Ingeniería de Confiabilidad - Equipos

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1 SECCION 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Igeería de Cofabldad - Equpos Seccó 4 Medardo Yañez Herado Gómez de la Vega Kara Semeco Soo Nayrh Meda Esa seccó esa dedcada al esudo de los aspecos físcos y aleaoros del feómeo falla. Expoe los aspecos fudameales de los dos efoques que coexse dero de la Igeería de Cofabldad. Esos efoques so: cofabldad basada e el aálss probablísco del empo para la falla o hsoral de fallas y cofabldad basada e el aálss probablísco del deeroro o físca de la falla. 5

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3 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos. Igeería de cofabldad. E su forma más geeral, la Igeería de Cofabldad puede defrse como la rama de la geería que esuda las caraceríscas físcas y aleaoras del feómeo falla. Dero del área de Igeería de Cofabldad, coexse dos () escuelas co efoques muy específcos, esas so: Cofabldad basada e el aálss probablísco del empo para la falla o hsoral de fallas (Sascal Based Relably Aalyss) [], [0], [4], [5], [6], [3], [37], [49]. Cofabldad basada e el aálss probablísco del deeroro o físca de la falla (Physcs Based Relably Aalyss) [9], [0], [4], [6], [3], [3], [37], [48]. Ambas escuelas ee u objevo comú: caracerzar probablíscamee la falla para hacer proóscos y esablecer accoes proacvas drgdas a evarla o a mgar su efeco. Adcoalmee, ambas escuelas propoe el érmo probablísco CONFIABILIDAD como dcador básco para lograr esa caracerzacó. Oro puo cocdee es el recoocmeo de la aleaoredad e cerdumbre de las varables aalzadas y su cosecuee raameo probablísco. Las dferecas ere ambas escuelas esá relacoadas co la ópca desde la cual se aalza la falla. La prmera mecoada propoe predecrla esudado la frecueca hsórca de ocurreca o asa de fallas, meras que la seguda cosdera que ua falla es la úlma fase de u proceso de deeroro y se cocera e predecrla a ravés del eedmeo de cómo ocurre la falla, es decr, esudado la físca del proceso de deeroro. Las edecas más avazadas y recees (sae of he ar) dero de la Igeería de Cofabldad, propoe modelos híbrdos para caracerzar probablíscamee el feómeo falla, es decr, modelos que oma e cuea o solo el proceso físco del deeroro so ambé la esadísca del hsoral de fallas. E ese capíulo se explorara dealladamee ambos efoques.. Cofabldad C(): Cocepos y relacó co aálss de resgo. Tal y como se defó e la seccó de cocepos báscos Cofabldad es la probabldad de que u acvo cumpla co su fucó, e u empo deermado y bajo u eoro operacoal específco [7]. Probablíscamee, Cofabldad C()) es el complemeo de la Probabldad de Fallas F(), es decr, Cofabldad C() es la probabldad de éxo. F()+C() = (.4) Exse u mporae vículo ere el Aálss de Cofabldad y el Aálss Probablísco de Resgo al como se descrbrá co dealle e el Capíulo V. Recordado el Capíulo I, se defe Resgo como egresos o pérddas probables cosecueca de la probable ocurreca de u eveo o deseado o falla. Maemácamee, se calcula co la sguee ecuacó: Resgo()=Probabldad de Fallas() x Cosecuecas. Resgo()= (-Cofabldad()) x Cosecuecas. El resgo se compora como ua balaza que perme pesar la flueca de ambas magudes (Probabldad de Falla y Cosecueca de la Falla) e ua decsó parcular. Resgo Resgo= Probabldad de falla x Cosecueca de la Falla Resgo=(-Cofabldad) x Cofabldad Cofabldad/ Probabldad de Falla Cosecuecas Basada e la Hsora (Esadísca del Proceso/Ssema) Basada e la Codcó (Mooreo del Proceso/Ssema) Impaco Ambeal Coso de Reparacó Perddas de Mercado Impaco Persoas Perddas de Repuacó Perddas de Produccó Perddas de Veajas Tecológcas Fgura.96 Relacó ere Aálss de Cofabldad y Aálss de Resgo. 53

4 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos La fgura.96 muesra claramee que para calcular resgo, debe esablecerse dos () vías, ua para el cálculo de la cofabldad y/o la probabldad de fallas, co base e la hsora de fallas o co base e la físca del deeroro, y ora para el cálculo de las cosecuecas. E odo caso, el aálss de cofabldad es pare del aálss probablísco de resgo. 3. Cofabldad basada e el aálss probablísco del empo para la falla o hsoral de fallas (Sascal Based Relably Aalyss). Es la rama de la cofabldad que esuda la varable aleaora empo para la falla. El sumo básco para ese po de aálss so bases de daos dode se almacea las hsoras de fallas (empos de fallas y empos de reparacó) de equpos. La cofabldad basada e la esadísca de fallas ee dos grades áreas de esudo, ua que se efoca e equpos o reparables y ora para equpos reparables. Los equpos o reparables ee las sguees caraceríscas fudameales: Su codcó operava o puede ser resaurada después de ua falla. Su vda erma co ua úca falla y debe ser reemplazado. La varable aleaora de erés es el empo para la falla. Para caracerzarlo probablíscamee se requere esmar la asa de fallas h(). Dero de los equpos o reparables muchos exhbe asas de falla cosaes y su comporameo esá defdo por la Dsrbucó Expoecal, meras que para ssemas e los cuales la fucó de falla o es cosae e el empo exse aleravas dferees al uso de la dsrbucó expoecal, al como, las dsrbucoes Webull, Log-Normal, Normal, Gamma, Bea, ere oras. Por su pare, u equpo reparable es aquel cuya codcó operava puede ser resaurada después de ua falla, por ua accó de reparacó dferee al reemplazo oal del msmo. U equpo reparable ee las sguees caraceríscas fudameales: Su codcó operava puede resaurarse después de fallar, co ua reparacó. E su vda puede ocurrr más de ua falla. La varable aleaora de erés es el Número de Fallas e u período específco de empo. Para caracerzarlo probablíscamee se requere esmar la asa de ocurreca de fallas () y la asa de reparacó (). Además de la cofabldad se requere calcular la dspobldad, que es la probabldad de que el equpo esé dspoble (es decr, que o esé e reparacó) a u empo. Para calcular dspobldad se requere aalzar esadíscamee los empos para la falla, y los empos e reparacó. E el caso de los ssemas reparables, hasa 996 esaba defdos dos procesos de puo esocásco para modelar su raameo. La prmera asume la reparacó haca su codcó orgal, odo basado e el Proceso Ordaro de Reovacó (depedee e décamee dsrbudo), la seguda asume ua reparacó míma basado sus cálculos mayoraramee e el Proceso o Homogéeo de Posso. A parr de 996, se ha propueso u uevo desarrollo para omar e cuea los esados dferees a los dcados aerormee, el cual esá basado e u modelo probablísco deomado Proceso Geeralzado de Resauracó. E esa seccó se explorará e dealle el aálss de cofabldad basado e la hsora de fallas ao para equpos o reparables como para equpos reparables. 3.. Cofabldad e Acvos o Reparables Acvos o Reparables. Como se mecoó prevamee, se defe como acvos o reparables, aquellos que ee las sguees caraceríscas fudameales: Su codcó operava o puede ser resaurada después de ua falla. Su vda erma co ua úca falla y debe ser reemplazado. La mayoría de los compoees elecrócos suele ser cosderados o reparables. Los bombllos o bulbos de luz so los cláscos ejemplos de equpos o reparables. S embargo, es mporae desacar que e eseca, cualquer equpo es reparable; clusve u bombllo, y es la políca o esraega de maemeo y/o reparacó la que realmee dce cómo se debe clasfcar u equpo o compoee. S la políca de maemeo es reemplazar después de la falla, eoces se 54

5 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos clasfcará al acvo como o reparable ; s por el coraro, la políca es reparar y resalar después de la falla, se defrá al acvo como reparable. Adcoalmee, para clasfcar acvos, debe eerse e cuea el volume de corol y coexo operacoal especfco al cual se hace refereca. Para eeder esos cocepos se aalzará la Fgura.97. S se defe volume de corol, a vel de compoees, e ese caso los ubos de u ercambador, y se aalza la falla de u ubo, ése es reemplazado al fallar y e la mayoría de las plaas de proceso posee ubos de repueso para ese f. E ese caso, el ubo es cosderado u acvo o reparable, o obsae, s el volume de corol se defe como el ercambador de calor compleo, al fallar u ubo, o se reemplaza odo el ercambador; solo el ubo. E ese caso, el ubo sgue sedo u acvo o reparable, pero el ercambador es u acvo reparable. TUBO INTERCAMBIADOR DE CALOR COMPONENTE EQUIPO Fgura.97 Dferees Volúmees de Corol (Compoee, Equpo). Oro ejemplo sería aalzar ua lámpara de luz cuado le falla el bombllo. E ese caso, el bombllo es u acvo o reparable y la lámpara es u acvo reparable. Adcoalmee exse oros aspecos de carácer esraégcos como el coexo operacoal cosderado, que corbuye a caalogar para efecos práccos, u compoee o ssema como reparable o o reparable. Por ejemplo, u sesor salado e el fodo de u pozo de crudo profudo, de fallar collevaría a ua logísca de recursos éccos y ecoómcos sgfcavos a f de exraerlo del subsuelo y proceder a repararlo o reemplazarlo. Ese msmo sesor, salado e ua plaa e la superfce, debdamee aedda, muy posblemee pueda ser reparado s muchos coveees. Bajo esa paorámca, el sesor e el subsuelo muy posblemee covega clasfcarlo como compoee o reparable, e cuyo caso será mporae esudar su cofabldad; meras que el sesor e la superfce se clasfque como compoee reparable, e cuyo caso además de la cofabldad, la dspobldad es oro parámero de erés. Como coclusó, para clasfcar u acvo como reparable o o reparable, se debe omar e cuea la políca de maemeo y/o reparacó, el volume de corol del cual ya se hecho refereca y el coexo operacoal especfco. Las referecas [], [6], [48] ofrece formacó parcularmee deallada sobre el ópco de Cofabldad e acvos o reparables 3... Cocepos Báscos. A.- La Fucó Cofabldad (C()). Cofabldad de u acvo o reparable, evaluada e u empo msó (m), es la probabldad de que la varable aleaora empo para la falla sea gual o mayor al perodo de aálss o empo msó (m). E oras palabras, es la probabldad de que el acvo opere s fallas u empo gual o superor al perodo de aálss o empo msó (m) [7]. Cofabldad( ) Pr( m ) Supógase que se ee ua muesra represeava de daos, es decr, períodos de operacó hasa la falla (, =, ) de equpos smlares. Supógase adcoalmee que co esos daos, y sguedo los procedmeos descros e la seccó de esadísca para la cofabldad (ver aparados 4.3 y 4.3.), se logra caracerzar esa muesra co ua dsrbucó de probabldades. La fgura.98, muesra dsrbucoes de probabldad de frecueca y acumuladas dreca e versa, de la varable aleaora objeo de esudo empo para la falla. Como el lecor habrá deducdo ya e ese puo, la fucó Cofabldad defda e la ecuacó.43, correspode a la dsrbucó acumulada versa del empo para la falla, ya que esa dsrbucó expresa la probabldad de que (empo de falla) sea mayor o gual que m (empo msó). Co apoyo de la ecuacó.43 y e la ecuacó.9 del Capulo II, lo aeror se expresa maemácamee co la sguee ecuacó: 55

6 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos,8,096 DISTRIBUCIOND DEL TIEMPO PARA FALLAR DISTRIBUCION DE FRECUENCIAS f(),000,750 DISTRIBUCION DEL TIEMPO PARA FALLAR DISTRIBUCIONES ACUMULADAS C() f(),500,03,000 0,00 3,75 4,5 55,00,05,000 F() 0,00 3,75 7,50 4,5 55,00 Fgura.98 Dsrbucoes de Probabldad del Tempo para Fallar. C ( m) Pr( m ) f( ) d m m C (m ) Pr( m ) f ( )d F(m ) (.43) El fgura.99 muesra gráfcamee los cocepos prevamee explcados.,8,096 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL TIEMPO PARA FALLAR,000,750 DISTRIBUCIONES ACUMULADAS DEL TIEMPO PARA FALLAR C()=Cofabldad f(),03 C m,500 ( ),000 0,00 3,75 4,5 55,00 m,000 0,00 3,75 7,50 4,5 55,00 m C( m ) Pr( m) f()d f()d F(m ) Fgura.99 Cofabldad evaluada e u empo msó m: C(m). m m B.- Tempo Promedo Para Fallar (TPPF). El TPPF es el esmado puual más clásco e el área de Cofabldad; y es u parámero de mucho erés para la seleccó de equpos y dseño de ssemas. El TPPF o Tempo Esperado para la Falla, correspode a la meda de la dsrbucó de la varable aleaora empo para la falla; y se calcula ulzado la ecuacó.7 del Capulo II, que expresada e érmos de empo es: TPPF.f( )d C( )d (.44) 0 0,8 DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD DEL TIEMPO PARA FALLAR,096 f(),03,000 0,00 7,50 4,5 55,00 =TPPF TPPF Fgura.00 TPPF 0.f ( )d 0 C( ) d 56

7 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos C.- La Fucó de Velocdad de Icremeo del Pelgro (H()) o Tasa de Fallas. La fucó de velocdad de cremeo del pelgro o asa de fallas h(), es u camo aleravo a la fucó cofabldad C(), para descrbr el comporameo de la varable aleaora empo para la falla. La fucó h() descrbe el comporameo del úmero de fallas de ua poblacó por udad de empo, y vee dada por la sguee expresó: ) ) h( ) f ( f( (.45) C( ) F( ) E érmos probablíscos, la ecuacó.45 dce que h() es la probabldad codcoal de falla e u ervalo de empo +Δ; dado que el compoee, equpo o ssema ha sobrevvdo hasa el empo. (Ver cocepo de probabldad codcoal e la seccó de esadísca para la cofabldad). Al gual que las fucoes f(), F() y C() que se observa e la fgura.98, la fucó h() es ua caracerísca úca de la varable empo para fallar de ua poblacó de compoees, equpos o ssemas. Exse ua mporae relacó ere la fucó Cofabldad C() y la fucó h(), que se resume e la sguee expresó: C( ) ( h( )).d e (.46) La ecuacó.46 mplca que al defr la fucó h() se puede defr la fucó C(), y vceversa. Como se explcó prevamee, la fucó h() descrbe el comporameo del úmero de fallas de ua poblacó por udad de empo, y la msma puede ser crecee (el úmero de compoees de la poblacó que falla por udad de empo aumea progresvamee), decrecee (el úmero de compoees de la poblacó que falla por udad de empo dsmuye progresvamee), o cosae. El aálss del comporameo de fallas de ua gra cadad de poblacoes de compoees o equpos observados durae largos períodos de esudo, ha mosrado ua fucó asa de fallas decrecee e el prmer período, la prmera eapa del período de observacó (feómeo coocdo como moraldad fal), segudo por ua fucó asa de fallas aproxmadamee cosae, y falmee ua fucó asa de fallas crecee durae la úlma eapa del período de observacó. La fgura.0 muesra la forma que oma la fucó asa de fallas para el comporameo prevamee descro. TASA DE FALLA h() TIEMPO () Fgura.0 Comporameo ípco de h() para poblacoes de compoees. La forma de la fucó h() mosrada e la fgura.0, es amplamee coocda como curva de la bañera. A couacó se explca cómo erprear e dealle la curva mecoada. Curva de la Bañera: La Curva de la Bañera es u gráfco que muesra el probable comporameo de la asa de fallas de u po de compoee o equpo para dferees saes de empo, y se cosruye observado y regsrado el comporameo hsórco de fallas de ua poblacó de ese po de compoee o equpo. Ua forma prácca de eeder la curva de la bañera es aalzar el caso de los seres humaos. Supógase que se aalza las vdas de 00 persoas, acdas e el año 900, seleccoadas aleaoramee. Co oda segurdad, s se revsa la fecha e que fallecero, se ecorará que ua buea pare de ellos, murero ere 0 y 3 años debdo a problemas cogéos, problemas e el acmeo o efermedades fales severas; oros aos, auque u poco meos ere 3 y 6 años, y meos aú ere 6 y 9 años. De eso puede ferrse que el úmero de persoas que muró por año, fue decrecedo ere 0 y 9 años. A parr de allí se observa que la asa de moraldad se esablza, es decr, el úmero de persoas que muere por año ere los 9 y los 45 años se maee aproxmadamee cosae. Falmee, a parr de los 45 años, se ecuera que el úmero de persoas que muere por año es cada vez mayor, co u cremeo leo ere los 45 y los 65 años, y co u cremeo más severo a parr de los 65 años. S se revsa esa descrpcó cudadosamee, se eederá que la msma cocde co el comporameo de la Fgura 57

8 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos.0, coocda como curva de la bañera (bahub curve). TASA DE FALLA h() Tasa de Fallas decrecee Tasa de Fallas cosae Tasa de Fallas crecee Moraldad Ifal Perodo de Fallas Aleaoras Evejecmeo o Desgase TIEMPO () Fgura.0 Curva de la Bañera El aálss del comporameo de la curva perme asegurar que el pelgro de que ua persoa cualquera muera ere 0 y 3 años es mayor que el pelgro de que muera ere 3 y 6 y es meor aú ere 6 y 9 años. També perme decr que el pelgro de morr a los 0 años es aproxmadamee gual que el pelgro de morr a los 40 años y que e ambos casos es meor que el pelgro de morr ere 0 y 6 años. No obsae, el pelgro de morr se cremea a parr de los 45 años y va aumeado leamee. A parr de los 65 años, el pelgro de morr se hace mayor más rápdamee. Esa curva o dce a qué edad va a morr u ser humao específco; pero refleja como camba el pelgro de morr co la edad. Es mporae recoocer que esa curva se cosruyó observado ua poblacó específca de seres humaos, y perme hacer predccoes sobre oros seres humaos. TASA DE FALLA h() PATRON A TASA DE FALLA h() PATRON B TASA DE FALLA h() PATRON C TIEMPO TIEMPO TIEMPO TASA DE FALLA h() PATRON D TASA DE FALLA h() PATRON E TASA DE FALLA h() PATRON F TIEMPO TIEMPO TIEMPO Fgura.03 Oros Paroes de Falla. Ese cocepo es exrapolable a compoees y equpos. S se dspoe de u úmero sgfcavo de udades de u msmo compoee o equpo, y se les pusera a operar a parr de u empo cal 0, y observado el comporameo e el úmero de fallas por udad de empo podría cosrurse su parcular curva de la bañera. Típcamee ua poblacó de compoees o equpos e geeral presea ua asa de falla ala e el prmer período de vda que decrece hasa que alcaza u vel cosae por u período de empo, (coocdo como eapa aleaora), y falmee por efeco del evejecmeo caracerísco o desgase de los compoees, comeza a aumear uevamee (desgase) (), al como el caso de los seres humaos reflejado e la fgura.0. No obsae, es ecesaro mecoar que el paró de fallas mosrado e la fgura.0 o se correspode exacamee co el comporameo de ua ampla varedad de ssemas elécrcos, elecrócos y mecácos (9). 58

9 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos E la Fgura.03 (pága aeror), se puede observar los dversos paroes de fallas ecorados para varos equpos y ssemas e fucó de sus edades operavas. Esudos realzados ha mosrado que el 4% de los ssemas se correspode co el paró A, % co el paró B, 5% co el paró C, 7% co el paró D, 4% co el paró E y aproxmadamee el 68% co el paró F (9) Esmacó de la Cofabldad. Hasa ese puo se ha descro las fucoes y parámeros más mporaes de u aálss de cofabldad para equpos o reparables (C(), h(), TPPF). Como el lecor puede cosaar e las ecuacoes.43,.44 y.45, para defr esas fucoes, es ecesaro defr la dsrbucó paramérca de probabldades del empo para la falla f(). E caso de o ecorar gua dsrbucó paramérca que ajuse al cojuo de daos dspobles, se debe hacer uso de ua dsrbucó o paramérca o empírca (ver el aparado 4. de la seccó de esadísca para la cofabldad) y esmar la cofabldad apoyados e esadísca o paramérca o esadísca de la muesra. E las seccoes sucesvas se esudará cómo esmar cofabldad usado esadísca paramérca y usado esadísca o paramérca. A.- Esmacó de Cofabldad de Acvos o Reparables co Esadísca Paramérca. Para esmar cofabldad co esadísca paramérca, es ecesaro caracerzar probablíscamee la varable empo para fallar, es decr; ecorar la dsrbucó paramérca f() que mejor se ajusa a los daos; usado para ello el procedmeo descro e el aparado 4.3 de la seccó de esadísca para la cofabldad. E ese caso los daos a aalzar debe ser empos de operacó de equpos smlares co los cuales se defrá la dsrbucó de desdad de probabldades f(). Ua vez defda f(), ulzado las ecuacoes.4 y.43 de la seccó de esadísca para la cofabldad, se obee la dsrbucó acumulada dreca F() que correspode a la probabldad de fallas y la dsrbucó acumulada versa C() que correspode a la cofabldad. S embargo, el proceso de caracerzacó probablísca de la varable empo de operacó para la falla requere u raameo especal para su respecva caracerzacó; que esá relacoado co el cocepo de daos cesados, que se explca a couacó. Para eeder el cocepo de daos cesados, es ecesaro aalzar la fgura.04. E la msma se represea co líeas los empos de operacó de ua poblacó de equpos. Esos empos fuero meddos de maera coua e cada equpo desde que caro su operacó. Las líeas pueadas, co ua X al fal represea aquellos equpos que ha fallado aes del empo msó o perodo de aálss, y las líeas couas aquellos equpos que o ha fallado y coúa operado después de falzado el período de aálss. Las líeas pueadas cosuye la formacó de fallas; meras que las líeas couas, es decr, los empos 3 y 6 so daos de equpos que permaece cofables (o ha fallado) para el momeo del aálss, y so pare mporae de la formacó. A 3 y 6 se les cooce como daos cesados. Equpo X Equpo Equpo 3 3 X Equpo 4 4 X Equpo 5 Equpo X Equpo X 0 Tempo mso Fgura.04 Daos cesados y o cesados. 59

10 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos La exseca de daos cesados es geeralmee obvada por los aalsas, quees e la mayoría de las ocasoes se cocera e los equpos que ha fallado, y o oma e cuea los daos cesados. Eso se raduce e cálculos pesmsas de la cofabldad. E ese puo el lecor podría preguarse cómo clur los daos cesados e el cálculo de cofabldad, y la respuesa esá e el proceso de caracerzacó probablísca; al como se explca a couacó: El paso de ua caracerzacó probablísca es plaear las hpóess acerca de las dsrbucoes paramércas que podría hacer u bue ajuse co los daos. El paso, es calcular los parámeros de cada ua de las dsrbucoes hpóess co los daos de la muesra. Las ecuacoes para calcular esos parámeros ormalmee se obee co el méodo de máxma verosmlud explcado. El paso 3 cosse e realzar algua de las pruebas de bodad de ajuse esudadas e la seccó de esadísca para la cofabldad e el aparado 4.3. e las que ormalmee se compara cada ua de las curvas de las dsrbucoes hpóess eórcas obedas co los parámeros esmados e el paso aeror, co el hsograma de los daos de la muesra. De esa comparacó se calcula para cada dsrbucó hpóess u valor llamado valor del es y se compara cora u valor llamado valor crco. S el valor del es es meor que el valor críco para u deermado vel de sgfcaca, eoces la dsrbucó hpoéca se cosdera u bue ajuse y la hpóess o es rechazada. S por el coraro, el valor del es es mayor que el valor críco, la hpóess se rechaza. El paso 4 es seleccoar ere las dsrbucoes hpoécas o rechazadas, aquella que ega el valor del es más bajo, y ésa se cosdera el mejor ajuse y por lo ao la dsrbucó paramérca que mejor represea el se de daos de la muesra. La forma de omar e cuea los daos cesados e el proceso de caracerzacó probablísca se cera e el paso del procedmeo prevamee descro, es decr, e el cálculo de los parámeros co los daos de la muesra; ya que las ecuacoes para el cálculo de los parámeros de las dsrbucoes probablíscas so dferees cuado exse daos cesados. Como el lecor recordará, el méodo de máxma verosmlud perme defr las ecuacoes de los parámeros. refrescar la memora, recuérdese el méodo de máxma verosmlud: Para Paso : Para u se de daos (=,, 3...) crear la ecuacó de máxma verosmlud: L f (, ) ; dode so los empos de ocurreca de fallas y el parámero o los parámeros de la dsrbucó probablísca. Paso : Dervar la ecuacó de verosmlud respeco a cada parámero; L Paso 3: Hallar el valor de que maxmza L; es decr resolver 0 E caso de exsr daos cesados, la ecuacó de verosmlud defda e el paso, camba a la sguee forma: m w L f (, )* C( j, ) ; j Dode: m = Número de equpos que ha fallado. = Tempo de falla del equpo. w = Número de daos cesados o equpos o fallados. j = Tempos de operacó de equpos que o ha fallado (daos cesados). Parámeros de la dsrbucó de probabldad. Por esa varacó e el procedmeo, las ecuacoes para el cálculo de parámeros que se obee cuado exse daos cesados so dferees a las ecuacoes que se obee cuado o los hay. La Fgura.05 muesra u flujograma del proceso de seleccó de la dsrbucó que mejor ajusa a ua muesra de daos que cluye daos cesados. L 60

11 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Aalzar los daos de la muesra y geerar las hpóess o dsrbucoes paramercas que podra ajusar a los daos de la muesra f k ( ; j ) Dode: k=,...m; dode m = úmero de hpóess geeradas j = parámeros de la dsrbucó hpoeca f () Meodo de Maxma Verosmlud Paso : Para los daos de fallas (=,,3... ) crear la ecuacó de verosmlud : L f ( ;,,..., ) Paso : Dervar la ecuacó de verosmlud respeco L a cada parámero j ; Paso 3: Hallar el valor de j que maxmza L; es decr resolver L 0 No k=, q=0 Hallar los valores de los parameros j, co los daos de la muesra, ulzado las ecuacoes especfcas para la dsrbuco hpoeca f k ( ), obedas co el meodo de Maxma Verosmlud Hay daos cesados? S Meodo de Maxma Verosmlud Paso : Para los daos de fallas (=,,3... z), y los daos cesados l (l=,,3.w) crear la ecuacó de verosmlud : L z w f (,,,..., ) * C ( l,,,..., ) l Paso : Dervar la ecuacó de verosmlud respeco a cada parámero j ; L Paso 3: Hayar el valor de j que maxmza L; es decr resolver L 0 Para cada valor de la muesra de daos (=,.), calcule la probabldad de falla eorca F () F ( ) fk ( ;,,... j ) d 0 Dode,,... j, so los parameros de la dsrbuco, hayados e la fase preva. Para cada valor de la muesra de daos (=,.), calcule la probabldad de falla emprca ˆ ( ) F Dode =umero de os de la muesra Grafcar la Probabldad de Falla Teorca F () y la Probabldad de Falla Emprca Fˆ ( ) Vs Probabldad de Falla (empo) Co los calculos de Prob. de Falla Teorca F () y la Probabldad de Falla Emprca, Fˆ ( ) aplcar el es de Bodad de Ajuse de Kolmogorov-Smrov, Calcular el valor del es: K-S k C alcular el valor crco Vc k para u vel de cofdeca especfco F() E m prca F() Teorca f k () es ua hpoess rechazada No K-S k <Vc k S f k () es ua hpoess o rechazada y es caddaa a mejor ajuse q=q+ k=k+ S k<m No Ere las q dsrbucoes que fuero o fuero rechazadas, la que mejor ajusa al se de daos correspode a la que ega u meor valor del es de bodad de ajuse K-S M ejor F: K-S m m o No k<m S k=k+ FIN Fgura.05 Proceso de seleccó del mejor ajuse. 6

12 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos 6 La Tabla.35 resume las ecuacoes para el cálculo de parámeros para las dsrbucoes probablíscas más usadas e aálss de cofabldad de equpos o reparables, ao para muesras co sólo daos de falla, como para muesras co daos cesados. Tabla.35: Ecuacoes de parámeros. Dsrbucó Parámeros Todos los equpos de la muesra ha fallado ( :,...) Solo m equpos ha fallado ( :,...m) y w equpos o ha fallado( j:,... w ) (daos cesados) Expoecal λ w j j m m Webull α / w j j m m β l l x m w j j m w j j j m l m l l Gamma α X Solucó umérca β X ) (. Solucó umérca Normal μ Solucó umérca σ Solucó umérca Log- Normal μτ ) l( Solucó umérca στ ) l( Solucó umérca Adcoalmee, e la abla.36 que se muesra a couacó, se resume las ecuacoes para el cálculo de la probabldad de fallas F(), la cofabldad C(), la velocdad de cremeo del pelgro o asa de fallas h() y el TPPF, para las dsrbucoes probablíscas más usadas e aálss de cofabldad de equpos o reparables.

13 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tabla.36: Ecuacoes para dversas dsrbucoes de probabldad. Dsrbucó f() F() C() h() TPPF Expoecal f( ) e F( ) e C( ) e h ( ) TPPF Webull f ( ) e F( ) e C ( ) e h() TPPF Gamma f( ) e F( ) e d C() F( ) 0 f() h() TPPF F() Normal f() e F ( ) e d C() F() f() h() TPPF F() Log- Normal l( ) f() e F ( ) f( )d C() F( ) 0 f() h() F() TPPF e Para fjar los cocepos y procedmeos asocados a la esmacó de cofabldad, a couacó se presea dos ejemplos práccos de aplcacó que será de gra uldad para el lecor. Ejemplo.: Aálss de Cofabldad Equpos No Reparables. E el presee ejemplo se aalzará ua base de daos correspodee ua a poblacó de 53 bombas elecro-sumergbles saladas e sedos pozos de produccó de peróleo. Se ha hecho u segumeo a cada bomba desde su salacó hasa la falla. De las 53 bombas de la muesra de esudo 49 ha fallado e los períodos observados, cuyos daos se regsra e la Tabla.37; meras que las 4 bombas resaes, aú permaece operado, acumulado las horas de operacó mosradas e la Tabla.38. Por políca de maemeo, esas bombas so reemplazadas por ua bomba ueva al fallar, para mmzar el empo de paro del pozo producor. Ejercco: Calcular la asa de fallas y la cofabldad de ua bomba elecrosumergble del msmo po, que operará e codcoes smlares a las bombas de la muesra, para períodos de 500, 800 y 5000 hrs. Calcular la probabldad para que esa bomba supere las 6000 hr. de operacó y el TPPF de la poblacó de bombas. Tabla.37 Tempos de Operacó de Equpos Fallados. Tempo de Operacó hasa la falla (hrs) Bombas Elecrosumergbles

14 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tabla.38 Tempos de Operacó de Equpos Cesados. Tempo de Operacó (hrs) Bombas Elecrosumergbles Solucó: Para coesar las preguas plaeadas e el eucado, es ecesaro segur las sguees eapas: Eapa : Caracerzar probablíscamee la varable empo e operacó hasa la falla, aalzado la muesra de = 53 daos mosrados e las ablas.37 y.38 sguedo el procedmeo resumdo e el flujograma de la Fgura.05 Eapa : Ua vez coocda la dsrbucó de probabldades del empo de operacó hasa la falla, se realzará el cálculo de cofabldad, probabldad de fallas y asa de fallas ulzado las ecuacoes.43 y.45 respecvamee. El empo promedo para fallar se hallará ulzado la ecuacó.44. Eapa 3: Para desacar la mporaca y el efeco de cosderar los daos cesados como pare de la formacó que debe cosderarse e u aálss de cofabldad; se realzará la caracerzacó probablísca e dos fases; prmero cosderado sólo los daos de equpos fallados y poserormee se cluría los daos de los equpos que o ha fallado aú para cosaar y dscur las dferecas. Caracerzacó probablísca co daos de equpos fallados solamee: Segú el flujograma de la Fgura.05, el prmer paso para caracerzar probablíscamee ua varable es plaear hpóess de posbles modelos paramércos que pudera ajusar be e los daos de la muesra. E ese ejemplo, por raarse de empos, las hpóess que se plaea so los modelos paramércos más usados radcoalmee para ese f, es decr: Hpóess : Dsrbucó Expoecal. Hpóess : Dsrbucó Webull. Hpóess 3: Dsrbucó Gamma. Segudamee es ecesaro calcular los parámeros de cada dsrbucó, co los de la Tabla.37, y las ecuacoes para parámeros resumdas e la Tabla.35: Hpóess : Parámeros de Dsrbucó Expoecal: ,00068 Hpóess : Parámeros de la Dsrbucó Webull: l l ; / Hpóess 3: Parámeros de la Dsrbucó Gamma:.0469 ; X. X ( ) Ua vez calculados los parámeros para las dferees hpóess, debe calcularse las probabldades acumuladas hpoécas F() para cada valor de la muesra. Para hacer eso, se debe ordear e forma ascedee, los daos de la muesra, y aplcar las ecuacoes para el cálculo de F() de la abla.36: Hpóess : Dsrbucó Expoecal: ) F( e F( ) e ; (.47) 64

15 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos (E Excel la fucó Expds(,λ, verdadero)= realza ese cálculo) Hpóess : Dsrbucó Webull : ) e ) e F( F( ; (.48) (E Excel la fucó Webull(,α,β,verdadero)= realza ese cálculo) Hpóess 3: Dsrbucó Gamma: F( ) e d (.49) 0 (E Excel la fucó Gammads(, α,β,verdadero)= realza ese cálculo) Segudamee, debe calcularse los valores de la probabldad acumulada empírca, para cada valor de la muesra. Como se dcó e el dagrama de la Fgura.45 ua vez que los daos de la muesra se ha ordeado e forma ascedee, la probabldad empírca se calcula co la sguee expresó: Fˆ ( ) ; (.50) Dode: = úmero acumulado de fallas e el perodo = úmero de elemeos de la muesra = 49 La abla.39 muesra los resulados de aplcar las ecuacoes.47,.48,.49 y.50 a los daos de la Tabla.37. La fgura.06 muesra los gráfcos de Probabldad Acumulada Empírca y Probabldad Acumulada Teórca calculada co cada ua de las dsrbucoes hpoécas vs. Tempo. A smple vsa, las res dsrbucoes hpoécas (Expoecal, Webull y Gamma) parece ajusar basae be a los daos de la muesra; o obsae, para saber s esas hpóess so esadíscamee váldas y para seleccoar la que mejor ajusa a los daos, se debe realzar u Tes de Bodad de Ajuse, de los esudados e la seccó de esadísca para la cofabldad e el aparado E ese ejercco se realzará el Tes de Kolmogorov Smrov. Como se dcó e la seccó de esadísca para la cofabldad e el aparado 4.3.-B el Tes de Kolmogorov-Smrov cosse báscamee e calcular los valores absoluos de las dferecas ere valores de las probabldades acumuladas eórcas F( ) y empírcas Fˆ ( ) para odos los daos de la muesra, como se dca e las sguees ecuacoes: F( ) Fˆ ( ) y ( ) Fˆ ( ). El resulado o valor del es, deoado como K-Svalue, es el valor absoluo de la máxma dfereca F ecorada: S max mof( ) Fˆ ( ); F( ) Fˆ ( ) K. value F() Empírca y F() Expoecal Vs. empo F() Empírca y F() Webull Vs. empo.. Probabldad de Fallas empo (hrs) Probabldad de Fallas empo (hrs) F() Expoecal F() Emprca F()=/ F() Webull F() Emprca F()=/ F() Empírca y F() Gamma Vs. empo. Probabldad de Fallas empo (hrs) F() Gam m a F() Em prca F()=/ Fgura.06 F() eórca y F() empírca vs. Tempo. 65

16 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tabla.39 Cálculo de las F() para las dsrbucoes hpoécas y F() empírcas para los daos de la muesra. Falla No "" (hrs) F() Expoecal F() Webull F() Gamma F() Emprca F()=/ La Tabla.40 muesra los resulados del es de Kolmogorov para la hpóess ; es decr la dsrbucó expoecal: 66

17 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tabla.40 Tes de Kolmogorov-Smrov para la hpóess. Hpóess : Dsrbucó Expoecal Daos de la Muesra Probabldad Acumulada Tes de Kolmogorov-Smrov Falla "" F() Teórca F() Empírca F ) Fˆ( ) ( F ) Fˆ( ( ) K-S Value

18 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Ua abla smlar a la Tabla.40 puede cosrurse para las dos resaes hpóess, y calcular los valores del Tes de Kolmogorov. La abla.4 presea u resume de los resulados de aplcar ese Tes a las res dsrbucoes hpóess: Tabla.4: K-Svalue para dsrbucoes hpoécas. Dsrbucó Hpóess K-Svalue Expoecal (λ= ) Webull (α=464.87; β=0.9987) Gamma (α=399.8; β=.0469) De gual forma, como se dcó e la seccó de esadísca para la cofabldad e el puo 4.3.-B-b, el valor críco, para el Tes de Kolmogorov, se calcula depededo del vel de sgfcaca y del úmero de daos de la Tabla.4 de la seccó de esadísca para la cofabldad, muesra los valores crícos para dversos amaños de muesra. U exraco de esa abla se muesra e la Tabla.4 que resume las fórmulas requerdas para calcular los valores crícos para dversos veles de sgfcaca para amaños de muesra superores a los 35 daos. Adcoalmee, se expoe los valores obedos para la muesra bajo aálss, co 49 daos. Tabla.4 Valores Crícos Tes Kolmogorov-Smrov. Tamaño de muesra Sgfcaca 0% 5% 0% 5% % > N= Como puede verse, de las Tablas.4 y.4, los resulados del es para las res hpóess so meores que los valores crícos para cualquera de los veles de sgfcaca; K Svalue ValorCrco. Por esa razó, las res dsrbucoes so hpóess o rechazadas; pero se seleccoa la dsrbucó Webull (α=464.87; β=0.9987), como mejor ajuse por presear el meor K-Svalue. Caracerzacó probablísca co daos de equpos fallados y daos cesados. Ahora se reperá u procedmeo smlar, sguedo el flujograma de la Fgura.45 pero cosderado adcoalmee los llamados daos cesados ; es decr, los daos de equpos que aú o ha fallado y que se resume e la Tabla.38. Co eso los daos de la muesra ahora so 53. Nuevamee el prmer paso es plaear hpóess de posbles modelos paramércos que pudera ajusar be e los daos de la muesra. E ese ejemplo, omado como premsa los resulados de la seccó aeror, se hará ua sola hpóess: Hpóess : Dsrbucó Webull Segudamee se calculará los parámeros, co las ecuacoes para parámeros cosderado daos cesados, resumdos e la columa derecha de la Tabla.35. Hpóess : Parámeros de Dsrbucó Webull, co daos de fallas y daos cesados: 49 l j j 49 4 j j 4 l 49 4 j j 49 j l Ua vez calculados los parámeros la hpóess, debe calcularse las probabldades acumuladas hpoécas F() para cada valor de la muesra. Para hacer eso, se debe ordear e forma ascedee, los daos de la muesra, y aplcar las 68

19 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos ecuacoes para cálculo de F() de la Tabla.36: Hpóess : Dsrbucó Webull: F( ) e F( ) e ; (.5) (E Excel la fucó Webull(,α,β,verdadero)= realza ese cálculo) Segudamee, se calcula los valores de la probabldad acumulada empírca, para cada valor de la muesra. Como se dcó e el dagrama de la Fgura.45 ua vez que los daos de la muesra se ha ordeado e forma ascedee, la probabldad empírca se calcula co la sguee expresó: Fˆ ( ) ; (.5) N dode: = úmero acumulado de fallas e el perodo N =+w = úmero de elemeos de la muesra = 53 La abla.43 muesra e la ulma columa los resulados de Probabldad Acumulada Empírca calculados co la ecuacó.5 y e las dos columas prevas los resulados de Probabldad Acumulada Teórca; ua proveee de ua dsrbucó Webull (ecuacó.50) cuyos parámeros se calcularo omado e cuea los daos cesados y ora procedee de ua dsrbucó Webull calculada sólo co daos de falla e la seccó aeror. La Fgura.07, muesra los gráfcos de los resulados que se resume e la Tabla.43. E ese grafco puede observarse la curva de Probabldad Acumulada Empírca y dos curvas de Probabldad Acumulada Teórca; ua curva Webull cuyos parámeros se calcularo omado e cuea los daos cesados y ora curva Webull cuyos parámeros se calcularo sólo co daos de falla que fue obeda e la seccó aeror. Como puede verse e la Fgura.07, a smple vsa la curva que mejor ajusa a los valores de F() empírca es la curva de la dsrbucó de Webull cuyos parámeros se calcularo omado e cuea los daos cesados. També puede observarse claramee que la curva de la dsrbucó de Webull cuyos parámeros se calcularo sólo co los daos de falla o ajusa a los valores de la F() empírca o F() de la muesra. Probabldad de Fallas empo (hrs) F() Teorca solo co daos de Fallas F() Emprca F() Teorca co daos cesados Fgura.07 Resulados 69

20 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Falla "" T Tabla.43 Resulados F() Teórca solo daos de falla F() Teórca co daos cesados F() Emprca F()=/ Para saber s las hpóess plaeadas so esadíscamee váldas y para seleccoar la que mejor ajusa a los daos, se debe realzar u es de bodad de ajuse, de los esudados e la seccó de esadísca para la cofabldad e el aparado Se ulzará uevamee el es de Kolmogorov Smrov; es decr, se calculará los valores absoluos de las dferecas ere valores de las probabldades acumuladas eórcas F( ) y empírcas Fˆ ( ) para esmar K-Svalue, es decr el valor absoluo de la máxma dfereca ecorada: 70

21 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos K Svalue max mo F( ) Fˆ ( ) ; F( ) Fˆ ( ) La Tabla.44 muesra los resulados del es de Kolmogorov para la hpóess ; es decr, la dsrbucó Webull co parámeros esmados cosderado los daos cesados: Tabla.44: Resulados Kolmogorov-Smrov. Hpóess: Dsrbucó Webull (α:734 y β:0.873) Daos de la Muesra Probabldad Acumulada Tes de Kolmogorov-S Falla No. (hrs) F() Teórca co daos cesados F() Emprca F()=/53 F ) Fˆ( ( ) F ) Fˆ( ( ) K-S Value:

22 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos La Tabla.45, resume los resulados de los valores crícos calculados para dversos veles de sgfcaca, para ua muesra que cluyedo los daos cesados es de 53 valores. Tabla.45 Valores Crícos Tes Kolmogorov-Smrov. Tamaño de muesra Sgfcaca 0% 5% 0% 5% % > N= Como puede verse, K-Svalue =0,05656 < Valor Crco, para odos dversos veles de sgfcaca; por esa razó, la dsrbucó hpóess Webull (α=464.87; β=0.9987) o es rechazada, y puede cosderarse u bue ajuse para los daos de muesra. Eapa : Ua vez coocda la dsrbucó de probabldades del empo de operacó hasa la falla, se realzará el cálculo de cofabldad, probabldad de fallas, asa de fallas y empo promedo para fallar ulzado las ecuacoes de la Tabla.36 para la dsrbucó de Webull; es decr: Cofabldad: C( ) e C( ) e (.53) Tasa de Fallas: (0,837 ) 0,8734 h( ) (.54) 734,45 734,45 El eucado del problema pde calcular esos valores para = 500, 800, 5000 y 6000 hrs. La Tabla.46 resume los resulados para los empos mecoados: Tabla.46 Cálculos de Cofabldad y Tasa de Fallas Bombas Elecro-sumergbles. T C() h() Adcoalmee, se debe calcular el TPPF de ese po de bombas. Para ello se cuea co el apoyo de la ecuacó.44, que desarrollada para ua dsrbucó Webull resula: TPPF TPPFBOMBAS 734,45 TPPFBOMBAS 857 hrs (.55) 0,873 Por úlmo, la fgura.08 que se muesra a couacó, resume los resulados del cálculo de Cofabldad C(), para la muesra de daos, co dos curvas; ua que cosdera sólo los daos de fallas (Dsrbucó Webull (α= y β=0.998)), y ora que cosdera los daos de fallas más los daos cesados o o fallados ( Dsrbucó Webull (α=734,45 y β=0,873)). 7

23 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Cofabldad C() Probabldad empo (hrs) C() (Fallados solamee) C() Fallados + Cesados Fgura.08 Cofabldad C() Como puede observarse, la curva que cosdera sólo los daos de fallas, es basae más pesmsa que la curva que cosdera los daos de falla más los daos cesados. Eso realza la mporaca de cosderar los daos cesados, cuado los haya, como pare de la evdeca que debe clurse e u aálss de cofabldad, ya que al omrlos se esá sobresmado la probabldad de fallas y subesmado la cofabldad. B.- Esmacó de Cofabldad de Acvos o Reparables co Esadísca o Paramérca. E muchas oporudades o se cosdera coveee asocarle a u cojuo de valores de ua varable e parcular ua dsrbucó paramérca de las que se ha esudado e la seccó de esadísca para la cofabldad; be sea porque o se cooce la dámca de la varable a modelar, o exse relacó algua ere esa dámca y los prcpos maemácos o físcos que susea la dsrbucó paramérca que más se adapa a las muesras de esa varable, o smplemee o se ecuera gua dsrbucó paramérca que se ajuse al cojuo de daos dspobles. Bajo esas crcusacas, puede oparse por seleccoar ua dsrbucó o paramérca, que al como se explcó e seccoes prevas, es ua dsrbucó cuyo comporameo es defdo e su oaldad por la daa dspoble. E oras palabras, es como s se cosruyera ua dsrbucó muy parcular para el cojuo de daos bajo aálss. Exse dferees esquemas para el cálculo de la cofabldad asa de falla y oras fguras de méro ulzado represeacó o paramérca, muchos de ellos varía e fucó de la muesra, de cómo ha sdo recolecada y cosoldada la muesra, ere oros. E ese exo, se lmará el raameo de esa emáca a mosrar las ecuacoes más mporaes para aálss de cofabldad co esadísca o paramérca; pero o se profudzará debdo a su exesó. Para esudar ese ema e [0], [] dealle, se recomeda las referecas La Tabla.47 resume las ecuacoes más mporaes para aálss de cofabldad co esadísca o paramérca, para ua muesra de daos dode =,,...,. Tabla.47: Ecuacoes para aálss de cofabldad co esadísca o paramérca. Fgura de Méro Muesras Pequeñas <5 Muesras Grades 5 Cofabldad Ĉ( ) 0,65 Ĉ( ) 0,5 Ĉ( ) 0,65 Prob. de Falla Fˆ ( ) Fˆ ( ) Fˆ ( ) 0,5 Tasa de Fallas ĥ( ) ĥ( ) ĥ( ) 0, Cofabldad de Acvos Reparables. Iroduccó. U ssema reparable es aquel que acepa reparacoes y le puede ser resauradas sus fucoes medae el uso de cualquer méodo de reparacó dferee al reemplazo del ssema compleo. 73

24 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos E el aálss de ssemas reparables hay cco posbles esados que dchos ssemas puede adqurr después de ua reparacó. Esos esados so: - Ta bueo como uevo. - Ta malo como aes de reparar. - Mejor que aes de reparar pero peor que cuado esaba uevo. - Mejor que cuado esaba uevo. - Peor que aes de reparar. Los modelos probablíscos ulzados radcoalmee para esmar o predecr el úmero esperado de fallas asume alguo de los dos prmeros esados pero o cubre los úlmos res, los cuales parecera acercarse más a la realdad. E esa seccó se presea ua revsó de los modelos radcoales de predccó del úmero de fallas e u empo msó para ssemas reparables, así como alguos ejemplos de aplcacoes. Adcoalmee se presea la formulacó de u modelo probablísco que oma e cuea los cco esados e los que puede quedar u ssema ua vez reparado, el cual se deoma Proceso Geeralzado de Resauracó (PGR) y se demuesra que el PGR es la eoría más geeral para predecr el úmero de fallas e acvos reparables. Las referecas [], [6], [47], [48] ofrece formacó parcularmee deallada sobre Cofabldad e Acvos Reparables Varables Probablíscas de Ierés e Aálss de Cofabldad de Acvos Reparables. Como se mecoó prevamee u equpo reparable es aquel cuya codcó operava puede resaurarse después de fallar co ua reparacó. Esa cosderacó mplca que e su vda puede ocurrr más de ua falla y es ésa la dfereca fudameal co los equpos o reparables e cuya vda sólo puede ocurrr ua úca falla. Aerormee, se esudó exesamee como raar la varable probablísca de erés para acvos o reparables, es decr, el empo para la falla; y los dcadores o fguras de méro ulzados para descrbrla; ales como la asa de fallas h(m), la cofabldad C(m) y la probabldad de falla F(m) para u empo msó m; o obsae como se demosrará más adelae, esos cocepos, dcadores y ecuacoes, al como fuero defdos e la mecoada seccó, o aplca cuado se habla de equpos reparables. E esa seccó, se raará exesamee el ema de la varable probablísca que se esuda para equpos reparables y los dcadores o fguras de méro para caracerzarla. Cuado se raa de equpos reparables y se habla de empo para la falla, surge medaamee la pregua empo para cuál falla? ; (empo para la prmera falla?; o empo para la seguda falla?; o empo para la ésma falla?), ya que para u empo msó m puede ocurrr más de ua falla. S se habla por ejemplo, la probabldad de falla e el empo msó m, surge las preguas, probabldad de cuáas fallas?; probabldad de ua falla e u período m?; o probabldad de fallas e u empo m?; o probabldad de fallas e u empo m? La Fgura.09 se esquemaza ua proyeccó o esmado de u proceso de operacó de u equpo reparable, e el que se sabe que puede ocurrr fallas que será resauradas co reparacoes. Al mecoado esquema se asoca la omeclaura que se ulzará e lo sucesvo. Nóese que se maejará dos escalas de empo:.- Ua escala relacoada al empo de operacó ere fallas; para la cual se usará subídces; por ejemplo = empo de operacó ere la prmera y la seguda falla..- Ora escala relacoada co el empo acumulado de operacó hasa las fallas o hasa u eveo específco; para la cual se usará superídces, por ejemplo [] = empo acumulado de operacó hasa la seguda falla. Nóese que [] =+ ra falla da falla 3 ra falla 4 3 a falla (-) 4 - h falla () h falla 3 4 K K Tempo msó = T K Fgura.09 Proceso de fallas sucesvas. Nomeclaura. 74

25 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Aalzado la fgura.09 y recordado que el empo para la falla se cosdera como ua varable aleaora por exceleca, se cocluye que las varables (empo de operacó hasa la prmera falla), (empo de operacó ere la prmera y la seguda falla), 3 (empo de operacó ere la seguda y la ercera falla); hasa (empo de operacó ere la (-) h y la falla ), so odas varables aleaoras; es decr, varables que puede omar múlples valores y que por ede, cada ua puede ser represeada co ua dsrbucó de probabldades. De la msma maera, y recordado los cocepos de operacoes co varables aleaoras, se cocluye que las varables [] (empo acumulado de operacó hasa la seguda falla), [3] (empo acumulado de operacó hasa la ercera falla), [4] (empo acumulado de operacó hasa la cuara falla), hasa [] (empo acumulado de operacó hasa la falla), so ambé varables aleaoras ya que las msmas resula de la suma de oras varables aleaoras; al como puede verse e la Fgura.09. La Fgura.0 represea la probabldad de fallas F(), que como puede oarse aumea desde 0 a ere la falla - y la falla ; para =,,3,.., y e la Fgura. se represea la cofabldad del ssema C(), que dsmuye desde hasa 0 ere la falla - y la falla ; para =,,3,..,. F( ) = Probabldad de Fallas ere la (-) h falla y la h falla 0 ra falla da falla 3 ra falla 4 3 a falla (-) 4 - h falla () h falla 3 4 K [a] = empo acumulado e operacó 0 [k] Fgura.0 Probabldad de Fallas e Acvos Reparables. C( ) = Cofabldad ere la (-) h falla y la h falla 0 ra falla da falla 3 ra falla 4 3 a falla (-) 4 - h falla () h falla 3 4 K [a] = empo acumulado e operacó 0 [k] Fgura. Cofabldad e Acvos Reparables. Los Fguras.0 y. muesra claramee que o ee mucho sedo hablar de probabldad de falla o cofabldad e u empo acumulado de operacó [k] o empo msó, ya que e ese período esos valores flucúa ere 0 y varas veces, y para dferees valores del empo e operacó puede darse el msmo valor de probabldad de falla. Por esa razó, esos dcadores so poco usados e el aálss de acvos reparables. El aálss de la Fgura. perme defcar la varable aleaora que caracerza a los equpos reparables coocda como Número Acumulado de Fallas N( [m] ), para u empo acumulado de operacó o empo msó [m]. Para la mejor compresó de ese ema es mporae explcar dos zoas claramee dferecadas e la Fgura.. 75

26 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos N( [a] ) = No acumulado de fallas e el empo acumulado de operacó [a] N( [k] ) 95% f(n( [k] )) N( [k] )=( [k] ) N( [k] ) 5% ra falla da falla 3ra falla 4a falla Hsora (pasado) Hoy m Predccó (fuuro) [a] = empo acumulado e operacó m Tempo msó = m 3 4 Fgura. Número Acumulado de Fallas e el Tempo Acumulado de Operacó..- Ua zoa correspodee a la Hsora o al pasado; que comprede 4 fallas acumuladas, que ha ocurrdo e forma sucesva y co ervalos,, 3 y 4. Los valores,, 3 y 4 o so varables aleaoras; porque so coocdos; así como ampoco es ua varable aleaora el úmero acumulado de fallas e el empo de operacó [4]. Esos valores so daos que se usará para hacer predccoes del úmero de fallas para empos mayores a [4] = La ora es la llamada zoa de Predccó y correspode al fuuro. E esa zoa odo es aleaoro, y el objevo es saber cuáas fallas más puede ocurrr desde [4] hasa [m] = [4] +m. Como el lecor puede ferr, la varable Número Acumulado de Fallas N( [m] ), puede omar múlples valores para u empo acumulado de operacó o empo msó [m] =++3+4+m;, es decr, es ua varable aleaora que puede y debe ser modelada maemácamee co ua dsrbucó de probabldades, a la cual se le puede calcular ua meda y uos perceles; al como se muesra e la fgura. Resumedo, la predccó del úmero acumulado de fallas para cada valor del empo de operacó dará como resulado ua dsrbucó de probabldades. La meda o valor esperado de esa dsrbucó se cooce como Número Esperado de Fallas y se deoa como Δ( [m] ), al como se muesra claramee e la fgura. La varable aleaora Número Acumulado de Fallas N( [m] ), para u empo acumulado de operacó [m] es la varable probablísca objeo de esudo e aálss de acvos reparables, y la fgura de méro Número Esperado de Fallas Λ ( [m] ) es el dcador por exceleca ulzado para caracerzarla. Además de Λ ( [m] ), exse oras fguras de méro o dcadores de gra uldad para aálss de equpos reparables; esos so: ( [m] ) = Tasa de ocurreca de fallas al empo acumulado de operacó [m] TEPPF =Tempo esperado para la próxma falla, después del empo acumulado de operacó hasa la úlma falla. E las seccoes sucesvas, se defrá los modelos maemácos para esmacó de los dcadores probablíscos de erés e ssemas reparables; co especal éfass e la esmacó del Número Esperado de Fallas Λ ( [m] ) Modelos Probablíscos para la Esmacó o Predccó del Número de Fallas (N( [m] )) e u Período de Operacó [m], para Ssemas Reparables. La Fgura.3 muesra u resume de las eorías o procesos esocáscos para el modelaje de cofabldad de ssemas reparables. 76

27 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos El Proceso Ordaro de Resauracó, el cual asume que el ssema vuelve a la codcó de a bueo como uevo y el Proceso No Homogéeo de Posso, el cual asume que queda a malo como esaba, so los méodos más comúmee ulzados para la evaluacó de ssemas reparables. El Proceso Geeralzado de Resauracó (PGR), el cual o asume gú esado e parcular y cosdera que los 5 esados so posbles, ha sdo receemee de gra erés debdo a la ecesdad de eer aálss y predccoes que esé suseados sobre bases más realsas. Aálss de Cofabldad para Equpos Reparables Resaurar a la codcó orgal Reparacó míma posble Resaurar parcalmee Proceso Ordaro de Resauracó (POR) Proceso o Homogeeo de Posso (PNHP) Proceso Geeralzado de Resauracó (PGR) Ta bueo como uevo Ta malo como vejo Mejor que como esaba pero peor que uevo Fgura.3 Teorías para Modelaje de acvos reparables A.- Proceso Ordaro de Resauracó (POR). Se defe como Proceso Ordaro de Resauracó a u modelo maemáco que cosdera que los dferees empos ere fallas sucesvas de u acvo reparable so varables aleaoras depedees e décamee dsrbudas (es decr que puede represearse co el msmo modelo de dsrbucó paramérca probablísca). Esas cosderacoes puede ser váldas s se asume que el ssema es resaurado a su codcó orgal cada vez que se repara, es decr, el equpo queda a bueo como uevo. S eso se asume como cero, los empos (=,,3...) ere fallas sucesvas so depedees, ya que al haber ua reparacó perfeca el empo de operacó o ee gú efeco e el empo +. De gual forma, s cuado ocurre la falla e el empo (=,,3.), el equpo es resaurado a su codcó orgal, es razoable pesar que la varable aleaora +, se comporara de maera smlar a la varable aleaora ya que al co de ambos períodos, el equpo esá eórcamee e la msma codcó; por lo que puede asumrse que ambas varables puede caracerzarse co la msma dsrbucó de probabldades, es decr, puede cosderarse décamee dsrbudas. Por supueso, cosderar que cuado ocurre ua falla el equpo es resaurado a su codcó orgal represea u escearo deal, por lo que el POR es u modelo que ee lmacoes e su aplcacó e el aálss de ssemas reparables. Ese modelo esá resrgdo para equpos cosudos por alguos pocos compoees prcpales o reparables los cuales so reemplazables dvdualmee al fallar. Eso es, cuado ua pare prcpal del equpo falla, ésa será reemplazada por ua ueva. Los compoees so o reparables ; pero el equpo es reparable. També es válda esa asucó, cuado la políca de reparacó sea revsar odo el equpo y reemplazar odo lo que esé deerorado cada vez que el equpo falle. Co base e el POR, y asumedo que los empos ere fallas sucesvas sgue ua dsrbucó Webull, las ecuacoes para los dcadores probablíscos de erés, para u valor del empo de operacó [m], so las sguees: Probabldad de Fallas: m m F e (.56) Cofabldad: m C [ m] e (.57) 77

28 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tasa de Ocurreca de Fallas: [ m] m (.58) Tempo Esperado para la próxma Falla: TEPPF. (.59) Número Esperado de Fallas: El cálculo de la varable Número Esperado de Fallas (( [m] )), revse especal erés y complejdad, por esa razó, se propoe ua solucó por smulacó de Moecarlo para esa varable. Para el POR a parr de la ecuacó.56, se sabe que: l F / (.60) Dode represea empos ere fallas sucesvas geerados desde la ecuacó de Probabldad de Falla del POR. Co la ecuacó.60, se puede calcular el úmero Esperado de Fallas () al empo acumulado de operacó [m] =T; sguedo el dagrama de flujo que se muesra e la Fgura.4. El flujo-grama de la Fgura.47 es fáclmee programable, y e cuesó de segudos es posble realzar mles de eracoes para obeer u cálculo umérco de (). INICIO SELECCIONE EL PERIODO DE ANALISIS T INGRESE EL VALOR DE LOS PARAMETROS y SELECCIONE EL NUMERO DE ITERACIONES = m = j= T j =0 GENERAR ALEATORIAMENTE, UN VALOR X j ENTRE 0 y Tempo para la Falla () 0 F() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 F e 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 =+ empo (hrs) l j X j / T j =T j + j SI <m? N Fallas =j NO T j <T? SI j=j+ NO NUMERO ESPERADO DE FALLAS AL TIEMPO T (T ) m m STOP Fgura.4 Flujograma de la Smulacó de Moecarlo para el cálculo del N Esperado de Fallas L(T) e acvos reparables basado e el POR. Nóese que para el cálculo de cualquera de los dcadores probablíscos de erés, es ecesaro eer calculados los valores de los parámeros de escala (α) y de forma (β). Ecuacoes para los Parámeros del POR Caso : Equpo Fallado. La esmacó se hace e u momeo e el que ocurre la falla, y el equpo o esá operado. E esas ecuacoes represea los empos ere fallas sucesvas observados y es el úmero oal de fallas observadas. 78

29 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos ˆ (.6 l l (.6) Ecuacoes para los Parámeros del POR Caso : Equpo Operado. La esmacó o predccó se realza cuado el equpo esá operado ha rascurrdo u empo c (ver Fgura.7) desde la ocurreca de la úlma falla. Para el cálculo de parámeros es ecesaro resolver el sguee ssema de ecuacoes: c ˆ (.63) l c l(c ) l c (.64) E ese puo es mporae desacar que el valor c puede clasfcarse como u dao cesado. Como se dca e la Fgura.5, los parámeros se calcula co los valores de empos ere fallas y empos cesados que ya ha ocurrdo, es decr co la Hsora ; y los msmos so usados para predecr las fallas que ocurrrá e el fuuro. N( [a] ) = No acumulado de fallas e el empo acumulado de operacó [a] N( [k] ) 95% f(n( [k] )) N( [k] )=( [k] ) N( [k] ) 5% Daos para esmar parámeros y ra c m [a] = empo acumulado e operacó Hsora Predccó (pasado) (fuuro) Hoy m Tempo msó = c + m 3 4 Fgura.5 Esmacó de Parámeros, equpo operado. B.- Proceso o Homogéeo de Posso (PNHP). U proceso de resauracó que pueda modelarse co el llamado Proceso No Homogéeo de Posso es aquel e el que los dferees empos para la falla () de u compoee o ssema so cosderados varables aleaoras depedees e 79

30 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos 80 décamee dsrbudas. Esa cosderacó es válda s se asume que al fallar, el ssema es somedo a ua reparacó míma, y que por lo ao el equpo queda a malo como esaba juso aes de la falla. Ese modelo es váldo para equpos muy complejos, co múlples compoees, cuado la políca de reparacó es hacer la míma reparacó requerda para poer al equpo a operar uevamee. Asumedo que se cumple las propuesas prevamee descras, y que los empos sucesvos para fallar sgue ua dsrbucó de Webull, las ecuacoes de cálculo para las varables probablíscas de erés, para el PNHP so las sguees: Probabldad de Fallas: e F (.65) e f (.66) Cofabldad: e C (.67) Número Esperado de Fallas: ] [ m] [ ] [ m] [ (.68) Tasa de Ocurreca de Fallas: m ] [ m ] [ (.69) m] [ m] [ TEPPF (.70) Al gual que para el caso del POR, para el caso del PNHP debe obeerse dos expresoes dferees para los parámeros y de las ecuacoes aerores. Ecuacoes para los Parámeros del PNHP Caso : Equpo Fallado Ese caso se refere a esmacoes que se hace e u momeo e el que acaba de ocurrr la falla, y el equpo o esá operado. Las ecuacoes de los parámeros para ese caso so las sguees: ] [ ˆ (.7)

31 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos 8 ] [ ] [ l ˆ (.7) Dode [] es el empo de operacó acumulado hasa que ocurró la úlma falla, [] es el empo acumulado de operacó hasa que ocurre la falla y es el úmero oal de fallas. Ecuacoes para los Parámeros del PNHP Caso : Equpo Operado La esmacó se realza cuado el equpo esá operado y ha rascurrdo u empo c desde la ocurreca de la úlma falla. m ] [ ˆ (.73) ] [ K ] [ l ˆ (.74) Dode [] es el empo acumulado de operacó hasa la falla, [m] es el empo de aálss o período de erés, c es el empo rascurrdo desde que ocurró la úlma falla hasa el momeo e que desea realzarse el cálculo y es el úmero oal de fallas observadas. a.) Smulacó de Moecarlo para el Proceso o Homogéeo de Posso (PNHP). A pesar de que para el PNHP la esmacó del úmero esperado de fallas puede hacerse aalícamee s mayor dfculad co la ecuacó.68, esa esmacó ambé puede hacerse sguedo el msmo procedmeo ulzado e el POR. La prcpal dfereca es que se ulza ua dsrbucó Webull codcoal. Eso es: e F, obeédose: / F l, para =,3 (.75) Co la ecuacó.75, se puede calcular el Número Esperado de Fallas al empo T ((T)), sguedo el dagrama de flujo que se muesra a e la Fgura.6. El flujo-grama de la Fgura.6, al gual que el de la Fgura.05, es fáclmee programable, y e cuesó de segudos es posble realzar mles de eracoes para obeer u cálculo umérco de (T).

32 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos INICIO SELECCIONE EL PERIODO DE ANALISIS T INGRESE EL VALOR DE LOS PARAMETROS y SELECCIONE EL NUMERO DE ITERACIONES = m = j= T 0 =0 0 =0 GENERAR ALEATORIAMENTE, UN VALOR X j ENTRE 0 y Tempo para la Falla () 0 F() 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 F e 0,0 50,0 00,0 50,0 00,0 50,0 =+ j empo (hrs) l X j / j T j =T j- + j SI <m? N Fallas =j NO T j <T? SI j=j+ NO NUMERO ESPERADO DE FALLAS AL TIEMPO T (T ) m m STOP Fgura.6 Smulacó de Moecarlo N Esperado de Fallas (T) PNP. C.- Proceso Geeralzado de Resauracó (PGR). El proceso geeralzado de resauracó provee la plaaforma para calcular las varables probablíscas de erés para equpos reparables s la ecesdad de hacer asucoes acerca del esado del equpo después de la reparacó. Es u proceso geeral que coee a los casos de POR y NHPP como casos exremos; pero que perme modelar casos ermedos, es decr, reparacoes e las que el equpo queda mejor que como esaba pero peor que cuado uevo ; es decr, veles parcales de resauracó. Como el lecor urá, ese proceso perme modelar casos más reales que el POR y el PNHP. El PGR es u desarrollo muy recee, de cosderable complejdad maemáca que aú puede cosderarse u área de vesgacó. Por esa razó, e aras de la fludez de la lecura de ese exo, se prefró dejarlo para lecores parcularmee eresados e el ema Dspobldad. Aspecos Geerales. A.- Cocepo de Dspobldad. La dspobldad es ua fgura de méro o dcador que perme esmar el porceaje de empo oal e que se puede esperar que u equpo esé dspoble para cumplr la fucó para la cual fue desado. La dspobldad de u elemeo, equpo o compoee o mplca ecesaramee que esé fucoado, so que se ecuera e codcoes de fucoar. La dspobldad es u érmo probablísco exclusvo de los equpos reparables. Para esmar la dspobldad para u perodo de empo ; se requere aalzar esadíscamee los empos operado o up-mes, y los fuera de servco o dow-mes. 8

33 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos up-mes operado OPERANDO (UP TIME) UP UP UP3 UP(-) UP() 0 FUERA DE SERVICIO (DOWN-TIME) DOWN DOWN DOWN(m-) DOWN(m) dow-mes Fuera de servco Fgura.7 Dagrama de empos de operacó y empos de falla. B.- Dspobldad No es Igual a Cofabldad [],[3]. La Dspobldad os habla de cómo usamos el empo global ; es decr; cuáo de ese empo perdemos (dow-me) y cuáo del empo se aprovecha (up-me). Cofabldad ofrece formacó sobre el ervalo de empo lbre de fallas o empo ere fallas cosecuvas. Habla sobre la probabldad de fallar e cada sae de ese ervalo lbre de fallas. Ambas se expresa e érmos porceuales (%) o e érmos probablíscos (ere 0 y ). Dspobldad NO ES IGUAL A CONFIABILIDAD, excepo e el mudo de las faasías dode o hay fallas maemeos - H. Paul Barrger. E la dspobldad se refleja el efeco combado de la cofabldad y la maebldad. C.- Esmacó de la Dspobldad Méodos Aalícos. La esmacó de la Dspobldad puede hacerse por méodos aalícos y por méodos umércos; e esa prmera seccó se explcará los méodos aalícos. E su acepcó más smple; hacedo refereca a la Fgura.7; la dspobldad puede calcularse co la ecuacó.76; que se muesra a couacó: Upme Dspobldad D Upme Dowme UP UP m DOWNj j (.76) Como se mecoó prevamee, para esmar la dspobldad se requere aalzar esadíscamee los empos para la falla, y los empos e reparacó. La expresó maemáca más coocda para el cálculo de la dspobldad; es ua expresó smplfcada; coocda como Dspobldad Líme ; que es ua fucó de la asa de fallas () y de la asa de reparacó () ; esa expresó es: Dspobl dad : D( ) ( ) (.77) ( ) ( ) Para equpos cuyos empos para la falla sgue o se ajusa a ua dsrbucó expoecal, puede decrse que la asa de fallas es ua cosae; es decr, λ()= λ. E ese caso, la ecuacó.74- A se rasforma e: ( ) Dspobl dad : D( ) (.78) ( ) E ese puo vale la pea hacer éfass e lo sguee: asumr empos para la falla expoecalmee dsrbudos o, lo que es lo msmo, asumr ua asa de fallas cosae, es razoable cuado el aálss se hace a vel de equpos ; y o lo es, cuado se hace a vel de compoees. Por ejemplo, cosdérese u po de equpo que ee 5 compoees eros; cada uo de los cuales, al fallar produce la falla o parada del equpo. S se observa por u largo período de empo ua poblacó de ese po de equpos; co ala probabldad se ecorará lo sguee: Al aalzar los empos para la falla de la poblacó de equpos, dscrmado por compoee que produjo la falla, se ecorará que los empos para la falla por po de compoees ede mayoraramee a segur dsrbucoes como Webull, Gamma, Logormal y Bea, ere oras. 83

34 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos S se aalza odos los empos para la falla para la poblacó de equpos, s dscrmar por el compoee que causó la falla, se ecorará que los empos para la falla, e la gra mayoría de los casos, sgue la dsrbucó expoecal;, es decr, la asa de falla es cosae. Lo expueso refuerza la valdez de la ecuacó.78 para la esmacó de la dspobldad a vel de equpos. a.) Esmacó de la Dspobldad Esudo de los Up Tmes. Como se ha mecoado reeradamee; la esmacó de Dspobldad; mplca el aálss esadísco de dos varables aleaoras; el empo e operacó o up-me ; y el empo fuera de servco o dow mes. A couacó se defrá érmos de erés para el aálss esadísco del up me. Tpos de Up-Tme: Como puede observarse e la Fgura.8; exse dversos pos de up- me ; a saber: OPERANDO (UP TIME) Tempo Operavo ere Fallas Tempo de Operacó hasa Maemeo UP(-) Tempo Cesado 0 Fgura.8 Dagrama de empos de operacó y empos fuera de servco. Tempo Operavo ere Fallas (TEF): Tempo que rascurre el equpo operado ere dos fallas sucesvas. Tempo de Operacó hasa Maemeo Plafcado (TPM): Tempo que rascurre desde el arraque hasa que el equpo se deee para ejecuarle algú maemeo plafcado. Tempo Cesado (TC): Tempo e operacó; desde la úlma falla. Falmee; el empo oal e operacó o oal up-me ; se puede calcular como: Upme Dode: m TEF TPM j j k w TC = úmero de valores del TEF de la muesra. m= úmero de valores del TPM de la muesra. w= úmero de valores del TC de la muesra. k (.79) Tempo Promedo Ere Eveos de Paro (TPEEP) y Tasa De Ierrupcoes: Los dcadores esadíscos de mayor erés e el esudo del up me so el Tempo Promedo Ere Eveos de Paro (TPEEP) y Tasa de Ierrupcoes; los msmos puede defrse como sgue: El TPEEP es el promedo de los empos ere errupcoes de dversa ídole; y se calcula medae la sguee expresó: TEF TPM j TC j k TPEEP m m w k (.80) La asa de errupcoes es u dcador de la frecueca co la que el equpo o ssema bajo aálss sale de servco por razoes de dversa ídole; y se calcula medae la sguee expresó: m m TEF TPM j j k w TC k (.8) Cuado los eveos que ocasoa paros so sólo fallas; es decr; o se oma e cuea las paradas para maemeos plafcados; al Tempo Promedo Ere Eveos de Paro (TPEEP) se le llama Tempo Promedo Para Fallar (TPPF) y la Tasa de Ierrupcoes ( λ ); oma el ombre de asa de Fallas ( λ); a saber: 84

35 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos TPPF Dode: TEF w k w k TEF TC k TC k (.8) (.83) TEF : Tempo que rascurre el equpo operado ere la falla (-) y la falla (). TCk : Tempo de operacó desde la úlma falla. : úmero de valores del TEF de la muesra. w: úmero de valores del TC de la muesra. b.) Esmacó de la Dspobldad Esudo de los Dow Tmes. El aálss de la varable dow me es coocdo como MANTENIBILIDAD (M()). Cuaavamee se defe como la probabldad de resaurar la codcó operava del equpo e u período de empo o empo msó. La fgura clave de méro para la maebldad es a meudo el empo promedo para resaurar la codcó operava (TPPR). Cuado el empo para reparar sgue la dsrbucó expoecal; la maebldad se expresa como: M( ) e. e. TPPR Dode μ = Tasa de reparacó (.84) Como se muesra e la Fgura.9; exse dversos pos de dow mes ; a saber: OPERANDO (UP TIME) Tempo Operavo ere Fallas Tempo de Operacó hasa Maemeo UP(-) Tempo Cesado 0 FUERA DE SERVICIO (DOWN-TIME) DOWN DOWN DOWN(m-) DOWN(m) Tempo para Reparar Tempo para Maemeo Fgura.9 Dagrama de empos de operacó y empos fuera de servco. Tempo para Maemeo (TM): Tempo que rascurre desde que el equpo es desacvado para hacerle maemeo; hasa que es pueso e operacó. Tempo Para Reparar (TPR): Tempo que rascurre desde que ocurre la falla hasa que el equpo es pueso e operacó después de su reparacó. El empo oal fuera de operacó; se calcula medae la sguee expresó: m Dowme TPR TM j (.85) j Dode: = úmero de valores del TPR de la muesra. m= úmero de valores del TM de la muesra. El TPPR y la Tasa de Reparacó (μ); se calcula medae las sguees expresoes: 85

36 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos TPPR TPR j m j TPR TM j TM j m (.86) m m (.87) D.- Esmacó de la Dspobldad Méodos Numércos. INICIO CARACTERIZAR PROBABILÍSTICAMENTE EL TIEMPO DE OPERACIÓN ENTRE FALLAS (X) Y UN VALOR DEL TIEMPO FUERA DE SERVICIO (Y) DESDE LOS DATOS DE LA MUESTRA; SIGUIENDO LOS PROCEDIMIENTOS DESCRITOS EN LOS PUNTOS.3.3. DEL CAP. II SECIÓN. Y DEL CAP. II SECCIÓN.4 f(x)=dsrbucó de Frecueca del Tempo de Operacó ere Fallas f(x) g(y)= Dsrbucó de Frecueca del Tempo fuera de Servco g(y) SELECCIONE EL NUMERO DE ITERACIONES = m = j= k= T 0 =0 x 0 =0 y 0 =0 GENERAR ALEATORIAMENTE UN VALOR DEL TIEMPO DE OPERACIÓN ENTRE FALLAS (X) Y UN VALOR DEL TIEMPO FUERA DE SERVICIO (Y) DESDE SUS RESPECTIVAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD; SIGUIENDO LOS PROCEDIMIENTOS DESCRITOS EN EL PUNTO , DEL CAP. II; SECCIÓN.3 F(X) 0 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, F(X)=Dsrbucó de Acumulada del Tempo de Operac ó ere Fallas FF X 0 X = Tempo fde Operacó ere Fallas (hrs) x k F ( X ) 0 G(Y) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0, 0, 0 F(X)=Dsrbucó de Acumulada del Tempo fuera de Servco FF X Y = Tempo fuera de Servco (hrs) y k G ( Y ) T j =T j- + x K + y K x j =x j- +x k =+ SI <m? NO Dspobldad x j d T j N Fallas =j NO y j =y j- +y k T j <T? SI j=j+ k=k+ DISPONIBILIDAD ESPERADA AL TIEMPO T D(T ) m m d NUMERO ESPERADO DE FALLAS AL TIEMPO T (T ) m m STOP Fgura.0 Dagrama de Flujo para el cálculo umérco de la Dspobldad y el Número Esperado de Fallas E el aparado 3..3 se presea las dversas expresoes maemácas de uso comú para el cálculos de la dspobldad; e su gra mayoría esas expresoes (desde la.78 hasa la.87) asume y e cosecueca so váldas solo para 86

37 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos aquellos casos e que las varables empo de operacó ere fallas y empo fuera de servco sgue la dsrbucó expoecal. Auque; como se ha explcado aerormee, e la gra mayoría de los casos, a vel de equpos esa suposcó es cera; exse casos e los que el comporameo del empo de operacó ere fallas sgue oras dsrbucoes ales como Webull, Gamma o Bea y el empo fuera de servco se compora logormalmee. Para esos casos; o so váldas las expresoes de la seccó aeror; y es ecesaro recurrr a u méodo geérco que perma el cálculo de la dspobldad cualquera sea las dsrbucoes que sgue el empo de operacó ere fallas y empo fuera de servco. A couacó se presea u méodo umérco para cumplr co ese f. La Fgura.0 muesra el algormo de cálculo umérco de la dspobldad y del úmero esperado de fallas para equpos reparables. 4. Cofabldad basada e el aálss probablísco del deeroro o físca de la falla (physcs based relably aalyss). El aálss radcoal de cofabldad basado e el esudo esadísco del empo para la falla ha sdo amplamee ulzado e la dusra e geeral (auque o sempre de la mejor forma) para mejorar y raer los equpos y ssemas hasa los acuales veles de desempeño. S embargo, buscado la mejora coua de sus procesos, e las res úlmas décadas alguas dusras ha hecho grades esfuerzos e la recoleccó de ua formacó dferee a la formacó hsórca de fallas, a ravés de programas de mooreo de la codcoes o parámeros que refleja el deeroro. El couo mooreo del deeroro perme plafcar y ejecuar accoes proacvas para evar la ocurreca de la falla. Ese efoque se susea e el covecmeo de que ua falla es la úlma fase de u proceso de deeroro [9], [0], [6], [3], [3], [37], [48]. Para rasformar la formacó recolecada sobre deeroro de u acvo e accoes que pueda efecvamee deeerlo e clusve elmarlo, se requere coocer sobre el o los feómeos físcos que lo produce. E oras palabras, ese efoque se cocera e predecr la ocurreca de ua falla a ravés del eedmeo de cómo ocurre la falla : es decr, esudado la físca de la falla. Adcoalmee se debe mecoar que e la mayoría de los casos, la formacó recolecada sobre deeroro ha sdo usada e forma deermísca. E esa seccó del Capíulo IV se esablece las bases para el raameo probablísco del deeroro y para el cálculo de cofabldad y probabldad de falla basada e la físca de la falla. La columa verebral de ese méodo de esmacó es el aálss Carga-Resseca. 4.. Aálss Carga Resseca. El aálss Carga - Resseca ee como premsa el hecho de que las fallas so el resulado de ua suacó dode la carga aplcada produce u esfuerzo sobre el equpo o compoee que excede a su resseca. E oras palabras, para que u equpo o compoee esé cofable debe cumplrse la codcó Esfuerzo < Resseca. Esfuerzo y Resseca so usados e el sedo más amplo de la palabra. S se aalza por ejemplo u recpee a presó que se deerora poco a poco por corrosó. E u prmer vel de aálss puede decrse que la esó era SX que sopora la pared del recpee como cosecueca de la presó es el esfuerzo, y ése se comparará co ua resseca o máxmo esfuerzo permsble SMAX que debe obeerse por ecuacoes de mecáca de la fracura y que seguramee depede del líme de flueca y del espesor de pared del recpee. E oro vel de aálss se puede decr, de forma equvalee al aeror, que la presó era PX del recpee es el esfuerzo y se compara cora la máxma presó permsble PMAX, obeda ambé de ecuacoes de mecáca de la fracura y que seguramee depede del espesor de pared del recpee y del líme de flueca del maeral. E u vel más básco, puede decrse que el espesor de pared remaee EX se compara cora el mímo espesor permsble EMIN obedo de ecuacoes de mecáca de la fracura; e cuyo caso se llamará esfuerzo a EX y resseca a EMIN. Falmee, se sabe que el espesor remaee depede de la pérdda de espesor, y se puede eoces comparar la pérdda de espesor dx cora la máxma pérdda permsble dmax, eedo eoces dx como esfuerzo y a dmax como resseca. Todos so aálss equvalees. E odos los casos exsrá u valor acual de ua varable que se mde couamee (mooreo), el cual represeará el esfuerzo, y u valor líme de varable que represeará la resseca. Esa úlma ormalmee esá regulada por leyes físcas y esádares de la geería. Smlar aálss se hace para cualquer oro mecasmo de falla o proceso de deeroro. Coraro a la creeca geeral, e la mayoría de los casos el esfuerzo la resseca so valores fjos o deermíscos, por el coraro, sus valores so esadíscamee dsrbudos. Cada dsrbucó ee su valor meda o valor esperado, deoado por X para la carga y Y para la resseca y sus desvacoes esádar X y Y respecvamee. Eso es lusrado e la Fgura.. E la fgura f(x) es la dsrbucó de probabldad de la carga e esfuerzo y g(y) es la es la dsrbucó de probabldad de la resseca y X y Y so las medas de las respecvas dsrbucoes. Cuado la dsrbucó de la codcó medda o mooreada o esfuerzo e el equpo ee algú solape co la dsrbucó de la codcó líme, crero de rechazo, o resseca, quere decr que exse probables valores del esfuerzo que supera probables valores de la resseca; y e ese caso exse probabldad de falla. Esa suacó es mosrada e la Fgura.. 87

38 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos,07,080,054 f(x)= Esfuerzo g(y) =Resseca,07,000 30,00 55,00 80,00 05,00 30,00 X Fgura. Dsrbucoes de Esfuerzo y Resseca. Y,07,080,054 f(x)= Esfuerzo g(y) =Resseca,07,000 30,00 55,00 80,00 05,00 30,00 X Fgura. Dsrbucoes solapadas. Y Es muy mporae desacar que e los procesos de deeroro, esas dsrbucoes se va acercado co el empo hasa llegar a solaparse. E ese sedo, el solapameo puede ocurrr por u deeroro paulao de la resseca o por u cremeo del esfuerzo por razoes dversas. E odo caso, para hacer aálss de cofabldad co ese efoque e muy mporae esudar los mecasmos que puede producr ese acercameo y poseror solapameo. També es muy mporae deermar para cada mecasmo, s ese acercameo se produce de maera paulaa e el empo, o s puede producrse súbamee por ua causa aleaora. La cofabldad de u compoee somedo a u esfuerzo es la probabldad de que su resseca exceda dcho esfuerzo y puede calcularse co la sguee expresó: C f ( X )dx g(y )dy g(y ) f( X )dx dy (.88) 0 y 0 x E la cual f(x) es la dsrbucó de probabldad de la carga e esfuerzo y g(y) es la dsrbucó de probabldad de la resseca y X y Y so las medas de las respecvas dsrbucoes.,07,080,054,07,000 30,00 55,00 80,00 05,00 30,00 X f(x)= Esfuerzo Y g(y) =Resseca C f( X )dxg(y )dy 0 y g(y ) 0 x Fgura.3 Dsrbucoes solapadas - Cálculo de la Cofabldad. f( X )dxdy La Fgura.4, que se muesra a couacó, lusra gráfcamee los casos que puede presearse e u aálss Esfuerzo Resseca y las ecuacoes requerdas para el cálculo de Cofabldad y Probabldad de Fallas para cada uo. Los res casos ípcos so: La solucó maemáca de esas ecuacoes o es smple, sobre odo s se pesa e lo compleja que so la mayoría de las ecuacoes de las dsrbucoes de probabldad. E la Tabla.48 que se muesra a couacó, se ofrece las solucoes para las ecuacoes de la Fgura de Caracerzacó Probablísca RC, para los casos Esfuerzo Resseca más frecueemee ecorados. 88

39 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos CASO I : Esfuerzo dsrbudo Resseca puual,07,080,054,07,000 f(x)= Esfuerzo k =Resseca 30,00 55,00 80,00 05,00 30,00 X C Pr( X k ) F Pr( X k ) k f k f ( X ( X )d X )d X CASO II : Esfuerzo puual Resseca dsrbuda,07,080,054,07,000 e = Esfuerzo g(y) =Resseca 30,00 55,00 05,00 30,00 Y C Pr( Y F Pr( Y e ) e ) e e g (Y )d Y g (Y )d Y,07,080,054,07,000 CASO III : Esfuerzo dsrbudo Resseca dsrbuda 30,00 55,00 05,00 30,00 X f(x)= Esfuerzo Y g(y) =Resseca C 0 Y F Fgura.4 Casos Esfuerzo Resseca. f ( 0 Y X )d f ( X )d X X g ( Y ) d g (Y ) d Y Y Las referecas [9], [0], [6], [37], [48] ofrece ampla formacó sobre Aálss Carga-Resseca. Tabla.48 - Alguos Casos Esfuerzo Resseca. Dsrbucó Resseca Ce. k Esfuerzo Ce. e Esfuerzo y Resseca Aleaoros Expoecal k C e X e C e Y C Y X Y Webull k X C e X e Y C e Y Resolver Numércamee Normal k C X X e C Y Y C X YX Y Logormal k C l X e X e C l Y e Y e Y l e X C X Y Fuee: (Ebell Charles 997) X= Esfuerzo Y=Resseca 89

40 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos 4... Aálss Carga - Resseca co Smulacó de Moecarlo. Ua vez que se ha caracerzado probablíscamee el esfuerzo y la resseca, es decr, se sabe qué dsrbucó de probabldad correspode a cada uo; se podrá ecorar co casos dferees a los pfcados e la abla.48, para los cuales la solucó de la Ecuacó.4 puede resular exremadamee compleja. Iclusve hay casos s solucó aalíca posble, ales como las combacoes Webull-Logormal, Bea-Gamma, Webull-Bea, Logormal-Gamma, ec. Para esos casos se requere ua solucó umérca y para ello, se emplea el apoyo del proceso de Smulacó de Moecarlo, que se aalzó dealladamee e la seccó gereca de la cerdumbre e el puo 4..-B. El proceso requerdo para realzar esa smulacó se lusra e el flujograma de la Fgura.5. Para lusrar la correca aplcacó de la eoría esfuerzo resseca e casos reales, se revsará dealladamee varos ejemplos de aplcacó e la dusra de procesos. Fjar el úmero de eracoes requerdas = m j= 0 =0 k 0 =0 Geerar aleaoramee, u valor de Esfuerzo y u valor de Resseca, desde sus respecvas dsrbucoes de probabldad,07,080,054 f(x)=esfuerzo f(x)= Esfuerzo,07,080,054 g(y)=resseca g(y) =Resseca,07,07,000 30,00 55,00 80,00 05,00 30,00 X j,000 30,00 55,00 05,00 30,00 Y j Susur e la fucó Z(X,Y),los valores geerados aleaoramee y resolver e forma deermísca para obeer u probable valor de Z para esa eracó X j Z j Y j k j =k j- + No Z j >? S j = j- + j < m? S j = j+ No k j Cofabldad C m j Pr ob. Falla F ( C) m Fgura.5 Esmacó umérca (Smulacó de Moecarlo) de la Cofabldad basada e la Teoría Esfuerzo Resseca. 90

41 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Ejemplo.3: Ua ubería, edda a campo abero, raspora u fludo alamee coamae, por esa razó, se realza speccoes y medcoes del espesor de pared a lo largo de oda la ubería cada res años. E u ramo de 500 ms, se ha defcado 4 puos o regoes dode exse pérdda de espesor. Los resulados de las dos úlmas speccoes se resume e la abla.39. E ese ejemplo, se realzará u cálculo de la Cofabldad y la Probabldad de Fallas para períodos de, 5 y 5 años, específcamee para el puo de daño No. 0 de la ubería mosrada e la Fgura.6. (Es mporae aclarar que ese cálculo debe realzarse para cada regó dode se defque pérdda de espesor o daño, pero por razoes ddáccas, sólo se dscurá lo relacoado al puo 0). Adcoalmee se sumsra daos éccos sobre el Esfuerzo de Flueca (Sp) del maeral co el cual fue cosruda la ubería y de la Presó de Operacó (Pa) de la msma. Se sumsra ambé daos sobre la geomería del ubo, ales como Dámero (D) y Espesor cal (Eo). Tabla.49: Daos de la ubería Daos de la Tubería D(mm) Eo(mm) d(mm) Valor Medo 597,50 9,809 3,075 Toleraca 35,6,706 0,90 Eo DAÑO POR CORROSION d Fgura.6 Daños e ubería Tabla.50 Daos de medcoes de profuddad de daños Nº de Daño Profuddad del daño (mm) 998 Profuddad del daño (mm) Rc 9

42 Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos Tabla.5 Daos éccos Sp(Mpa) Pa(Mpa) Solucó: Cuado exse daños corrosvos, como el daño No. 0 mosrado e la Fgura.6, la resseca de la ubería se deerora progresvamee debdo a la pérdda de espesor de la pared del ubo, que hace que cada vez la ubería sea capaz de soporar meos presó. E oras palabras, se deerora la máxma presó permsble o presó de falla. Por mecáca de la fracura se sabe que la máxma presó permsble o presó de falla se calcula co la sguee expresó:.sp.e Pf ; (.89) 0 D dode: Sp: Esfuerzo de Flueca. E: Espesor del Tubo. D: Dámero del Tubo. Adcoalmee se sabe que el espesor de la ubería e preseca de u daño corrosvo se deerora, y eoces se habla de Espesor remaee, el cual se calcula co la sguee expresó: EREMANENTE ( ) Eo d( ) ; (.90) Dode Eo: Espesor cal de pared; d(): profuddad del daño; que crece co el empo; es decr, es fucó del empo (Ver Tabla.49 y.5). Susuyedo la ecuacó.89 e la ecuacó.90; se ee: * Sp * (Eo d 0 ( )) Pf0( ) ; (.9) D E la ecuacó.9, la presó de falla se covere e ua fucó del empo. Ahora be, la forma cómo la profuddad del daño crece e fucó del empo se ha caracerzado co la sguee ecuacó empírca: d0( ) do0 Rc * ; (.9) Dode: do: Profuddad del daño medda e la speccó aeror. d Rc: Tasa o Velocdad de Corrosó ( 00 d Rc ) expresada e (mm/año). : empo e años desde la medcó aeror hasa la medcó acual ( ). Susuyedo la ecuacó.79 e la ecuacó.78 falmee se ee: 9

43 Sp Sp Sp Sp Capíulo II. Dscplas Seccó 4. Igeería de Cofabldad-Equpos * Sp * (Eo (do 0 Rc * )) Pf0( ) ; (.93) D La dea geeral es ulzar los daos de erada y la ecuacó.93, para calcular la máxma presó permsble Pf, para dferees períodos de empo (,5 y 5 años) y comparar esos valores co la presó de operacó Pa. E ese caso Pf es la Resseca, y Pa será el Esfuerzo. Como el lecor puede ferr, Pf es ua varable dsrbuda, ya que depede de Sp, Rc, Eo, d y D que so odas dsrbudas; por ora pare, la presó de operacó es ambé ua varable dsrbuda. Eso correspode al Caso III del aálss Esfuerzo Resseca que se lusra e el Grafco.4. Para realzar el aálss compleo e forma ssemáca, se segurá la sguee secueca de eapas: Eapa : Caracerzar probablíscamee las varables Sp, Rc, Eo, do0, D y Pa; sguedo los procedmeos expresados e la seccó Gereca de la Icerdumbre Eapa : Propagar la Icerdumbre de Sp, Rc, Eo, do0 y D e la ecuacó.80 para ecorar la dsrbucó de probabldades de Pf0; sguedo los procedmeos descros e la seccó gereca de la cerdumbre e el aparado 4... Ese cálculo se realzará para varos períodos de empo (, 5 y 5 años). Eapa 3: Ua vez coocdas las dsrbucoes de probabldades de Pf0 (Resseca) para,5 y 5 años y la dsrbucó de probabldad de Pa (Esfuerzo), se realzará el cálculo de Cofabldad para,5 y 5 años ulzado la ecuacó.67 de ese capíulo. Eapa : Caracerzacó probablísca de Pa y Sp: Ulzado el procedmeo de ajuse de curvas o seleccó de dsrbucoes de probabldad descro e la seccó de esadísca para la cofabldad e el aparado 4.3 y seleccoado uo de los es de caldad de ajuse (Aderso Darlg e ese caso), se deermó la dsrbucó paramérca que mejor se ajusa a los daos dspobles de Presó de Operacó (Pa) y Esfuerzo de Flueca (Sp). Los daos de presó de operacó Pa so recolecados co u meddor de presó salado e la ubería, omado lecuras e dferees momeos del empo. A pesar de que e la mayoría de los casos, las uberías opera eórcamee a ua presó úca, la abla de daos refleja las flucuacoes que ese parámero ee y que refuerza la ess de que e su comporameo real, la mayoría de las varables ee algua varabldad. Los resulados obedos se muesra e la Fgura.7. Resulados del Tes de Aderso-Darl Dsrbucó Normal Tes Value 0.38 Crcal Crcal Crcal Crcal Crcal Cofdece >0.5 Rak GRAFICO DE COMPARACION HISTOGRAMA ACUMULADO DATOS Vs DISTRIBUCION HIPOTESIS Pa Meda = 4,096 Sp f ( Sp) e Sp,60 3,34 9 4,096 4,843 5,59 0 Fgura.7 Caracerzacó Probablísca Pa. Por su pare, el esfuerzo de flueca Sp es ua propedad físca del maeral co el cual se fabrca la ubería. Para eer ua sere de daos como los mosrados e la Tabla.50 se realzaro pruebas de esó al maeral de la ubería e laboraoros especalzados. Los resulados de la caracerzacó se muesra e la Fgura.8. Resulados del Tes de Aderso-Darl Dsrbucó Log-Normal Tes Value 0.3 Crcal Crcal Crcal Crcal Crcal Cofdece >0.5* Rak GRAFICO DE COMPARACION HISTOGRAMA ACUMULADO DATOS Vs DISTRIBUCION HIPOTESIS Sp Meda = 40,996 f (Sp) e Sp Sp l(sp) 06,46 34, ,000 6,69 747,538 Fgura.8 Caracerzacó Probablísca SP. 93