INSTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL

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1 INTITUTO POLITÉCNICO NACIONAL ECUELA UPERIOR DE FÍICA Y MATEMÁTICA APLICACIONE EN FINANZA DE MODELO AUTORREGREIVO TEI QUE, PARA OBTENER EL TITULO DE INGENIERO MATEMÁTICO, PREENTA. CLAUDIA VIRIDIANA VÁZQUEZ MARTÍNEZ Drecor de Tess: Robero. Acosa Abreu Méxco D.F., dcembre de 8

2 INDICE Iroduccó Capíulo Mercados Faceros. Iroduccó 3. Parcpaes de los mercados 3 faceros.3 Tpos de mercados faceros 3.3. Mercado de capales 4.3. Mercado de dero Mercado cambaro Mercados de dervados ODC 5.4 Descrpcó de las opcoes 6.5 Vecmeo de las opcoes 7.6 Iversó duplcadora 8.7 Opcoes de compra o Call opos 9.7. Gaaca o pérdda al vecmeo.8 Opcoes de vea o pull opos.8. Pérdda o gaaca al vecmeo 3.9 Vea e coro 4. Prmera oporudad de arbraje 5.. eguda oporudad de arbraje 5 Capíulo El Méodo Bomal para la valuacó de opcoes. Iroduccó 6. Modelo de u período 7.3 Modelo de dos períodos 8.4 Modelo de accoes 9.5 Modelo de N perodos I

3 .6 Preco de ua opcó de vea amercaa Capíulo 3 Ecuacó de Blac-choles para el valor de ua opcó 3. Iroduccó 7 3. Ecuacó de Blac-choles La fórmula de Blac-choles para el preco de ua opcó Fórmula de pardad opcó de vea-opcó de compra La ecuacó dferecal parcal de Blac-choles Codcoes ícales de la ecuacó dferecal parcal de Blac-choles esbldad del preco de la opcó 4 Capíulo 4 Modelos Auorregresvos y Regreso a la Meda 4. Iroduccó Modelos auorregresvos Valuacó de opcoes por medo de su gaaca esperada Regreso a la Meda 5 Capíulo 5 Modelos Auorregresvos Geeralzados 5. Iroduccó Modelos auorregresvos co heerocedascdad Modelos GARCH Esmacó de los parámeros GARCH 6 II

4 5.5 Proóscos co el modelo GARCH Modelos de la meda codcoal Modelos de la varaza codcoal Modelo GARCH P,Q para la varaza 63 codcoal Modelo GJR P,Q de varaza codcoal Modelo EGARCH P,Q de varaza codcoal Predccó de error cuadráco medo mímo Las desvacoes esádar codcoales de las ovacoes fuuras La meda codcoal de los proóscos de la sere de gaacas El error cuadráco medo mímo del proósco de la volaldad de las gaacas La raíz cuadrada del error cuadráco medo asocada co los proóscos de la meda Observacoes pre-muesrales Comporameo asóco para horzoes proósco de rago grade Valuacó de opcoes e el coexo de volaldad esocásca modelo GARCHP,Q Resulados umércos 7 5. Ejemplo co daos del peróleo Ejemplo co daos del ídce P& Lmacoes del modelo GARCH 83 Coclusoes 84 Apédce Camaas aleaoras, el movmeo browao, la egral esocásca, la formula de Iô y el movmeo browao geomérco III

5 A Camaas aleaoras 86 A Movmeo Browao 88 A3 La egral esocásca 9 A4 La formula de Iô 93 A5 Movmeo Browao geomérco 96 Bblografía 98 IV

6 AGRADECIMIENTO E especal a m famla, por odo el apoyo que me ha brdado para cada proyeco que he empreddo e m vda, ya que s su apoyo o hubera logrado llegar hasa ese puo a mporae. Gracas por oda la paceca, compresó y amor recbdo codcoalmee. Por odas aquellas palabras de aleo que he recbdo e los momeo de rseza y por odas las alegrías compardas. Los amo. Gracas a m ovo porque e cada momeo mporae de m vda has esado presee. Te amo U agradecmeo especal al profesor Robero. Acosa Abreu, que me aleó a ermar ese rabajo y por odo el empo dedcado al desarrollo del msmo. Ml gracas.

7 INTRODUCCIÓN E ese rabajo se descrbe brevemee los fudameos sobre los mercados faceros, es decr, su esrucura y que po de srumeos faceros maeja cada uo de ellos, eso co la faldad de poder saber como es que fucoa el mercado de dervados. Los dervados so srumeos faceros cuyo valor depede de oros valores o bees báscos. De los dervados os eresa prcpalmee las opcoes. Ua opcó es u corao que da a su poseedor el derecho, pero o la oblgacó de comprar o veder u be por u valor y e ua fecha fuura preesablecdos de aemao. U problema fudameal co las opcoes es el de deermar su valor el cual se llama ambé la prma. U modelo muy mporae para valuar el preco de ua opcó es el modelo de Blac- choles B. Ese modelo de precos de accoes lo rodujero F. Blac y M. choles e 973. E ese modelo se deerma la relacó exsee ere el coso de la opcó de compra y el preco del be subyacee. Ua de las hpóess báscas e el modelo B es que el preco del be subyacee sasface ua ecuacó dferecal esocásca. E esa ecuacó aparece la suma de dos érmos: uo que represea la pare deermísca que dce que el be va cambado su valor al paso del empo de acuerdo a la formula de erés compueso. La pare esocásca de la ecuacó os dce que las flucuacoes e el preco del be se debe a u proceso de movedo browao que descrbremos co algú dealle mas adelae. U aspeco mporae que abordaremos e ese rabajo es que el proceso de rudo e el modelo de B puede ser aproxmado por u modelo dscreo más secllo. El modelo de aproxmacó es el llamado modelo bomal para el cual los cambos e el preco del be se da solo e puos dscreos e el empo, y e esos puos el valor del be sólamee puede subr o bajar por facores fjos. El modelo bomal es mporae porque os da u méodo basae precso para valuar opcoes, y ambé porque a parr de el medae u paso al líme podemos obeer ua fórmula para el valor de ua opcó para

8 u modelo couo que es la célebre ecuacó de Blac-choles para el valor de ua opcó de compra. Cuado los supuesos báscos del modelo de B o se sasface, lo cual es el caso observado e alguas seres faceras, hay la ecesdad de usar oro po de modelos para descrbr el proceso de precos, y oros méodos para ecorar los valores de las opcoes. E ese rabajo damos ua roduccó seclla al uso de modelos aleravos al de B cuado o se sasface las hpóess de movmeo browao por el proceso de precos del be subyacee. E parcular esudamos brevemee los procesos auorregresvos y damos alguos ejemplos de valuacó de opcoes e ese coexo.

9 CAPÍTULO MERCADO FINANCIERO. INTRODUCCIÓN U mercado facero es el lugar, mecasmo o ssema compueso por u cojuo de reglas que perme a los parcpaes realzar operacoes de versó, facameo y coberura, a ravés de dferees ermedaros, medae la compra y vea de acvos faceros. La faldad de los mercados faceros es el deermar los precos jusos de los dferees acvos faceros, poer e coaco a oferees y demadaes de fodos y buscar que el coso de rasaccó sea el meor posble. Esos se puede operar s coaco físco, a ravés de ssemas elecrócos, eléfoo, fax. També hay mercados faceros e los que s se ee coaco físco, como los corredores de bolsa. Así cada acvo facero u objeo de rasaccó, puede ser de dos pos, ya sea u valor básco o u dervado facero.. PARTICIPANTE DE LO MERCADO FINANCIERO Emsora Teedor o dueño de los valores Agees Especalzados como; Broers, Dealers y Mare Maers. Auordades y orgasmos auorregulaoros. 3

10 .3 TIPO DE MERCADO FINANCIERO Los mercados faceros se clasfca por el po de acvo facero que ofrece, los prcpales a vel eracoal so:.3. MERCADO DE CAPITALE Esos espacos físcos o vruales esá formados por cojuos de reglas que perme a versosas, emsores e ermedaros realzar operacoes de emsó, colocacó, dsrbucó e ermedacó de íulos accoaros. Los srumeos que se maeja e ese po de mercados so: Accoes, Cerfcados de Parcpacó Ordaros sobre accoes, Oblgacoes coverbles e accoes, Warras. La compravea de accoes se puede llevar a cabo a ravés de mercados prmaros o mercados secudaros..3. MERCADO DE DINERO o espacos físcos o vruales que se coforma por u cojuo de reglas que perme a versosas, emsores e ermedaros realzar operacoes de emsó, colocacó, dsrbucó e ermedacó de los valores srumeos de deuda boos de bajo resgo y alo grado de lqudez. Modo e el cual los goberos y las corporacoes que ecesa omar presado dero se poe e gualdad de codcoes co versosas que cuea co fodos para presar. Los prcpales pos de boos so: Boo de descueo o de cupó cero. Boos co cupoes. La compravea de valores srumeos de deuda se puede realzar medae mercados prmaros o mercados secudaros. 4

11 .3.3 MERCADO CAMBIARIO Lugar e que oferees y demadaes de moedas de curso exrajero, lleva a cabo operacoes de compra-vea de dvsas como lo so: Dólares, euros, lbras eserlas, ec., así el volume de rasaccoes deerma los precos daros de uas moedas e fucó de oras, o el po de cambo co respeco a la moeda acoal. Ese po de mercado se usa para admsrar los resgos asocados al maejo de dvsas los cuales surge cuado las compañías era e rasaccoes que volucra pagos e moeda exrajera..3.4 MERCADO DE DERIVADO ODC Es aquel a ravés del cual las pares celebra coraos co srumeos cuyo valor depede o es cogee del valor de oros acvos, deomados acvos subyacees. La fucó prmordal del mercado de dervados cosse e proveer srumeos faceros de coberura o versó que fomee ua adecuada admsracó de resgos. E el cual se paca las operacoes drecamee ere compradores y vededores, s que exsa ua corapare ceral que dsmuya el resgo de crédo. De al maera que los podemos descrbr como sgue: o Trajes a la Medda. No esá esadarzados. No coza e ua bolsa de valores. Esos coraos puede ser: 5

12 Forwards Opcoes de compra y de vea waps Coraos de fuuros Bees o comodes Así pues se profudza e ese po de mercado, prmero mosrado las geeraldades y éccas faceras, para así poder aalzar las opcoes de compra y vea, los dsos pos, la maera e como se maeja y los méodos más ulzados para obeer el preco juso de ua opcó..4 DECRIPCIÓN DE LA OPCIONE Tao ua opcó de compra como ua de vea ee ceros elemeos e comú como lo so:. El valor ríseco de la accó subyacee. Eso es, cuado mayor sea su valor, mayor será el preco de la opcó de compra suscra sobre ese ulo, eso cosderado cosaes el preco de ejercco y la fecha de expracó del corao.. El preco de ejercco. Cuao más bajo sea el preco de ejercco X mayor será el preco de la opcó de compra V c, pueso que exsrá ua mayor probabldad de que el preco de mercado de la accó acabe superado al de ejercco; ocurre lo coraro e el caso de las opcoes de vea. 3. La volaldad del mercado o del íulo e cuesó. La magud de las osclacoes daras del preco del ulo subyacee, fluye drecamee e el amaño del preco de la opcó de compra o vea. De al maera que a mayor resgo mayor preco y vceversa. 4. El empo de vda de la opcó. El preco cluye u elemeo emporal, que ede a decrecer al aproxmarse la fecha de expracó 6

13 del corao de la opcó. Es decr, cuao meos le quede de vda a la opcó, meor será su valor, pueso que meos probabldades ee el preco de mercado de superar al de ejercco o de ser feror al msmo, s os refermos a las opcoes de vea. 5. El po de erés s resgo. El valor de la opcó depede de la asa de descueo que se aplca e el mercado facero a las versoes faceras lbres de resgo r. Eso es así porque al combar la emsó de opcoes de compra sobre accoes co la eeca de las propas accoes es posble elmar oalmee el resgo de la versó. 6. Los dvdedos. Los dvdedos D repardos por la accó subyacee ambé afeca al valor de la opcó. Pues cuao mayores sea los dvdedos más bajo será el coso de la opcó de compra, pueso que se supoe que al reparrse los dvdedos el preco de mercado de la accó descederá, o o subrá ao como debera. Co la opcó de vea ocurrrá juso lo coraro, pueso que s descede el preco de mercado del acvo subyacee ello redudara e u aumeo del valor de la opcó de vea. Así pues el preco de ua opcó de compra depede prcpalmee de ses facores: f, X,, σ, r, D, sedo sus relacoes las sguees: V c V c Vc Vc Vc Vc Vc > ; < ; > ; > ; > ; < X σ r D Meras que para la opcó de vea las relacoes sera: V p V p V p V p V p V p < ; > ; > ; > ; < ; > X σ r D 7

14 .5 VENCIMIENTO DE LA OPCIONE Aquellas opcoes que puede ser ejercdas sólo e el momeo del vecmeo recbe el ombre de opcoes europeas, pero s se puede ejercer, además, aes de dcha fecha se deoma opcoes amercaas. El poseedor de ua opcó, ao s es de compra o vea, puede opar por res posbles decsoes: a Ejercer el derecho comprado o vededo los íulos que la opcó le perme. b Dejar pasar la fecha de vecmeo s ejercer su opcó. c Vederla aes de su vecmeo e el mercado secudaro de opcoes..6 INVERIÓN DUPLICADORA Para geerar ua versó duplcadora es ecesaro cosrur ua versó llamada porafolo, que cosse e u corao de valor f y ua cadad de efecvo Xe r T. Eoces el valor eo es: f Xe r T Cualquer cadad de efecvo e u porafolo crece de acuerdo co el facor r T e desde ahora hasa la expracó. La r represea la asa acual de redmeo de ereses e dcha versó. Podemos decr, que e la fecha de expracó, esa carera duplca ua accó s. Valor del CoraoCadad e EfecvoUa Accó 8

15 .7 OPCIONE DE COMPRA O CALL OPTION E ese po de opcoes uo puede adqurr la posbldad de compra de ua accó e ua fecha fuura predeermada o aes de la msma a u preco garazado y ese derecho es s oblgacó de comprar e el fuuro. Codcoes de la opcó: El comprador de la opcó paga al vededor ua comsó llamada prma. E la fecha de vecmeo, el eedor de ese corao podría pagarle al emsor el preco de ejercco. el emsor del corao recbe el preco de ejercco del eedor, el emsor ee que eregar ua accó al eedor e la fecha de vecmeo. Cosdere, el puo de vsa del comprador, para ello supogamos que u versor desea adqurr ua accó porque pesa que su cozacó va a subr, pero o puede o o quere pagar el preco que el mercado le demada, e ese caso podría adqurr ua opcó de compra, sobre dcha accó. Al adqurr ua opcó de compra se podrá beefcar de u aumeo e el preco del acvo subyacee s haberlo comprado. El poseedor de la opcó de compra, podrá decdr s ejerce o o la opcó. La ejercerá cuado la cozacó supere el preco de ejercco, por oro lado s llegada la fecha de vecmeo de la opcó, el preco de ejercco X sgue sedo superor a la cozacó ou of he moey la opcó o será ejercda. La fgura. muesra el beefco que se puede obeer a ravés de ua opcó de compra. 9

16 La prcpal araccó, es el alo apalacameo que proporcoa ya que se puede obeer fueres gaacas co pequeños desembolsos cales y además el resgo esá lmado a ua cadad fja. De al maera que la pérdda máxma cosse e adqurr ua opcó de compra y queda lmada al pago de la prma V c. Meras que el beefco, e eoría puede ser lmado Máx X; V. c Beefco - X V c V c X X V c Cozacó Fgura.Grafca del Beefco sobre ua opcó de compra. Ahora omemos e cuea el puo de vsa del emsor, así, el versor que eme o vede ua opcó de compra espera que la cozacó de la accó subyacee se maega esable o que eda a la baja. u úco cobro será el valor de la prma, sus pagos depederá de s el preco de ejercco es feror, o o, al del mercado e la fecha de cozacó. el preco de mercado supera la de ejercco he moey, e dcha fecha, el propearo de la opcó reclamara la accó a la que ee derecho lo que geerara ua perdda para el emsor. ocurre lo coraro la opcó o será ejercda y o se edrá que eregar la accó. E la fgura. podemos observar que la gaaca máxma del emsor, esará dada por la prma de la opcó V c, meras que la perdda depederá de la dfereca ere el preco de mercado el día del vecmeo y el preco de ejercco Máx X ;. V c

17 Beefco V c X V c - X X V c Cozacó Fgura. Resulado sobre ua opcó de compra segú el emsor..7. GANANCIA O PÉRDIDA AL VENCIMIENTO Para eso puede suceder dos cosas que o ocurra compravea o que se efecué el corao, pues el emsor debe de pagarle al eedor la dfereca del preco de la accó y el preco de ejercco. Eso perme descrbr la gaaca ea posble e cuao a preco de la accó al vecmeo T y el preco de ejercco X. Eoces se ee: Gaaca Nea de la Compramáx{ T X,} Eso solo es valdo cuado T X es posvo, de oro modo el resulado es cero. De al maera que la gaaca se reescrbe como: Gaaca Nea de la Compra X T.8 OPCIONE DE VENTA O PULL OPTION Ese po de opcoes cocede a su poseedor el derecho a veder e el fuuro ua accó a u preco fjo, ya sea e ua fecha fuura predeermada o aes de la msma. Es posble comprar ua oporudad para veder ua accó e el fuuro a u preco garazado, cluso s o es propearo de accó algua.

18 Codcoes de la opcó: El comprador de la opcó paga al vededor ua prma llamada comsó. E la fecha de vecmeo, el eedor de ese corao puede darle al emsor ua accó o e forma equvalee, el preco de mercado de ua accó. el emsor del corao recbe del eedor la accó o su preco, el emsor ee que pagar la comsó de ejercco al eedor e la fecha de vecmeo. Tomemos e cuea el puo de vsa del comprador, ese espera ua baja e los precos de las accoes, la adquscó de ua opcó de vea puede aporar gresos co u resgo lmado. Obsérvese que e la fgura.3 se ee la represeacó del beefco que puede obeerse a ravés de la posesó compra de ua opcó de vea, así eoces la perdda máxma para el comprador de la opcó de vea esará deerma por el coso de la msma V p, meras que los resulados de su poscó rá mejorado cuado más desceda el preco de mercado de la accó Máx[ X ; ]-V p, hasa llegar a la máxma gaaca que se que obee cuado la cozacó se aula X V p. Beefco X - Vp X V p X Cozacó V p Valor máxmo de las eradas

19 Cosderemos ahora el puo de vsa del emsor, la persoa que eme ua opcó de vea cree que la edeca del preco de la accó será eura o lgeramee alcsa y la emsó de ese po de opcó ofrece la oporudad de obeer u greso e forma de prma. De al maera que el vededor o emsor de ua opcó de vea deberá adqurr la accó al preco de ejercco espulado, s el comprador de la opcó la ejerce dero del plazo al que ee derecho. La fgura.4 muesra la gaaca o pérdda de ua opcó de vea ejercda aes de su fecha de vecmeo, por lo que la gaaca máxma para el vededor esa dada por el coso de la msma V p y los resulados de su poscó rá empeorado cuado más desceda el preco de mercado de la Máx X ; V accó [ ] p e el caso de que la cozacó sea ula., hasa llegar a la pérdda máxma que se obedría Beefco V p X - V p X V p X Cozacó Fgura.4Resulado sobre ua opcó de vea segú el emsor..8. PÉRDIDA O GANANCIA AL VENCIMIENTO E el caso de esa opcó cas sempre o ocurre compravea o se lquda el corao medae pago de la dfereca al eedor, ere el preco de ejercco y el preco de la accó. 3

20 Así se puede escrbr la remueracó cosderado el preco de la accó a su vecmeo T y el preco de ejercco X eoces eemos: Remueracómáx{,} X X T T Tao ua opcó de compra o vea de po amercaa puede eer ua remueracó o gaaca mayor que ua opcó de compra o vea europea..9 VENTA EN CORTO La gra varedad de ercambos permdos e u mercado de valores aumea la dspobldad de valores de capal para ercambar. Para poder realzar esos ercambos es ecesaro de lqudez que es la dspobldad de acvos ercambados. Pero cuado o se cuea co lqudez e ese momeo se puede hacer uso de la vea e coro que es veder u valor básco s poseerlo e prmer lugar y luego comprarlo para eregarlo. Así eoces se puede operar e coro la cadad de efecvo e la carera, medae la obecó e présamo de dero, al po de cambo r a coro plazo. Codcoes de ua vea e coro: Uo obee e présamo u úmero específco de accoes y las vede hoy. No se especfca la fecha e que se ee que devolver las accoes dadas e présamo. el propearo de las accoes e présamo decde veder, eoces el vededor e coro ee que obeer e présamo oras accoes y reemplazar las prmeras accoes presadas. 4

21 . PRIMERA OPORTUNIDAD DE ARBITRAJE upogamos que el preco de hoy o esa de acuerdo co su valor fuuro, eoces eemos: Valor del CoraoCadad e Efecvo < Ua Udad de Valor Co eso el versosa puede veder e coro grades cadades del valor, lo cual geera dero efecvo saáeo. De ese dero gaado se puede oma ua cadad para formar el úmero correco de udades de carera y cubrr la vea e coro realzada... EGUNDA OPORTUNIDAD DE ARBITRAJE Cosderemos la suacó opuesa, es decr: Valor del CoraoCadad e Efecvo > Ua Udad de Valor Eoces el versosa podría veder e coro udades de las msmas y cubrr esas veas e coro co accoes baraas, compradas medaamee después de veder e coro. De al maera que e esas dos oporudades de arbraje al prcpo se gaa algo de efecvo, s cosderar el comporameo fuuro del mercado. Los mercados reales o permría que fucoara cualquera de esos esquemas para hacer dero. 5

22 CAPÍTULO EL MÉTODO BINOMIAL PARA LA VALUACIÓN DE OPCIONE. INTRODUCCIÓN Ese modelo fue propueso y desarrollado por Joh Cox, ephe Ross y Mar Rubse, el msmo perme esmar eórcamee el preco de opcoes ao europeas como amercaas. e cosruye u árbol bomal el cual va a represear los dsos camos que puede segur el preco del subyacee durae el período de vda de la opcó. o asumdas las sguees hpóess: Ivaraca de Mercado; se supoe que el volume de operacoes e el mercado facero es lo sufceemee grade como para o verse afecado por las operacoes que hagamos. Imposbldad de Arbraje; eso es que o hay posbldades de geerar dero medae egocacoes que mplque la compra-vea de acvos ere operadores. O sea que el mercado alcazó u equlbro dámco debdo al coocmeo de los operadores de odas las posbldades de egocacó. mulaedad de las Operacoes; las operacoes de compravea de opcoes y/u oros acvos puede realzarse e forma smulaea. mería e las Tasas de Ierés; se puede presar y omar presado a las msmas asas de erés. Trasaccoes a Coso Nulo; odas las rasaccoes puede realzarse s coso. 6

23 . MODELO DE UN PERÍODO. Cosderemos ua opcó europea de po call sobre u acvo facero cuyo preco sgue u movmeo browao geomérco. ea el valor cal coocdo del acvo. ea f el valor de la opcó al empo cal, el cual queremos deermar. upoemos que la opcó ee u empo de vecmeo T que su preco de ejercco es K y que durae la vda de la opcó el preco del acvo puede subr a parr de hasa el vel u o puede bajar de hasa d dode u > y d <. el preco del acvo sube a u el valor de la opcó e T f es T T u f f max u K,; s el preco del acvo baja a d el valor de la opcó es ft fd max d K,. Como se muesra a couacó e la fgura.. u V f u d f d Árbol del preco de ua accó Valor del dervado Fgura.Árboles de preco accó y dervado Cosderemos u porafolo formado por udades del acvo y la vea e coro o sea la vea de ua opcó que edremos que redmr a su vecmeo de ua opcó. El valor de que hace que el porafolo o ega resgo esá dado por: fu f d.. u d U porafolo s resgo debe eer ua gaaca dada por la asa de erés lbre de resgo. rt r El valor presee del porafolo es u f u e. El coso 7

24 de formar el porafolo es dode rt f. e sgue que f u f u e, de f rt u f u e. usuyedo de la ecuacó. resula que el valor de la opcó esá dado por dode rt f e [ p f p f ],. u u d d p p u u rt e d, u d p. d.3.3 MODELO DE DO PERÍODO. Cosderemos ahora u modelo bomal de dos pasos cada uo co ua logud de T / años. El preco cal del acvo es. Durae cada paso ese se mueve haca arrba u veces su valor cal o se mueve haca abajo d veces su valor cal. Por ejemplo después de dos movmeos haca arrba el valor de la opcó es f f u K Como se observa e la fgura.. T uu max,. u f uu V f ud d d Tempo Fgura.Árbol de opcoes f dd 8

25 upogamos que la asa de erés lbre de resgo es r. Aplcado la fórmula. e cada período obeemos que el preco de la opcó es T r [ u uu u d ud d dd ]. f e p f p p f p f.4 De uevo vemos que el preco de la opcó es la gaaca esperada descoada usado las probabldades de resgo euro y la asa de erés lbre de resgo..4 MODELO DE ACCIONE Ese modelo exede los cálculos a u perodo múlple más realsa, sea el preco de la accó al empo cero, la cuál solo puede moverse haca uo de los dos precos e ua udad de preco. E la fgura.3 se muesra lo aeror y se puede observar que los valores fuuros so múlplos del valor acual, aquí se supoe que los parámeros u, d y p esá dados. u 3 p 3 u 3 u d u ud ud d u d u d ud u d ud ud d 3 p p pq p pq pq q 3 qu qu ud qu d ud ud 3 d d d Fgura.3Árbol de accoes e forma desplegada Toal E ] [ 3 9

26 e obee el preco, e el empo medae la mulplcacó se ya sea por u o d, dode u > y d <. Así eoces se dce que los movmeos al alza ocurre co ua probabldad p y u movmeo a la baja co probabldad q q. Calculado el E ] se ee: [ E [ ] pu qd pu qd El érmo pu qd mde la edeca del preco de la accó. Co la formacó que muesra la fgura.3, se puede hallar el E ], lo cual es la suma del produco de la columa, es decr. E[ ] [ [ pu 3qd pu qd pu qd ] pu qd 3 3 Por lo que se ve que para el perodo, se ee la relacó; pu qd E[ ] E[ ] Por lo ao e cada perodo se mulplca el valor esperado por el érmo de edeca, lo que mplca: pu qd E[ ] El árbol de accoes crece a ua asa de odos que coforma el árbol de accoes., lo que os da el úmero de.5 MODELO DE N PERIODO Los parámeros u, d y p u e u modelo bomal para cualquer valor de N T períodos guales, cada uo de logud δ se escoge de modo que se N

27 ome e cuea la meda y la varaza del acvo durae cualquer ervalo. Igualado las varazas del acvo e el modelo dscreo y e el modelo couo y omado e cuea la sguee codcó obeemos que u, d p u u e d e rδ e d, u d, σ δ σ δ,.5 cuado se gora érmos de orde superor a δ. Cosderemos u modelo bomal co N pasos. Al sae cal el preco del acvo es coocdo; eemos ua opcó europea de po call co preco de ejercco K y co valor f que queremos deermar, y Nδ T es el empo de vecmeo de la opcó. Para evaluar la opcó supoemos lo sguee:. La gaaca esperada de los acvos cosderados es la asa de erés lbre de resgo.. U flujo facero e el fuuro se puede valuar descoado o acualzado su valor esperado a la asa de erés lbre de resgo. El modelo bomal que obeemos de esa forma represea los movmeos de preco del acvo de ua forma llamada de resgo euro, o que o ee oporudades de arbraje.

28 E el perodo δ, N hay valores posbles del acvo que so j j u d, j, K,. ea f j el valor de la opcó e el odo, j dode se refere al perodo δ,, K, N y j es el odo j e el perodo δ para j, K, el úmero del odo crece al subr e el árbol bomal. El preco j j del acvo e el odo, j es u d. E el perodo de vecmeo eemos j j f max u d K,, j, K, N..6 N, j Podemos como e el caso de dos perodos r ahora haca arás e el empo co decrecedo y obeemos f e [ p f p f ], N, N, K,, j, K,..7 rδ j u, j d, j De esa forma obeemos el valor de la opcó f al sae cal. Esa forma de evaluar la opcó es muy coveee desde el puo de vsa compuacoal. Usado la fórmula aeror podemos expresar f e érmos de los valores de la opcó al empo de vecmeo e la forma sguee: f f e e N r δ N r δ N N N [ p f Np p f... p f ] u NN N N f j j NN j u p N j u d p j d NN d N. 8 Veamos ahora ora forma de expresar el valor de la opcó al sae cero. El valor del acvo al perodo Nδ es j N j u d, j,, K, N. Ese valor Y N Y se puede escrbr e la forma u d, dode Y es ua varable Nj aleaora bomal co parámeros N y p. El valor de la opcó e el perodo Y N Y Nδ es f max K, max u d,. El valor acual de poseer la T Nj Nj opcó es Nδ e f T y el valor esperado presee de la opcó es

29 e E [ f ] e E [max u d K,]. Nδ Nδ Y N Y P T P Por ao, como e los casos N, y N obeemos que el valor de la opcó se puede escrbr e la forma c f e E [ f ] e E [max u d K,]..9 Nδ Nδ Y N Y P T P.6 PRECIO DE UNA OPCIÓN DE VENTA AMERICANA El preco de ua opcó de vea amercaa eural al resgo, es el valor presee esperado de la opcó, se asume por debajo del preco del acvo subyacee del cambo seguro de acuerdo co el movmeo browao geomérco euro al resgo. Para aproxmar ese preco, se debe aproxmar al proceso de movmeo browao geomérco eural al resgo que sgue u proceso bomal mulperodco. e elge u úmero, co gual al empo de ejercco de ua opcó, dejar co,,..., ahora supoemos que: co,. La opcó solo puede ser ejercda solo ua vez e el empo, co,...,., y, es el preco seguro al empo, eoces u d co probabldad, co probabldad -p p dode u e σ, u e σ p r d u d 3

30 u d Fgura.4Árbol de accoes u ud d u 3 u d ud 3 d Fgura.5Árbol de precos de la opcó ud 3 d El preco de ua opcó amercaa eural al resgo, puede aproxmarse por el valor esperado de las gaacas de la opcó. A couacó se mosrara como deermar esa gaaca esperada. Para empezar, oemos que s de los prmeros movmeos e los precos fuero crecees y empo debería ser, fuero decrecees, eoces el preco al u d s Eoces, debería ser uo de los valores,,,...,, eso sgue que hay posble preco seguro e el empo. Ahora, sea V que deoa el redmeo esperado de la gaaca de ua opcó de vea, dado que la opcó o ha sdo ejercda aes de su empo de ejercco, dado que ese preco e el empo es u d s y la políca ópma será seguda e el empo. Para deermar V, el valor presee esperado de las gaacas de la propa opcó de vea se deerma co u proceso eravo regresvo del ulmo al prmero, prmero se deerma V para cada ua de sus valores posbles de, eoces deermamos V para cada uo de sus posbles valores de, eoces V para cada uo de sus 4

31 valores posbles de y así sucesvamee. Cosderado prmero que eoces la opcó expra e el empo, eemos lo sguee V max K u d s,. Lo cual deerma odos los valores V,,,,...,, ahora, sea β e r. Tomemos e cuea el sguee subárbol de la fgura.6, el cual muesra que hay dos aleravas ejercer la opcó e ese momeo o coservarla por u perodo más. Valor de la eracó ud Valor del ejercco medao Valor máxmo de las eradas 3 d Fgura.6 Noacó del valor aleravo e cada odo upogamos que esamos e el empo, la opcó de vea odavía o ha sdo ejercda y el preco de la accó es u d s. ejercemos la opcó e ese puo eoces recbremos K u d s. Por oro lado s o ejercemos ahora, eoces el preco al empo, será s u d s, co probabldad p o u d s, co probabldad p. eso es u d s y se emplea ua políca ópma de que el empo couo, de la gaaca esperada de la opcó de vea es; β V ; smlarmee la gaaca esperada s el preco decrece es β V. A parr de aquí, el preco crecerá co probabldad p o decrecerá co probabldad p de aquí se sgue que la 5

32 gaaca esperada e couamos ópmamee, es, s o ejercemos pero poserormee β V p βv. Eoces K u d s es la gaaca, s ejercemos es porque el valor aeror es la gaaca máxma esperada, s o ejercemos se sgue que la posble gaaca máxma esperada es el más grade de esos dos. Eso es, para,,...,, K u d s, V β p βv,,..., V max β. p Para obeer la aproxmacó, prmero usamos la ecuacó. para deermar el valor de V ; eoces usamos. co, para obeer los valores V y volvemos a ulzar. co para obeer los valores V, y así sucesvamee hasa deermar el valor V, que es la aproxmacó del preco de ua opcó de vea de po amercaa eura al resgo. 6

33 CAPÍTULO 3 ECUACIÓN DE BLACK-CHOLE PARA EL VALOR DE UNA OPCIÓN 3. INTRODUCCIÓN Ese modelo de precos de accoes lo rodujero F. Blac y M. choles e 973 y geeralzada por R. Mero 973. El modelo de Blac-choles cosse e deermar la relacó exsee ere el coso de la opcó de compra europea V c y el preco de la accó sobre la que recae, la cual os perme deermar que opcoes se ecuera fravaloradas y cuales sobrevaloradas cada día. 3. ECUACIÓN DE BLACK-CHOLE Para obeer la ecuacó de Blac-choles se aplca el lema de Iô. La prmera hpóess básca es que el preco de la accó sgue u movmeo browao geomérco. d µ d σdb 3. upuesos de los que pare la ecuacó: El preco del acvo sgue ua dsrbucó ormal logarímca, por lo que los redmeos se dsrbuye ormalmee. El valor de los redmeos es coocdo y es drecamee proporcoal al paso del empo. No hay coso de rasaccó, así que se puede esablecer ua coberura s resgo ere el acvo y la opcó s gú coso. Los pos de erés so coocdos y cosaes. 7

34 Durae el perodo de ejercco, la accó subyacee o pagara dvdedos. Las opcoes so de po europeo. 3.. LA FÓRMULA DE BLACK-CHOLE PARA EL PRECIO DE UNA OPCIÓN Para eso es ecesaro cosderar u modelo de accoes cuyas probabldades perma el uso de modelos de eracó. Ahora omemos ua versó seclla formada por accoes y efecvo. upoemos que compramos las accoes a de u valor cuyo preco es de y sumamos b dólares, por los que el valor de la versó es: a b Π Así eoces el valor de la versó e algú empo poseror τ esa dado por: Π τ a be τ rτ Y descoado la asa lbre de resgo r : e rτ Π τ ae rτ τ b Elmado el érmo b al resolver la ecuacó Π, y reagrupado los érmos correspodees a Π del lado zquerdo y los correspodees a del lado derecho, se obee ua relacó ere ellos que se expresa de la sguee maera: e rτ Π τ Π a rτ e τ 3. 8

35 Esa dedad muesra que el modelo para que sasfaga Π τ heredara ua propedad de, s forzamos rτ [ ] E e τ 3.3 Lo aeror será eoces cosderado el crero de calbracó del modelo y se esablece que para cualquer a que se use se cumple lo sguee E rτ [ e Π Π ] τ E Π, Π Por lo ao el valor de a se elma, así como se sabe que [ ] eoces se puede calcular Π usado valores descoados de careras fuuras como sgue: Π τ e r E [ Π ] τ Icluso s a valera co el paso del empo, se preserva la accó juso arrba; la relacó es valda para cualquer carera duplcadora. Por odo lo aeror, podemos remplazar u modelo de accó co el modelo ~ τ, dode la volaldad es la msma pero dode ~ es: [ ] τ ~ e r E ~ τ τ Ulzado ese modelo de accó para calcular E[ Π ] ecuera por medo de ua carera duplcadora. τ Cuya respuesa para el valor E[ Π ] e r, es smplemee Π. τ e r, cuado Π τ se τ 9

36 La formula para ~ τ, ee la forma σb τ mτ rτ σbτ mτ calbracó que esa dado por e E[ e ] σb τ mr τ E e. expresó [ ] e y cosderado el crero de, lo que se reduce a la Cosderado que σ m r. Por lo que el modelo relacoado queda expresado de la sguee maera: ~ τ r B σ σ τ r e 3.4 e sabe que e el caso de ua opcó de compra europea, la gaaca ea es X T, de modo que la ecuacó se covere e: V rt [ T ] e X Usado el modelo dado por la ecuacó 3.4 eemos: T r B σ σ T T e 3.5 Ahora reescrbedo la expresó aeror. Tomado e cuea que B T es ua varable aleaora ormal co meda y varaza T, pero se puede susur T Z por el valor de B T, dode Z es ua varable esádar ormal co meda y varaza, por ao el valor de T es: T r T Z σ σ T e 3

37 3 Por lo que V queda como: X e E e V T r T Z rt σ σ Eoces por la regla para calcular el valor esperado se ee: dx e X e e V x T r T x rt σ σ π 3.6 Ahora solo es ecesaro egrar y evaluar 3.6, para eso prmero se examara la pare que esa e las llaves, la cual o es cero cuado > X e T r T x σ σ Por ello se resuelve la ecuacó X e T r T a σ σ para a y se obee que: T T r X a σ σ l Por lo ao el valor de V se reescrbe como: dx e X e e V x a T r T x rt σ σ π

38 Por lo que se dvde la egral aeror e dos pares. El segudo ermo x Xe dx X π a N a XN a El prmer ermo r T x σ σ T x e e dx a π π e r σ T a e σ T x e x dx Para resolver la egral aeror es ecesaro complear cuadrados, eoces x σ T x x σ σ T T x σ T x σ T σ T Por lo que la egral queda de la sguee maera: π a e x σ T x dx xσ T e σ T a π dx Hacedo el sguee cambo de varable y x σ T, por lo ao la egral se reescrbe como: e σ T y σ T e dy e aσ π N a σ T Por ello, el prmer érmo e 3.6 se covere, después de smplfcar y cacelar los érmos σ e T, e lo sguee. 3

39 e rt N a σ T Al reur las pares de la egral podemos observar: Pueso que a l V e X e rt rt [ X ] N T rt [ e N a σ T XN a ] rt a σ T Xe N a σ r T σ T Eoces claramee se ve que σ l r T X a σ T, por lo que a σ T σ l r X σ T T Por ello a d y a T d σ y eoces falmee eemos que el valor de V es: V rt d N d e XN 3.7 La ecuacó 3.7 se llama ecuacó de Blac-choles para el preco de ua opcó de compra. 3.. FÓRMULA DE PARIDAD OPCIÓN DE VENTA-OPCIÓN DE COMPRA. Ua opcó de compra europea esá relacoada co ua opcó de vea europea. upoemos que se decde veder ua opcó de compra cubera, es decr, compramos ua accó al valor y vedemos ua opcó de 33

40 compra al preco C, dode el preco de ejercco y el vecmeo so arbraros. edo prudee ae la posbldad de baja de la accó, compramos ua opcó de vea al preco P, co el msmo preco de ejercco y vecmeo de la opcó de compra, lo cual se puede escrbr como sgue: Coso de la poscó hoy P C Cosderemos que X es el preco de ua opcó de vea y de ua opcó de compra. Cuál es el valor de la poscó al vecmeo? X, el valor es gual a X. Damos accoes al comprador de la opcó de compra X y la opcó de vea se vece s valor. < X, el valor es gual a X. Damos la accó al vededor de la opcó de vea y la opcó de compra vece s valor. Así eoces o mpora que ocurra, el valor de la poscó al vecmeo es el msmo, es decr X. Debdo a que se ee ua poscó deermsa ocurre: rτ P C e X Por lo que: C P e rτ X Es relevae hacer oar que s la dfereca de precos rτ C P o es gual a e X, eoces los oporusas lo llevará rápdo a e X, ya sea medae la compra o la vea de la poscó P C. rτ e usara la pardad pu-call para deermar el preco de ua opcó de vea europea sobre ua accó co el msmo parámero que aes. 34

41 La relacó de pardad pu-call se puede reescrbr como: P C e rτ X usuyedo la formula de Blac-choles del preco de ua opcó de compra europea sobre la accó, se obee rτ P N d e XN d e rτ X Aplcado el hecho de que N d N d para,, vemos que rτ P N d e XN d 3.8 Que es el preco Blac-choles de ua opcó de vea europea. 3.3 LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE BLACK-CHOLE upoga que V, represea el preco de ua opcó sobre ua accó: es el preco de la accó e el empo. upoemos que V, es ua fucó suave de las varables geércas y. La esraega para cosrur la ecuacó dferecal parcal de Blac-choles cosa de cuaro pasos, los res prmeros so puramee maemácos, meras que e la cuara eapa se brda el argumeo fal. Paso. Expadr V e ua sere de Taylor e y. Paso. usur la expresó d 3., e la sere de Taylor, por V. Paso 3. mplfcar algebracamee el érmo browao y elmar érmos de orde superor. Paso 4. Iguala V co ua carera duplcadora. De ese modo, llegamos a las ecuacoes dferecales deseadas. 35

42 Procedamos como sgue. upoga que y f x, es la expasó de la sere de Taylor para f y ee la forma sguee f f x,! e el caso de ua varable. Ahora para el caso de dos varables, z f x, y, la sere de Taylor ee la forma f x, y f, f, f, f, x y x x y x f, f, xy y érmos de orde superor x y y Reescrbedo e forma dferecal se ee df f f f dx dy dx x y x f dxdy x y y dy érmos de orde superor... Por lo que se puede erprear dx como u pequeño cambo de x y df como ua dmua modfcacó de f resulae de pequeños cambos e dx y dy. Escrbmos la ecuacó para f de modo que se pueda ver la forma maemáca geeral, depedeemee del campo calor, luz, sodo, elecromagesmo. Ahora aplcamos la expasó de V : 36

43 dv V V d d V d V d V dd érmos de orde superor, eso complea el paso. Ahora susumos d 3., e la ecuacó aeror y coservamos solo érmos de prmer orde e d. dv V V d V V V µ d σdb µ d σddb µ d σdb d d Coservamos los cuaro prmeros érmos y descaramos el úlmo de la derecha. Co lo que queda lo sguee dd µ d σdb d µ d σdbd Recuerde que db Z d y dbd Z d 3 /. Debdo a que ao d y d 3 / o so de prmer orde, descaramos dd, lo cual sólo os deja d para cosderar: d µ d µσ dbd σ db Elmemos los dos érmos de la derecha por los argumeos prevos. Por, resula de prmer orde e d. ora pare, db Z d Z d Coservamos ese érmo. Ahora esamblamos las pezas para dv : 37

44 V V V dv d µ d σdb σ Z d V V V V µ σ Z d σ db Para smplfcar más 3.9 reemplazamos. Así pues obeemos 3.9 Z por su valor esperado, es decr dv V V V V µ σ d σ db 3. La jusfcacó de que Z es que cualquer suma de esas dferecales coee u promedo que cas guala el valor medo. Eso coempla los pasos y 3, que so los pasos maemácos, pero ahora se hará uso de ua herramea facera. Haremos uso de la herramea coocda como la carera duplcadora, para calcular los precos de dervados medae modelos de empo dscreos. Esa herramea perme evaluar el redmeo oal de la versó a medda que varía e el empo la poscó de ua accó. Comezamos ua búsqueda de ua versó accó/valor apropada. E cualquer momeo, el valor eo de esa versó es el valor, V,. upoemos que V, es ua fucó suave dada de las varables y. Debemos deermar valores umércos φ úmero de accoes del valor y ψ úmero de boos 38

45 de modo que la ecuacó V, φ ψ dp 3. se sosee para T. Esa ecuacó afrma que el valor eo de uesra poscó es gual al valor de uesras eecas de accoes y boos. P, es el valor absoluo de u boo. Afrmamos que los cambos de valor eo obedece a la ecuacó dv φ d ψdp 3. Ahora complearemos la ecuacó de Blac choles. Pueso que d µ d σdb y dp rpd podemos expresar 3. como dv µφ rψp d σφdb E seguda gualamos los dv e 3. y 3.: V V µφ rψp d σφdb µ σ d σ db V V Auque parece dfícl, coamos co la lberad cosderable para la eleccó de φ y ψ, así que poemos V φ,

46 Co esa alerava o sólo se cacela los érmos db, so que ambé se cacela µφ y µ V /. Eso deja V V r Pd ψ σ d 3.4 Vemos que ψ P V V / de la ecuacó 3.8. usuyedo eso e 3. para obeer r V V V d V σ d Falmee llegamos a la ecuacó V V r V σ rv, 3.5 que se llama Ecuacó dferecal parcal de Blac-choles del preco de ua opcó CONDICIONE INICIALE DE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL PARCIAL DE BLACK-CHOLE. Para obeer u preco de opcó, al como el preco de ua opcó de compra europea, es ecesaro combar 3.5 co codcoes de froera. Las res codcoes de froera de ua opcó de compra so:. Fquo: V, τ X, esá afrmacó dca que el fquo sobre la opcó es exacamee lo que debe ser.. V, / lím para ua opcó sumamee dero del dero. El valor de la opcó se aproxma a X, de modo que la relacó se acerca a. 4

47 3. mplca que V, para >. Ua vez que la accó perde odo valor, o se recupera. 3.4 ENIBILIDAD DEL PRECIO DE LA OPCIÓN A couacó se aalzara de que maera ceras varables exógeos afeca el preco de las opcoes, para eso se esudara ua sere de ídces o coefcees represeavos que servrá para esablecer coberuras de resgo e las careras co opcoes.. El coefcee DELTA, se puede defr como la varacó producda e el preco de la opcó por ua udad de cambo e el preco de la accó subyacee. E forma dscrea eemos: V DELTA preco de la opcó preco de la accó E forma coua, so gual a la dervada parcal del preco de la opcó co respeco al del ulo subyacee: V V c c Nd V p p Nd També se puede defr la dela de la opcó como la probabldad de ejercer la msma. També se les coocer como raos de coberura e dca el úmero de accoes ecesaras para cubrr ua poscó e opcoes.. El coefcee GAMMA. Mde el efeco que la esabldad del mercado produce e el valor de dela. Así la gamma de ua opcó mde la asa de cambo de la dela cuado el preco de la accó varía ua udad. 4

48 Caso dscreo: Caso couo: Gamma c γ γ DELTA. e Π σ 5d La gamma es pues ua medda de la sesbldad de la dela y es afecada por la volaldad y por el plazo hasa el vecmeo de la opcó por lo ao ese coefcee proporcoa la medda del resgo especfco asumdo e las poscoes e opcoes ya que la dela mde el resgo de poscó e érmos del subyacee. 3. Coefcee THETA. Muesra la varacó e el preco de ua opcó como cosecueca de ua varacó e el empo que resa para su vecmeo. Es, pues, ua medda del deeroro emporal. Caso dscreo: Caso couo: Thea V V Thea σ rτ N d Xe rn d 4. El coefcee RHO. Idca la sesbldad del preco de la opcó debdo a los cambos del po de erés lbre de resgo, es decr mde la coberura de la opcó co respeco a dcho po de erés. Caso dscreo: V Rho r 4

49 Caso couo: V ρ r Xe rτ N d Rho se compoe de dos pares, la prmera es u reflejo dreco del efeco del po de erés lbre de resgo, e el preco del ulo subyacee, relacó que se expresa medae dela de la opcó. El segudo compoee provee del mpaco de los pos de erés sobre el coso de maeer la poscó. 5. El coefcee VEGA. També deomado Kappa u Omega dca el cambo e el preco de ua opcó co respeco a ua varacó producda e la volaldad de la accó. Caso dscreo: VEGA V σ Caso couo: V υ σ N d El coefcee vega es posvo pueso que odo aumeo de volaldad del subyacee hace aumear el valor de la opcó ya sea ésa de compra o de vea, ua mayor volaldad lleva a ua probabldad más ala de osclacoes e el preco de la accó subyacee, lo que hace aumear el valor de la opcó. 43

50 CAPÍTULO 4 MODELO AUTORREGREIVO Y REGREO A LA MEDIA 4. INTRODUCCIÓN Uo de los supuesos báscos e u modelo de movmeo browao geomérco es que los cambos de precos e el fuuro, dado el presee, so depedees de los cambos de precos e el pasado. Ése proceso es u modelo de Marov el cual supoe que u esado fuuro del ssema depede sólo del esado presee y o de los aerores. embargo a meudo se ecuera seres de empo faceras para las que el modelo browao geomérco o es adecuado, Por ejemplo e la refereca [7] se aalza los daos de cerre del mes más cercao de peróleo crudo del 3 de eero de 995 al 9 de ovembre de 997 perodo aes de la crss facera asáca que afecó la demada y do como resulado ua caída de los precos. E [7] se aplca varas pruebas esadíscas para ver que esa sere de precos o es cossee co la hpóess de que los precos del crudo sgue u movmeo browao geomérco. A muchos les parece razoable que la hsora recee de u acvo puede ser de uldad al predecr precos fuuros. Los modelos auorregresvos puede descrbrse como aquéllos e los que ua varable o cojuo de varables se explca, al meos e pare, e fucó de los valores pasados de esa msma varable o cojuo de varables. Esos modelos ha cobrado gra mporaca e el campo de la ecoomería y la ecoomía. e ha demosrado que modelos secllos de ese po, co u pequeño úmero de varables y parámeros, compe, cluso co veaja, e su capacdad de predccó y smulacó co los grades modelos macroecoomércos que se desarrollaro e los años ccuea y sesea, y que cluye ceos de varables y parámeros. 44

51 4. MODELO AUTORREGREIVO ea d, el preco garazado al fal del día. además defmos L log, d eoces el modelo de movmeo browao geomérco mplca que e L a L 4. dode e,, es ua secueca de varables aleaoras ormales depedees décamee dsrbudas co meda y varaza N 5 que es el úmero de días laborales e u año y σ N, co µ a, dode µ, N es la meda del movmeo browao geomérco y σ es la volaldad asocada al parámero. Observado la ecuacó 4., podemos cosderar que se puede realzar u ajuse más geeral para L ; es decr la regresó leal. e L a bl, 4. dode b, es ora cosae cuyo valor suele ecesar de ua esmacó. La esmacó se mejora omado a b como u valor arbraro, e lugar de b, esmado su valor a parr de los daos. La ecuacó 4. es ua regresó leal clásca y la écca para esmar a, b y σ es be coocda. Debdo a que el modelo específca al logarmo de los precos e el empo e érmo del logarmo de los precos e u perodo de empo aeror, es llamado u modelo auorregresvo de orde uo. Los parámeros a y b del modelo auorregresvo dado por 4. so esmados por daos hsórcos, de la sguee maera. upoemos 45

52 L, L,... L r, como los logarmos de los precos del fal del día por r días sucesvos. Eoces cuado a y b so coocdos, el valor esmado de L, esa basado e el logarmo de los precos aerores es a bl ; por lo ao, la aproxmacó usual para la esmacó de a y b es obeer los valores que mmce la suma de los cuadrados de la predccó del error. De ese modo a y b so elegdos de maera que se mmce la suma r L a bl. OBERVACIÓN: el modelo especfcado por la ecuacó 4., es u modelo de resgo euro sólo cuado r σ a y b. Eso es, es euro al N resgo solo s se reduce al modelo de movmeo browao geomérco. Cosecueemee o hay arbraje posble cuado odas las versoes se valúa de acuerdo a su valor esperado presee, cuado b. embargo, u versosa que pesa que a y b valor, puede r σ a y N ee algú oro hacer a meudo, ua versó que, auque o da ua gaaca segura, puede geerar ua gaaca grade y ua varaza pequeña calcula de acuerdo a los valores esmados de co u valor esperado cuado esas úlmas cadades se a y b por el versosa. 4.3 VALUACION DE OPCIONE POR MEDIO DE U GANANCIA EPERADA upoemos que el logarmo de los precos al cerre del día sgue la ecuacó 4. y que los parámeros a, b, σ esá deermados y cosderemos ua opcó cuyo empo de ejercco esa dado al fal de 46

53 47 días laborables. Co el objeo de evaluar, el valor esperado de la gaaca de la opcó, se debe prmero deermar la dsrbucó de probabldad de L. Para lograr eso, comezamos por reescrbr la ecuacó 4. como bl a e L Ahora, ulzado la ecuacó aeror, prmero co, luego co, se obee que [ ] [ ] L b ab ab a e b be e L bl a e b ab a be e L L b ab a be e L bl a e b a e L bl a e L Couado de esa maera, se demuesra que para cualquer <, L b b a e b L Por lo ao para, la ecuacó aeror da: L b b b a e b L L b b a e b L 4.3 Noemos que e b, es ua varable aleaora ormal co meda y varaza N b σ. Así, usado que la suma de varables aleaoras ormales depedees, es ambé ua varable aleaora ormal, vemos que e b, es ua varable aleaora ormal co meda

54 48 [ ] E e b e b E 4.4 y varaza [ ] b N b b N e b Var e b Var σ σ 4.5 Por lo ao para las ecuacoes 4.3, 4.4 y 4.5 obeemos que s el logarmo del preco al empo es g L, eoces L es ua varable aleaora ormal co meda m y varaza v, dode g b b b a m 4.6 y b N b v σ 4.7 El valor presee de la gaaca de ua opcó de compra, cuyo preco de ejercco es K y su empo de ejercco es al fal de días laborables, es K e e K e L N r d N r dode N r y respecvamee so la asa de erés y el úmero días laborales e u año. Ulzado que L es ormal co meda y varaza dados e las ecuacoes 4.6 y 4.7, se puede demosrar que el valor esperado de esa gaaca es: Φ Φ h K h v e e K e e E v m N r L N r, 4.8 dode Φ es la fucó de dsrbucó ormal esádar y dode

55 log K m h v EJEMPLO Cosderemos la sere de empo llamada WTI, que cosse de observacoes daras del preco del peróleo Wes Texas Iermedae WTI. El perodo de la muesra es de eero 3 de 5 a ovembre 7 de 7, dado u oal de 7 observacoes daras. upoedo que el modelo auorregresvos es apropado para los daos cosderados, esmamos los valores de a, b y σ N, usado por ejemplo Excel, obeemos los sguees valores a , b y σ. 493 N Ósea el modelo auorregresvo esmado es L e L La sguee es ua gráfca de los resduos de la sere ajusada cora los quales de la dsrbucó ormal. Vemos que hay u bue ajuse al cero de la dsrbucó, pero o e los exremos. Dode e, es ua varable aleaora ormal co meda y desvacó esádar el preco presee es 66.93, eoces el logarmo 49

56 del preco al fal de oros 5 días laborables es ua varable aleaora ormal co meda log m y varaza v upoemos que la asa de erés es 8% y que queremos deermar el valor presee esperado de la gaaca de ua opcó de compra al fal de 5 días laborables y preco de ejercco K 7, como h fue log h e sgue que el valor presee de la gaaca esperada es. e e Φ Φ Es eresae comparar el resulado aeror co el valor de la opcó obedo usado el modelo de Blac choles de movmeo browao geomérco, para ese modelo la σ y σ y 5 por medo de la formula de Blac choles, se obee u preco de.95. δ T r T Vc 5, e N d Ke N d.95 Así el valor obedo co Blac choles es basae más grade que el obedo co el modelo auorregresvo. La razó prcpal de esa dscrepaca es que la varaza del logarmo del preco fal es

57 bajo el modelo de movmeo browao geomérco, pero es solo de.539 bajo el modelo auorregresvo. 4.4 REGREO A LA MEDIA Alguos corredores ee la creeca de que el preco de ceros bees faceros comúmee comodes ede a regresar a reper valores fjos. Eso es, cuado el preco acual es meor que ese valor, el preco ede a cremearse; cuado el preco es más grade, ese ede a decrecer. be ese feómeo es llamado regreso a la meda, o se puede explcar por u modelo de movmeo browao geomérco. Pero eso es ua cosecueca smple del modelo auorregresvo. Cosderemos el modelo e L a bl el cual es equvalee a d a e e d b Como a a e [ e ] e N σ E e sgue que, s el preco al fal del día es s, eoces el preco esperado al fal del sguee día es aσ a e b [ e ] e N E 4.9 Ahora supoemos que < b < y sea * a σ s exp b N 5

58 Mosraremos que s el preco presee es s, eoces el preco esperado al fal del día sguee esa ere * s y s. Para obeer eso, prmeros supoemos que * s < s. Eso es a σ s < exp b 4. N Lo cual mplca que o a σ s < exp N a s b < exp N σ s b E [ ] d 4. Además la ecuacó 4. ambé mplca que a s b σ < exp b b o N a σ a s b < N σ exp b N lo cual es equvalee a E σ d a σ N a b b * [ ] exp s < exp N s 4. Como cosecueca de 4. y 4., se ve que s d s < s, * eoces * [ ] s s < E d < De ua maera smlar, se sgue que s d s > s, eoces * 5