Duración y Convexidad I

Transcripción

1 Marí Herádez errao Modelo Aleravo Duracó y Covexdad I E ese maeral se presea de forma accesble, mas co u grado resposable de rgor maemáco, los cocepos de duracó y covexdad. e asume que el lecor cuea co coocmeos báscos sobre el mercado de boos y del cálculo dferecal. BONO U boo se eede como u cojuo de flujos fuuros de efecvo medae los cuales u deudor paga a u acreedor el prcpal más ereses por u facameo recbdo. Geeralmee los flujos de efecvo recbe el ombre de cupoes además de que e el úlmo pago se cluye el valor omal o facal. E ocasoes, bajo u esquema de amorzacó radcoal o varacoes de ése, se paga pare del valor omal e cada flujo. També se puede dar u prepago de prcpal o ua pausa e el pago de los flujos. o varas las clases de boos que se observa e los mercados faceros. Ua clasfcacó volucra los boos emdos por empresas (corporavos) y aquellos emdos por el gobero. Ora clasfcacó se da e fucó del resgo de mpago medae la caegoría de grado de versó (BBB-). or el lugar de emsó exse los euroboos que so emdos e u mercado de capales exeror al domésco como el caso de los boos amura. E los globalzados mercados faceros u boo puede ser emdo e cualquer país y se puede colocar e algua moeda dura o de mercado emergee. No meos mporaes, los boos del carboo so ua gra oporudad para que las ecoomías emergees se oree co rumbo al desarrollo soseble. Úcamee co fes explcavos se da raameo al boo clásco compueso por cupoes y pago de prcpal al vecmeo. No obsae, los cocepos de duracó y covexdad puede aplcarse a cualquer srumeo de rea fja. A la luz de lo aeror se dspoe de la sguee oacó: : reco del boo VN: Valor omal o facal del boo : Número de cupoes que paga el boo C : Cupó pagado e el período R: Tasa de mercado al vecmeo Receemee, bacos regoales de Alemaa y el gobero de Ausra ha colocado boos e pesos mexcaos dado lugar al europeso.

2 Marí Herádez errao Modelo Aleravo : Días de u período de pago de cupó D: Duracó de Macauly D: Duracó Modfcada C: Covexdad El preco (R) de u boo, es el agregado de los valores presees de los flujos fuuros de efecvo C más el valor omal VN. ( R) C + R + VN + R e asume que dcho preco depede úcamee de R, la asa de mercado al vecmeo por lo que se ee ua curva de redmeo plaa. Ello sgfca que la asa de descueo es la msma para odos los flujos de efecvo. Además, ere cada pago de cupó exse días Valor de u boo reco % 5% 0% 5% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% Tasa de erés Ilusracó. Relacó versa ere el preco de u boo y la asa de mercado que paga. A parr de la fucó (R) e dcado por la Ilusracó se apreca ua relacó versa ere el po de erés y el preco del boo. La mporaca ecoómca de esa relacó emerge cuado se pesa que la versó se cremea cuado se ee bajas asas de erés, ere oros facores. E cuao a la versó e mercados exrajeros, s los boos de u país ofrece mejores redmeos que los boos del exeror se presea ua aprecacó de la moeda. la moeda de u país se ecuera aprecada eoces los versosas exrajero ecorará jugosos redmeos e dólares al verr e boos.

3 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 3 DURACIÓN Y CONVEXIDAD or qué esudar los cocepos de duracó y covexdad? Es mporae esudar ésos cocepos debdo a que la varabldad de las asas de erés modfca el valor de ua poscó e rea fja. or ejemplo, cuado se cremea los rédos, los eedores de boos sufre pérddas. La duracó y la covexdad srve para esmar las varacoes e los valores de los porafolos de boos y de ahí que sea ua valosa herramea e la admsracó del resgo de asa de erés. E el argo facero, las varacoes e los pos de erés se mde e puos base, cada uo de ellos es la ceésma pare de u puo porceual. Es decr, 00 puos base equvale a % Varacó dara e puos base de TIIE 8d e abrl de Abr-04 9-Abr-04 8-Abr-04 7-Abr-04 6-Abr-04 5-Abr-04 4-Abr-04 3-Abr-04 -Abr-04 -Abr-04 0-Abr-04 9-Abr-04 8-Abr-04 7-Abr-04 6-Abr-04 5-Abr-04 4-Abr-04 3-Abr-04 -Abr-04 -Abr-04 0-Abr-04 9-Abr-04 8-Abr-04 7-Abr-04 6-Abr-04 5-Abr-04 4-Abr-04 3-Abr-04 -Abr-04 -Abr-04 Ilusracó. E abrl de 004 se do el llamado crack de boos del mercado mexcao. Los cambos e el valor de los acvos y pasvos sesbles a movmeos e el po de erés so relevaes para las sucoes bacaras. E ese caso, se agrega u elemeo coocdo como resgo de descalce e el que ervee la duracó. U baco se ecuera descalzado cuado la duracó de sus pasvos es meor que la duracó de los acvos. De la Ilusracó se apreca que la varacó e las asas puede ser de uos cuaos hasa varas deceas de puos base. E abrl de 004, alguas esorerías e Méxco sufrero por ua varacó e los pos de erés e lo que se erpreó como u crack de boos. També exse el resgo de descalce de moedas.

4 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 4 Dos cocepos de duracó La duracó dca la sesbldad de los cambos relavos e el preco de u srumeo de rea fja ae cambos e la asa de erés de mercado. Ese grado de sesbldad es cosecueca de la aplcacó del eorema de Taylor. d d ( R R0 ) + o( R dr d dr C ) ( + R ) VN( + R ) Cosderado desprecable el error o(r ) se ee la sguee aproxmacó: d C ( + R ) VN( + R ) [ R R ] Debe recordarse que el polomo de Taylor dca ua aproxmacó local de los valores fucoales. Es decr, se ee esmacoes de la fucó (R) alrededor de la asa cal R 0. Meras más lejos de R 0 se ome el valor de R, se edrá meor exacud e la aproxmacó. se dvde el cambo del preco d ere el preco eoces se obee el cambo relavo e el valor del boo y además se da la defcó de duracó. d C ( + R Duracó modfcada ) + VN( + R ) 0 [ R R ] 0 Esa duracó se defe como boo e esudo se ee: D d por lo que es posva. E el caso del dr D C ( + ) + ( + ) R VN R Eoces los cambos relavos e el valor de u boo so de la forma d D [ R R0 ].

5 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 5 Duracó de Frederck Roberso Macaulay d Ese es el caso orgal de la duracó. La forma es D + R dr y es fácl oar que la duracó modfcada es la duracó de Macaulay descoada u período. Auque esa defcó parece u ao exraña y esar de más, e realdad ee el sgfcado de u promedo poderado del empo. ara ver ese efoque se muesra el sguee desarrollo: ea N{,,...,} el cojuo de los períodos de pago de cupó. or ejemplo, s los cupoes so rmesrales eoces N{ semesre, semesres,..., semesres}. Es de erés ecorar el porceaje e que corbuye cada flujo de efecvo al valor del boo. El cojuo F se compoe de esas corbucoes. F C + R,,,..., VN + R No es complcado oar que la suma de los elemeos de F es gual a la udad. Al poderar cada elemeo del cojuo N co el elemeo correspodee del cojuo F se obee la u promedo poderado D. D C + R + VN + R Nóese que el valor de D esá e érmos de los períodos de pago por lo que debe aualzarse mulplcádose por. D D + R d dr + R C + R + VN + R D De esa maera puede darse la defcó de la duracó de Macaulay como el dcador del empo promedo e el que el eedor del boo obee los beefcos del msmo. E poserores parágrafos se probará que la duracó modfcada de u srp equvale al empo al vecmeo del msmo. u versosa compra u srp que vece e 5 años eoces, para recbr el pago del prcpal, debe esperar los

6 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 6 cco años. E cambo, co u boo cupoado el versosa recbe flujos de efecvo. E esa suacó, la duracó de Macaulay corbuye a esmar el empo e el que se recbe el pago del prcpal. ropedades de la duracó La duracó presea propedades que e ocasoes depede de las caraceríscas del boo como se muesra e el sguee lsado:. La duracó es meor o gual que el plazo al vecmeo del boo. La gualdad se presea cuado se raa de u srp cuado es la duracó de Macaulay.. Ceers parbus a mayor empo al vecmeo se ee mayor duracó. 3. Ceers parbus a meor cupó se ee mayor duracó. 4. Ceers parbus a mayor asa de mercado se ee meor duracó. Covexdad Cuado las asas de erés varía e demasados puos base, deja de ser la duracó ua buea medda de sesbldad y se recurre a la covexdad. E la Ilusracó 3 se apreca que la esmacó de la varacó e el preco de u boo a ravés de la duracó es e realdad ua aproxmacó leal. Cuado se ee flucuacoes bruscas e el po de erés, el resulado que arroja da duracó perde efecvdad por lo que la alerava es esmar el valor del boo co ua parábola Esmacó del preco de u boo co Duracó solveado co u juse por Covexdad reco Esmacó co Duracó Covexdad % 5% 0% 5% 0% 5% 30% 35% 40% 45% 50% 55% 60% Tasa de erés Ilusracó 3. La covexdad ajusa la esmacó obeda por duracó.

7 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 7 E realdad lo que se hace es aproxmar el preco del boo co el polomo de Taylor de segudo orde como se muesra. d d d ( R R0 ) + ( R R0 ) + o( R dr dr 3 ) d dr + ) C + R + ( + ) VN + R ( Nóese que / <0 por lo que el preco es ua fucó decrecee meras que // >0 lo que sgfca que (R) es covexa. La covexdad se defe de la sguee maera: C d ( ) ( ) + C + R + + VN + R dr El hecho de que la fucó (R) sea covexa mplca que odas las reca agees se ecuere subvalúe sus valores fucoales por lo que la covexdad debe ser posva para mejorar las esmacoes 3. ropedades de la Covexdad Al gual que la duracó, la covexdad cuea co alguas propedades relevaes:. La covexdad varía de forma versa co la asa de mercado. Es decr s la asa se cremea la covexdad dsmuye y vceversa.. La covexdad aumea cuado dsmuye el cupó maeedo fjos el plazo y la asa de mercado. 3. Dadas la asa de mercado y duracó modfcada, a meor asa cupó meor será la covexdad. Eso mplca que los boos cupó cero será aquellos que ega la meor covexdad dada ua duracó modfcada. Ejemplo de aplcacó E ese puo de la exposcó es ya coveee u ejemplo e el que se obega y aplque los cocepos de duracó y covexdad. Cosdérese u boo co las sguees caraceríscas: 3 Los boos prepagables ee covexdad egava pero requere de u raameo u ao dso.

8 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 8 VN:00 Tasa cupó: 8% Tasa de mercado: 0% Días ere pago de cupó (): 80 Años: 5 Co esos daos el preco del boo ascede a 9.7 udades moearas (u.m). Ese resulado es lógco pues se raa de u boo bajo par. A couacó se obee las duracoes y la covexdad para luego darles aplcacó medae preguas a las que se da respuesa. Deermacó de los valores Duracó Modfcada D ( ) ( ) Duracó de Macaulay 80 D D Covexdad C ( + ) C Cuesoes.- upógase u cremeo de 0 puos base e la asa de mercado por lo que ahora se ee ua asa de 0.%. Cuáo varía el preco del boo usado úcamee la duracó? d e sabe que D d D [ R R dr 0 ] que es la varacó del preco. Aplcado la fórmula se obee d 3.98[ ] Es decr el uevo preco de mercado es

9 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 9.-Ecuérese la varacó del preco de mercado s ulzar el cocepo de duracó. (0.0)9.7 meras que (0.0)9.9 eoces d que es sumamee cercao al valor obedo por la duracó. La dfereca es que e ese caso se hace u uso más esvo del empo para evaluar los precos. 3.-Ahora supoga que se da u cremeo de 00 puos base e la asa de mercado. Cuál es la varacó del preco hacedo uso de la duracó modfcada? [ ] 5 Nuevamee al aplcar la fórmula se obee d Es decr el uevo preco de mercado es Ua vez más ecuérese la varacó del preco de mercado s ulzar el cocepo de duracó. (0.0)9.7 meras que (0.)88.69 eoces d que o es a cercao al valor obedo por la duracó. Ese resulado se obee debdo a que se ha aproxmado, de forma local, el valor del boo a parr de ua reca. E ese caso comeza a ser ecesara la covexdad para obeer u mejor ajuse. 5.-Ajusar co la covexdad e raa de usar la aproxmacó de Taylor e la que ervee el érmo cuardráco. d D dr + C( dr) d D dr + C( dr) d (0.0) (0.0) 3.58 El ajuse de la covexdad aproxma de forma cas perfeca las varacoes e el preco del boo ae cambos bruscos e los pos de erés.

10 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 0 6.-upógase u boo perpeuo co pago de cupó aual de u moo B equvalee a u porceaje del valor omal VN. Calcular duracó y covexdad. ara calcular la duracó es ecesaro ecorar la fórmula del preco. Dcha fórmula es ua suma fa. B B ( ) + R + R Dado que < la sere de poecas + R + R coverge a + R R + R De esa forma el preco de u boo perpeuo co esas codcoes es d B d B prmer dervada resula ser egava pero se recuerda dr R dr R B que el preco del boo es por lo que la duracó del msmo es D. La R R covexdad se obee de forma smlar. d B d R B C. 3 3 dr R dr B R R 7.- Iqurr los valores de la duracó y la covexdad de u boo cupó cero. Es muy fácl dar solucó a esa cuesó pues smplemee se aplca las fórmulas obedas co C 0. B R. La D C ( + R ) + VN( + R ) VN + R embargo el preco de u srp de esas caraceríscas es VN + R por lo que la duracó se reduce a al vecmeo del boo. La covexdad se obee de forma smlar D R D + que es el empo

11 Marí Herádez errao Modelo Aleravo C ( ) VN R ( ) R Duracó y el resgo de mercado. El valor e resgo, (VaR) por sus sglas e glés, es la pérdda máxma probable dado u vel de cofaza que se puede eer e ua versó. or ejemplo, s se dce que u boo a la par co valor omal de 00 u.m. ee u VaR de % co u 95% de cofaza eoces la pérdda máxma posble que se efrea es de u.m. ara esmar el VaR de u boo se hace ecesaro el uso de la duracó modfcada. d e sabe que D [ R R0 ]. ara calcular la volaldad de los precos relavos del boo se debe mulplcar y dvdr el membro derecho de esa gualdad por R para luego calcular la varaza. d dr dr var var D R ( D R) var co esas gualdades se puede eer la R R volaldad σ del preco del boo a parr de la volaldad de las varacoes e las asas de erés σ R. σ D Rσ R ara esmar el valor e resgo se mulplca la volaldad del preco del boo por u facor adecuado al vel de cofaza deseado. VaR boo -NC D Rσ R Dode NC: Nvel de cofaza. Al 95% es.65 y al 99% NC.33 Ejemplo: upoga u boo co preco de mercado de 00 u.m. cuya duracó modfcada es de 3.98 co volaldad rmesral de las asas de erés de 3% y R 0 0%. Esmar el VaR a u vel de cofaza del 99%. VaR boo e espera que la pérdda máxma a u vel de 99% de cofaza sea de 70 ceavos de u.m.

12 Marí Herádez errao Modelo Aleravo DURACIÓN Y CONVEXIDAD DE UN ORTAFOLIO DE BONO El cocepo de duracó se puede exeder e la parcpacó de más de u boo. El eorema de Taylor es uevamee el vehículo para la cosecucó de la duracó de u porafolo de boos. Cosderese u porafolo compueso por boos e dode (R ) y m so el preco y la cadad de udades del -ésmo boo. El valor del porafolo (R,R,...,R ) es la suma de las cadades verdas e los boos que lo compoe. Co esos supuesos se ee los sguees eoremas: Teorema. La duracó D p de u porafolo de boos es el promedo poderado de las duracoes parculares. El poderador w de la -ésma duracó es el porceaje de porafolo que represea el -ésmo boo. Demosracó. or cosruccó m ( R ). La dferecal oal de (R,R,...,R ) es d m dr para R se mulplca y dvde por al -ésmo sumado de d eoces se ee que m d m D dr. Al defr w y dvdr d por se ee el resulado deseado. d w D dr D w D Teorema. E las msmas codcoes del eorema aeror resula que la covexdad de u boo es la suma poderada de las covexdades. Demosracó E ese caso se da el uso del hessao para obeer el resulado. d m dr + m drdr j pero se sabe que 0 para j. El R j R R R R j caso j coduce a que d j dr + m ( dr ). Ua vez más se R R mulplca y dvde por al -ésmo sumado de cada suma y se dvde por a d para obeer el resulado esperado.

13 Marí Herádez errao Modelo Aleravo 3 d w D dr + wc ( dr ) C wc Ejemplo. Cosdere u porafolo hpoéco compueso por dos boos cuyos daos ecerra la abla sguee: m 00,000 m 300, ,000 w 0.4 w 0.6 D p C p Boo Duracó Covexdad arcpacó e el porafolo ,000 u.m ,000 u.m. Los valores obedos de duracó y covexdad del porafolo se usa de gual forma que e el caso de u boo dvdual. REUMEN Luego de leer esa exposcó el lecor debe eer presee lo sguee: La duracó dca el grado de sesbldad del valor de u porafolo de srumeos de rea fja ae cambos e el po de erés. La duracó de Macaulay dca el empo promedo e el que el versosa recbe el pago del prcpal. Ae varacoes grades e el po de erés se recurre a la covexdad del boo para ajusar la esmacó obeda a ravés de la duracó. La duracó (covexdad) de u porafolo es el promedo poderado de las duracoes (covexdades) de cada boo. REFERENCIA Fabozz, Frak (000). Bod Markes Aalyss ad raeges. rece Hall. Lara Haro (005), Alfoso de. Medcó y corol de resgos faceros. Lmusa.