgedo: φ π h λ / 3 4 8

19 jemplo: (are) y 3 '5 (vdro) ' 3. Aproxmacó: capa de MgF ' 38 y h λ / 4 para λ 600m. Fgura 7. sos resulados puede mejorarse usado mulcapas. 3.. Formulacó marcal. l aálss de dos o más capas aplcado drecamee las fórmulas de Fresel es complcado, ya que la aplcacó de las codcoes de cooro e odas las erfases coduce a u úmero elevado de ecuacoes. esos casos es más úl emplear u méodo marcal que perme u raameo ssemáco de cada capa, que resula fácl de exeder al caso de ua mulcapa. Para ello, vamos a caracerzar por su correspodee marz: cada erfase (marz de rasmsó) ráso de la luz a ravés de cada capa (marz de propagacó). De ese modo, se obedrá la marz caracerísca de cada láma (o capa) y, para coclur, e el caso de múlples capas cosecuvas, la marz caracerísca de ua mulcapa. 9

20 Marz de ua erfase delécrco-delécrco. Fgura 8. (Se represea sólo el caso de polarzacó ) l campo elécrco a cada lado de la erfase será el resulado de la superposcó ( z) j ( z) + j ( z), (5) + j Aplcado las codcoes de coudad e la froera, se obee u ssema de dos ecuacoes que se puede expresar e forma marcal como + ' + D D (6) ' dode ± (0). Las marces D j (j,) oma ua expresó dferee para cada ' ± polarzacó D j j j j j (7a) j j D j j j (.7b) 0

21 La ec. (6) puede reescrbrse como + ' + ' + D D D (8) ' ' dode D es la deomada marz de rasmsó de la erfase. Teedo e cuea las fórmulas de Fresel esa marz puede expresarse como r D (9) r expresó válda para ambas polarzacoes s más que susur r y por los coefcees correspodees a cada po de polarzacó. Marz de ua láma. Fgura 9. Para obeer la marz caracerísca de ua láma, se debe eer e cuea que la luz ecuera dos erfases e su propagacó ( ~ y ~ 3 ) y que sufre u reardo al aravesar la láma. sos efecos puede eerse e cuea de maera secuecal, de acuerdo co el sguee esquema: Ieraccó co la ª erfase: + ' + D D '

22 Tráso a ravés de la láma: cambo de fase ±φ k z h e cada campo ±, ± que puede eerse e cuea a ravés de ua marz de propagacó, P, de modo ' que ' ' + P + e 0 φ 0 φ e + Ieraccó co la ª erfase: ' D D ' 3 De ese modo, puede relacoarse los campos a u lado y al oro de la láma medae la ecuacó + ' 3+ M (30) ' 3 dode M es la marz caracerísca de la láma, que vee dada por φ φ φ e + rr 3 e r e + r 3 M D DPD D 3 φ φ (3) 3 r + r3 e rr3 + e expresó válda, de uevo, para ambas polarzacoes s más que susur los coefcees correspodees a cada po de polarzacó. Marz de ua mulcapa. Fgura 0.

23 Aplcado las relacoes marcales aerores a cada erfase y a la propagacó e el eror de cada capa, se obee dode 0+ 0 ' s+ M m (3) ' s M m es la marz caracerísca de la mulcapa, que vee dada por M m N M M D D jp M M 0 j j D j D s (33) A parr de la ecuacó marcal (3) puede obeerse los coefcees de reflexó y de rasmsó de la mulcapa (así como la reflecaca, ao s la luz cde desde el medo de ídce 0 como s lo hace desde el medo de ídce s : Luz cdee desde el medo de ídce ' 0 : 0 s r 0 s+ 0+ M M, ' 0+ M (34) Luz cdee desde el medo de ídce s 0 : 0 + ' M M s+ m r 0 ', ' M m (35) ' M ' M s s La marz M, e geeral, exhbe ceras propedades de smería que resula de erés prácco. Así, puede deducrse que a) b) * * M, M M M (36) M s s m 0 cos θ. S s 0 M m (37) 0 c) De forma smlar a lo deducdo e (4), se defe las reflecacas y rasmacas de la mulcapa como R r R' r',, s T 0 T ' 0 s s 0 0 s ' (38) Teedo e cuea (35) y (37), se deduce que T ' T. 3

24 4 Ssemas mulcapa peródcos. l ssema esá formado por N mulcapas décas o celdas udad (de dos capas e ese caso), que se repe co perodo h h h + ere el medo cal, de ídce 0, y del susrao, de ídce s. l ídce de refraccó del ssema vedrá dado por la fucó ) ( ) (,, ) ( h z h j z h jh h jh z jh z + + < < + + < < (39) Fgura. Cuado la luz aravesa odo el ssema desde el medo cal hasa el susrao, se cumplrá s s mp s s s N j j j j ' ' ' ' M D D P D D (40) dode mp M es la marz caracerísca de la mulcapa peródca.

25 3.. Aplcacoes. Ssemas mulcapa arreflecaes. Fgura. Marz caracerísca del ssema: M (4) mp D0P DPD s Coefcee de reflexó: 0 s φ M r0 + rs e r (4) φ M + r r e dode r s s φ r + r s e es el facor de reflexó del ssema formado por la película φ + r r e de ídce y el susrao. U ejemplo secllo es el caso e el que se rabaja e cdeca ormal y ambas capas so cuaro de oda, es decr, h h λ 4 φ φ /. / π ese caso: r 0 r 0 r s s 0 5

26 Fgura 3. Aumeado el úmero de capas se puede cosegur dseños co ua baja reflecaca e u rago amplo de logudes de oda: Fgura 4. 6

27 7 Ssemas mulcapa de ala reflecaca: Crsales foócos. U ejemplo secllo es el de N mulcapas, formadas cada ua de ellas por dos capas (, h ) y (, h ), rabajado e cdeca ormal y ambas cuaro de oda. ese caso la marz caracerísca de la mulcapa vee dada por ( ) s N mp D D P D D P D D M 0 4 /, λ (43) dode ahora 0 0 j P j,, y 0 0 D P D P D D. La reflecaca del ssema es + N o s N o s M M r R Puede probarse que a medda que crece el úmero de capas N el valor de esa fucó ede a la udad, por lo que la rasmaca ede haca cero. Fgura 5. 0 S,.5,.5.

28 La aparcó de regoes o badas prohbdas e el especro de la luz que se propaga a ravés de u ssema mulcapa peródco ha llevado a la roduccó del érmo de crsales foócos D para esos medos esrafcados por su aalogía co el movmeo de elecroes e los sóldos crsalos. Así, muchos cocepos usados e la físca del esado sóldo ales como odas de Bloch, zoas de Brllou y badas prohbdas ambé puede usarse aquí. Flros selecores de frecueca. S e u ssema mulcapa peródco geeramos u defeco e la red, por ejemplo, aumeado o dsmuyedo el espesor de uas de las capas, aparece esados resoaes dero de la bada prohbda que puede ulzarse e el dseño de flros selecores de frecueca. Fgura 6. 0 S, (AB) 5 AB A(BA) 5, A.5, B.5. Ssemas mulcapa aperódcos La exseca de badas prohbdas se ha demosrado e ssemas mulcapa cuyos maerales esá dsrbudos de forma aperódca. U prmer ejemplo lo ecoramos e los ssemas fracales como es el cojuo de Caor rádco. 8

29 Fgura 7. 0 S, S: ABAB 3 ABA, S3: ABAB 3 ABAB 9 ABAB 3 ABA, A.5, B.5. l cojuo fracal de Caor represeado e la fgura aeror se obee medae ua cosruccó erava. el prmer paso (S0) cosse úcamee e ua barra de logud L. el sguee paso (S) se dvde el segmeo e res pares guales de logud L/3 y elmamos el segmeo ceral. l proceso se va repedo eravamee sobre cada segmeo resulae. Reemplazado los segmeos por u maeral A y los gaps por u maeral B se obee ua mulcapa fracal cuyo especro de rasmsó presea badas prohbdas auosmlares. la sguee abla se muesra el proceso de geeracó de oras secuecas aperódcas que perme el dseño de dferees ssemas de mulcapas. 9

30 4. Bblografía. J. M. Cabrera, F. Agulló y F. J. López, Ópca elecromagéca. I: Fudameos, Addso-Wesley/Uversdad Auóoma de Madrd, ª ed. (998). Caps. 9 y 0. J. M. Cabrera, F. Agulló y F. J. López, Ópca elecromagéca. II: Maerales y aplcacoes, Addso-Wesley/Uversdad Auóoma de Madrd, ª ed. (000). Cap. 7.. Hech, Opcs, Addso-Wesley, 3ª ed. (998). Caps. 3, 4 y 8. H. A. Macleod, Th-flm opcal flers, Adam Hlger, ª ed. (986). Caps. 3, 4 y 5. R. Gueher, Moder Opcs, Joh Wley ad sos (990). Cap. 3. S.O. Kasap, Opoelecrocs ad phoocs. Prcples ad pracces, Prece Hall, ª ed. (000). Cap.. 30