LIBOR Market Model. Una aproximación al paradigma lognormal en la valoración de derivados sobre tipo s de interés.

Transcripción

1 LIBOR Marke Model. Ua aproxmacó al paradgma logormal e la valoracó de dervados sobre po s de erés. Esaslao Slla Sacho Trabao de Ivesgacó del Programa de Docorado Ieruversaro e Fazas Cuaavas º Julo 3 Uversdad Compluese de Madrd Uversdad del País Vasco Uversdad de Valeca

2 LIBOR Marke Model. Ua aproxmacó al paradgma logormal e la valoracó de dervados sobre pos de erés. Esaslao Slla Sacho Trabao de Ivesgacó del Programa de Docorado Ieruversaro e Fazas Cuaavas º Resume El presee rabao preede descrbr la base del esquema de valoracó de dervados sobre pos de erés habualmee coocdo como LIBOR Marke Model por medo de ua profuda revsó bblográfca. Para ello se comeza co ua breve revsó hsórca de la valoracó de los mecoados acvos faceros. A couacó, el úcleo ceral de la revsó cosse e expoer los supuesos e hpóess rísecas del modelo, así como la relacó de ésas co la valoracó de los acvos dervados de dversa ídole, smples y compleos. Especal mporaca ee la hpóess de auraleza deermsa ao de las dervas como de la marz de covarazas de los pos forward. E el puo ocavo se raa hasa qué puo la hpóess sobre las dervas resula acepable e ocua. E los sguees se usfca por qué el puo clave e la especfcacó del modelo es deermar ua forma fucoal adecuada para las fucoes de volaldad y correlacó saáeas y se raa dversas posbldades al respeco. Falmee se eemplfca alguos de los puos aerores por medo de u eercco empírco que alsa la labor del auor de cara a fuuras vesgacoes. Absrac Ths ask preeds o descrbe he base of he valuag eres rae dervaves scheme habualy kow as LIBOR Marke Model va a deep bblographc revso. I order o do so sars wh a breef hsorc revso of he meoed asses. Nex, he ceral core of he revso cosss exposg he rsec assumpos of he model ad s relao wh valuao of dervave asses of dverse kd, smple ad complex. Specal mporace has he assumpo of deermsc aure for he drfs as well as for he covarace marx of forward raes. The eghh po reas he mporace of accepg he assumpo abou deermsc aure of drfs. I he ex pos s usfed why he ceral po de specfcao of he model s deermg a suable fucoal form for he volaly ad saaeus correlao fucos ad several possbles regard o he maer are reaed. Fally several of he prevous pos are exeplfed va a emprcal exercse ha rolls ou he auhor s ask for fuure researchgs. Ese rabao fue expueso públcamee e el I Workshop e Fazas Cuaavas celebrado e la Uversdad del País Vasco los das 6 y 7 de uo de 3. Qusera agradecer a m drecor, el dr. D. Elseo Navarro Arrbas la oreacó y ayuda brdadas para co el ema y su compromso co el msmo y fuuras vesgacoes, así como al dr. D. Jua Nave sus comearos al respeco del rabao. El auor agradece públcamee a la Geerala Valecaa su paroco y al clausro del docorado Qf su dedcacó al msmo.

3 Coedo.Iroduccó y movacó. 4.Breve hsora de la valoracó de dervados sobre pos de erés. La hsora del LMM 4 3.La fórmula de Black y la valoracó radcoal de dervados smples 4.La valoracó de dervados y la dámca de los pos forward 4 5.Descrpcó de la dámca de los pos forward 7 6.Especfcacó de ua versó cocrea del LMM 7.Valoracó de producos compleos por el LMM 8. Ua clasfcacó de los producos valorables por el LMM 4 9.Esudo de las dervas de los pos forward 8.U puo clave: las fucoes de volaldad y correlacó saáea 34.Dsas hpóess acerca de las fucoes de volaldad saáea 36.Aprecacoes cualavas acerca delas fucoes de volaldad saáea 39 3.Posbldades cocreas para las fucoes de volaldad saáea 4 4.Traameo de la fucó de correlacó saáea 43 5.Posbldades de modelzacó de la correlacó saáea 46 6.Ua aproxmacó prácca al LMM 5 7.Referecas 63 3

4 . Iroduccó y movacó. E los úlmos empos los mercados de dervados sobre pos de erés se ha desarrollado de maera mporae ao e lo que se refere a volume de egocacó como a la compledad y dversdad de los acvos exsees. Desde que e 973 Black y Scholes publcaro por prmera vez su famosa fórmula, ao la eoría como la prácca ha evolucoado muy deprsa e la valoracó de dervados e geeral y de dervados sobre pos de erés e parcular. E ese coexo y desde el rabao orgal de Heah, Jarrow y Moro (989), el paradgma logormal para la descrpcó de la dámca de los pos forward y el uso de la fórmula de Black para la valoracó de dervados smples ha do gaado erreo hasa coverrse e u esádar co crecee acepacó. A pesar de ello, o es mucha la vesgacó llevada a cabo e ese campo e España, lo cual corasa co la gra prolferacó de rabaos eórcos e ese sedo a vel eracoal, comezado co Brace, Gaarek y Musela (997) y Jamshda (997). Paralelamee, y como comea de Jog, Dresse y Pelser (), el volume de rabaos eórcos exsee corasa co la escasa profusó que se observa e el plao de las vesgacoes empírcas. Así, u vesgador e uesro país ecuera res razoes por las cuales ese campo resula aracvo. Dos so globales, el fuuro que presea ese esquema de rabao y la escasez de coraacoes empírcas. La ora, como ya hemos mecoado, es de ídole local. Sguedo los dos grupos de movacoes aerores, y de acuerdo co el drecor del presee rabao, el proyeco se abordó, orgalmee, desde ua doble veree eorcoprácca. No obsae, la escasez de empo dspoble uda a la escasa dspobldad de los daos ecesaros para realzar u esudo empírco orodoxo ha do relegado la pare empírca a u segudo plao. Falmee se presea ua revsó de los dferees rabaos eórcos esudados uo co ua eemplfcacó prácca de alguos de los puos raados. Gra pare del rabao realzado ha cossdo, por ao, e la seleccó, asmlacó y homogeezacó de puos eórcos provees de dversas fuees, hasa doarlos de ua esrucura uara y auocoeda. A pesar de lo aerormee dcho, el presee esudo se emarca e la úlma fase del prmer cclo del Docorado e Fazas Cuaavas e el que el auor se ecuera merso. Es por ello que resula ua buea oporudad para la roduccó del docorado e u campo que ya ha sdo descro como aracvo para el vesgador, por lo que el auor espera que o sea so el prcpo de ua líea de vesgacó que se desarrollará e buea pare desde u perspecva empírca.. Breve hsora de la valoracó de dervados sobre pos de erés. Los orígees del LMM. El couo de éccas que podríamos calfcar de moderas para la valoracó de dervados sobre pos de erés comezaro co el rabao de Heah, Jarrow y Moro (989). A parr de él se ha desarrollado u couo de esraegas o varaes co u 4

5 rasgo e comú: el recoocmeo de que la evolucó lbre de arbrae de cualesquera varables de esado escogdas puede expresarse como ua fucó de las volaldades y, e su caso, covarazas, de las varables de esado msmas. Dchas varables de esado puede ser pos de erés saáeos o dscreos compuesos, pos swap o forward.; puede dsrburse de forma ormal o logormal. El umeraro asocado puede ser u boo cupó cero, ua cuea del mercado moearo, ec. Sguedo a Reboao (), podemos subdvdr la relavamee cora hsora de los dervados sobre pos de erés e cuaro períodos. El prmero de los cuales se refere al empleo de las aproxmacoes de Black y Scholes (973), Black (976) y Mero (973). La varable de esado precos de boos, spo o forward, pos de boos, pos forward o pos swap fuuros- se supoe, varablemee, logormal, y la dsrbucó resulae se egra sobre el pago ermal de ua opcó europea. La aproxmacó de Black y Scholes co u boo como subyacee fue popular auque desde muy proo crcada como cosecueca del feómeo de covergeca a la par : la forma orgal de la fórmula de Black y Scholes requere ua volaldad cosae para el subyacee. Evdeemee, como el preco de u boo coverge a la par a su vecmeo, su volaldad o es cosae. Ese hecho se cosderaba poco pelgroso s el vecmeo de la opcó era muy aeror al vecmeo del boo. Para casos e que ambos vecmeos era próxmos, la solucó era cosderar como subyacee logormal ua cadad o egocable, el redmeo del boo. De esa forma se cosgue evar la covergeca a la par, auque resula dfícl adapar a u subyacee o egocable el razoameo de Black y Scholes de esraega dámca auofacada que reproduce el pago fal de la opcó. La aproxmacó logormal preseaba problemas eórcos, ere ellos ua dfícl usfcacó facera relava a la valoracó resgo eural. No obsae, la comudad facera o abadoó el modelo de redmeos logormales por razoes eórcas. Las fórmulas de valoracó de caps y swapos, que empleaba pos forward y swap logormales, fuero gaado acepacó. Esas fórmulas, a dfereca de la aproxmacó logormal de redmeos, puede usfcarse eórcamee. No obsae, dcha usfcacó o aparecó hasa los años ovea. Así, el mercado empleó de maera geeralzada la fórmula de Black para opcoes y swapos europeas mucho aes de que se dfudese su usfcacó eórca. E realdad, como e muchas ocasoes, parece que la eoría fue derás de la prácca. La eleccó eórcamee o fudameada del mercado covró la fórmula de Black para caples y swapos e el esádar. Dcho esádar fue fudameado poserormee co argumeos eórcos. De ése esádar procede aproxmacoes poserores y más geerales, como el LIBOR Marke Model, capaces de valorar dervados sobre pos de erés compleos de forma cossee co el mercado de caples. Volvedo al problema de covergeca a la par, la solucó correca era, claro esá, emplear la fórmula de Black -y lo la de Black-Scholes-, co precos forward y volaldad de dchos forwards como pus. Ese camo fue descudado ao por los 5

6 raders geuos como por los más formados y sofscados. Los prmeros o aprecaba la dfereca ere Black y Black-Scholes, y pesaba que el feómeo de covergeca a la par era relevae e ambos casos. Los segudos eedía la dfereca pero se daba cuea, asmsmo, de que la fórmula de Black o coemplaba algo mporae: e realdad, a pesar de que los dsos precos forward de boos se correspode co acvos dferees, sabemos que esos precos se ecuera sgfcavamee correlacoados. Efecvamee, s u rader emplea dos volaldades de precos forward de boos como pus para valorar dos opcoes que expra e momeos dferees sobre boos co el msmo plazo hasa el vecmeo, mplícamee esá dcedo algo acerca de las volaldades de los precos forward e el ervalo ere el prmer y el segudo vecmeo. S embargo, el cocepo algo resula excesvamee vago y la relacó ere las dsas volaldades o es sufceemee fuere como para eer ua auraleza deermsa. S embargo, ampoco es lo sufceemee débl como para ser cosderada compleamee depedee. Esa vaguedad, fuee de sasfaccó co la aproxmacó de Black, resula parcularmee eresae s eemos e cuea que la aproxmacó modera a la valoracó de dervados puede padecer u exceso de cocrecó smlar. A medda que se desarrolló el mercado de dervados sobre el LIBOR, ése proporcoó, asmsmo, eresaes desafíos de valoracó. La demada de producos dervados sobre el LIBOR veía, por u lado, de los gesores de oblgacoes, que buscaba asegurarse u po de erés por medo de la compra de caps, y, por oro, de los emsores e versores que buscaba mayores redmeos propos o de los fodos que gesoaba por medo, respecvamee, de boos caeables o colocables (puables). Ua prmera cosecueca fue que el coseso de las frmas de versó más acvas e el campo se cosoldó alrededor del uso de la fórmula de Black co pos forward y swap logormales. Ello o era ecesaro porque u caple puede ser vso como ua opcó de compra sobre u po o ua opcó de vea sobre u boo, por lo que la eleccó de la aproxmacó de Black puede cosderarse como u accdee hsórco relevae. Ua seguda cosecueca de la demada y produccó de producos po opcó fue que las casas de versó se vero como los compradores aurales de swapos y los vededores aurales de caps. Por supueso ya se recoocía que se raaba de srumeos ímamee lgados: u po swap es ua combacó leal, auque co carga esocásca de los pos forward subyacees. No obsae, las fórmulas de Black por sí msmas o proporcoa psa algua sobre cuál debería ser la coexó: cada caple sería perfecamee valorado e su propa medda forward. La seguda eapa e la valoracó de dervados odavía uvo su orge e rabaos académcos, como Vascek (977) y Cox, Igersoll y Ross(CIR) (985). Afroaro la búsqueda de ua descrpcó coheree y auocoeda para la mulud de srumeos (opcoes sobre boos, caples, swapos, ec.). El supueso clave era que la dámca de oda la curva de pos veía deermada por el po saáeo a coro. A pesar de que el éxo prácco de esos modelos era basae lmado, su flueca fue cosderable y, salvo alguas excepcoes, odos los modelos desarrollados hasa Heah, Jarrow y Moro (989) era pare del msmo programa basado e pos a coro. 6

7 Ua combacó de facores complea parece la causa de que amaño esfuerzo se realzase e esa dreccó. Los raders, o obsae, se sero araídos por la dea de que uos modelos co ua esrucura smple y uos supuesos de parda descrbía la curva de pos de maera acepable. Ese éxo parcal pero halagüeño se erpreó e ocasoes como u síoma de que e el fodo debe ser correco escoger los pos a coro como el facor subyacee para la curva de pos. Co perspecva puede argumearse que, como ha demosrado la coposa vesgacó ecoomérca realzada, la evolucó de la curva de pos se explca e buea medda por su prmer compoee prcpal. Las poderacoes de los dferees pos forward e ese compoee prcpal so aproxmadamee cosaes. Así pues, vrualmee cualquer po, y, por ao, el po a coro, podría haberse omado como ua aproxmacó razoable del prmer compoee y, por ao, de la curva de pos eera. La ercera fase es cosecueca medaa de la prmera y vee deermada por los rabaos de Black, Derma y Toy (99) y Hull y Whe (99), que exede, respecvamee, las aerores propuesas de Vascek y CIR. La caracerísca más relevae de ese po de modelos fue la agregacó de u érmo puramee deermsa al compoee de reversó a la meda e la derva del po a coro. De esa forma se cosgue deshacerse de cualquer dscrepaca que los compoees esocásco y de reversó a la meda pudese permr ere el mercado y el modelo. Así, esa famla de modelos so capaces de reproducr cualquer curva de pos pero o srve para valorar drecamee opcoes pla valla caples y swapos-. E realdad, s se mplemeara como sus creadores recomeda, eso es, co parámeros de volaldad cosaes, fallaría cluso e la valoracó de caples. De esa maera el obeo de esos modelos pasó de ser la defcó de la forma de la curva de pos a la evaluacó de la sesaez de la esrucura emporal de volaldades del mercado. Como cosecueca, los raders de dervados smples sobre el LIBOR se ecoraro por prmera vez e poscó de especular que, s la evolucó de la curva de pos esaba realmee marcada por el po a coro, s su derva (ausada por resgo) eía ua forma co reversó a la meda y s la volaldad se había escogdo correcamee, eoces el modelo podría proporcoar ua dea de que los precos relavos de, por eemplo, dos caples, o puede ser los que se observa e el mercado. La seguda geeracó de modelos provocó la prmera posbldad arbrae co opcoes coducda por u modelo. Como cabe supoer, el po de profesoales que se mosraba sasfechos co la seguda geeracó de modelos era, por supueso, los raders de dervados exócos. A prcpos de los ovea, cuado los modelos de la famla BDT/HW egraba la prcpal corree dero de la comudad facera, mulud de uevos dervados exócos swapos bermuda, swaps co prcpales dexados, rache caps, callable verse floaers, kock-ou caps, dex accruals...- se roduero e el mercado. Para los raders ecargados de egocarlos, la mayor demada para u uevo modelo era la capacdad para valorar al meos la coberura co opcoes requerda para cada compra o vea e líea co el mercado pla-valla. Los raders de exócos quería los precos de sus coberuras (caples y/o swapos) reproducdos por el modelo e líea co el mercado. E la prmera mad de los ovea, los mercados de caples y de swapos europeas au se ecoraba soldamee aclados e el esquema de Black. 7

8 Fue e ese coexo cuado las prmeras aplcacoes o rvales del modelo HJM empezaro a desarrollarse y a emplearse- e los fro offces. Como ya se do, el papel de rabao orgal de HJM empezó a crcular e 987, auque las prmeas aplcacoes lo hcero e Hay alguas razoes que explca ese reraso. El leguae compleo e el que el modelo fue formulado, el escaso desarrollo alcazado por las éccas umércas o aalícas para resolver ecuacoes e dervadas parcales leales y la escasa uldad que las éccas de árboles recombaes presea free a la auraleza o markovaa de los procesos logormales para pos forward. La aplcacó clave free a la escasa uldad demosrada por la búsqueda de fórmulas cerradas y el empleo de árboles recombaes es la smulacó Moe Carlo. No se raaba de ua écca ovedosa, pero hasa ese momeo había gozado de ua populardad escasa. Por ora pare, e u prmer momeo, el modelo HJM se cosderaba dfícl de calbrar. Por ao, el sguee problema para la dfusó del modelo fue la calbracó del msmo. El modelo HJM fue orgalmee formulado e érmos de pos forward saáeos, que o presea ua equvaleca evdee co gú srumeo egocado e el mercado. Además el arículo de HJM mecoaba el hecho de que, e el líme del empo couo y para verdaderos pos forward logormales, su proceso exploa co probabldad posva. Esa afrmacó, a meudo repeda y raras veces compredda, acuó como u poderoso hbdor del desarrollo de u modelo de mercado logormal basado e HJM. No obsae, los emores cales desaparecero. Cuado el proceso se dscreza y se covere e u eor fo, la explosó logormal desaparece. El mercado, más esclavo de la ecesdad que doado de ua vsó provdee, se vo oblgado, para valorar acvos dervados sobre el LIBOR co la aproxmacó HJM, u camo que queda como sgue: - Debe especfcarse ua parcó para la curva de pos por aquellos puos e los que los acoecmeos relevaes para el preco ocurre. Se raa del eor de los pos forward. Debe supoerse que esos pos forward dscreos puede cosderarse como el equvalee e empo fo de los pos forward saáeos del HJM. - Debe dscrezarse, asmsmo, las dervas de o-arbrage. Al hacerlo, las egrales se rasforma e sumaoros y ee que smularse las egrales esocáscas e empo couo usado cuadrauras esocáscas dscreas. - Pueso que debe escogerse u umeraro, como exesó aural de la aproxmacó HJM, se oma el cocepo de cuea del mercado moearo dscrea compuesa. - Debe hacerse ua suposcó sobre la forma fucoal de los pos forward dscreos. E ese puo, se oma la aproxmacó logormal, aproxmacó esádar para el mercad de opcoes pla valla. La aeror aproxmacó fucoó correcamee y, desde hace años, valorar correcamee ua sere de caples o ha requerdo ada más que el uso de la fórmula de Black. Había acdo el LIBOR Marke Model. 8

9 No obsae, esos caples valorados medae la fórmula de Black se valora co dsas meddas, pereece a uversos dferees, y, por ao, gú oro dervado sobre el LIBOR podría valorarse al msmo empo de ua forma cossee. Ese es u problema o compleamee resuelo y queda mucho rabao por hacer e ese sedo. Muy mporae ha resulado se la corbucó realzada e esa líea por arículos como los de Brace e al. (995), Musela y Rukowsky (997a) y Jamshda (997). Esos arículos muesra co clardad que cualquer mplemeacó e empo couo del modelo de HJM y, por ao, e parcular, la mplemeacó logormal, esaba especfcada por las volaldades saáeas de los pos forward dscreos, así como por las correlacoes ere ellos. De lo aeror se deduce que para cada uo de los puos del eor, es decr, para cada uo de los puos sesbles para el preco, correspodería ua marz que edría como elemeos egrales de érmos de covaraza; cada marz coee u úmero de elemeos proporcoal al cuadrado de los pos forward au vvos. Por ao, la recuperacó de precos de mercado ha deado de ser la prordad para ceder su proagosmo al hecho de que cada ua de las posbles eleccoes para las fucoes de volaldad (varazas y covarazas saáeas) de la mecoada marz daría lugar a u preco dso para producos exócos. Nos ecoramos ae u problema de exceso de grados de lberad e sedo de raspareca facera. U puo fuere de los modelos de mercado es que puede ser equvaleemee empleados ao para pos forward como para pos swap. Ello presea dos cosecuecas posvas mporaes: por u lado, dada la facldad co la que las volaldades de mercado puede recuperarse, el usuaro puede esar seguro de que al meos ua sere de srumeos de coberura (caples o swapos) puede ser valorada de maera exaca por el modelo. A couacó será ua el usuaro qué deerme cuál de las volaldades es más relevae para la valoracó del produco exóco e cuesó. Asmsmo, la mayoría de los producos exócos requere poscoes cuberas ao e caples como e swapos. Es por ao exremadamee úl dar co la correca marz de volaldades o marz swapo, dada ua aplcacó basada e pos forward, o qué esrucura emporal de volaldades de caples es producda por la mplemeacó basada e pos swap escogda. Au más mporae. Los modelos de mercado proporcoa al rader las herrameas perfecas para aalzar la cogrueca los dos dervados smples, caples y swapos. N que decr ee que, para u creyee e la formacó perfeca de los precos, los mercados so sempre cogruees, y la mposbldad para valorar smuláeamee caples y swapos smplemee muesra la adecuacó del modelo empleado e la valoracó. Aleravamee, s se cree que el modelo es correco y fucoa para devolver odos los precos, las volaldades y correlacoes resulaes debería reflear el coseso del mercado para co dchas cadades, s mporar cua plausbles pueda parecer s se compara, por eemplo, co la evdeca hsórca y esadísca. El ema es, e realdad, basae más compleo que lo aeror: por u lado esá los fluos aurales del mercado y por oro co hába favoros que crea u exceso de demada o de ofera para deermados producos. Para Reboao, los eemplos más obvos de esa descompesacó so la aural cogrueca ríseca ere la demada de opcoaldad po caple (por pare de los gesores de oblgacoes) y la 9

10 produccó de opcoaldad swapo (por pare de emsores e versores e busca de redmeos mayores que los pla valla). Dchas descompesacoes ere ofera y demada debería e eoría desaparecer por obra de los arbrasas. S embargo las efcecas y las resrccoes del mercado reduce las posbldades de los arbrasas para sacar pardo de las dscrepacas de precos. Apareemee, esas resrccoes e mperfeccoes odavía so abudaes. E realdad, Reboao opa que cofar cegamee e la cogrueca de los mercados de caples y swapos requere u sgfcavo aco de fe. Así, el ema del aálss couo de los dos mercados y su mpaco e la calbracó del modelo de mercado es uo de los emas más aberos y compromedos e ese campo. U par más de comearos parece apropados. E prmer lugar es mporae remarcar que el LIBOR Marke Model, al y como se cooce e la acualdad, es mucho más que ua sere de ecuacoes para la evolucó lbre de arbrae de los pos forward o swap: cluye u couo rco de éccas de calbracó y de aproxmacó. Resula mporae, asmsmo, cosderar que uso cuado el modelo de mercado ha logrado la habldad ecesara para valorar producos exócos y, al msmo empo, valorar correcamee opcoes pla valla abordables por el modelo de Black, el esádar de mercado se ha aleado del paradgma logormal. Ese aleameo vee marcado por la aparcó de sorsas y muecas e las curvas de volaldad mplíca (ver Reboao 999c). Así, s quere cosderarse esos dferees mecasmos de maera faceramee covcee, dferees formas de modelzacó resula ecesaras. 3. La fórmula de Black y la valoracó radcoal de dervados smples. El más secllo de los srumeos exsees es el FRA (Forward Rae Agreeme), e el que dos pares se compromee e u momeo a ercambar e el momeo T + τ ua cadad de dero proporcoal a la dfereca ere u srke K y el po LIBOR para ese período L( TT, + τ ). El facor de proporcoaldad vee dado por u ocoal prcpal NP, ambé acordado e. Así los pagos de u FRA vee represeados por: Payoff ( T + τ) = NP[ L( T, T + τ) K] τ Dode NP represea el valor del ocoal prcpal. Por ao, el valor presee de u FRA, calculado como el fluo de caa que ocurrrá e T + τ descoado hasa el momeo T, puede represearse como: PV T [ LTT (, + τ) K] τ = NP [ + LTT (, + ττ ) ] El valor de u FRA e u momeo aeror a T suele expresarse por medo del cocepo de po forward, medae la correspodeca evdee fttt (,, + τ) LTT (, + τ) Así pues, las aerores ecuacoes puede rescrbrse como:

11 Payoff ( T + τ) = NP[ f ( T, T, T + τ) K] τ PV T [ fttt (,, + τ) K] τ = NP [ + fttt (,, + ττ ) ] E el momeo del acuerdo, el srke de u FRA se defe de forma que su valor sea cero. Ello requere u acuerdo del mercado acerca de la dsrbucó de fttt (,, + τ ). Para ello debe eerse e cuea que el po f(, T, T + τ ) puede defrse, por medo de smples cosderacoes de o arbrae como PT (, ) PT (, + τ) = f(, TT, + τ) τpt (, + τ) PT (, )/ PT (, + τ ) f(, T, T + τ ) = τ Por medo de esa relacó, resula fácl defr el valor de u FRA s dear lugar a ambgüedad algua. El valor e de u corao FRA de srke K y co vecmeo e T es PV = NP[ f (, T, T + ττ ) Kτ] P(, T + τ) Como la expresó aeror o se refere al proceso subyacee, cualquer dsrbucó de probabldad al que la esperaza e el momeo de fttt (,, + τ ) sea gual a f(, T, T + τ ) producrá el preco correco para el FRA. Así pues, cualquer proceso, o ecesaramee ua dfusó, al que la codcó aeror se cumpla será compable co u preco de mercado para el FRA. La opcó smple lgada a u FRA es u caple cuyo payoff e el momeo T + τ vee dado por PayoffT τ NPfTTT [ (,, τ) K] + + = + τ Lo habual e el mercado, llegados a ese puo es supoer, para valorar u caple co payoff e T + τ como el de la ecuacó aeror, que el valor del po forward co vecmeo e el momeo T se dsrbuye de forma logormal, co ua varaza codcoal lgada a la volaldad σ, por medo de la sguee relacó Black l[ f( T, T, T + τ )] ~ G( µ, σblackt) Dode G represea la dsrbucó gausaa. Por las codcoes de o arbrae mecoadas, sabemos que la esperaza e de u po forward co vecmeo e T debe ser gual a f(, T, T + τ ), por lo que la expresó aeror, por ao, puede rescrbrse como l[ f( T, T, T + τ)] ~ G(l[ f(, T, T + τ)] σblackt, σblackt) Iegrado el payoff de u caple sobre esa dsrbucó logormal se obee la fórmula de Black sadard

12 PV = NP[ f (, T, T + τ) N( h ) KN( h )] P(, T + τ) τ sedo h = ( T ) l[ f(, T, T + τ) / K] + σblack ( T ) σ Black h = ( T ) l[ f(, T, T + τ) / K] σblack ( T ) σ Black N represea la dsrbucó ormal acumulava. U raameo smlar puede darse a la defcó de swaps y swapos europeas: u swap es ua acuerdo para el ercambo de u pago fo por oro varable. La paa fa esá cosuda por ua aualdad A, co pagos fos K que se produce e momeos prevamee especfcados y aproxmadamee equdsaes. Así, su valor puede expresarse como: { } N A( T ) = NP* K P(, T + ττ ) = Co T + τ = T+. Como lo paa varable, FL, esá formada por ua coleccó de pagos, cada uo de los cuales será deermado por el vecmeo de u po LIBOR e ua sere prevamee especfcada de fechas, eoces es smplemee gual al couo de pos varables asocados co ua sere de FRAs. Teedo e cuea resulados aerores obedos co aerordad, su valor e vee dado por FL = NPf (, T, T + ττ ) P(, T + τ) = El úmero pagos de la paa fa, N, y de la paa varable,, o ee por qué cocdr. E realdad suele cosderarse que sí lo hace para smplfcar la oacó. S el ocoal prcpal NP es cosae, eoces puede esablecerse como uaro s pérdda de geeraldad y la ecuacó aeror se smplfca a FL = P(, T ) P(, T ) El po swap de equlbro e, SR, se defe como el valor de la paa fa que e el momeo, hace que el valor de swap para el período [ T exp, T ma ] sea cero. Por ao, vee dado por el sguee rao SR(, T, T ) = FL / A exp ma Reordeado érmo, la expresó aeror puede expresarse de maera alerava como

13 SR(, T, T ) = w f (, T, T + τ ) exp ma = co w PT (, + ττ ) PT (, + ττ ) = = PT (, + ττ ) A = U swapo europeo o es so ua opcó adqurda e u momeo, para erar e el momeo T exp e u swap acvo durae el período [ T exp, T ma ]. La aproxmacó esádar de mercado supoe que el po swap de equlbro se dsrbuye de forma logormal co ua esperaza gual a su valor acual, es decr l[ SR( Texp, Texp, Tma )] ~ G(l[ SR(, Texp, Tma )] σsr, BlackTexp, σsr, BlackTexp) Dode σ SR, Black es la volaldad de Black mplíca para el po swap. El payoff e el momeo T exp del swapo es Payoff = [ SR( T, T, T ) K] A(, T, T ) + Texp exp exp ma exp ma Dode A( Texp, Texp, T ma ) es el valor e el momeo T exp de los pagos producdos e el período [ T exp, T ma ]. La egracó de ese payoff sobre la dsrbucó logormal del po swap a vecmeo proporcoa como resulado la fórmula de Black PV = NP[ f (, T, T ) N( h ) KN( h )] A(, T, T ) exp ma exp ma Dode, e ese caso l[ f(, Texp, Tma ) / K] + σ SR, Black ( Texp ) h = σ ( T ) SR, Black exp h l[ f(, Texp, Tma ) / K] σ SR, Black ( Texp ) = σ ( T ) SR, Black exp Hemos poddo aprecar cómo, separadamee, podemos llegar a fórmulas de valoracó po Black ao para caples como para swapos, como se expoe e Reboao (999b). No obsae, es precso mecoar que supoer logormaldad para ambos casos es cossee ya que, por eemplo, u po swap, que es ua combacó leal de pos forward, o puede ser logormal s los pos forward subyacees lo so. 3

14 4. La valoracó de dervados y la dámca de los pos forward. A la hora de valorar u dervado, es esecal cosderar que el valor acual del msmo es la esperaza descoada, bao la adecuada medda de probabldad, del msmo de su payoff. S el dervado que quere valorarse es de po europeo, y depede de la realzacó de u solo po forward, como u caple, eoces la dsrbucó de probabldad requerda o es más que la dsrbucó codcoal del po relevae. Desgracadamee exse pocos producos europeos. Para el reso de producos será ecesaro cosderar ua esperaza sobre ua dsrbucó de probabldad muldmesoal, lo cual requere formacó acerca de la probabldad codcoal de ocurreca coua de muchos pos forward a dferees vecmeos. Es decr, se requere la probabldad codcoal de cocurreca de dsos pos a dsos vecmeos T, T,..., T para valorar, por eemplo, u swapo. Además de cubrr la aeror demada, sería muy deseable ecorar expresoes de valoracó cerradas ao para las dsrbucoes de probabldad codcoales como codcoales de los pos forward. Además, resularía especalmee prácco emplear dsrbucoes que depedera de u úmero reducdo de esadíscos descrpvos, como varazas y covarazas. Para raar de cumplr co las aerores demadas, resula parcularmee aracvo raar de mpoer que al meos las dsrbucoes de probabldad codcoal sea gaussaas. E realdad, dado que resula recomedable forzar dsrbucoes e las que los pos resule sempre posvos, resula apeecble modelar los logarmos de los pos forward como procesos gaussaos, dado el relavamee secllo raameo aalíco que se derva de esa opcó clásca. No obsae, como hemos comeado, supoer exclusvamee que el logarmo de los pos forward presea ua dsrbucó gaussaa o resuelve el problema de valoracó de la mayoría de los acvos dervados. Así pues, como paso sguee, resula aural supoer, s es posble, que odas las dsrbucoes de desdad codcoales so couamee gaussaas. Para profudzar e la dea aeror, sgamos a Reboao() y a Nelse(999). Cosderemos u proceso esocásco N-dmesoal X como N { } X = X( ) = X, X,..., X Para ua muesra de elemeos fos del empo T, T,..., T del proceso vecor, es decr, para ua marz aleaora N*-dmesoal al que { X ( T), X( T ),..., X( T )} El proceso vecor X será gaussao s la dsrbucó de cada marz muesral es couamee ormal, es decr, s la dsrbucó codcoal coua de los elemeos de la marz muesral defda aerormee es ormal. Además, s el 4

15 proceso X es gaussao, eoces la dsrbucó de oda marz muesral se caracerzará porque el coocmeo compleo se resrge a las dsrbucoes codcoales de meda y varaza. Cualquer proceso codcoalmee gaussao es gaussao codcoalmee. E parcular, u proceso browao geeralzado, B ( ), B () = B() + µ + σ Z () es gaussao y codcoalmee gaussao. Así, u proceso browao geeralzado parece u caddao perfeco para la modelzacó de los logarmos de los pos forward. Más cocreamee, ras defcar el vecor B ( ) e la expresó aeror co el vecor de elemeos dado por el logarmo de los pos forward, sería úl poder escrbr para cada po forward dvdual f dl[ f ()] µ () d σ () dz () = + k k k co codcoes cales coocdas, f (), y sedo dzk ( ) los cremeos e el momeo del proceso browao esádar orogoal al que E[ dz ( ) dz ( )] = δ ( ) d. Para esar seguros de que el proceso resulae será codcoalmee gaussao parece razoable mpoer codcoes sobre µ y σ. Para aprecar cuáles y de uevo sguedo a Nelse (999), es úl aalzar las probabldades de σ k ( dz ) k ( ), empleado los k sguees eoremas: T. S { σ k} es ua marz deermsa, de cuadrado egrable y (N*K)-dmesoal, { Z k } u vecor columa -dmesoal de procesos browaos esádar, y s y s, eoces la varable aleaora N-dmesoal { y }, momeos ales que y σ k( u ) dz k( u ), es depedee de la flracó hasa el momeo s, y se s k dsrbuye ormalmee, co meda cero y ua marz de covarazas N*N cuyo elemeo (,)-ésmo vee dado por σk ( u) σ k ( u) du. Además, el proceso y s k es ao gaussao como codcoalmee gaussao. De ese eorema de deduce medaamee que, como el érmo de derva es cosae, es codcó ecesara y sufcee para que el proceso X sea codcoalmee gaussao que la marz de volaldades sea deermsa. Co respeco al vecor µ, debemos eer e cuea el sguee eorema: T. dado u proceso X de la forma X () = X() + µ + σ Z() 5

16 S { σ k} es ua marz deermsa, de cuadrado egrable y (N*K)-dmesoal, { Z k } u vecor columa -dmesoal de procesos browaos esádar, es codcó sufcee para que el proceso X sea ao gaussao como codcoalmee gaussao que el vecor de derva µ sea deermsa. Así pues, para que el proceso X sea gaussao y codcoalmee gaussao, es ecesaro que ao el vecor de derva como la marz de covarazas sea deermsas. S dchas codcoes se cumple, la dsrbucó coua de los pos forward ere s y puede modelzarse como l[ f( )] ~ G( m, ) Sedo m = l[ f ( s )] + µ T [ ˆˆ = σσ ] = σ k ( u) σ k ( u) du s k E realdad, y desgracadamee, como be se dca e Reboao(), la aeror aproxmacó o resula posble e la mayor pare de los casos ya que los pos forward sólo puede supoerse logormales bao la medda de probabldad apropada. Para u umeraro cualquera, los érmos de derva de la dfusó de los pos forward exse. Sempre exse u umeraro (u boo al descueo) posble dero del uverso de acvos egocables al que u po forward o swap puede represearse s derva y, por ao, asumedo volaldad deermsa, se dsrbuye como ua fucó logormal. No obsae, dcho umeraro sólo es efecvo para u po forward al msmo empo, y odos los demás pos forward edrá derva. No es posble ecorar u umeraro ( squera ua combacó complea de boos al descueo) al que varos pos forward carezca de derva al msmo empo. El LIBOR Marke Model -Musela y Rukowsky, (996)- esá cosrudo para reproducr exacamee los precos de los caples obedos al cosderar cada po forward dvdual como logormal. Para cada uo de los caples, por ao, se cosdera u umeraro dferee el boo al descueo que madura e el momeo del payoff fal-. El uso de cualquer oro umeraro roducría ua covaraza ere el boo al descueo y el payoff msmo, que edría que compesarse alerado la derva del po forward para que el preco del caple sguese recuperádose ese razoameo puede amplarse e Reboao (998)-. Así pues, o es posble ecorar u umeraro que perma la medcó de varos procesos de pos forward de maera que resule smuláeamee lbres de derva. Por ello, dado que la derva o puede elmarse para más de u po forward, e geeral, como demuesra Reboao(), el vecor de dervas o es deermsa, ya que cuado se mpoe codcoes de o arbrae, el vecor de dervas e el momeo coee los valores e el momeo de las varables de esado, { f }. Por ao, la codcó sufcee del eorema o se cumple. Por ao, el vecor l[ f( )] o es gaussao codcoal e codcoalmee y, por ello, o exse fórmulas cerradas para las marces de covarazas. 6

17 Cosderado las aerores premsas, puede dseñarse el LMM al y como lo coocemos. Para ello resula mprescdble realzar ua descrpcó deallada de la dámca seguda por los pos forward. 5. Descrpcó de la dámca de los pos forward. El plaeameo del LMM requere pos forward sga ua dámca como la sguee df () = µ ( f, ) d + S( ) dw( ) () f() Sedo df () f() u vecor * de cremeos porceuales de pos forward. µ ( f, ) u vecor * de dervas, que puede depeder ao del empo como de los msmos pos forward dw() u vecor * de movmeos browaos esádar correlados bao la medda Q, que es la medda que mplca el umeraro escogdo. Sua () marz dagoal *, cuyo -ésmo elemeo es gual a la volaldad saáea σ del -ésmo po forward. El cocepo de volaldad saáea, esecal e esa cosruccó, es aquel que se relacoa co la volaldad mplíca de Black del srumeo e cuesó por medo de la sguee relacó: σ T Black T T σ ( ) = ( u) du Como ya se ha mecoado, sempre exse u umeraro para u po forward que hace que ega derva cero. Cuado dcho po se ha escogdo, la egracó del payoff ermal del caple asocado a dcho po forward sobre la desdad de probabldad que mplca las dos ecuacoes aerores, drecamee proporcoa la fórmula de Black. E parcular, la aeror ecuacó que expresa la dámca de los pos forward puede ser egrada para obeer el valor de cada po forward f e el momeo : f( ) = f()exp[ µ ({ ( )}, ) ( ) ( ) ( )] f u u σ u du+ σ u dw u El puo clave que del cual la ecuacó de dámca de los pos forward o proporcoa formacó es la esrucura de correlacoes ere los dsos pos forward. Ello puede remedarse añadedo el hecho de que los dferees cremeos 7

18 browaos dw ( ) debe esar coecados por ua marz * de correlacoes saáeas ρ ρ d = dwdw T dode dwdw = ρd Ua descrpcó alerava a la aeror, más smple y meos cososa desde u puo de vsa compuacoal resula redefedo la aeror de dámca forward como Dode ahora df () = µ ( f, ) d+ σ( ) dz( ) () f() dz() es u vecor de procesos browaos orogoales m*. σ () es ua marz *m cuyo -ésmo elemeo, σ (), es gual a la poderacó el - ésmo po forward los shocks aleaoros del -ésmo proceso recor browao orogoal. Debe sempre cumplrse que m. Desde el puo de vsa facero, el elemeo σ () es el resposable de los shocks orogoales del -ésmo browao e el -ésmo po forward. Para u dado, el vecor fla σ () puede erprearse como la descomposcó de la volaldad del -ésmo po forward e compoees asocados a dsos pos de cerdumbre orogoal (cambos e la curvaura de la curva de pos, cambos e el vel de la msma... Esa ueva maera de expresar la evolucó de los pos forward es parcularmee coveee porque, como cosecueca de la orogoaldad de los movmeos browaos dz(), medaamee puede expresarse la marz de covarazas ere pos forward,, como df df df k T cov E σσ f = = = f fk Dode df f m = µ d + σ dz (3) k k k = Y la expresó de la covaraza se obee omado esperazas del produco de dos érmos como el aeror y aplcado las reglas de Io: dzd =, dd = y dz dz = δ. 8

19 Por supueso, las represeacoes () y () debe resular equvalees. E vrud de la orogoaldad de los procesos browaos dz( ), los elemeos de las marces S y σ, debe esar coecados por medo de la relacó m s k k= σ () σ () = σ () (4) Esa seguda forma de represear los pos forward puede modfcarse para llegar ora forma muy úl de represear dchos procesos. S dvdmos cada poderacó e la ecuacó (3) por la volaldad del -ésmo po forward, obeemos df f σ m m m k k = µ d + σ dzk = µ d + σ dz m k = µ d + σ bkdzk k k = σ = σ k= k= k σ (5) Dode se ha empleado la relacó (4). E ese caso, puede probarse que Esa represeacó es muy úl porque descompoe la resposabldad de los pos forward co respeco a los shocks orogoales e dos compoees cocepualmee dsos. El prmero, σ, depede exclusvamee de la volaldad del po forward - ésmo. Por ao, esá relacoado co su volaldad mplíca de mercado: para la Black correca valoracó de u caple, la raíz cuadrada de σ ee que ser gual a σ. E cuao al segudo compoee, b k, esá drecamee relacoado co la esrucura de correlacoes y puede relacoarse co la esrucura de volaldades esadíscamee asequble. Hasa ahora ada se ha dcho acerca de las dervas µ ( f( ), ), que coee las codcoes de o arbrae y que puede depeder, e geeral, depeder de odos los pos forward. Como hemos mecoado reeradas veces, para cualquer po forward f exse u umeraro (el payoff aural de f ) al que su érmo de derva es exacamee cero. I ese caso, para equvaler al preco de mercado de Black, edrá que cumplrse T σblack ( T ) T = σ ( u) du S la derva es dsa de cero, y coee las varables esocáscas f, la varaza codcoal del po forward depederá de la derva msma y, por ao, del umeraro escogdo. No obsae, el preco de u acvo o depede del umeraro. Por ao, de maera depedee del umeraro y de su medda asocada, sempre puede emplearse la volaldad saáea que se derva de la volaldad mplíca de Black para el caso de proceso s derva para valorar u caple, ya que será valorado correcamee. Se raa de ua observacó apareemee rval pero mporae ya que efaza el hecho de que aquello que deerma el preco de u caple es el compoee de volaldad, que o depede de la medda, y o la varaza codcoal del po forward, que sí lo hace. Ambas cadades esá relacoadas sólo e el caso de que el érmo de derva sea cosae o, al meos, depedee de empo. Como ambé coee varables de esado esocáscas f, la varaza y la volaldad saáea o resula, e geeral, valores ercambables. T bb = ρ 9

20 6. Especfcacó de ua versó cocrea del LMM. Ua vez descro el proceso de pos forward, puede realzarse alguas eleccoes que caracerce ua versó específca de LMM. Báscamee, y sguedo a Reboao (), debe realzarse res pos de especfcacó:. La eleccó de la forma parcular de la fucó de volaldad saáea, σ, al que σ T Black T T σ ( ) = ( u) du (6). Eleccó del úmero de facores m 3. Asgacó de la resposabldad de los dsos pos forward a los dferees shocks browaos, las dsas posbldades para los coefcees b k, de forma que m k = b k El preco de u msmo caple puede replcarse por medo del LMM a ravés de fas combacoes de las res eleccoes aerores. Co muchas de las posbles defcoes los precos de los caples se replcará exacamee, pero las dámcas subyacees para los pos forward varará de maera susacal. S se pasa de cosderar caples para la calbracó del modelo a calbrar oros srumeos más compleos, más formacó puede obeerse acerca de la forma de las fucoes de volaldad saáea, la marz de correlacoes de mercado y el úmero de facores ecesaro para capurar de ua maera adecuada las clases de formas -y de cambo e las msmas- de la curva de pos. S embargo, gú produco compleo proporcoa formacó sobre uo de esos compoees a la vez. S se escoge la alerava de represeacó egrada por la ecuacó (), co m=, la egracó de la correspodee ecuacó dferecal esocásca proporcoa = f ( ) f ()exp[ µ ( f( u), u) σ ( u) du σ ( u) dw( u)] = { } + (7) k k = Volvedo a la defcó de la marz, s deoamos por λ sus auovalores asocados y como a, m, co a = { ak, k } a sus auovecores oroormales, la ecuacó aeror puede rescrbrse como m f ( ) f ()exp[ µ ( f( u), u) σ ( u) du λ a ( u) dz ( u)] = { } + k k k k =

21 Además, s se defe las cadades b,, k m, de forma que k m k = b k = Eoces el preco de los caples puede recuperarse sempre para cualquer úmero de facores smplemee esablecedo m f ( ) f ()exp[ ( f( u), u) ( u) du ( u) b ( u) dz ( u)] = µ { } σ + σ k k k = E las res úlmas ecuacoes puede aprecarse que, para que los caples sea valorados correcamee, debe cumplrse que m m λkak = σ bk k= k= (8) La expresó aeror lusra cómo para deermar de maera uívoca las poderacoes b k, o basa co obeer precos de caples correcos y co mpoer que los cremeos browaos deba ser orogoales ere ellos. El compoee prcpal es ua de ua fdad de posbles solucoes. Queda claro e la defcó de los coefcees { b k} que s sólo se exge que los cremeos { dz } sea orogoales ere ellos, guo de los m vecores de elemeos b, =,,..., m, será, e geeral, de orma m. Tampoco será orogoales ere ellos ( b ) k kb = k. m ( b ) k = k k 7. Valoracó de producos compleos por el LMM Es evdee que las úlmas expresoes preseadas so ecesaramee compleas s lo que se preede es valorar caples. No obsae, resula mprescdble a la hora de raar dervados más compleos. Para lusrar cómo los aerores formalsmos puede usarse e la valoracó, emplearemos el sguee eemplo exraído de Reboao (): Cosderemos u srumeo cuyo payoff depede de las realzacoes de los pos forward e los momeos T, T,..., T k de k eveos deermaes del preco. Llamemos al úlmo eveo T, y FT, F,..., T F T la flracó aural geerada por las reaudacoes de la sere dscrea de pos forward e los momeos de los acoecmeos fluyees e el preco. Es decr, la sere de formacó descra por la flracó F se acualza smplemee por el regsro de las realzacoes de los pos forward e sus fechas de vecmeo. Iuvamee, e lo que al payoff se refere, ada ocurre ere hoy, T, y el sguee momeo relevae para la formacó del preco, T o, más e geeral ere cualesquera momeos relevaes e para el preco T y T +. S los pos forward fuese codcoalmee logormales, y dadas las expresoes coocdas para expresar

22 sus esperazas y covarazas, sería posble desarrollar la curva de pos eera a parr de T, empleado, por eemplo la ecuacó (), y aduado ua probabldad a cada realzacó coua de los pos forward. E el caso logormal, y para el caso o rval más smple, k=, s la derva fuese al meos depedee del empo, sólo habría que desarrollar f y f de acuerdo co f( T) = f() exp( m v,+ v,z) f( T) = f()exp( m v,+ v,z) Dode T m = µ ( u) du T m = µ ( u) du T, = σ T, = σ v v ( u) du ( u) du Z Z ρ ρ W ρ = = + ( ) T σ σ ρ, ( u) ( u) ( u) du v v,, Co µ yµ las dervas de los pos forward y, Z y W dos varables depedees provees de N(, T ). Para cualquer par { f( T), f( T) } se puede asocar u resulado para ua codcó (se podría, por eemplo, calcular u po swap a dos perodos y comprobar s esá por ecma o por debao de ua barrera). E oras palabras, dada la auraleza de los payoffs, odo lo ecesaro es la evolucó de los pos forward desde u eveo fluyee e el preco hasa el sguee, s hacer uso de la realzacó de los procesos e algú momeo ermedo. Las desdades couas puede muesrearse empleado dversas éccas umércas, depededo del po de produco. E el caso de la smulacó Moe Carlo, por eemplo, eso puede sgfcar que los pasos e la evolucó de los pos debe hacerse cocdr co los ervalos ere los acoecmeos fluyees e el preco o, al vez pueda resular sufcee co u salo muy largo quzá de 5 o años-, para la valoracó del produco. Es mporae remarcar que, esrcamee, esas coclusoes sólo so váldas s los érmos de derva so cosaes o, como mucho, fucoes deermsas del empo.

23 Más adelae se explcará que las solucoes logormales puede emplearse cluso s ese o es el caso. Ese razoameo puede geeralzarse para el caso de ua curva de pos eera, co pos forward, observada e el momeo de k-ésmo acoecmeo relevae para el preco. Para deermar su dsrbucó coua, lo úco que mpora so las dervas y las covarazas margales, C (, k+, ), que podemos defr como Tk + C (, k, + ) σ ( u) σ ( u) ρ ( udu ) s k y k, Tk, C (, k+, ) s <k y/o <k S la curva de pos cal (e T ) esá descra por pos forward, habrá, e geeral, elemeos dsos de cero e la sere C(,,), ( ) elemeos posvos e C(,,), ec. Puede aprecarse e las ecuacoes (5), (6) y (8), que σ T Black σ ( T) T ( u) du C(,, r) (9) = = r = S defmos ua marz TOTC co elemeos dados por m(, ) TOTC(, ) = C(,, k) k= Se raa de ua marz que se cosruye por medo de la adcó de marces reales y smércas. Es, e sí msma, ua marz smérca * que, por ao, puede orogoalzarse. Es mporae desacar que, como o hay dos pos forward perfecamee correlados ( ρ., : ), el procedmeo, e geeral producrá auovalores y auovecores dsos, λ y a,, cluso s se ha empleado e la cosruccó de la marz TOTC meos facores que pos forward. Por las propedades de la orogoalzacó de marces reales smércas, el sedo de la marz de covarazas orgal TOTC y de la ueva marz orogoalzada es el msmo. Eso úlmo se relacoa, por medo de la ecuacó (9), co el mercado de caples por medo de la sguee relacó T λ = σblack = σ = = = = = r= ( T) T ( u) du C(,, r) Puede aprecarse que las marces de varazas margales y oales, C y TOTC, uega u papel ceral e la evolucó de los pos forward. Resula por ao aural raar de esablecer ua coexó ere esas marces y los pos de producos exócos que el LMM puede valorar. Dchos producos ee e comú eer payoffs medbles co respeco a la flracó geerada por los pos forward e ua sere dscrea de fechas (los acoecmeos fluyees e el preco). 3

24 Debe oarse además que, como se asume el coocmeo de las ecuacoes dferecales esocáscas que explca la evolucó de los pos forward, ecuacoes () y (7), mplícamee se asume la posbldad de cosrur las dsrbucoes dvduales (margales) y couas de desdad de odos los pos forward e los momeos de los acoecmeos fluyees e el preco. Además, s dchas dervas depedese exclusvamee del empo, y o de los pos forward e sí msmos, sería posble muesrear drecamee de esas desdades couas, ya que los logarmos de los pos forward se dsrburía logormalmee. Dcho muesreo, depededo de la auraleza y dmesó del problema, puede hacerse por medo de ua smulacó Moe Carlo o por medo de ua egracó aalíca. La dea esecal a la hora de valorar producos compleos co el LMM es que debe eer payoffs medbles co respeco a la flracó aural geerada por los pos forward dscreos e ua sere de fechas, los acoecmeos relevaes e la formacó del preco. Por ora pare, como se asume el coocmeo de las ecuacoes dferecales esocáscas que gobera a los pos forward msmos -ecuacoes () y (7)-, mplícamee se asume la capacdad de cosrur umércamee e úlma saca- las desdades de probabldad dvduales (margales) y couas de odos los pos forward e los momeos relevaes para la formacó del preco. Es más, supoedo que las dervas de los pos forward depedese exclusvamee del empo y o de los pos forward e sí msmos-, medaamee se sabría como muesrear las desdades couas, ya que los logarmos de los pos forward se dsrburía co ua ley couamee ormal. La auraleza y dmesoaldad del problema cocreo es la que debe dcar s es preferble realzar ua smulacó Moe Carlo o llevar a cabo ua egracó aalíca. E cualquer caso, odas las dsrbucoes couas esaría perfecamee caracerzadas por las ON ( ) esperazas y ON ( ) covarazas e el momeo de cada acoecmeo relevae para el preco. 8. Ua clasfcacó de los producos valorables por el LMM. Los producos suscepbles de ser valorados por medo del LMM puede clasfcarse e cuaro grupos, depededo de las caraceríscas de sus payoffs (Reboao ).. -Dervados depedees de ua sere de pos forward (o swap) e las fechas de vecmeo T. El payoff de esos producos, que ee lugar e T, depede de la realzacó de ua sere de pos forward o swap e los momeos T ( ). Dero de esa clasfcacó resula coveee dsgur ere aquellos producos cuyo payoff depede de la realzacó coua de pos forward que e el momeo del eveo deermae del preco ha vecdo y aquellos que depede de pos que puede o haber vecdo odavía e ese momeo. Los prmeros puede abordarse co éccas de salo largo. Los segudos co éccas de salo muy largo. 4

25 Todos los srumeos que se cluye e ese aparado so de po oblgacó, sus payoffs depede de las realzacoes de cadades de mercado obevas y observables, o del valor fuuro de ua expecava descoada. U eemplo es u swap de dos períodos co vecmeo K que puede cobrar vda e ua sola fecha T, s el prmer po forward e el swap (el po swap co vecmeo e T) vece por ecma de ua barrera H. Tras escoger la aualdad del swap A como umeraro, la solucó cerrada para el valor acual, PV, del problema puede expresarse como Dode PV = [ SR(, T) N( h ) KN( h )] A l[ f% (, T) / H] v + v h = v h f, f f SR l[ f% (, T) / H] v = v f f A = T vf = σ f( u) du T v = σ ( u) σ ( u) ρ du f, SR f SR f, SR( u) [ + f (, T + kτ, T + ( k + ) τ) τ] 3 % k = k Como es usual, N( ) deoa la fucó ormal acumulava, SR(,T) es el valor e el momeo del po swap para el swap que cobra vda s el po forward f vece por ecma de H e el momeo T, f % k (, T, T + τ ) es el valor e el momeo cero del po forward co vecmeo e T y que paga e el momeo T + τ, después del ause de la derva ducdo por el umeraro,τ es el eor del swap, σ f y σ SR so, respecvamee, las volaldades del po forward y del po swap, A es la aualdad fa del swap y ρ f, SR es la correlacó saáea ere el po swap y el po forward.. -Producos co pagos que depede exclusvamee de u eveo deermae e el preco y esá deermados por ua codcó que puede esar deermada por el coocmeo de los valores de ua sere de pos forward que se exede hasa u momeo fuuro T exp. 5