Capítulo 3. Consideraciones sobre métodos numéricos

Transcripción

1 3.. Iroduccó 5 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos 3.. Iroduccó E ese capíulo se presea la eoría y alguos cocepos sobre los que se susea los esquemas umércos de ala resolucó. Su aplcacó a las ecuacoes de Sa Vea se realza e los capíulos sguees. Alguos de los cocepos que se epoe o so váldos para u ssema hperbólco geeral (o-leal, muldmesoal y co érmo depedee) como so las ecuacoes de Sa Vea; so que e algú caso so váldos a sólo para la ecuacó escalar udmesoal y homogéea, oras veces lo so para ssemas de ecuacoes udmesoales, alguas veces homogéeos y oras co érmo depedee, y falmee alguos sí que so váldos para el ssema más geeral. Por ello e alguos aparados del capíulo se hace refereca a epresoes de leyes de coservacó más secllas que las ecuacoes de Sa Vea. E ese capíulo se repasa cocepos de formulacó y dscrezacó, co el objevo de jusfcar alguas de las decsoes que luego se oma y de dejar claras alguas deas fudameales sobre las que se basa los esquemas de ala resolucó que se presea e los capíulos sguees.

2 6 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos 3.. Formulacó egral de las leyes de coservacó y dscrezacó e volúmees fos Cualquer ley de coservacó, y e parcular las ecuacoes de Sa Vea, se puede escrbr e forma dferecal y e forma egral. Hasa ahora se ha preseado las ecuacoes e forma dferecal, auque ese bueas razoes para cosderar ambé su forma egral. La deduccó de las ecuacoes se suele realzar epresado las leyes físcas de coservacó como relacoes egrales e volúmees de corol, auque luego el supueso de suavdad de la solucó perme la obecó de formas dferecales. La forma egral es ua formulacó más básca que requere meos suavdad a la solucó, permedo co ella eeder el esudo a solucoes dscouas. Por oro lado, desde u puo de vsa de cálculo umérco, el hecho de ulzar la forma egral de las ecuacoes lleva de forma aural a ua dscrezacó del domo e células o volúmees fos, y a odos los esquemas basados e ese po de dscrezacó que ee veajas cosderables. Para ua ley de coservacó escalar udmesoal como: u + f ( u) = (3.) la forma egral se obee efecuado la egracó e y. S cosderamos, por ejemplo, el domo [ /, + / ] [, + ] dode y so ervalos espacales y emporales cualquera, a parr de (3.) se obee (abusado del leguaje): de dode es medao: + +/ [ ( )] u / + f u dd = (3.) + / + [ u (, + ) u (, )] d+ [ f( +/, ) f( /, ) ] d= / (3.3) que es la forma egral de (3.). Se ha ulzado la oacó f (, ) para f ( u (, )). Los esquemas umércos cláscos e dferecas fas ulza dscrezacoes que cosdera el valor de las varables e puos cocreos de la malla espacal. E volúmees fos, e cambo, el domo de esudo se dvde e ua sere de celdas, o volúmees fos, y las varables ulzadas e el esquema umérco represea el valor medo de las varables depedees e cada celda e u sae deermado. E la Fgura 3. se represea la dscrezacó e volúmees fos para el caso udmesoal y la ecuacó escalar. E ella los valores u represea el valor medo de u (, ) e la celda y e el sae = = : +/ u = u(, ) d (3.4) / Observado la ecuacó (3.3) y eedo e cuea la defcó de u e (3.4), se obee: + + = [ ( + /, ) ( /, )] (3.5) u u f f d La egral de la ecuacó aeror es descoocda ya que o se puede coocer los valores de u ( /, ) y u ( + /, ) e empos compreddos ere y +, por lo que hay que apromar dcha egral de algua maera. Así, la écca de los volúmees fos lleva a descrbr u esquema umérco para la ecuacó (3.) medae ua epresó del po: + * * u = u ( f+ / f /) (3.6)

3 3.. Formulacó egral de las leyes de coservacó y dscrezacó e volúmees fos 7 f * / f * +/ u + u u u () + Fgura 3.. Dscrezacó e volúmees fos Dode, como se ha vso, u represea el valor que oma la varable u e la celda del domo * udmesoal dscrezado y e el sae de empo, meras que f + / se cooce por flujo umérco y depede e geeral de las varables e las celdas coguas a la e los sae de empo y + : * * (,,,,, +,, +,, + f ) + / = f+ / u l u u+ m u l u u+ m (3.7) co l y m dos eeros o egavos. El flujo umérco es e defva lo que dferecará u esquema umérco de oro. E ua dmesó y para esquemas coservavos (ver aparado3.6.3) la dfereca ere los volúmees fos y las dferecas fas es prcpalmee cocepual, ya que el esquema umérco resulae es geeralmee déco co las dos éccas de dscrezacó. E dos o más dmesoes, e cambo, los esquemas resulaes de ulzar ua u ora écca so muy dferees, hasa el puo que ulzado volúmees fos se obee esquemas que perme cosderar solucoes dscouas de maera medaa meras que co dferecas fas ello se complca e gra maera. Los volúmees fos perme además adapar la dscrezacó a domos co formas arbraras muy fáclmee, meras que co dferecas, e el caso de o eer mallas recagulares y uformes se obee esquemas muy complcados. E el caso de u ssema de ecuacoes udmesoales, como so las ecuacoes de Sa Vea udmesoales: U + F ( U) = H (3.8) co U, F y H los vecores de (.5), la forma egral para u domo [ /, / ] [, ] obee de la msma forma: que ambé se puede escrbr como: + + / + +/ ( ) / dd + = / + + se U F U H dd (3.9) [ U(, ) U(,) ] [ FU ( ( /,)) FU ( ( /,))] + / + + d + + d = / = + +/ / H(, ) dd (3.)

4 8 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos De dode se obee u esquema del po: + * * U = U ( F+ / F /) + H (3.) * dode ahora F es el flujo umérco, U es el valor medo del vecor U e la celda e el sae y H u valor represeavo del promedo de H e la celda e el paso de empo de a +, y que, como F *, depederá del esquema ulzado. E el caso bdmesoal el domo físco se descompoe e polígoos (e ese rabajo se ulza cuadrláeros y rágulos) que so ahora los volúmees de corol o volúmees fos. Cada volume ee ua superfce o cooro formado por los lados que lo ecerra y vee defdo por sus vérces. Los vérces puede esar dsrbudos rregularmee, formado ua malla o esrucurada, o formar pare de ua malla esrucurada (para cuadrláeros sempre habrá cuaro lados cocurrees e cada vérce, y para rágulos res). E dos dmesoes los volúmees fos o so pues volúmees rdmesoales so áreas, y sus superfces so curvas cerradas. E la Fgura 3. se represea u volume fo V, j e forma de cuadrláero e u domo bdmesoal. Su superfce o cooro so los cuaro lados, cada uo de ellos co u vecor ormal eeror. Como se vo e el capíulo aeror, las ecuacoes de Sa Vea bdmesoales se puede escrbr de forma coservava como (aparado..7): U + F = H (3.) dode ahora U y H so vecores y F es el esor de flujo dado por (. 47). Su epresó egral para u volume V cualquera es: U dv + FdV = H dv (3.3) V V V y aplcado el eorema de Gauss a la seguda egral se ee: UdV + ( F ) ds = HdV (3.4) V S V dode S es la superfce que ecerra av. S ahora se deoa co U j y H j respecvamee al valor promedo e el volume fo V de las varables depedees y del érmo depedee, la ecuacó (3.4) se puede reescrbr, para u volume cocreo V como: U = + V F H ( ) ds S, j (3.5) * Tal como se ha hecho e el caso udmesoal, se puede defr u esor de flujo umérco F, que es el flujo umérco ormal a S, de maera que la egral que aparece e esa úlma ecuacó se puede apromar como la suma del produco de dcho esor por el vecor ormal a S,, o sea: N * ( F ) ds = ( Fw,, ) S l w l l w, (3.6) l l = dode w l represea el ídce correspodee a la l-ésma pared del elemeo y N el úmero de lados. El vecor w, es la ormal eeror a la pared w l l del elemeo y l w, es su logud. La epresó del flujo l umérco, gual que e el caso D, es lo que dferecará u esquema umérco de oro, que se puede escrbr de forma geeral, aálogamee a (3.) como:

5 3.. Formulacó egral de las leyes de coservacó y dscrezacó e volúmees fos 9 U U F H (3.7) N + * = ( w,, ) l w l l w, + l V l = E esa úlma epresó ya se puede ur la mporaca que ee el problema udmesoal e la resolucó del problema bdmesoal. Ese úlmo se acaba resolvedo cosderado el flujo umérco a ravés de cada ua de las cuaro paredes de cada elemeo de volume, y ese flujo se puede calcular, como se verá e el Capíulo 5 sguee, como s e la dreccó ormal a cada pared hubera u problema de Rema udmesoal, co dos esados cosaes a cada lado defdos por los valores promedo de las varables e los elemeos de volume coguos a dcha pared. També es fudameal la dscrezacó del érmo H, j, que represea la egral del érmo depedee e el volume fo V j. y,3,4,, Fgura 3.. Dscrezacó e volúmees fos de u domo bdmesoal

6 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos 3.3. Solucó débl Se ha vso e el capíulo aeror que la solucó de u ssema de ecuacoes cuas-leal homogéeo, que respode a la ecuacó dferecal U + F ( U) = (3.8) puede desarrollar sgulardades o dscoudades después de u empo fo, por lo que las solucoes cláscas del ssema de ecuacoes dferecales (cláscamee se adme como solucoes las fucoes couas co dervadas couas, o a lo sumo fucoes couas que cumpla la codcó de Lpschz) deja de ser váldas. E la forma dferecal del ssema de ecuacoes aparece eplícamee las dervadas de las varables hdráulcas, que o esá defdas e el caso de haber dscoudades. E la forma egral, e cambo, ese problema o se da. El cocepo de solucó de (3.8) se puede eeder cosderado la forma egral sguee: [ ( )] U + F U wdd = (3.9) dode w (, ) es ua fucó de es, fucó suave e u cero domo de (, ) y que se aula e el cooro y fuera de dcho domo. La ecuacó (3.9), como forma egral que es, s que se sasface auque esa dscoudades. S omáramos w la ecuacó (3.9) se coverría e ua epresó egral de las leyes de coservacó co sedo físco del po de (3.9) para u ssema homogéeo. Iegrado (3.9) por pares se obees: + = w U w F ( U ) dd w(,) U (,) dd (3.) Ua fucó U que sasface (3.) para cualquer fucó de es w se llama ua solucó débl o solucó geeralzada del ssema de ecuacoes(3.8). Ua solucó clásca del ssema de ecuacoes, s ese, debe sasfacer la leyes de coservacó e forma egral, por lo que es ambé ua solucó débl. S embargo lo coraro o es cero. La mporaca de la solucó débl vee dada por el eorema de La-Wedroff (aparado3.6.3) que asegura la obecó de ua solucó débl bajo ceras codcoes del esquema umérco, y por lo ao abre la posbldad de desarrollar esquemas umércos co los que se puede obeer solucoes dscouas del ssema de ecuacoes de maera dreca (méodos drecos o shock-capurg). S embargo, la solucó débl o es úca, por lo que la solucó obeda co u esquema umérco puede que o cocda co la solucó físca del ssema. Para poder asegurar lo coraro se debe comprobar que la solucó sasface la codcó de eropía resulae de cosderar la seguda ley de la ermodámca (aparado 3.6.4).

7 3.4. Esquemas eplícos y esquemas mplícos 3.4. Esquemas eplícos y esquemas mplícos Los esquemas eplícos so aquellos e los que el cálculo de las varables e u sae se efecúa a sólo co los valores que oma e el sae aeror. U esquema umérco eplíco, por ejemplo para la ecuacó escalar udmesoal, oma la forma (3.6) pero s que el flujo umérco depeda de los valores e el sae +, o sea: * * (,,,, f ) + / = f+ / u l u u+ m (3.) Cada puo del domo espacal (o cada volume fo) se calcula pues depedeemee de los demás. Por el coraro, u esquema mplíco evalúa las varables depedees e el sae + a parr de los valores e puos adyacees al de cálculo e el sae aeror, pero ambé e el msmo sae + (epresoes (3.6) y (3.7)). La resolucó de u puo del espaco e u sae mplca pues los valores e oros puos del espaco e el msmo sae, por lo que se debe resolver e cada paso de empo u ssema de ecuacoes que egloba odas las varables e odos los puos del espaco e el sae +. Los esquemas eplícos ee u cose compuacoal pequeño e cada paso de empo, pero para ser esables es ecesaro rabajar co cremeos de empo ambé pequeños. U aálss de esabldad para esquemas eplícos ((Gómez, 988)(Abbo, 979)) a parr de la eoría de las caraceríscas para solucoes coíuas lleva a la coclusó que dchos esquemas, para ser esables, debe cumplr la codcó de Coura, que para las ecuacoes udmesoales es: u± c (3.) o, lo que es lo msmo: u± c C = (3.3) dode C es el úmero de Coura, ambé llamado úmero de Coura, Fredrchs y Levy (CFL). La codcó de Coura sgfca que el domo de depedeca de u puo e u esquema e dferecas eplícas (que esá formado por los puos del espaco que ervee e el esquema) debe compreder al domo de depedeca para la ecuacó dferecal, ya que precsamee u± c es la velocdad de propagacó de ua oda, o velocdad de rasmsó de la formacó, que lma el domo de depedeca para la solucó eaca. Para el caso bdmesoal el msmo aálss de esabldad (Ta, 99) cocluye que para que u ssema eplíco sea esable debe cumplrse (para el caso = y y malla regular): + + u v c (3.4) que para ua dscrezacó medae volúmees fos, co la oacó del aparado.., queda como: m l, lw, l u + v + c (3.5) que ambé se puede escrbr como

8 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos u + v + c C = ma l, l w, l (3.6) Lo vso es ua codcó ecesara de esabldad, pero e el caso de solucoes dscouas el crero de esabldad puede ser más resrcvo e algú caso. E el caso udmesoal lo que debe cumplrse es: (3.7) S ma dode S ma es la velocdad de propagacó de la oda más rápda del probelam de Rema asocado. Esa será pues la codcó que deberá cumplr los esqumas basados e el méodo de Goduov, como se verá e adelae. E la pracca la codcoes (3.) y (3.7) se suele cosderar equvalees, auque e algú caso, como el avace e lecho seco, podría llevar a esabldades por esar fravalorado la velocdad de propagacó de la oda. Los esquemas mplícos ee la veaja sobre los esquemas eplícos que so codcoalmee esables, auque la covergeca a veces puede ser dfícl de cosegur depededo de las codcoes cales. Es posble combar la dferecacó emporal mplíca co dscrezacoes espacales de ala resolucó (Alcrudo, 99) (eededo como ales aquellas que, para ua formulacó eplíca de la dervada emporal, sería de ala resolucó) resulado esquemas esables para feómeos esacoaros co úmeros de Coura del orde de, pero o es posble asegurar, squera e el caso escalar, que los esquemas resulaes sea realmee de ala resolucó, es decr, que cumpla las res codcoes de Hare. Eso, juo co el hecho de que se perde precsó debdo a las apromacoes que se debe hacer para lealzar el ssema, la relavamee poca mejora e empos de cálculo por el gra úmero de eracoes que hace fala para coverger y el empo que cosume cada eracó (especalmee e domos grades y bdmesoales), y el hecho que s se preede modelar u régme rápdamee varable e el empo el uso de cremeos de empo grades perde cluso sedo físco, hace que los esquemas mplícos se ulce poco para feómeos físcos rápdamee varables dode so ecesaros esquemas de ala resolucó. Los esquemas mplícos da ecelees resulados para flujo claramee subcríco, sedo los más ulzados para ello el esquema de Pressma o de los cuaro puos para cálculos udmesoales, y esquemas ADI desarrollados a parr del esquema de Ledersee para dos dmesoes. Para problemas co varacoes mporaes e el espaco o e el empo, los esquemas eplícos so más adecuados. Iformacó sobre esquemas mplícos cláscos se puede ecorar e (Abbo, 979), (Cuge, 98), (Rchmyer, 967), (Gómez, 988) y (Baema, 994).

9 3.5. Esquemas cerales y esquemas upwd Esquemas cerales y esquemas upwd Los esquemas e dferecas fas cosse e reemplazar las dervadas segú cada varable depedee por cocees e dferecas de los valores de las varables e los puos de dscrezacó del domo de solucó. Tradcoalmee los esquemas umércos udmesoales ulza, para la dscrezacó espacal, dferecas ceradas, dferecas haca delae o dferecas haca arás, segú la apromacó a la dervada de ua fucó f ( ) e el puo se realce, respecvamee, como: df f f df f f df f f ; ; d d d + + (3.8) Las dos úlmas epresoes edrá sedo, sobreodo, e los puos de los cooros del domo de esudo, dode las dferecas cerales o se puede ulzar, al meos de forma medaa. Uo de los esquemas eplícos más secllos e que se puede pesar para resolver la ecuacó escalar homogéea (3.) cossría e ulzar ua apromacó co dferecas haca delae para las dervadas emporales (que como se verá e el aparado es ecesaro para eer esquemas coservavos) y dferecas cerales e las dervadas espacales para eer segudo orde de precsó, o sea, para el puo (, ): du u u du u u = ; = d d + + (3.9) para la ecuacó (3.) co f ( u) = λ u, la aplcacó de las esas epresoes os llevaría al esquema: + λ u = u ( u+ u ) (3.3) Sorpredeemee ese esquema es codcoalmee esable como se puede ver co u aálss de esabldad de Vo-Neuma (Gómez, 988), (Toro, 997), y ello es debdo a que se esá ulzado u domo de depedeca para el esquema umérco dso del domo de depedeca físco de la solucó eaca. E cambo, a solo susuyedo u = /( u + u+ ) e (3.9), el esquema resulae para esa msma ecuacó queda como: λ λ u = + u + u + + (3.3) que es el coocdo esquema de La-Fredrchs (a veces llamado ambé esquema de La o esquema dfusvo), y resula codcoalmee esable s se cumple la codcó de Coura: λ (3.3) Ese esquema ee u bue comporameo para odas rápdas, pero o ao para odas leas o esacoaras. Oro esquema ceral de especal erés es el esquema de La-Wedroff, que se puede obeer cosderado las dervadas espacales como ua combacó de dervadas haca delae y dervadas haca arás: du u u u u = γ + d + γ (3.33) co λ λ γ = + ; γ = (3.34)

10 4 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos resulado u u u u + λ λ λ λ λ = (3.35) que ambé es esable s se cumple (3.3). Para poder corporar e el esquema umérco las propedades del feómeo físco se desarrollaro los esquemas upwd (coraveo o coracorree), esquemas descerados que ulza el hecho de que la formacó se propaga a lo largo de las líeas caraceríscas para que los puos volucrados e las dervadas espacales volucre al domo que físcamee flueca cada puo de cálculo. Para ello se ulza dervadas espacales haca delae a haca arás depededo del sedo de propagacó de la oda. Por ejemplo, para la ecuacó (3.) co f ( u) = λ u, λ es precsamee la velocdad caracerísca ( λ = df / du ), velocdad co que se propaga ua oda (ver Capíulo, aparado.4.3.). S λ es posvo se puede ulzar dferecas haca arás, lo que resula e el esquema: + λ u = u ( u u ) (3.36) meras que s λ a es egavo, ulzado dferecas haca delae eemos: + λ u = u + ( u u ) (3.37) Ese esquema, de prmer orde de precsó, es esable para úmeros de Coura ferores o guales a y ee la veaja de eer e cuea la físca del feómeo a la hora de dscrezar las ecuacoes. Para escrbrlo e forma codesada se puede defr: + λ = ( λ+ λ ) ; λ = ( λ λ ) (3.38) de maera que s λ es posvo λ + = λ y λ =, meras que s por el coraro λ es egavo se ee λ + = y λ = λ. Co ello ese esquema upwd de prmer orde se puede escrbr como: λ + λ + u = u ( u u ) ( u+ u ) (3.39) Ese esquema, váldo como se ha dcho para la ecuacó escalar homogéea co f ( u) = λ u fue propueso por Coura, Isaacso y Reeves e 95, por lo que ambé se le cooce como esquema CIR. E el capíulo sguee se realza la eesó a ssemas de ecuacoes o leales. E los úlmos años dsos auores ha realzado mporaes esfuerzos para desarrollar esquemas upwd. Auque los esquemas cerales ee las veajas de su smplcdad, o ee e cuea como realmee se propaga la formacó. El cose compuacoal de los esquemas upwd puede ser basae mayor que para esquemas cerados y el raameo del érmo depedee complejo, aú así so ua buea opcó para cosegur méodos drecos para las ecuacoes del flujo e láma lbre, especalmee para el caso bdmesoal.

11 3.6. Alguas propedades de los esquemas umércos Alguas propedades de los esquemas umércos E ese aparado se comea alguas de las propedades que puede eer, y e geeral es coveee que ega, u esquema umérco. Cuado e adelae se dscua los dsos esquemas, el hecho de poseer o o esas propedades dará medaamee ua dea de sus capacdades y lmacoes Orde de dferecacó El orde de dferecacó de u esquema umérco e dferecas fas hace refereca a la maera como se aproma las dervadas de maera dscrea. Dada ua fucó f ( ) sufceemee suave, y el valor que oma e u puo se puede coocer el valor que oma e u puo cercao + medae u desarrollo e sere de Taylor: ( ) d f( ) k k + = + (3.4) k k! d f( ) f( ) Trucado la sere de Taylor se puede obeer apromacoes a las dervadas de f ( ). Por ejemplo, desprecado los érmos de segudo orde e (3.4) y despejado, podemos obeer ua apromacó a la prmera dervada como: df ( ) f ( +) f ( ) = + O( ) d (3.4) o, cosderado el puo : df ( ) f ( ) f ( ) = + O( ) d (3.4) Tao (3.4) como (3.4) so apromacoes de prmer orde de la prmera dervada de f ( ) e, pues el error comedo es u érmo de prmer orde, O( ). Cosderado los desarrollos e sere de Taylor de f ( + ) y f ( ) y resado uo de oro se puede obeer ua apromacó a la dervada, medae dferecas ceradas, que es de segudo orde, ya que los érmos de prmer orde se aula: df ( ) f ( +) f ( ) = + O d ( ) (3.43) E geeral u esquema basado e dferecas haca delae, haca arás, o upwd será de prmer orde de precsó, meras que dferecas cerales producrá u esquema de segudo orde de precsó. U resulado mporae para el desarrollo de esquemas de ala resolucó, es que u esquema umérco leal para la resolucó de la ecuacó escalar (3.) co f ( u) = λu u kr + bku+ k k= kl = (3.44) es de segudo orde de precsó s y sólo s: S S c S c = ; = ; = (3.45) dode c = λ / y:

12 6 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos S q kr = (3.46) k= kl q k bk De los esquemas vsos e.. so de prmer orde el esquema esable (3.3), el esquema de La-Fredrchs (3.3) y el esquema upwd de prmer orde (3.39). El esquema de La-Wedroff es de segudo orde de precsó e el espaco y e el empo, y además es el úco esquema posble de segudo orde que corpora a solo res puos ( u, u, u ) e su dscrezacó Covergeca, cosseca y esabldad A couacó se euca res cocepos que srve para cosderar la bodad co que u esquema umérco es capaz de reproducr la solucó de la ecuacó orgal. Covergeca: U esquema umérco es covergee s la solucó umérca obeda de él ede a la solucó eaca de la ecuacó dferecal cuado la malla se hace defdamee fa. Todo esquema umérco debería pues ser covergee. Cosseca: U esquema será cossee co la ecuacó orgal s, al refar la malla, el operador dferecal y el operador e dferecas fas so equvalees. La cosseca dca pues la bodad co que u esquema umérco represea la ecuacó orgal, y se puede epresar ambé dcedo que u esquema umérco es cossee s el flujo umérco cocde, cuado odos los argumeos so guales a v, co el flujo físco para u = v: f (, v,, v,) v f() v (3.47) * + / = Esabldad: La esabldad es la propedad que ee o o u esquema umérco de que los errores de redodeo permaezca dero de límes razoables. La esabldad es ua propedad del méodo de egracó ulzado, que o depede de la ecuacó orgal. Los res cocepos aerores esá lgados por el eorema de La, que dce que para u problema de valor cal leal be plaeado, y para u esquema umérco cossee, la esabldad es ua codcó ecesara y sufcee para la covergeca de la solucó umérca. Ese eorema perme descompoer el problema de la covergeca e oros dos más asequbles, por lo que se puede demosrar la covergeca de u esquema, al meos para el problema leal, a ravés de su cosseca y esabldad. La mayor pare de los esquemas ulzados para la resolucó de ecuacoes e dervadas parcales se basa e ese eorema para garazar su covergeca, auque se debe recordar que las ecuacoes de Sa Vea forma u ssema de ecuacoes o leal y por ao esa eoría deja de ser válda Esquemas coservavos Para poder calcular solucoes dscouas se debe mpoer codcoes ao e la formulacó de las ecuacoes como e los esquemas umércos ulzados. E cuao a las prmeras, a solo la forma coservava de las ecuacoes, que ulza como varables aquellas que físcamee se coserva, permrá calcular de forma correca ua solucó dscoua (Toro, 997). Para cualquer oro cojuo de varables dso de las varables coservavas se obedrá uas codcoes de salo (como las codcoes de Rake-Hugoo para las varables coservavas) erróeas, co ua velocdad de propagacó ambé erróea, y por lo ao ua solucó de su poscó a lo largo del empo ambé erróea. U esquema umérco, para la ecuacó escalar (3.) se defe como esquema coservavo s se puede escrbr e la forma de la ecuacó (3.6). Los esquemas coservavos aparece pues de forma aural al cosderar la forma egral de la ecuacó (3.), ecuacó (3.3), y ua dscrezacó e volúmees fos. Por oro lado, gracas al eorema de La-Wedroff, que dce que u méodo umérco coservavo, s es covergee, coverge a ua solucó débl de la ley de coservacó, se puede asegurar que medae esquemas coservavos podremos calcular la solucó cluso e el caso de haber dscoudades. Y es más, e el caso

13 3.6. Alguas propedades de los esquemas umércos 7 de eer solucoes dscouas, s se quere ulzar u méodo dreco o shock capurg o queda más remedo que aplcar u méodo coservavo y ulzar las ecuacoes e forma coservava. El eorema de La-Wedroff asegura que la solucó que se obee es ua solucó débl del ssema de ecuacoes, pero como las solucoes débles puede o ser úcas, es ecesaro verfcar que ésa cocde co la solucó físca comprobado que se cumple la codcó de eropía. Alguos esquemas de ejemplos escros e forma coservava so: / ( f+ = f+ + f ) (3.48) para el esquema esable, / ( ) ( f+ = f+ + f u+ u ) (3.49) para el esquema de La-Fredrchs o / ( ) ( f+ = f u+ + u f+ f ) (3.5) para el esquema de La-Wedroff Ucdad y codcó de eropía Para ua msma codcó cal dscoua puede esr más de ua solucó débl de las ecuacoes, pero de ellas solamee ua es físcamee correca. E el caso de las ecuacoes de Sa Vea, debdo a la vscosdad del fludo y a la produccó de calor, la eropía debe crecer a ravés de ua dscoudad. S embargo, se puede ecorar solucoes dscouas de las ecuacoes de Sa Vea para las cuales la eropía decrece. Ese po de solucoes se ha preseado e el Capíulo, aparado.5., como odas de choque de depresó, y so físcamee admsbles. La solucó correca se puede dsgur de las oras porque debe cumplr ua sere de creros que se puede demosrar que so equvalees (Ta, 99):. Crero de vscosdad. La solucó correca cocde co el líme, cuado la vscosdad ede a cero, de las msmas ecuacoes hperbólcas cuado al érmo depedee se le añade u érmo de vscosdad. E el caso parcular de u ssema de ecuacoes hperbólco como (3.8), la solucó físcamee correca debe cocdr, pues, co el líme cuado ν ede a de la solucó de: U U + F = ν (3.5). Crero de la apromacó e dferecas: La solucó físcamee correca cocde co el líme de la solucó umérca cuado el cremeo de empo ulzado ede a cero. 3. Crero de la oda de choque: Como se ha vso e el aparado.5. del Capíulo, para la ecuacó udmesoal escalar homogéea, ua dscoudad fuere físcamee correca es aquella e la que coverge las líeas caraceríscas (Fgura.). Para u ssema hperbólco del po (3.8) lo msmo será cero para cada uo de los campos caraceríscos, lo que se raduce que para cualquer valor propo λ, s S es la velocdad de propagacó de la dscoudad debe cumplrse, como muesra la Fgura 3.3. λ ( U ) > S > λ ( U ) (3.5) L R

14 8 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos λ ( U ) > S > λ ( U ) (3.53) + R L Nauralmee la seguda de esas ecuacoes o ee sedo para las ecuacoes de Sa Vea udmesoales, para las cuales solamee ese dos valores propos, pero sí cuado cosderamos las ecuacoes de Sa Vea bdmesoales (varables u, v, h ) resrgdas a ua dreccó (lo que se hace e cada uo de los cooros de los elemeos de volume). Se puede probar que las ecuacoes (3.5) y (3.53) so equvalees, e dámca de gases, al hecho que la eropía ermodámca de ua parícula aumee al cruzar ua dscoudad. Los creros aerores so equvalees, por lo que los esquemas de ala resolucó debe comprobar que la solucó obeda cumple alguo de ellos, o, lo que es lo msmo, que o perme obeer solucoes que vole alguo de los mecoados creros. λ ( U ) L Dscoudad de velocdad S λ ( U L ) λ + ( U R ) λ ( U ) " R Fgura 3.3. Covergeca de las caraceríscas e ua dscoudad co sedo físco Mooocdad E la búsqueda de esquemas umércos verdaderamee de ala resolucó oma mporaca los cocepos eórcos de mooocdad, varacó oal decrecee (TVD), la codcó de compabldad de daos y la dea de esquemas ENO (Esseally No-Oscllag), cocepos que esá muy lgados ere s y que so fudameales para compreder los esquemas de ala resolucó. Se sse que la mayoría de esos cocepos rgurosamee sólo ee sedo para la ecuacó escalar homogéea, o para u ssema de ecuacoes homogéeo, auque geeralmee se cumple que los esquemas que resula adecuados para esos casos ambé lo será e el caso más geeral co érmos fuee y más dmesoes. S cosderamos la epresó escalar de u ley físca de coservacó (3.) su solucó preserva la mooocdad (Hare, 98) eededo por ello que se cumple las dos codcoes sguees: ) o se puede crear uevos eremos locales e y ) el valor de u mímo local o puede dsmur y el de u mámo local o puede aumear. La preservacó de la mooocdad es pues ua propedad físca de ua ley de coservacó que cualquer bue esquema umérco deberá maeer. Por oro lado, al pasar a la solucó dscrea, se dce que u esquema umérco del po: u = H( u,, u ) (3.54) + r+ + s es moóoo s H es ua fucó o-decrecee de odos sus argumeos: H u j j (3.55)

15 3.6. Alguas propedades de los esquemas umércos 9 Co u esquema moóoo, a parr de u cojuo de daos { u } se obee ua solucó { u + } (Toro, 997): { + } { } { + u } { u u u } que cumple ma ma ; m m (3.56) que o es más que la epresó dscrea de la preservacó de la mooocdad físca de la solucó. U esquema moóoo maee esa propedad y por lo ao o podrá crear solucoes espuras, por lo que la búsqueda de esquemas moóoos será la base de los méodos de ala resolucó. Para u esquema coservavo de res puos del po + u = u ( f+ / f /) (3.57) puede verse fáclmee que la codcó de mooocdad (3.55) queda f f ( u, u ) ; ( u, u ) + / + / + + u u+ (3.58) meras que para u esquema leal del po: u kr + bku+ k k= kl = (3.59) la codcó de mooocdad (3.55) queda bk kj (3.6) U resulado oable que se deduce de las propedades aerores es el Teorema de Goduov: para la ecuacó escalar (3.) co f ( u) = au, o ese gú esquema leal (de la forma (3.59)) de orde de precsó mayor que uo, que sea moóoo. El Teorema de Goduov se demuesra desarrollado S e (3.46) como: kr kr kr kr k ( ) k k k k= kl k= kl k= kl k= kl S = k b = k+ c b kb c b = k R = ( k + c) b cs c S k= kl k (3.6) susuyedo la codcó de segudo orde de precsó del esquema (3.45) e (3.6) queda S = ( k + c) b + c = c kr k (3.6) k= kl s se preede que el esquema sea moóoo debe cumplrse además (3.6), por lo que la úca posbldad sería b = para cualquer k, lo que o ee sedo. k Del Teorema de Goduov se desprede pues que los esquemas leales puede ser sólo de prmer orde para ser moóoos, pero por oro lado los esquemas de prmer orde so a veces poco precsos. Para cosegur esquemas de ala resolucó se ee que evar pues caer e las hpóess de ese eorema, y e cocreo buscar esquemas que o sea leales, es decr, cuyos coefcees depeda de los valores dscreos que oma la solucó.

16 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos Oro resulado mporae (Hrsh, 99) es que los esquemas moóoos o sólo coverge a ua solucó débl de la ley de coservacó, so que lo hace a la úca solucó que sasface la codcó de eropía y que es, por lo ao, la solucó físca Osclacoes espuras, dspersó y dspacó Se cooce por el ombre de feómeo de Gbbs el hecho de que u esquema de segudo o mayor orde de precsó produce osclacoes espuras de la solucó e zoas cercaas a grades gradees, y e cocreo e zoas cercaas a dscoudades de la solucó. Esquemas dsos produce osclacoes dsas (ver Fgura 3.4) alrededor de la dscoudad, pero como se ha vso e el aparado aeror cualquer esquema umérco leal de segudo orde de precsó las producrá.. Las osclacoes puede r aumeado al rascurrr el empo y provocar que el esquema umérco sea esable, producr valores de calados egavos o smplemee malas apromacoes a la realdad. Ese feómeo se cooce ambé por el ombre de dspersó. Hsórcamee ese problema se raó, e u prcpo, añadedo érmos de vscosdad arfcal a esquemas de segudo orde, solucó que ulza odavía alguos programas comercales, a pesar que de esa maera la dscoudad se suavza comprededo u domo más amplo que el que ee realmee. Precsamee los méodos de aslameo del free de oda (Shock Fg mehods) se desarrollaro para ear resolver ese problema, pero que como se ha dcho e el Capíulo se mosraro efcaces y poco práccos al eer que raar la dscoudad como u cooro móvl co uas codcoes especales, free a la veaja de los méodos drecos, co esquemas de ala resolucó que o requere de gú raameo especal. Por el coraro los esquemas de prmer orde so dspavos, de maera que la amplud de ua oda decrece más que su solucó eaca y por oro lado las varacoes de la solucó, y sobreodo las dscoudades, se esparce por la malla de cálculo (ver Fgura 3.5) Calado (m) Abscsa (m) Solucó eaca º orde Fgura 3.4. Osclacoes espuras (feómeo de Gbbs) para u esquema de segudo orde

17 3.6. Alguas propedades de los esquemas umércos Calado (m) Abscsa (m) Solucó eaca r ordre Fgura 3.5. Dspacó producda por u esquema de prmer orde Varacó Toal Decrecee y compabldad de daos Ua codcó meos esrca que la mooocdad es el cocepo de Varacó Toal Decrecee (Toal Varao Dmshg o TVD) roducdo por Hare (983), que asegura la covergeca de la solucó umérca a la solucó débl de la ley de coservacó (3.), auque, al coraro que la mooocdad, o asegura el cumplmeo de la codcó de eropía. Se defe la Varacó Toal de ua fucó coua u ( ) como meras que para ua solucó dscrea { u }, será + TV ( u) = u '( ) d (3.63) = + = TV ( u ) u u (3.64) y se dce que u esquema umérco para la resolucó de la ecuacó escalar homogéea escalar (3.) es TVD (Varacó Toal Decrecee) s TV ( u ) TV ( u + ) (3.65) Ere las propedades de mooocdad, preservacó de la mooocdad y, varacó oal decrecee ese la sguee relacó: Todos los esquemas moóoos (3.54)(3.55) so esquemas TVD, meras que a su vez odos los esquemas TVD preserva la mooocdad. Para esquemas leales de la forma (3.59) la codcó de preservacó de la mooocdad equvale a la de mooocdad, por lo que cualquer esquema TVD leal será sólo de prmer orde de precsó. S embargo, lo dcho o es cero para esquemas o leales, que puede ser TVD y eer segudo orde de precsó, y de aquí su mporaca e la geeracó de esquemas de ala resolucó. Ua codcó para que u esquema umérco para la resolucó de la ecuacó escalar (3.) sea TVD fue dada por Hare (983) e el eorema coocdo por su ombre.

18 Capíulo 3. Cosderacoes sobre méodos umércos Teorema de Hare: s se cosdera u esquema escro de la sguee forma (que es ora maera de escrbr la epresó de u esquema coservavo (3.6)): co u / u u u = u C u + D u (3.66) + / / + / + / =, u+ / = u+ u y C /, D + / fucoes de{ u }, el esquema es TVD s se cumple C ; D ; C + D (3.67) + / + / + / + / El eorema de Hare permrá esquvar e cera maera los resulados del eorema de Goduov abredo u posble camo a los esquemas de ala resolucó a ravés de esquemas o leales, ya que los coefcees C / y D + / depede de los daos. Se recuerda que esos cocepos eórcos so ceros, como se ha dcho, para la ecuacó escalar homogéea. E la cosruccó de esquemas TVD e lugar de aplcar drecamee el eorema de Hare se ulza ora codcó algo más resrcva pero de más fácl aplcacó que es la codcó de compabldad de daos: se dce que u esquema para la resolucó de la ecuacó escalar homogéea (3.) es compable co los daos { u } s la solucó { u + } obeda co dcho esquema, e cada puo esá compredda ere los valores y u sedo s el sgo de λ = f u. u s es el valor de la solucó e el sae e el puo upwd del puo. La aeror defcó se puede rescrbr como que se cumple: ( ) + u ( su u u su) u s m, ma, (3.68) Observado la defcó de esquema TVD dada al prcpo del aparado, resula que s u esquema es compable co los daos, por la codcó aeror el esquema es TVD. Por oro lado, puede verse que esa codcó de compabldad de daos es equvalee a requerr: u u u + s u (3.69) Esa úlma epresó es la que se ulzará luego para cosrur esquemas TVD.