menor (espira 2), φ m2 como la suma de dos partes, una proporcional a la corriente I 1 y otra proporcional a la corriente I 2 :

Transcripción

1 eccó 6.ey de duccó de Faraday Coefcee de duccó muua Cuado dos o más crcuos esá próxmos uo al oro, el flujo magéco que aravesa uo de ellos, o sólo depede de la corree e ese crcuo, so ambé de la corree que crcula por los crcuos próxmos. E las espras de la fgura el campo magéco e u puo P del espaco posee u compoee debdo a y r r oro compoee debdo a. Esos campos so proporcoales a las correes que los produce. Podemos, pues escrbr el flujo que aravesa la espra d meor (espra ), φ m como la suma de dos pares, ua proporcoal a la corree y ora proporcoal a la corree : m + M φ [6.6] e dode es la auoduccó de la espra y M es u coefcee de proporcoaldad deomado ducaca muua de las dos espras. a ducaca muua depede de la forma y dsposcó geomérca ere ambas espras. Puede escrbrse ua ecuacó semejae para el flujo que aravesa la espra mayor (espra ): m + M co lo que de forma compaca se puede escrbr φ [6.7] φ φ M M [6.8] esa marz es smérca y se cumple que M M. M. S sólo crcula esdad por la espra la relacó ere el flujo que cora la espra y la esdad que crcula por la espra será: m M φ [6.9] esa ecuacó os perme defr el coefcee de duccó muua como: M φ m φ m [6.3] Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

2 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 6 S la esdad que crcula por la espra es varable, el flujo magéco e la espra dos se modfca, por ao e esa espra se ducrá ua fuerza elecromorz. Como la duccó muua de la espra es cosae para ua cofguracó geomérca dada de las dos espras, la varacó del flujo esará relacoada co la esdad por: φ d m d M [6.3] de acuerdo co la ley de duccó de Faraday, resula: d m φ d M [6.3] Así pues, aparecerá ua fem ducda e la espra proporcoal a la varacó e el empo de la esdad que crcula por la espra. Ejemplo. Deermar el coefcee de duccó muua ere dos soleodes coaxales muy largos co N y N espras apreadas y de gual logud. Para calcular el coefcee de duccó muua supodremos que sólo crcula esdad por el soleode exero r El flujo que cora el soleode debdo a la esdad que pasa por el soleode es: r φ µ N [6.33]! N Bπ r N π r de forma que el coefcee de duccó muua es: r r M φ µ NN π r! [6.34] També se puede calcular a parr del flujo que cora el soleode exero debdo al campo creado por el soleode ero. E ese caso Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

3 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 7 φ µ N [6.35]! NBπ r N π r y el coefcee de duccó muua es, e ese caso, M φ µ NN π r! [6.36] y como vemos se cumple que M M. 4.- Crcuos 4..- a boba como elemeo de crcuo. El soleode (o boba) se ulza e los crcuos elécrcos como u dsposvo capaz de almacear eergía magéca. E ese sedo cumple u papel aálogo al codesador pero e el caso magéco. El símbolo, como elemeo de crcuo, de u dsposvo de ese po es: a caracerísca esó corree de ua boba es la sguee a d d d V Vab [6.37] d d > < b a b a b V ab < V ab > V ab as bobas reales ee, además, ua pequeña resseca elécrca (se raa de varas vuelas de hlo coducor) que suele ser desprecable free a las ressecas de los crcuos. E cualquer caso el comporameo de ua boba real puede modelarse ulzado u crcuo equvalee cosudo por ua boba deal de la msma ducaca que la boba real e sere co ua resseca que represee la resseca de la boba real. as bobas se puede asocar e sere o e paralelo pudédose, ambé deermar la boba equvalee. Bobas e sere Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

4 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 8 Supogamos bobas coecadas e sere de forma que su separacó perme desprecar los feómeos de duccó muua. E ese caso se cumple que: d [6.38] luego Bobas e paralelo eq [6.39] Supogamos, ahora, bobas coecadas e paralelo de forma que su separacó perme desprecar los feómeos de duccó muua. E ese caso se cumple que: d d d... [6.4] como d d eq [6.4] eemos falmee que eq [6.4] 4..- Trasoros e crcuos. El efeco de ua boba e u crcuo es opoerse a las varacoes bruscas de la esdad de corree. U crcuo que coega ressecas y bobas se deoma crcuo. Aalzaremos, a couacó, el comporameo de u crcuo elemeal al esablecerse ua corree (rasoro de cerre). Sea el crcuo de la fgura, al cerrar el errupor comezará a crcular u corree. () calmee habrá u gra cremeo de la esdad de corree e el crcuo lo que provocará u acusado feómeo de duccó e la boba. E u sae cualquera se cumplrá que: Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

5 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 9 de forma que: () v () v [6.43] + d + [6.44] Hemos obedo ua ecuacó dferecal leal de prmer orde que os perme deermar la esdad que crcula por el crcuo e fucó del empo, e efeco, mapulado la ecuacó [6.44] llegamos a, d d d + egrado y susuyedo los límes [6.45] () d () l [6.46] y, falmee, omado expoecales e ambos membros y despejado la esdad: () e [6.47] Esa ecuacó o proporcoa la varacó de la esdad co el empo e el rasoro de cerre del crcuo. a erpreacó de ese resulado es la sguee: al comezar a crcular esdad por la boba se comeza a crear u campo magéco e la msma, lo que provoca que por la ey de duccó de Faraday aparezca ua fuerza elecromorz que se opoe a ese cremeo. Eso provoca que, como se puede aprecar, la esdad o crezca de forma saáea so que arde u cero empo e alcazar su valor fal. A medad que va crecedo la esdad al varacó de la corree es meor y la fem de la boba va decrecedo. De hecho decrece de forma expoecal al y como se obee a parr de [6.37] () d v () e [6.48] Como e el caso de carga y descarga del codesador el empo ecesaro para que se esablezca la corree vee deermado por la cosae de empo del crcuo que e ese caso vale: τ [6.49] Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

6 eccó 6.ey de duccó de Faraday. E las fguras se muesra, gráfcamee, las ecuacoes [6.47] y [6.48] () v () / esula eresae aalzar los comporameos exremos de la boba. E el sae cal, ras cerrarse el errupor, edremos + ( ) ( e ) [6.45] de forma que la boba e el sae cal o deja pasar gua esdad por el crcuo comporádose como ua resseca fa (crcuo abero). Cuado haya rascurrdo u largo empo desde el cerre del errupor se cumplrá que, τ ( ) ( e ) lm [6.46] y por ao la boba o presea gua oposcó a la esdad comporádose como u corocrcuo. Para el rasoro de aperura, s e el crcuo de la fgura aulamos la fuee de esó pasado el errupor a la poscó, la boba maedrá u cero empo la corree ya que, al o haber fuee de esó, la esdad dsmurá provocado la aparcó de ua fem e la boba para maeer la esdad cosae. v d d [6.47] egrado esa ecuacó dferecal () d () l [6.48] () omado expoecales e ambos membros, () e [6.49] Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

7 eccó 6.ey de duccó de Faraday. Ejemplo: Para el crcuo de la fgura Ω, mh y V. Deermar la esdad que proporcoa la fuee e los sguees casos: a) E el sae cal ras cerrar el errupor. E ese caso la boba se compora como ua mpedaca fa que mpde el paso de la corree por la rama e la que se ecuera. El crcuo equvalee es le que se dca e la fgura. Como la rama e la que se ecuera esá e crcuo abero o crculará gua esdad y por ao V. A Ω b) Trascurrdo u largo empo ras cerrar el errupor. Cuado ha rascurrdo u largo empo la esdad alcaza u valor cosae y la boba o produce gua fem. E ese caso, e el crcuo equvalee la resseca queda corocrcuada. a esdad proporcoada por le fuee será: V. A Ω c) a cosae de empo del crcuo y la esdad que crcula por la boba rascurrdos. ms ras cerrar el errupor. Para poder evaluar eso hemos de llevar el crcuo a la forma del crcuo esudado para aalzar el rasoro de cerre. S calculamos el crcuo equvalee de Thève a exremos de la boba llegamos a: T V T Claramee Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

8 eccó 6.ey de duccó de Faraday. a cosae de empo es: y la esdad pedda es: V T 5V ; 5Ω + T + V τ 5.- Eergía magéca. H.mS 5Ω 5V 5 Ω T τ () ( e ) e 39.3mA T Calcularemos, a couacó, la eergía puesa e juego al esablecer la corree e u crcuo. E eso proceso se cumple la ecuacó [6.44]. () d + s mulplcamos ambos membros por la esdad que recorre el crcuo: d + [6.5] El prmer membro de esa ecuacó represea el rmo al que la baería proporcoa eergía al crcuo. El prmer sumado del segudo membro es la eergía dspada e forma de calor e la resseca por udad de empo. Falmee el segudo sumado es el rmo al que se almacea eergía e la boba. Ese es el érmo que vamos a esudar. Segú [6.5] el aumeo de eergía magéca ( U ) e la boba esá dado por: du d m [6.5] a eergía oal almaceada e ua boba cuado es esablece ua corree coua e ella paredo de cero se puede obeer egrado [6.5], e efeco: m U m du m d [6.5] Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

9 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 3 Ejemplo. Deermar cuál es la máxma eergía magéca que puede almacear por ua boba de mh y resseca Ω cuado por ella crcula ua esdad de cuado esá coecada a ua esó de V. El crcuo plaeado e ese ejercco es el que use muesra e la fgura. a esdad que crcula por el msmo es: Ω V 5 A Ω V mh a eergía almaceada e la boba es. 5.5 ( )( ) Um H A J a expresó os proporcoa la eergía magéca almaceada e la boba y puede erprearse como la eergía empleada para esablecer el capo magéco e la boba. Podemos ecorar ua expresó más geeral ulzado la expresó del campo e el eror de u soleode de espras apreadas (ecuacó [5.39]) y la del coefcee de auoduccó del soleode (ecuacó [6.4]). Segú eso la eergía que almacea u soleode es: µ m ( µ )! B B B U! S! S µ S µ µ [6.53] Dado que ls es el volume eror del soleode, dvdedo la eergía calculada e la ecuacó aeror por ese volume obeemos la desdad de eergía magéca (eergía por uda de volume) almaceada e fucó del módulo del campo magéco. η m du m B dv µ [6.54] Como e el caso del campo elécrco, esa expresó deducda a parr de u caso parcular es geeral y se le puede dar ua mporae erpreacó físca. a eergía gasada e esablecer la corree se ha almaceado e el espaco crcudae, de modo que al volume dv le correspode ua eergía de ½ (B /µ )dv Esa erpreacó resula muy úl e el aálss de muchos procesos y se puede exeder a campos elécrcos depedees del empo. Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

10 eccó 6.ey de duccó de Faraday Descarga osclae de u codesador. Aalzaremos e ese aparado qué ocurre cuado se preede descargar u codesador e medae u crcuo e el que hay ua auoduccó. Comezaremos co el caso secllo de u codesador y ua boba deales (crcuo C). E el crcuo de la fgura, supodremos que C calmee el codesador esá cargado. Cuado se cerre el errupor comezará a crcular esdad por el crcuo lo que provocará que aparezca u campo magéco e la auoduccó. Como cosecueca de aparecerá ua fem que se opoga al aumeo de flujo e la boba. E cualquer sae se cumplrá que: que, eedo e cuea que Q d Q d + [6.55] C C dq, se puede poer como: Q d Q + [6.56] C y reordeado obeemos falmee: dq + Q [6.57] C a expresó [6.57] es ua ecuacó dferecal leal de segudo orde y o homogéea. a resolucó de esa ecuacó supera los límes de ese curso, así que smplemee daremos el resulado que es, () cos( ω δ) Q A [6.58] sedo ω C. Esa es la solucó geeral de la ecuacó aeror y depede de dos cosaes de egracó deermadas (porque al haber érmos e dervada seguda hay que egrar dos veces). Esas cosaes A y δ se puede deermar la mpoedo codcoes cales e [6.58]. E ese caso mpoemos que ( ) ( ) Q Q ;. Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

11 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 5 Eso os lleva a las sguees ecuacoes: Q () Q cosω [6.59] () ωq seω [6.6] las gráfcas de esas fucoesso las que se muesra a couacó Q() Q () ω Q E ese crcuo o hay gú elemeo dspavo (resseca) de forma que la eergía se debe coservar. Para comprobar eso smplemee hemos de calcular la eergía del crcuo: Q U U U C T e + m + [6.6] y susuyedo las ecuacoes [6.59] y [6.6], obeemos, Q UT Ue + Um cos ω+ ω Q se ω [6.6] C y como ω C eemos falmee que, Q Q Q UT cos ω+ se ω [6.63] C C C co lo que comprobamos que la eergía es cosae. Por ao e el crcuo C se ee ua rasfereca alerava de eergía ere la boba y el codesador maeédose cosae la eergía oal. Es Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)

12 eccó 6.ey de duccó de Faraday. 6 evdee que eso o ocurre e la realdad y los compoees (boba, codesador y cables de coexó) ee ua cera resseca que provocará la pérdda ua cera cadad de eergía e forma de calor. S eemos e cuea la resseca eemos u crcuo C como el de la fgura. E ese crcuo se cumplrá que, C Q d + + [6.64] C que se puede poer como, dq dq C + + Q [6.65] E ese caso aparece u érmo de dspacó de eergía debdo a la resseca, co lo que e cada cclo se perderá pare de la eergía del crcuo exguédose oalmee rascurrdo u cero empo. a expresó de la carga e fucó del empo es más compleja que e el caso aeror y edrá la forma que se dca a couacó. Q() Q Por eso el codesador de descargará de forma osclae. El empo que arde e descargarse depederá de la resseca. Apues de Fudameos Físcos de la formáca. ( Dr. J. García ubao)