UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA DE LA MIXTECA

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1 UNIVERSIDAD TENOLÓGIA DE LA MIXTEA TESIS: TRANSFORMAIONES HOMOTÓPIAS Y REONOIMIENTO DE FORMAS Para obeer el íulo de LIENIADO EN MATEMÁTIAS APLIADAS Presea: Berece Vásuez Maríez DIRETORES DE TESIS M.. Adolfo Maceda Médez Dr. Maro Aurelo Rodríguez Peda Huajuapa de Leó Oaxaca. Julo de.

2 Agradecmeos A m asesor el M.. Adolfo Maceda Médez por oda la ayuda y empo dedcado e la realzacó de esa ess agradecedo ambé sus alosos cosejos y el apoyo ue me brdó e esos cco años. A m coasesor el Docor Maro Aurelo Rodríguez Peda por sus oreacoes y sugerecas cuado ecesé de su asesorameo. Al M.. Jua arlos Medoza Saos por su apoyo y cosejos brdados durae oda la carrera. A la Docora Vrga Berró Lara por ser pare mporae e la culmacó de m carrera al corbur co sus oreacoes e el desarrollo de m ess. Por su caldad humaa y ser pare del jurado calfcador. Al M.. José Lus arrasco Pacheco por haberme dado los elemeos ecesaros para la culmacó de m ess y como membro del jurado calfcador. A odos ms profesores por comparrme sus coocmeos por brdarme su amsad y por sus cosejos a lo largo de la carrera. A ms padres Mauro y Mercedes así como a ms hermaos: Erc dy y Nallely e rud de ue sempre esuero a m lado apoyádome cuado los ecesé y por haberme dado la oporudad de eer ua gra famla. A odos ms amgos y amgas por haber esado comgo e las dferees eapas de m da.

3 A ms padres Mauro y Mercedes Por darme la da y brdarme la oporudad de realzar esa prmer gra mea y por los alores culcados para ser ua persoa de be. Gracas por odo su amor. A ms hermaos: Erc dy y Nallely. Por haber compardo comgo sus experecas por odo su apoyo y amor. Los uero mucho. A odos ms seres uerdos.

4 oedo Agradecmeos... Dedcaoras... oedo... INTRODUIÓN. Aecedees.... Orgazacó de la Tess... APÍTULO I. Imágees Bdmesoales. Defcoes prcpales... Relacó de coexdad e cojuos de puos lace Teorema de Jorda Imágees dgales baras Realzacó geomérca y polédrca de mágees dgales baras... omplejos cúbcos como realzacó geomérca de mágees..... Realzacó polédrca como aálogo couo de mágees.... APÍTULO II. Topología ombaora.. ocepos báscos de Topología Algebraca...5. omplejos Smplcales...7. Subdsó Barcérca.... Aproxmacó Smplcal....5 Homología Smplcal clos y froeras....6 Mapeos Smplcales....7 Subdsó eselar Homomorfsmos ducdos por mapeos Iaraza...

5 APÍTULO III. reros para el cálculo de ceras caraceríscas de ua mage dgal Resulados sobre el ídce de u píxel y Teorema del reraco....6 APITULO IV.. Algormos báscos.. Algormo de coraccó combaora A Algormo de expasó combaora AE álculo de la caracerísca de Euler.. Elmacó de puos egros preo cálculo de sus ídces Elmacó de puos egros de ídce álculo de los úmeros de Be Algormo de esuelezacó...58 ONLUSIONES...6 APÉNDIE A. Maual de usuaro...6 APÉNDIE B. Vsualzacó del resulado de los algormos...6 BIBLIOGRAFÍA...66

6 INTRODUIÓN. Aecedees. E la auomazacó y robozacó de las éccas de procesameo auomáco de formacó ssemas de raduccó auomáca y oros problemas relacoados co la só de robos surge la ecesdad de resoler ua sere de cuesoes relacoadas co su realzacó. Esas se emarca e las sguees áreas: Procesameo de Imágees Recoocmeo de Paroes y Aálss de Esceas. El procesameo de mágees báscamee se refere a la obecó de ueas mágees a parr de las ue ya se ee. El resulado fal del procesameo de ua mage por regla geeral sre para su erpreacó por ua persoa. Al resoler problemas de Procesameo de mágees surge la ecesdad de suprmr rudos de elmar la defcó y de resalar la froera de ua mage. Ere los rabajos fudameales e esa área podemos mecoar [7 8 ]. El objeo prcpal del Recoocmeo de Paroes cuado el paró es ua mage cosse e asgar el paró a al o cual clase esado ése dado como ua coleccó de úmeros ue correspode a las caraceríscas medbles del objeo. Recoocer u objeo sgfca asgarlo a ua de las clases ue se cooce. Auue la bblografía sobre recoocmeo y clasfcacó de paroes es muy ampla ere los prcpales rabajos podemos car los de Hall[] Rosefeld[5] Duda y Har[9] ere oros. E el aálss de esceas se esuda el problema relao al paso de las descrpcoes smples obedas drecamee de las mágees a uas más complejas dadas e ua forma al ue resule más adecuada para la realzacó de ua area. omo lusracó clásca de eso sre la erpreacó de los cooros de las fguras. Ere los rabajos e esa área podemos mecoar Duda y Har[9]. La aplcacó de los méodos opológcos a los problemas de procesameo auomáco de formacó se hace ecesara báscamee para resoler los sguees problemas:. Obecó de u especro amplo de araes opológcos de la forma de ua mage formalzado para su uso e ua compuadora. Las herrameas fudameales auí co los de la opología dgal.. Formalzacó del cocepo de forma de ua mage por medo del aálss de sus correspodees araes locales y globales e el proceso de dscrezacó de mágees aalógcas por ejemplo baras e problemas de procesameo de mágees así como al desarrollar los creros ecesaros para esa dscrezacó. Durae los úlmos años muchos resulados ha sdo obedos e el área de la opología dgal; eso es el esudo de las propedades opológcas de mágees baras dgales ales como coexdad coraccó o segumeo de bordes de ua mage el úmero de compoees coexas el úmero de agujeros el cálculo de la caracerísca de Euler ec. La mayoría de los cocepos báscos de la opología dgal bdmesoal fuero defcados e los años 6 s y 7 s[5]. Eoces se cosderaro dferees efoues y e la mayoría de los casos se esablecó la relacó exsee ere ellos. S embargo o se puede decr ue ha sdo creada ua eoría complea ue perma cosrur u amplo especro de algormos ue formalce el cocepo de forma de ua mage e el proceso de la solucó de los problemas de procesameo clasfcacó y recoocmeo de

7 mágees. La causa prcpal de la auseca de esa eoría es la exseca de ua gra cadad de efoues y méodos para formalzar el cocepo de araza de la forma de la mage debédose fudamealmee a ue o se ee ua plaaforma eórca úca basada e la eoría de araes locales y globales de la forma de los objeos e esudo desarrollada por la opología algebraca por ejemplo e el caso de los espacos opológcos. El objeo de esudo de la opología dgal es el aálss de las propedades opológcas de mágees co el f de desarrollar algormos y méodos ue perma resoler problemas de procesameo auomáco: procesameo de mágees recoocmeo de paroes y grafcacó auomáca. Los méodos fudameales de la opología dgal se ha desarrollado báscamee para los arreglos baros cuyos elemeos so exclusamee ceros y uos. El cocepo prcpal de la opología dgal y de sus aplcacoes a los problemas de recoocmeo y procesameo de mágees es el de araza de ua rasformacó aplcada a la mage. o mucha frecueca se eede por araza la coseracó de la opología araes de la forma al pasar a la mage resulae. Exse dferees méodos para defr ese cocepo. Hldch[] por ejemplo deoma arae a ua rasformacó s la mage resulae es u reraco de deformacó de la mage orgal. E el caso bdmesoal ese crero es eualee al crero Rose[] de Sefaell- Rosefeld[7]. as odos los algormos de adelgazameo coraccó y alguos oros se basa e ese prcpo. La esuelezacó de mágees es ua operacó ípca de preprocesameo e los problemas de recoocmeo de paroes. Su objeo es el de reducr el cojuo de puos de ua mage bara a u esueleo preserado su opología por ejemplo e el sedo de Sefaell-Rosefeld. El paorama más geeral de la leraura e adelgazameo bdmesoal se puede ecorar e los rabajos [8 9 8]. Es be sabdo ue a cada espaco smplexal y e cosecueca a cada mage aáloga se le puede hacer correspoder su caracerísca de Euler. Se sabe ambé ue ese úmero es ao u arae opológco como homoópco de la mage. E el caso de las mágees dgales bdmesoales la caracerísca de Euler es la dfereca ere los úmeros cero y uo de Be o lo ue es lo msmo la dfereca ere el úmero de compoees de coexdad y de agujeros de la mage. E el caso geeral la caracerísca de Euler es la suma algebraca de los úmeros de Be del espaco de la mage. Varos méodos ha sdo propuesos para el cálculo de la caracerísca de Euler de u objeo baro eresádoos la forma e ue lo hace e [9] e dode la caracerísca de Euler es calculada a parr de propedades opológcas de los objeos e ua mage como coecdad coexdad y cocadad. La caracerísca de Euler se ulza e dferees problemas de aplcacó. E el caso de mágees bológcas por ejemplo se reuere saber el úmero de formas coeedo cero hoyos. Ese úmero puede ser fáclmee obedo al calcular a parr de cada objeo e la mage su úmero de Euler. La caracerísca de Euler ha sdo ambé usada e el recoocmeo de pares dusrales [6]. Por ao el cómo formar u algormo rápdo para la obecó de esa caracerísca e empo real es de gra mporaca e muchas aplcacoes. Al msmo empo es dudable ue es más formao coocer los úmeros de Be ue la caracerísca de Euler lo ue e el caso de las mágees dgales bdmesoales sgfca coocer el úmero de compoees de coexdad y el úmero de agujeros de la mage. S embargo e ese caso la bblografía o es a ampla Para el caso de las mágees

8 dgales bdmesoales alguos de esos algormos fuero ecorados por Byo- Zeralo[ 5 6]. E ese rabajo se esuda las propedades y las caraceríscas de las mágees baras bdmesoales. A esas propedades sería más correco deomarlas homoópcas e lugar de opológcas como se deoma co frecueca e las publcacoes correspodees ya ue so araes homoópcas y o smplemee opológcas de realzacoes polédrcas de mágees cosderadas. Ere esas propedades se puede mecoar por ejemplo la coexdad el úmero de agujeros o cadades y por supueso la caracerísca de Euler. El cocepo fudameal ue cosderamos es el de ídce de u puo lace ue represea ua caracerísca local de u puo e ua mage bara. Ese cocepo fue roducdo por prmera ez e 99 e el rabajo de G. Nepomasch y E. Shchep[6] como ídce de u píxel solo para 8 mágees es decr para las mágees ue se supoe 8-adyacees para los puos egros y -adyacees para los puos blacos. Poserormee ese cocepo fue desarrollado e los rabajos de A. Byo y L. Zeralo [ ] uees lograro dar de maera aural la defcó de eualeca homoópca de las 8 mágees y crear ua sere de algormos fudameados e el cocepo de ídce. Ere esos algormos cabe mecoar aros algormos para el cálculo de los úmeros de Be de ua mage dgal. E el rabajo se roduce el cocepo de eualeca homoópca ere mágees para adyaceca 8. Esa defcó perme hablar sobre la araza de ua rasformacó e sedo homoópco aplcada a ua mage. Es mporae mecoar ue las mágees homoópcamee eualees ee realzacoes polédrcas ue so homoópcamee eualees e el sedo usual. Por eso las propedades y caraceríscas de mágees ya mecoadas coexdad la caracerísca de Euler los úmeros de Be ec. so araes de rasformacoes e sedo homoópco. El efoue propueso al cocepo de eualeca homoópca facla la fudameacó usado herrameas de Topología Algebraca y Topología ombaora y la programacó de muchos algormos oreados a la clasfcacó y recoocmeo de mágees dgales. Los algormos ue desarrollaremos e ese rabajo so: de coraccó y expasó. del cálculo de la caracerísca de Euler y los úmeros de Be para el caso de las 8 mágees bdmesoales. de esuelezacó. Ua gra eaja de esos algormos es ue so efcees pueso ue se basa e aálss locales de la mage; lo cual como ya habíamos mecoado es muy mporae e la aplcacó a problemas reales. Ese rabajo os perme er claramee ua aplcacó de los méodos de Topología e ese caso al procesameo de mágees; lo cual es muy eresae pues se podría pesar ue ua rama a absraca de la maemáca o ee aplcacoes reales.

9 . Orgazacó de la Tess La ess cosa de cuaro capíulos los cuales se ecuera orgazados de la sguee maera: E el prmer capíulo se muesra los elemeos báscos de la Topología Dgal ue se ecesa para descrbr ua mage bara hacedo uso de los llamados puos lace a los cuales se les asoca su aálogo couo para poder aplcar las herrameas de las Topologías Algebraca y ombaora y falmee poder demosrar ue los algormos ue se presea deja arae el po homoópco. El capíulo II coee alguos cocepos báscos de Topología Algebraca y se roduce la Topología ombaora preseado alguas defcoes como la de smplejo a parr de la cual se defe los omplejos Smplcales. També se defe los grupos de homología y se esuda los homomorfsmos defdos ere esos grupos ducdos por mapeos así como su araza bajo ceras rasformacoes. E el capíulo III se realza la coexó ere la eoría esudada e los prmeros dos capíulos co las mágees dgales a las cuales se les aplcará los algormos. E ese capíulo se da la defcó de ídce de u píxel e érmos de la caracerísca de Euler la cual a a ser de gra mporaca ya ue esa es la base de uesros algormos. També se roduce el cocepo de pxel smple msmo ue se usará para eucar u eorema muy mporae ue os asegura ue el aálogo couo de la mage cal y de la mage obeda al uar sucesamee píxeles de ese po ee el msmo po homoópco y usado u Teorema se muesra ue sus grupos de homología so guales. Por úlmo e el capíulo IV se presea los algormos ue se programaro: los algormos de coraccó y expasó combaora ue presera el po homoópco; los algormos ue os sre para calcular la caracerísca de Euler los úmeros de Be; y el algormo de esuelezacó el cual cosera los rasgos y el po homoópco de la mage orgal. Se da la jusfcacó de su aldez al aplcarlos e las mágees dgales hacedo refereca a los resulados eórcos ue se presea e los capíulos aerores.

10 APÍTULO I. Imágees bdmesoales. Ese capíulo coee los elemeos báscos de la Topología Dgal ue se ecesa para descrbr ua mage bara hacedo uso de los llamados puos lace a los cuales les asocaremos su aálogo couo para poder aplcar las herrameas de las Topologías Algebraca y ombaora para falmee poder demosrar ue los algormos ue se presea deja arae el po homoópco.. Defcoes prcpales.. Relacó de coexdad e cojuos de puos lace. Sea el cojuo de odos los úmeros eeros { z z : z } el cojuo de odas las -adas ordeadas de úmeros eeros. Defcó.. Los elemeos x y correspode a los puos co coordeadas eeras e el plao eucldeao y se llama puos lace. Defcó.. Dos puos lace p se dce ser 8-adyacees s so dsos y cada coordeada de uo de ellos dfere e a lo más uo de la respeca coordeada del oro es decr para p x x y y y se ee: x y o x y Dos puos lace p se llama -adyacees s ellos so 8-adyacees y dfere e a lo más ua de sus coordeadas e uo. Para u 8 u -eco del puo p es u puo ue es -adyacee a p er Fg. a b. Defcó.. S cojuo: p es u puo lace eoces la -ecdad de p Fg. b es el N p { : } { p} es adyacee co p p Fg.. a p y sus -ecos b Np p y sus 8-ecos 5

11 Defcó.. U cojuo S de puos lace se dce m-adyacee a u cojuo T de puos lace s algú puo e S es m-adyacee a algú puo de T Fg.. T S Fg. El cojuo S es a la ez y 8-adyacee al cojuo T E parcular u puo p es adyacee a u cojuo de puos S s p es adyacee a algú puo de S Fg. p S Fg.. p es 8-adyacee al cojuo S pero o es -adyacee a S Defcó.5. U cojuo de puos lace S S es m-coexo s S o se puede er como la uó de dos cojuos dsjuos A y B dode A y B so o m-adyacees el uo del oro Fg.. A S B Fg.. S es 8-coexo pero o -coexo Defcó.6. Ua m-compoee de u cojuo de puos lace S es u subcojuo de S o acío m-coexo ue o es m-adyacee a algú puo de S Fg. 5. S 8-compoee de S Fg. 5. Ua 8-compoee de S 6

12 Defcó.7. Para cualuer cojuo de puos lace S S u m-camo e S es ua sucesó fa p de puos e S ales ue p es m-adyacee a p para <. U camo p es u m-camo de p a p y p so udos por el camo U camo p. p es cerrado s p p. p. Se dce ue los puos U camo p es smple s p p j para j e j u camo smple puede ser cerrado. U camo p es u caso especal de camo cerrado ue cosse del úco puo p. Defcó.8. Se dce ue dos puos p y del cojuo S esá e relacó de m- coexdad R s y sólo s p y puede ser udos por u m-camo e S. m Es claro ue:. R m es ua relacó de eualeca e S.. U cojuo S es m-coexo s y sólo s cualesuera dos puos de S esá e relacó R m es decr puede ser udos medae u camo e S.. Ua m-compoee de S es ua clase de eualeca de S respeco a R m.... Teorema de Jorda A cada puo lace se le asga u color ; separado así los puos e cojuos cuyos puos ega las msmas propedades. E el presee rabajo amos a cosderar solo dos colores: blaco y egro. E lo ue sgue e caldad de mage dgal amos a supoer el cojuo co ceros cojuos fjos de puos egros ue a a ser propamee la mage dgal. Los demás puos se cosdera blacos y forma el fodo. Esas mágees dgales se deoma baras. E la realzacó compuacoal esas mágees por supueso se represea por medo de arreglos bdmesoales cossees de uos puos egros y ceros puos blacos. S duda ua de las grades deas de la opología dgal es la de cosderar u po de adyaceca para el cojuo de puos egros y oro po para el cojuo de puos blacos Duda Har Muso []. La razó es ear paradojas como la sguee: osdérese la fgura 6 dode cuaro puos egros forma el cojuo B y los demás puos so blacos. Fg. 6. Paradojas de la coexdad 7

13 E prmer lugar supogamos ue amos a ulzar -adyaceca ao para pares de puos egros como para parejas de puos blacos. Eoces el cojuo B de puos egros fgura 6 es oalmee dscoexo. Pero B separa al cojuo de puos blacos e dos compoees o -adyacees ere s. Eso úlmo coradce al recíproco del aálogo dscreo del eorema de Jorda Rosefeld [] segú el cual ualuer camo smple cerrado egro ue o esá coedo e ua celda uara dde al plao e dos compoees blacas. El camo smple cerrado así cosderado es el aálogo dscreo de ua cura de Jorda. Por lo ao s ueremos ear esa coradccó o debemos asumr smuláeamee -adyaceca para pares de puos egros y pares de puos blacos. Supogamos ahora ue se a a ulzar 8-adyaceca para ambos pos de pares de puos. E uesro caso el cojuo B de puos egros sería el aálogo dscreo de ua cura de Jorda por lo ao esperaríamos ue separara al plao dscreo e por lo meos dos compoees. S embargo o lo hace ya ue cualuer par de puos blacos y puede ser coecados por u camo hecho odo de puos blacos y ue o erseca a la cura B. Eso sgfca ue dcha cura o dde al plao dscreo. Auí el complemeo de B es coexo. Por lo ao llegamos a ua coradccó. El aálss aeror sugere ue debemos cosderar u po de adyaceca para los pares de puos egros y oro para las parejas de puos blacos. Supogamos por ejemplo 8-adyaceca para los pares de puos egros y -adyaceca para los pares de puos blacos. E ese caso el cojuo B sgue sedo el aálogo dscreo de ua cura de Jorda sólo ue ahora sí separa al plao dscreo e dos compoees: la formada por el puo ceral blaco y auella cosuda por los demás puos blacos. ualuer camo ue coece al puo p co cualuer oro puo blaco como esamos asumedo - adyaceca para los pares de puos blacos ecesaramee a a ersecar a la cura B. omo puede oarse e esa suacó o hay coradccó. U caso smlar ocurre s cosderamos -adyaceca para odos los pares de puos egros y 8-adyaceca para odos los pares de puos blacos. Por esa razó sempre se cosdera u po de adyaceca para los puos blacos y oro po de adyaceca para los puos egros. Precsamee para el caso D se asume 8-adyaceca para egros y -adyaceca para blacos o ceersa.... Imágees dgales baras Defcó.9. Ua mage dgal P es ua erada P m B dode B co m 8. Los puos de B se llama puos egros meras ue los puos de \ B se llama puos blacos de la mage y cosuye el fodo de la msma. uado B es u cojuo fo la mage P se deoma fa. Asummos 8-adyaceca para los puos de B y -adyaceca para los puos de \ B. Se puede dar ua defcó más de mage dgal. 8

14 E lugar de amos a cosderar u subcojuo fo S el cual coee a odas las mágees. E la prácca S puede cosderarse como la coleccó de odos los puos de la paalla del moor. De al maera ue os referremos a la mage P S m B. Defcó.. Dos puos egros e ua mage dgal P S m B se deoma adyacees s ellos so m-adyacees y dos puos blacos o be u puo blaco y uo egro se dce adyacees s ellos so -adyacees. Ua mage dgal S m B ambé se llamará ua m mage dgal Fg. 7. -adyacees 8-adyacees Fg. 7. Adyaceca ere puos Defcó.. U cojuo S de puos egros blacos e ua mage dgal m es coexo s S es m-coexo respecamee -coexo Fg. 8. S Fg. 8. El cojuo S de puos egros es coexo Defcó.. E ua mage dgal m ua compoee de u cojuo S de puos egros es ua m-compoee meras ue ua compoee de u cojuo de puos blacos es ua -compoee de ese cojuo. Defcó.. Ua compoee del cojuo de odos los puos egros de ua mage dgal se llama compoee egra y ua compoee del cojuo de puos blacos se llama compoee blaca Fg.9. 8-compoee -compoee Fg. 9. ompoees de ua mage 8 9

15 Defcó.. Sea P m B ua mage dgal. Las compoees blacas fas de P se llama agujeros. Fg. Agujero Fg.. Agujero e ua mage Defcó.5. Para ua mage dgal P m B la uó de odos los agujeros es u subcojuo del fodo ue se llama fodo ero de P y se deoa por F P. El cojuo \ B \ F P se llama fodo exero de P y se deoa por F ex P. E parcular s P es fa eoces F ex P es la úca compoee blaca fa. Obseracó.. Para el caso más geeral s P m B los agujeros e P cocde co los agujeros e P ' S m B y ambé F P es la uó de odos los agujeros F ex P S \ B \ F P. Defcó.6. U puo egro se llama aslado s o es adyacee a algú oro puo egro Fg.. p Puo aslado Fg.. Puo aslado p.. Realzacó geomérca y polédrca de mágees dgales baras... omplejos cúbcos como realzacó geomérca de mágees. E prmer lugar dcaremos la forma de relacoar los cocepos de la opología dgal e érmos de puos lace co sus aálogos e érmos de píxeles. A cada puo lace p le asocaremos u complejo cúbco -dmesoal cossee de. La úca -celda cuadrado uaro cerado e el puo p cuyos lados so paralelos a los ejes coordeados;. cuaro -celdas a a a a llamadas arsas;

16 . cuaro -celdas llamadas érces. Ese complejo cúbco se llamará pxel. Noacó: p. El pxel será llamado la realzacó geomérca del puo lace p Fg. Fg.. Puo lace p y su pxel asocado Bajo esa suposcó dos pxeles ue correspode a puos lace -adyacees ee dos érces comues y ua arsa comú. Dos pxeles ue correspode a puos lace 8- adyacees ee al meos u érce comú. Sea la uó de odos los pxeles como complejos: { p : p } Eoces es u complejo cúbco -dmesoal del cual damos ua defcó más esrca a couacó. Defcó.7. osderemos el cojuo de odos los puos x y R co x y. Llamaremos a esos puos érces del complejo cúbco. Los elemeos de se llamará celdas o cubos. Las celdas so ceros subcojuos de ue coee elemeos. ada celda esá oalmee deermada por sus érces y se llama -celda o celda de dmesó. Así: -celdas so los érces o sea subcojuos de ue coee elemeos. -celdas so celdas co érces por ejemplo e los puos x ± y o x y ± co x y Z. -celdas so celdas co x y. a a a a érces por ejemplo e los puos x ± y ± Defcó.8. ualuer cojuo decmos ue L es u subcomplejo de. El complejo cúbco complemeo de. p m m m c co lo llamaremos complejo cúbco. S L \ se llama complejo

17 Defcó.9. La celda s será llamada ua cara de la celda además s s' dremos ue s es ua cara propa. s ' s s s'. S Por ejemplo e la fgura las caras propas de la celda c so a a a a ; caras propas de la celda a so ec. Defcó.. La celda s es cara cara propa del complejo s es cara cara propa de algua celda de. La froera δ del complejo es el complejo ue cosse de odas las celdas de las cuales so caras de y de odas las celdas de las cuales so caras de es decr: s δ s s es cara de o s s es cara de Eualeemee: s δ s es cara de s es cara de El complejo se llama cerrado s δ... Realzacó polédrca como aálogo couo de mágees A cada complejo podemos asocarle su aural realzacó polédrca.e. su realzacó como u subcojuo del espaco eucldeao R. E el caso de celdas del complejo la realzacó polédrca de cada s x y es auralmee el msmo puo como puo de -celda { } R. -celda s co érces es el eror del segmeo de reca. Por ejemplo s x y x y eoces { x y R : x < x < x y } s y. -celda s co érces es el eror del cuadrado co érces e los msmos puos. Por ejemplo s x x y y x x y y eoces: { x y R : x < x < x y < y < } s y.

18 Defcó.. La realzacó polédrca de cualuer complejo es el cojuo s : s. s es fo. { } S el complejo es cerrado eoces es cerrado e R y por eso es compaco Defcó.. La Realzacó polédrca P de la mage P 8 B se llama al espaco cerrado B y realzacó polédrca del fodo se llama al espaco abero F dode el círculo deoa el eror del espaco. Dualmee para el caso de mágees P 8 B se ee ue la realzacó polédrca P de la mage P es el espaco abero B y la del fodo es el espaco cerrado F. No es dfícl er ue para la mage P m B dode m 8 o 8 el subcojuo P. P R puede cosderarse como u aálogo couo P de la mage A couacó mecoamos res propedades mporaes de P :. El cojuo de puos lace correspodee a cada compoee de P es ua compoee egra de P.. El cojuo de puos lace correspodee a cada compoee del complemeo de P es ua compoee blaca de P.. Ua compoee egra D de P será adyacee a ua compoee blaca E de P s y sólo s las froeras de las compoees de P ue coee D y las compoees del complemeo de P ue coee E se oca. E la fgura se muesra dferees aálogos couos de ua 8 mage dgal uo de los cuales Fg. a se asume e el coexo del presee rabajo. El oro Fg. b es usado por oros auores. E ambas fguras se raa del msmo cojuo de puos egros. a b Fg.. Aálogos couos

19 Falmee ua ez habedo obedo la realzacó polédrca P R de la mage podemos aplcar la eoría correspodee de rasformacoes opológcas y homoópcas co el f de poder calcular propedades araes desde al puo de sa msmas ue coadyua a la clasfcacó y recoocmeo auomáco de la mage P. E parcular cosderamos la caracerísca de Euler y los úmeros de Be de la realzacó polédrca. Esas propedades se calcula ulzado u reraco fuere de deformacó de èsa.

20 APÍTULO II. Topología ombaora E ese capíulo se roduce cocepos báscos de Topología Algebraca como homoopía reracos. Además os aderamos e la Topología ombaora y preseamos defcoes como la de smplejo a parr de la cual podemos defr los omplejos Smplcales. També defmos u operador froera a parr de ese y de las defcoes de los grupos de cclos y froeras se defe los grupos de homología. Se esuda los homomorfsmos defdos ere los grupos de homología los cuales so muy mporaes pues os perme deermar alguas propedades de los espacos como el úmero de compoees coexas y el úmero de agujeros; ducdos por mapeos. Así como su araza bajo ceras rasformacoes. Usaremos esos resulados para esudar e el capíulo poseror las propedades araes de los aálogos couos... ocepos báscos de Topología Algebraca. Sea X Y dos espacos opológcos y sea I [ ]. Defcó.. S f y g so fucoes couas del espaco X e el espaco Y decmos ue f es homoópca a g s exse ua fucó coua F : X I Y al ue: F x f x y F x g x para odo x X La fucó F se cooce como homoopía de f a g. S f es homoópca a g escrbmos: f g. Es decr f es homoópca a g s para I podemos ecorar algua fucó : X Y dada por f x F x ; obeedo así ua coleccó de fucoes co f f ídces e I { } I ue ca e f y erma e g medae la cual podemos r couamee de f a g. Ejemplo: Dadas dos fucoes couas cualesuera f y g de u espaco X e R. Es fácl comprobar ue f es homoópca a g pues la fucó F : X I R dada por: F x f x g x es ua homoopía ere ellas la cual es coocda como homoopía por recas porue llea el puo f x al puo g x a lo largo del segmeo de reca ue las ue. 5

21 Defcó.. Sea f y g fucoes couas del espaco X e el espaco Y. Supogamos ue A X o acío es al ue: f a g a a A. Ua homoopía de f a g relaa al cojuo A es ua homoopía F : X I Y de f a g al ue: F a f a a A y I La fucó F se cooce como homoopía relaa a A ere f y g. S f es homoópca a g relaa a A escrbmos: f g rel. A. Defcó.. Sea X u espaco opológco y sea A X. Supogamos ue r : X A es ua fucó coua al ue r a a a A. Ua fucó de esa forma se cooce como: reraccó r de X e A. E ese caso decmos ue A es u reraco de X. Defcó.. Sea A u subespaco de X. Decmos ue A es u reraco por deformacó de X s exse ua reraccó r de X e A y ua homoopía H : X I X relaa a A ere X e r ; dode : A X es la clusó. La homoopía H se llama reraco por deformacó de X e A. Ejemplo: Sea B { z : z R}. R B ee a { } R como reraco de deformacó. La homoopía esá dada por: H x y z x y z Defcó.5. U subespaco A X es u reraco fuere por deformacó de X s exse ua reraccó r de X e A al ue s: : A X es la clusó eoces: X r rel. A S F es la homoopía relaa a A ere X e r eoces F es llamada ua reraccó fuere por deformacó. Ejemplo: { x R : x } dode dca la orma euclídea S R. es u reraco fuere por deformacó de { } S R R {} r 6

22 Prueba. r : R S La fucó { } { } R e S. defda por: x r x es ua reraccó de x Además el mapeo F : R { } I R { } defdo por: x F x x x R { } I x es u reraco fuere por deformacó de { } R e x F x x x X x x F x x F x x x x x x x x S : r x x x x x R x R { } x S { }. omplejos smplcales. decmos ue los puos esá e es lealmee depedee. Defcó.6. Sea { } R poscó geeral s el cojuo { } Ejemplo: Defcó.7. Dados puos e poscó geeral llamaremos al cojuo coexo más peueño ue los coee u smplejo de dmesó deoado por -smplejo. Los puos so llamados los érces del smplejo. Puede probarse ue u puo x pereece al smplejo s y solo s se puede escrbr como ua combacó leal de los érces del smplejo: x λ dode λ y λ Obseracó.. Todo smplejo es coexo cerrado y compaco. 7

23 Defcó.8. Dado u smplejo A decmos ue x esá e el eror de A s se puede escrbr de la forma: x λ dode λ > y λ Ejemplos: I A -smplejo A -smplejo B I B -smplejo Obseracó.. S ua arsa ee érces w w deoa la arsa oreada e la dreccó de e w. Aálogamee s u w so los érces de u rágulo de eoces [ u w ] deoa ese rágulo oreado por el ordeameo u w u w w u w u. de sus érces; así [ ] [ ] [ ] eoces el símbolo [ ] Defcó.9. S A y B so smplejos y s los érces de B forma u subcojuo de los érces de A eoces decmos ue B es ua cara de A y lo deoaremos por B < A. Defcó.. U complejo smplcal es ua coleccó fa de smplejos co las sguees propedades:. S u smplejo pereece a odas sus caras ambé pereece a.. S dos elemeos de se erseca lo hace e ua cara comú. La dmesó de u complejo es la máxma de las dmesoes de los smplejos ue lo forma. Ejemplos: a a No es u complejo smplcal. a a a a Sí es u complejo smplcal. Defcó.. U subcomplejo L de u complejo smplcal deoado por: es u subcojuo de ue ambé es u complejo smplcal. L 8

24 Defcó.. U poledro o realzacó polédrca de u complejo smplcal es la uó de los smplejos de omado co la opología de subespaco de Ejemplo: a R. Teorema.. Dado u -smplejo s e u complejo smplcal exse u homeomorfsmo ere s y el cojuo: R x x x x x Ver [] Ejemplos: S s es u -smplejo exse u homeomorfsmo ere s y el cojuo: x x x R x x R S s es u -smplejo exse u homeomorfsmo ere s y el cojuo: x x x x R x x R Defcó.. Dado u -smplejo s e u complejo smplcal el cojuo de odas las caras propas de s es u complejo smplcal deoado por s. Ejemplos: S s es u -smplejo: Eoces s es: S s es u -smplejo: Eoces s es: 9

25 Defcó.. Sea X u espaco opológco. X es ragulable s es homeomorfo a algú poledro. Ua codcó ecesara para ue u espaco X sea ragulable es ue X sea compaco. Ejemplos:. R : No es ragulable pues o es compaco.. U cubo es ragulable co la opología de subespaco de R. Por defcó u complejo smplcal sempre cosse de los smplejos ue esá e algú espaco eucldeao R. S deseamos efazar el papel jugado por el espaco eucldeao dremos ue es u complejo e R. Efazamos ue es ua coleccó de smplejos o u cojuo de puos. osderemos R como el subespaco de R cossee de esos puos ue ee coordeada fal cero. Podemos cosrur u complejo e R el cual es llamado el coo sobre como sgue. Sea R. S A es u -smplejo e R co érces eoces los puos esá e poscó geeral y por lo ao deerma u -smplejo e R. Ese -smplejo es llamado el coo co base e A y érce. Nuesro coo cosse de los smplejos de los coos co base e cada uo de esos smplejos y érce y el -smplejo. Ver Fg. R Fg.. oo sobre

26 . Subdsó Barcérca Sea u complejo smplcal e R. E esa seccó descrbremos ua cosruccó ue os perme ddr los smplejos de y producr u ueo complejo el cual ee el msmo poledro de pero co smplejos de dámero meor. Ese proceso es llamado subdsó barcérca. S A es u smplejo de co érces eoces cada puo de x de A ee ua úca expresó de la forma x λ λ λ dode λ y odos los λ so o egaos. Esos úmeros λ so llamados las coordeadas barcércas del puo x y el barcero o cero de graedad de A es el puo: A ˆ Para formar empezamos añadedo érces exra a e los barceros de sus smplejos. Eoces rabajado e orde de dmesó crecee ddmos cada smplejo de como u coo co érce e el érce exra de su barcero. La Fg. lusra ese proceso. Para defr más precsamee ecesamos descrbr sus smplejos. Los érces de so los barceros de los smplejos de. Ese cluye los érces orgales de pues u -smplejo es su propo barcero. B A Ĉ Bˆ Â Ua coleccó s y solo s: Aˆ ˆ Fg.. Proceso de subdsó barcérca ˆ A A de ales barceros forma los érces de u -smplejo de A σ < Aσ < < Aσ para algua permuacó σ de los eeros. Por ejemplo e la Fg. los barceros Aˆ Bˆ ˆ deerma u -smplejo de y obserado e podemos er ue: < B < A. Noe ue s Aσ < Aσ < < Aσ eoces para cada el barcero Aˆ σ cae fuera del hperplao geerado por Aˆ ˆ σ Aσ. E cosecueca los puos Aˆ ˆ σ Aσ esá e poscó geeral.

27 Defmos ducamee la m -ésma subdsó barcérca m de por: Mosramos u ejemplo e la Fg.. m m Fg. cuado cosse de u -smplejo juo co odas sus caras.. Aproxmacó Smplcal Defcó.5. Sea y L complejos smplcales. Ua fucó s : es llamada smplcal s mada lealmee smplejos de e smplejos de L ; es decr s dado u smplejo A e co érces y s x A es el puo x λ λ λ dode los λ so o egaos y λ eoces cuado se expresa sx e érmos de los érces de s A es s x λ s λ s λ s. Defcó.6. Sea f : L u mapeo ere poledros. Dado u puo x el puo f x cae e el eror de u úco smplejo de L. A ese smplejo le llamaremos carrl de f x. Defcó.7. U mapeo smplcal mapeo s : L es ua aproxmacó smplcal de u f : L s s x pereece al carrl de f x para cada x. Probaremos ahora u Teorema de gra mporaca Teorema de Aproxmacó smplcal ue os asegura ue dado u mapeo ere poledros exse u mapeo smplcal ue lo aproxma smplcalmee. Ese resulado será de gra mporaca pues os permrá demosrar ue los poledros sobre los ue esa defdo ee ceros araes homoópcos. Pero aes demos uos resulados ecesaros para la prueba. Defcó.8. Dado u complejo defmos µ como el máxmo de los dámeros de sus smplejos. L

28 Defcó.9. Sea u complejo y sea u érce de. La esrella abera de e es la uó de los erores de los smplejos de ue ee a como érce. Ese es u subcojuo de y lo deoaremos por sar. E la Fg. se muesra u ejemplo. sar Lema.. Los érces Fg.. Ejemplo de la cosruccó de ua esrella abera los érces de u smplejo de s y solo s: Prueba. S de u complejo smplcal geera es decr so sar so los érces de u smplejo A de eoces el eror de A cae e sar para. Recíprocamee supogamos ue x sar y sea A el carrl de x. Por la defcó de esrella abera cada debe ser u érce de A y por lo ao geera algua cara de A. Teorema de Aproxmacó smplcal. Sea f : L u mapeo ere poledros. S m se escoge lo sufceemee grade eoces exse ua aproxmacó smplcal s : m L para f : m L. Para la prueba ecesamos u lema pero prmero roduzcamos uos cocepos ecesaros. Prueba. Prmero se raa el caso especal e ue o es ecesaro ddr los smplejos de. Supogamos ue para cada érce u de podemos ecorar u érce de L al ue sasface la clusó: f sar u sar L Defmos ua fucó s de los érces de e los érces de L escogedo ue sasface para cada u y hacemos s u. Eoces por el lema aeror y la clusó podemos coclur ue s u u u geera u smplejo de eoces sus mágees s u s u s u geera u smplejo de L. φ

29 Así exededo s lealmee sobre cada smplejo de obeemos u mapeo smplcal s : L ; el cual aproxma smplcalmee f pues: Para cada puo x de sea u u u los érces de su carrl. Eoces x sar u y por lo ao por la clusó se ee ue f x sar s u L. Eso sgfca ue el carrl de f x e L ee al smplejo geerado por s u s u s u como ua cara y e cosecueca debe coeer al puo s x. Ahora be para raar co el Teorema e geeral solo ecesamos mosrar ue podemos coer ue la clusó se sasface a expesas de reemplazar por ua m subdsó barcérca adecuada. Se ee ue { sar L : L} forma ua cubera abera de L. omo f : L es coua eoces: { f sar L : L} forma ua cubera abera de. Sea δ u úmero de Lebesgue de esa cubera abera es u espaco mérco compaco luego podemos aplcar el Lema de Lebesgue [7] y escoger m lo m sufceemee grade al ue µ < δ / ; para eso obseremos ue el dámero de u smplejo es la logud de su arsa más larga; sea σ ua arsa de co érces  y Bˆ dode B < A eoces σ esá coedo e A y s la dmesó de A es eemos: logud de σ dámero de A dámero de A µ ; m dode es la dmesó de ; por lo ao µ µ ; y como esá m m cosruda ducamee a parr de por eemos ue m m µ µ. Por oro lado dado u érce u de el dámero de sus esrellas m m aberas e es meor ue δ así sar u f sar L para algú érce de L como reueríamos. Lo cual complea la prueba..5 Homología smplcal clos y froeras Dados u smplejo co érces juo co ua ordeacó específca de sus érces y ua permuacó de los umeros. Los cojuos:... : es par y [ ] { σ σ σ σ } [ ] { : es mpar} σ σ σ σ forma ua parcó de las ordeacoes posbles de los érces de u smplejo. U smplejo oreado es ua de las clases de eualeca ducda por esa parcó.

30 Obseracó.. U -smplejo o ee oreacó. A u -smplejo se le puede dar dos oreacoes posbles: [ ] [ ] U smplejo obedo al uarle el érce a algú -smplejo oreado ee ua oreacó ducda por la del -smplejo y esá dada por: Ejemplo: [ ˆ ] S se ee el -smplejo oreado: Eoces: [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] Defcó.. -ésmo grupo cadea de es el grupo abelao lbre geerado por los -smplejos oreados de sujeo a la relacó σ τ sempre ue σ y τ sea el msmo smplejo pero co oreacoes opuesas; ese grupo es somorfo a m Ζ dode m es el úmero de -smplejos de. Sus elemeos so llamados cadeas -dmesoales; las cuales se puede represear como combacó leal λ σ λ s σ s de -smplejos oreados de co coefcees eeros λ...λs. Defcó.. Dado [ ] como: u -smplejo oreado defmos su froera [ ] [ ˆ ] Es decr la froera de u -smplejo oreado se defe como la -cadea deermada por la suma de sus caras dmesoales omadas co la oreacó ducda por el -smplejo. 5

31 6 Es claro ue [ ] [ ] [ ] Pues [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ Eso os perme defr el operador froera: : dado por: [ ] [ ] ˆ ya ue presera la relacó e los geeradores de : σ σ.e el caso se defe la froera de u solo érce la cual es cero y se ee:. El operador froera es u homomorfsmo de grupos Defcó.. El úcleo del homomorfsmo : se llama grupo abelao lbre de -cclos de y se deoa por Z. Defcó.. La mage del homomorfsmo : se llama grupo de -froeras; y lo deoamos por B. Lema.. La composcó es el homomorfsmo cero. Prueba. Solo ecesamos erfcar ue da cero cuado se aplca a cualuer -smplejo de. [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ j j j j j Todos los érmos se cacela por parejas e esa úlma expresó pues cada - smplejo oreado ˆ ˆ j aparece dos eces la prmera ez co sgo j y la seguda co el sgo opueso j.

32 orolaro.. B es u subgrupo de Prueba. Sea σ B Im eoces σ τ τ Luego Por lo ao Así Z σ τ σ er es decr oda -froera es u -cclo. Z B es u subgrupo de Z Así como Z y B so grupos abelaos B es u subgrupo ormal de Z podemos hacer su cocee; deoado por: Z H B el cual es coocdo como el -ésmo grupo de homología. El elemeo de H deermado por u -cclo z será llamado la clase de homología de z. Dos -cclos cuya dfereca es u -cclo froera ee la msma clase de homología y será llamados cclos homólogos. H es u grupo abelao famee geerado. Eoces por el Teorema fudameal de los grupos abelaos famee geerados [5] se puede er como: H F T dode F es u grupo abelao lbre famee geeradoes decr es la suma dreca de u úmero fo de copas de Ζ y T es u grupo abelao fo. Los elemeos de T so llamados elemeos de orsó y so auellos ue ee orde fo. El rago de F es el úmero de sumados ue aparece al expresar F como ua suma de grupos cíclcos fos; el cual es llamado el -ésmo úmero de Be y se deoa por β. Es decr: Ver [7]. β : Número de compoees coexas β : Número de agujeros 7

33 Defcó.. La caracerísca de Euler de u complejo smplcal fo se defe como: dode R es el rago de H. dm χ R Teorema.. S es u complejo smplcal fo y α es el úmero de -smplejos de eoces: dm χ α Prueba. Sea ρ ra Z. Es claro ue α ra. B es u grupo abelao lbre pues es subgrupo del grupo abelao lbre. Para cada σ B exse rσ al ue r σ σ. Eso os perme defr u homomorfsmo r : B al ue r B. Dado σ τ σ B y rτ r B. Además es decr σ rτ Z. Ahora dado σ Z D arbraro se ee σ rτ σ rτ τ τ σ y σ r τ τ B luego τ τ τ σ B r Por lo ao σ r τ Eso prueba ue Z D co D r B. Pueso ue D B se ee ra B ra α ρ. D R α ρ Además H Z / B por lo ue ρ Luego: R ρ ρ α ρ ρ α ρ ρ α ρ α α α Al ser ρ α la prueba es complea. ρ α dm 8

34 Ejemplo : alculemos los grupos de homología y la caracerísca de Euler de u eraedro hueco. 6 Defmos: { } : eoces: { } er Z Por defcó esá dada por: : a a a c a a a c c a a 5 c 6 a a a 5 a 6 Se puede er ue: B Im ge Z er { } ra B ge ra Z Veamos ué sgfca geomércamee esos geeradores: c a a a c c a a 5 c 6 a c a a a c c a a 5 c 6 a c a a a c c a a 5 6 c a 9

35 E seguda defamos: : dada por: c c c c Eoces: { } Im Z ra ge er Z B ra ge B Y por úlmo defamos : dada por: Eoces B ra Luego B Z H { } B Z H B Z H Así χ Ahora comprobemos ue { } B Z H. Para eso eamos ue cada uo de los geeradores de Z se puede er como combacó leal de los geeradores de B : Obseremos ue [ ] [ ] [ ] α α α dode α α α. ambé [ ] [ ] [ ] α α α dode α α α.

36 y por úlmo [ ] [ ] [ ] α α α dode α α α. Ahora calculemos la caracerísca de Euler usado el eorema.. Teemos ue 6 α α α. Eoces 6 α χ Ejemplo : alculemos los grupos de homología y la caracerísca de la sguee mage: 5 8 { } Nueamee defmos los homomorfsmos froera y ecoramos ue: er Z 5 { } Im 5 B ra ge B Z ra ge er Z a a a a a 5 a 6 a 7 a 8 c c 5

37 5 5 B Im ge ra B 5 5 Por ao: Z H B H Z B Efecamee se obsera ue la mage ee ua compoee coexa y dos agujeros..6 Mapeos smplcales Sea L complejos y [... ] σ de defmos σ s : L u mapeo smplcal. Dado u -smplejo oreado s como el -smplejo oreado [ s s ] de L s odos los érces s s so dsos y s σ de oro modo. Eso deerma u homomorfsmo ue a de e L pues s σ s σ. Ese homomorfsmo a su ez duce u homomorfsmo s : H H L defdo por s z B Z s z B L. A couacó mecoamos y probamos u lema ue perme jusfcar la defcó de ese homomorfsmo. Lema.. s s : es decr el sguee dagrama comua: L s L s L Prueba. Debemos mosrar ue s σ σ para cualuer -smplejo oreado σ de. s

38 Eso es claro s odos los érces s s so dsos pues se edría: s σ s s s s s s s σ s ˆ s ˆ E oro caso supogamos ue s s dode j <. Por defcó eemos s σ luego s σ. j Ahora be s ˆ σ s. Examado los érmos e esa suma s o es j o eoces: s ˆ. Los dos érmos resaes so: j s ˆ y s ˆ. j Los cuales so dsos de cero solo s y defcados por s y e ese caso ambos érmos se cacela pues: s ˆ s sˆ j j j s s j j so los úcos érces de σ sˆ ˆ Ahora para probar ue s es u homomorfsmo debemos er ue cclos de e cclos de L y cclos froera e cclos froera. Sea z u -cclo de eoces º z s z s z s Es decr s z es u cclo de L.. Luego por el lema: Sea ahora b B eoces b c para algú. Luego ueamee por el lema se ee s c s c s b Así s b B L. Por lo ao s Z Z L y s B B L. c s mada

39 Ahora roducremos u poco de ermología ue os ayudará a smplfcar uesra oacó. Defcó.5. Dado u complejo smplcal defmos u complejo cadea de como la coleccó de grupos y homomorfsmos y lo deoaremos por. Sempre ue egamos u homomorfsmo : L φ para cada sasfacedo φ φ ; abrearemos la coleccó complea por : L φ y llamaremos a φ u mapeo cadea. La propedad mporae de u mapeo cadea es ue duce homomorfsmos : L H H φ ere sus grupos de homología defdos por L B z B z φ φ ; la prueba es aáloga a la ue se hzo para mapeos smplcales. Así u mapeo smplcal de e L duce por el eorema aeror u mapeo cadea de el complejo cadea de e el de L. Por ao esos homomorfsmos esá be defdos. Abrearemos uesra oacó y smplfcaremos uesros homomorfsmos como: : L φ y : L H H φ. e caso de ue o haya cofusó. Lema. S : M L ψ es u segudo mapeo cadea eoces: : M φ ψ es u mapeo cadea y : M H H φ ψ φ ψ. Prueba. Teemos dos coleccoes de grupos y homomorfsmos: L L L. : : cada para M L L ψ φ ales ue ψ ψ φ φ Luego podemos defr cada para M : φ ψ φ ψ

40 Además ψ φ ψ φ ψ φ ψ φ Así: ψ φ : M es u mapeo cadea y ψ φ ψ φ : H H ψ ψ φ φ M.7 Subdsó eselar. E esa seccó mosraremos ue la subdsó barcérca o camba los grupos de m homología de u complejo es decr s es ua subdsó barcérca de eoces: m H H para cada. Para eso explcaremos cómo subddr barcércamee u complejo por aplcacoes repedas de ua operacó muy smple llamada subdsó eselar. Sea u complejo sea A u smplejo de y deoemos por al barcero de A. Ddremos los smplejos de como sgue: Auellos smplejos ue o ee A como cara o se oca. S A < B deoemos co L al subcomplejo de la froera de B cossee de esos smplejos ue o ee A como cara y reemplacemos B por el coo co base L y érce como se muesra e la fg. 5 B L A oo sobre L co érce Fg. 5. osruccó de u coo sobre L co érce. Eso ee sedo porue añadr al cojuo de érces de cualuer smplejo de L da ua coleccó de puos ue esá e poscó geeral. Deoamos el complejo obedo por ' y decmos ue ' esá formado de por subdsó eselar del smplejo A. Supogamos ahora ue empezamos co u complejo y subddmos eselarmee cada uo de sus smplejos omado los smplejos e orde de dmesó decrecee realmee el orde e las dmesoes o es mporae. Eoces obeemos la prmera subdsó 5

41 barcérca como se muesra e la Fg. 6. Y por supueso podemos reper el proceso m hasa producr cualuer. Fg 6. Ejemplo de subdsó barcérca Ahora cosruremos u mapeo cadea χ : ' y mosraremos ue duce somorfsmos de grupos de homología. Para eso sólo especfcaremos el efeco de χ sobre u -smplejo σ oreado de cudado ue χ σ χ σ. Supogamos ue ' se obee de por ua sola subdsó eselar del smplejo A. S A es ua cara de σ eoces σ se dde e peueños -smplejos cuado formamos '. Defmos χ σ como la -cadea de ' ue es la suma de los -smplejos de ' ue forma σ cada uo omado co la oreacó ducda por la oreacó de σ. Pueso e forma más geeral s σ y s so los érces de A eoces: χ σ ˆ S A o es cara de σ hacemos χ σ σ. Lema.5. χ es u mapeo cadea. Prueba. Para la prueba eamos el efeco de y χ sobre u -smplejo oreado de χ y mosrar ue ése es el msmo e ambos casos: Sea σ u -smplejo oreado de y supogamos ue so los érces de A. 6

42 7 Eoces: [ ] [ ] ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ σ χ χ χ χ χ σ χ o eso coclumos ue χ es u mapeo cadea al cual le llamaremos mapeo de subdsó de cadea. Ahora eemos homomorfsmos ' : H H χ y mosraremos ue esos so somorfsmos co lo cual habremos probado el Teorema. Teorema.. S ' se obee de por ua sola subdsó eselar eoces ' y ee grupos de homología somorfos. Prueba. Supogamos ue ' se obee de por ua sola subdsó eselar de el smplejo A. Sea los érces de A y sea el barcero de A. Sea ' : θ el mapeo smplcal ue mada e y deja fjos odos los demás érces de '. Usemos el msmo símbolo θ para el mapeo cadea ducdo de ' e. Ahora θχ es el homomorfsmo dedad de para cada. Por el Lema. podemos coclur ue ' H H H θ χ es la dedad. Veamos ue θ es ua ersa para χ : Sea z u -cclo de ' y cosderemos z χθ z. S L deoa el cojuo de odos los smplejos de ' ue ee a como érce juo co odas sus caras eoces L es u subcomplejo de ' y es u coo co érce. Además z χθ z es u -cclo de L pues χ y θ so la dedad fuera de L y z z z z χθ χθ. Pero sabemos ue s > eoces L H y Z L H Ver [7]. Así para > el cclo z χθ z debe ser la froera de ua -cadea de L y por lo ao auomácamee la froera de ua -cadea de '. E oras palabras z y z χθ represea la msma clase de homología e ' H.

43 Por oro lado s el cclo z χθ z H L eoces z χθ z H L luego z y χθ z represea la msma clase de homología e H ' pues H L Z Eso prueba ue H θ χ. ' H H ' es la dedad compleado así la erfcacó de ue χ es u somorfsmo. orolaro.. La subdsó barcérca o camba los grupos de homología de u complejo. Prueba. Basa obserar ue medae aplcacoes sucesas de subdsó eselar podemos m producr cualuer. Obeedo así ua sucesó de somorfsmos ere los grupos de m homología y al hacer la composcó coclumos ue y ee grupos de homología somorfos. m S es ua subdsó barcérca de eoces podemos obeerla de por ua sucesó fa de subdsoes eselares. La composcó de odos los mapeos de m subdsó de cadea da u mapeo cadea χ : al cual os referremos como mapeo de subdsó de cadea. Por oro lado eemos u mapeo smplcal θ correspodee a cada subdsó eselar el cual o es úco pero se hará ua eleccó parcular e cada eapa. Deoaremos la composcó de odos esos por el msmo símbolo y escrbremos θ : m. U mapeo cosrudo de esa forma será llamado u mapeo smplcal esádar..8 Homomorfsmos ducdos por mapeos Ahora probaremos oro resulado muy mporae el cual os afrma ue dado cualuer mapeo smplcal ése os duce u homomorfsmo f e cada dmesó; pero aes de eucarlo formalmee probemos uos resulados ecesaros para la prueba. Hemos so cómo u mapeo smplcal duce homomorfsmos de grupos de homología Ese es el Teorema de Aproxmacó Smplcal el cual os perme pasar al caso geeral de u mapeo arbraro. Sea f : L coua y escojamos ua aproxmacó smplcal s m m : L. Sea χ : el mapeo de subdsó de cadea y defamos el homomorfsmo f : H H L ducdo por f para ser la composcó: H χ H m s H omo podemos er e esa defcó se podría elegr aproxmacoes smplcales dsas pero debemos aseguraros de ue s mporar la aproxmacó ue se escoja el homomorfsmo ducdo por ambas es el msmo. Para mosrar ue esa eleccó realmee o mpora ecesamos los sguees resulados: L 8

44 Lema.6. S s : m L aproxma smplcalmee f : m L se ee ue: s y so mapeos smplcales cercaos. Prueba. m Sea A u smplejo de y sea los érces de A. Sea x el barcero de A eoces: s x s s x omo s aproxma smplcalmee f eoces: s x y x cae e el eror del carrl de f x para cada Luego m x. f x sar s L. Sea B el carrl de f x. Eoces por defcó de esrella abera cada s debe ser u érce de B y por lo ao s s s geera algua cara de B. Aálogamee para. Lema.7. Supoga ue s : L so mapeos smplcales y asumamos ue eemos u homomorfsmo d : L para cada al ue: d d s : L. Eoces s y duce los msmos homomorfsmos de grupos de homología. La coleccó d es llamada ua homoopía cadea ere s y. de homomorfsmos { } Prueba. s : L duce los homomorfsmos: s : H H L defdos por: s z B s z B L z B z B L Sea x H eoces: x z B. Ahora be s x d d z B d d s z B s z z d z d z L s d z z z z B z B L s z B y eemos ue exse ua -cadea α al ue: α s x. Es decr x s x B co lo cual erma la prueba. L 9

45 E los sguees res lemas cosruremos ua homoopía cadea ere dos mapeos smplcales cercaos s : L. Defcó.6. S σ es u smplejo oreado de llamaremos al smplejo mas peueño de L ue ee a s σ y σ como caras carrl de σ. Lema.8. Dado σ defamos d σ s s y d σ s s s eoces d s : L y d σ es ua cadea ue cae e el carrl de σ. Prueba. Veamos prmero ue d s : L S s s σ σ s σ s d σ S s s σ σ s σ s s d σ Por lo ao: d s. Además es claro ue d σ es ua cadea; probemos ue cae e el carrl de σ. σ es u puo luego es u smplejo de eoces podemos ecorar u smplejo B e L al ue s σ y σ so caras de B por ser s so cercaos. Así basa escoger el smplejo más peueño e L ue ee como caras a s σ y σ para poder coclur ue d σ cae e el carrl de σ. Lema.9. Supoga ue hemos defdo los homomorfsmos d : L para ales ue: a d d s : L ; b d σ es sempre ua cadea e el carrl de σ. S σ es u -smplejo oreado de se ee ue: σ s σ d σ y de auí se puede deducr ue: σ s σ d σ c para algua cadea. c L Prueba. Sea σ u -smplejo oreado de eoces: σ s σ d σ σ s σ d s σ d d d σ d σ σ σ σ d σ

46 Por ora pare Sea A el carrl de σ como d σ es ua cadea e A y ése es u coo eoces: H A Z A / B A omo σ s σ d σ eoces: σ s σ d σ Z A lo cual mplca ue σ s σ d σ B A es decr para algua cadea. c L σ s σ d σ c Ahora usemos esos Lemas para probar el sguee Teorema. Teorema... S s : L so mapeos smplcales cercaos e el sedo de ue para cada smplejo A de podemos ecorar u smplejo B e L al ue ambos s A y A so caras de B eoces s : H H para oda. L Prueba. Usado los lemas aerores eemos ua coleccó de homomorfsmos d : L para cada al ue: d d s : L. Lo cual mplca ue duce los msmos homomorfsmos de grupos de homología. Teorema.5. Sea s : m L y : L dode m aproxmacoes m smplcales de u mapeo dado f : L y sea χ : m χ : los respecos mapeos de subdsó de cadea. Eoces s χ χ : H H χ L. Prueba. Sea m θ : u mapeo smplcal esádar. S deseamos mosrar ue podemos usar o be s ó para defr f debemos erfcar ue: s χ χ : H H Se ee ue aproxma smplcalmee χ L sθ : L aproxma smplcalmee f : L ambé f : L. Por lo ao s θ y debe ser mapeos smplcales cercaos y sθ : H L. Además sabemos ue θ y χ so ersos luego: χ χ s χ χ s χ. A parr de eso podemos afrmar ue se ee u homomorfsmo be defdo f : H H L.