Parametric linear programming for a materials requirement planning problem solution with uncertainty. Introducción. Introduction

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1 NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) E español Uso de la programacó leal paramérca e la solucó de u problema de plaeacó de requermeo de maerales bao codcoes de cerdumbre Mar Darío Arago Sera 1, Corado Auguso Sera 2 y Gova érez Orega 3 RESUMEN El uso de la eoría de los couos dfusos como ua meodología para el modelado y aálss de ssemas de decsó es de parcular erés para vesgadores e geería dusral, debdo a la capacdad para permr u aálss cualavo y cuaavo de los problemas que mplca vaguedad e mprecsó. Es así como, e u esfuerzo por obeer ua meor compresó del uso de la lógca dfusa e la geería dusral y más específcamee e el campo de la plafcacó de la produccó, se proporcoa e el presee arículo u problema de plaeacó de requermeo de maerales (MR) bao codcoes de cerdumbre aplcado a la dusra auomorz, y el cual es solucoado a ravés de programacó leal paramérca dfusa. alabras clave: programacó maemáca dfusa, programacó leal paramérca, pla de requermeo de maerales (MR), aálss de decsoes. Recbdo: agoso 3 de 29 Acepado: ovembre 15 de 21 roduccó La oma de decsoes es posblemee uo de los aspecos más mporaes de aplcacó de la maemáca e dversas esferas de la acvdad humaa; eso s cosderamos que el prmer paso para ear resolver u problema de oma de decsoes cosse e formular u modelo maemáco de u ssema o ua suacó a aalzar. S embargo, e codcoes reales la oma de decsoes es mprecsa debdo, al meos e pare, a la cerdumbre que rodea a ales suacoes. Es así como, s eemos la ecó de hacer modelos maemácos razoablemee adecuados al mudo real, se debe ser capaz de roducr la cerdumbre e dchos modelos y sugerr medos para el procesameo de la formacó mprecsa (ada e al., 22). E la dusra, por eemplo, la mprecsó y Eglsh aramerc lear programmg for a maerals requreme plag problem soluo wh uceray Mar Darío Arago Sera 4, Corado Auguso Sera 5 ad Gova érez Orega 6 ABSTRACT Usg fuzzy se heory as a mehodology for modellg ad aalysg decso sysems s parcularly eresg for researchers dusral egeerg because allows qualave ad quaave aalyss of problems volvg uceray ad mprecso. Thus, a effor o ga a beer udersadg of he use of fuzzy logc dusral egeerg, more specfcally he feld of produco plag, hs arcle was amed a provdg a maerals requreme plag (MR) problem wh uceray he auomove dusry; hs was solved usg fuzzy paramerc lear programmg. Keywords: fuzzy mahemacal programmg, paramerc lear programmg, maerals requreme plag (MR), decso aalyss. Receved: augus 3h 29 Acceped: ovember 15h 21 roduco Decso-makg s possbly oe of he mos mpora ssues whch mahemacs s appled dffere levels of huma acvy; hs s rue f we cosder ha he frs sep for ryg o solve a decso-makg problem cosss formulag a mahemacal model of he sysems or he suao o be aalysed. However, real codos, decso-makg s mprecse, a leas due o he uceray cocerg such suao. f oe wshes o creae raoal-suable mahemacal models of he real world, he hey mus be able o corporae uceray ad sugges how o process mprecse formao (ada e al., 22). s hus possble o use he coceps ad echques of fuzzy se heory ad maage mprecso a quaave way, sce mos coveoal procedures do o rea mprec- 1 geero dusral, Uaula. Especalsa e fazas, formulacó y evaluacó de proyecos, Uversdad de Aoqua, Medellí, Colomba. Especalsa e doceca uversara, Uversdad olécca de Valeca, España. M.Sc., e geería de ssemas, Uversdad Nacoal de Colomba. h.d., e geería dusral, olécca de Valeca, España. Escuela geería de la Orgazacó, Faculad de mas, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. mdarago@ual.edu.co 2 geero dusral, Uversdad Nacoal de Colomba. M.Sc., e geería admsrava, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. suo Tecológco Meropolao. caserau@ual.edu.co 3 geero admsravo, Uversdad Nacoal de Colomba. Especalsa e Doceca uversara, Uversdad dusral de Saader, Saader, Colomba. M.Sc., e Desarrollo, Uversdad ofca Bolvaraa. Escuela geería de la Orgazacó, Faculad de mas, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. gperezo@ual.edu.co 4 dusral Egeer, Uaula. Specals face, developme ad evaluao, Uversdad de Aoqua, Medellí, Colomba. Uversy Teachg Specals, Uversdad olécca de Valeca, España. M.Sc., Compuer Egeerg, Uversdad Nacoal de Colomba. h.d., dusral Egeerg, olécca de Valeca, España. Egeerg School Orgazao, School of Mes, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. mdarago@ual.edu.co 5 dusral Egeer, Uversdad Nacoal de Colomba. M.Sc., admsrave Egeerg, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. suo Tecológco Meropolao. caserau@ual.edu.co 6 Admsrave Egeer, Uversdad Nacoal de Colomba. Hgher educao specals, Uversdad dusral de Saader, Saader, Colomba. M.Sc., Developme, Uversdad ofca Bolvaraa. Egeerg School Orgazao, School of Mes, Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, Colomba. gperezo@ual.edu.co 96

2 ARANGO, SERNA, ÉREZ E español la cerdumbre esá presees e la formacó referda a los empos de fluo, la mao de obra, el redmeo de los maerales, los empos de sumsro, y así sucesvamee; esos daos, fácles de defr e volucrar e u modelo como meddas absoluas, so sempre mprecsos debdo e pare a formacó complea y a la cerdumbre que puede geerar facores eros y eeros. or lo ao, se hace aracvo resolver ese po de problemas medae la aplcacó de la eoría de couos dfusos. A couacó se hace u resume de alguos de los rabaos que usa los modelos dfusos para la solucó de problemas e el campo dusral: E 1981 Da B. Rks empleó reglas lgüíscas del po f- he e modelos de plafcacó agregada; esa écca fue complemeada y meorada co los rabaos de. Burha Turkse (Mula, 24). Reyoso e al. (22) presearo u prmer efoque sobre u MR basado e la lógca dfusa y la eoría de la posbldad para el raameo de la cerdumbre y la mprecsó de la demada. Be- Areh e al. (24) ehbero u modelo de redes er que comba las capacdades de modelacó, plaeacó y evaluacó de desempeño para las operacoes de esamble. Esa herramea de modelameo puede represear los aspecos relacoados co el grado de dfculad asocado a la secueca de esambles. Hop (26) abordó u modelo de balaceo de líea co empo de procesameo dfuso y formuló u méodo de programacó leal bara dfusa para su solucó. Mula (26) proporcoó u uevo modelo de programacó leal, deomado MRDe, para la plafcacó de la produccó a medao plazo e u eoro de fabrcacó MR co resrccoes de capacdad, mulproduco, mulvel y mulperíodo. Nu y Darall (28) aalzaro el modelo Fuzzy-MR-, el cual reúe oda la formacó que perme cosderar el couo de posbldades que puede eer lugar e la realzacó de los peddos. La e al. (28) cosderaro ua ueva clase de problema de plaeacó de la produccó mulperíodo co veles de servco, dode u fabrcae ee u úmero de plaas y subcorasas para sasfacer la demada de sus producos de a- cuerdo al vel de servco egdo por sus clees. Arago e al. (29) reuero ses modelos de programacó maemáca dfusa aplcados a la plafcacó de la produccó co lmacoes de capacdad; e esos modelos la cerdumbre se cosdera ao e la fucó obevo como e los parámeros de las resrccoes. rogramacó leal dfusa E los problemas de programacó leal e escearos deermsas el obevo es mmzar o mamzar ua fucó obevo leal cosderado resrccoes leales. S embargo, e la prácca el omador de decsoes puede o esar e poscó para especfcar el obevo o las fucoes de resrccó co precsó, pero sí puede defrlas e érmos mprecsos. E ales suacoes es preferble usar programacó leal dfusa para obeer meores resulados de los modelos a ravés de la fleblzacó de la oma de decsoes (ada e al., 22). E la abla 1 se muesra u problema de programacó leal ípco y su equvalee dfuso. Tabla 1. roblemas de programacó leal: a) deermsa; b) dfuso. Ma S. a roblema deermsa (1) roblema dfuso (2) z 1 1 c a b Ma z S. a 1 1 C A B Eglsh so ad mplcly assume a fed srucure, whe, fac, decsomakg eeds fleble ad robus models o deal wh real lfe suaos.for eample, mprecso ad uceray dusry are cluded formao abou flu mes, labour, maerals performace, lead mes, ad so o. Ths daa, whch s easy o defe ad clude a model havg absolue measuremes, s always mprecse, parly due o he ucompleed formao ad he uceray ha could es wh eral ad eeral facors. s hus aracve o solve hs kd of problem hrough fuzzy se applcao. Da B Rks used f-he lgusc rules aggregaed plag models Ths echque was complemeed ad mproved wh he works of. Burha Turkse (Mula, 24). Reyoso e al., (22) preseed a frs draf of MR based o fuzzy logc ad possbly heory for mprecso ad uceray reame of demad. Be-Areh e al., (24) preseed a er e model combg modellg, plag ad evaluag performace capacy for assembly operaos. Ths modellg ool ca represe aspecs relaed o he assocaed degree of dffculy assembly sequeces. Hop (26) worked o a balacg model of a produc le process usg fuzzy processg mes ad fuzzy bary leal programmg formula for s soluo. Mula (26) developed a ew leal programmg model, amed MRDe, for produco plag mddle me a maerals requreme plag (MR) maufacurg evrome wh capacy cosras, mul-produc, mul-level ad mul-perod. Nu ad Darall (28) aalysed a MR--fuzzy model whch cluded cosderg all he formao allowg all possbles whch ca occur order-makg processes. La e al., (28) cosdered a ew kd of mul-perod plag problem havg servce levels, whch a producer has a defed umber of plas ad subcoraced workers for sasfyg her/hs produc demad accordg o requesed cusomer servce level. Arago e al., (29) have preseed s fuzzy mahemacal programmg models appled o produco plag wh capacy cosras, whch uceray has bee cosdered boh obecve fucos ad cosra parameers. Fuzzy leal programmg The obecve a leal programmg problem a deermsc scearo s o mmse or mamse a leal obecve fuco by cosderg leal cosras. However, pracce, a decso-maker cao be a poso for precsely specfyg obecves or cosra fucos, bu s possble o defe hem mprecse erms. such suao, s preferred o use fuzzy leal programmg for obag beer resuls he models hrough he flebly of he decso-makg process (ada e al., 22). Table 1 shows a y-pcal leal programmg ool ad s fuzzy equvale. Table 1. Leal programmg problems: a) crsp ad b) fuzzy. Ma Deermsc problem (1) Fuzzy problem (2) z Cosra 1 1 c a b Ma z Cosra 1 C 1 A B NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) 97

3 USO DE LA ROGRAMACÓN LNEAL ARAMÉTRCA EN LA SOLUCÓN DE UN / ARAMETRC LNEAR ROGRAMMNG FOR A MATERALS REQUREMENT E español E el modelo (2), A, B, C so úmeros dfusos, so varables dfusas, y las operacoes de suma y mulplcacó so operacoes armécas dfusas; además el símbolo <= deoa ua desgualdad dfusa. Ese modelo supoe que ao la fucó obevo como las resrccoes puede clur úmeros y varables dfusas. U modelo de oma de decsoes dfuso se caracerza por eer u couo de posbles aleravas y u couo de meas Z ( = 1, 2,., p), uo co u couo de resrccoes B ( = 1, 2,, ), cada uo de los cuales es epresado por u couo dfuso e. ara ese po de modelos de omas de decsó, Zadeh (1975) e sus rabaos poeros propoe que ua decsó dfusa es deermada por u adecuado complemeo ere los couos dfusos B ( = 1, 2,, ) y Z ( = 1, 2,., p). or lo ao, u couo dfuso D podría ser defdo como sgue: D = (Z 1 Z 2... Z p ) (B 1 B 2... B ), o lo que es gual, μ D : [, 1], dode μ D () = mí. μ Z (), μ B (), lo que e la eoría de couos dfusos se cooce como operador mí. Ua vez la decsó dfusa D es coocda, se puede defr Є para ser ua solucó ópma s μ D ( ) = má. μ D (). Ua de las cosderacoes que puede hacerse es omar u modelo co obevo dfuso dode la fucó de pereeca sea la sguee: Eglsh model (2), A, B, C are fuzzy umbers, are fuzzy varables ad addg-subracg operaos are subeced o fuzzy arhmec, Also, he <= symbol deoes a fuzzy uequal comparso. Ths model assumes ha boh he obecve fuco ad he cosras ca clude fuzzy umbers ad fuzzy varables. A fuzzy decso-makg model s characersed by coag a se of possble aleraves ad a goal se Z (=1, 2,..., p), wh cosra se B (=1, 2,, ); each of hese s epressed by a fuzzy se. For hs kd of decso-makg model, Zadeh (1975), hs poeer works, proposed ha a fuzzy decso s deermed by a rgh compleme bewee fuzzy ses B (=1, 2,, ) ad Z (=1, 2,., p). So, fuzzy se D ca be defed as: D= (Z 1 Z 2... Z p ) (B 1 B 2... B ), beg equal o μ D : [, 1] where μ D () = m μ Z (), μ B (), kow fuzzy se heory as a m (mmum) operaor. Oce fuzzy decso D s kow, Є could be defed o be a opmum soluo f μ D ( ) = ma μ D (). Oe cosderao s o ake a model wh a fuzzy obecve where he membershp fuco s as follows: Z c 1 p Z ( c) 1 s s Z c c Z (3) Z c 1 p Z ( c) 1 s s Z c c Z (3) dode Z es el vel de aspracó para el valor de la fucó obevo y p es la máma volacó acepable del vel Z. De maera smlar, las fucoes de pereeca para las resrccoes puede ser defdas como sgue: Where Z s he desre level for he obecve fuco value, ad p s he mamum accepable volao of level Z. Lkewse, cosra membershp fucos ca be defed as: b a 1 p B ( ) 1 s s a b a b (4) b a 1 p B ( ) 1 s s a b a b (4) dode p es el mámo valor de volacó a la resrccó. Chaas (1983) argumea que dado el poco grado de coocmeo sobre la regó facble dfusa, o es fácl esablecer el vel de aspracó Z y su oleraca p ; de modo que sugere resolver prmero el modelo aeror s cosderar la fucó obevo como dfusa. Co esa apromacó el problema es rasformado e uo de programacó leal paramérca defdo por: Where p s mamum volao value of cosra. Chaas (1983) has argued ha due o less kowledge abou he fuzzy feasble rego, s o easy o esablsh desred level Z ad s olerace o p ; s hus suggesed frs solvg he model whou cosderg he obecve fuco o be a fuzzy oe. Wh hs appromao, he problem becomes a paramerc leal programmg problem, defed as: Ma z 1 c Ma z 1 c S. a 1 ; a b p ( N ); ( N,1 m ) S. a 1 a ; b p ( N ); ( N,1 m ) (5) (5) dode θ (<=θ<=1) es u parámero que se erprea como el grado de volacó de la resrccó, y p (p 1, p 2,, p m ) es el vecor de oleraca para cada ua de las m resrccoes, el cual puede ser defdo por el omador de decsoes. Α = 1- θ es el vel de sasfaccó del decsor. ara odo valor de θ es posble obeer ua solucó ópma (θ) co el respecvo valor ópmo Z(θ), dode la Where θ (<=θ<=1) s a parameer erpreed as beg he volao degree of he cosra, ad p (p 1, p 2,, p m ) s he olerace vecor for each m cosra ad ca be defed by he decso-maker. α=1- θ, s decso-maker sasfaco level. For each value of θ, s possble o oba a opmum soluo (θ) wh he respecve 98 NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15)

4 ARANGO, SERNA, ÉREZ E español B codcó ( ( ) ) 1 es válda. Además, para odas las solucoes o ulas ese al meos u al que B ( ( ) ) 1. or lo ao, el grado comú de sasfaccó para las resrccoes es el mímo de B ( ( ) ) B ( ( ) ) m (( ) ) 1, defdo como c B. Al resolver el modelo (5) por éccas de programacó paramérca (Hller, 22) se obee el couo de solucoes que mamza la fucó obevo depededo del parámero θ (Saf e al., 27). Eso es, para odo valor de θ se obee ua solucó ópma (θ) co el respecvo valor ópmo Z(θ) que sasfaga couamee las resrccoes e el grado 1- θ. Esa solucó ópma es preseada al omador de decsoes, que elge Z y el correspodee valor de p. Co esa formacó es posble cosrur la fucó de pereeca para la fucó obevo: 1 s Z c ( ) Z( c ( )) 1 s p c ( ) Z Z p c ( ) Z c ( ) Z p or lo ao, la solucó ópma, sguedo esa meodología, se obee omado (θ) co el valor ópmo z (θ), dode θ es elegdo al que μ D (θ) = má. θ μ D (θ) = má. θ (mí. (Z (θ), B c (θ), el cual es el operador mí. (Fgura 1). (6) Eglsh B opmum value Z(θ) where codo ( ( ) ) 1 s vald. Furhermore, for all o-ull soluos, here s a leas a, so ha B ( ( ) ) 1. Thus, he commo degree of sasfaco for he cosras s he mmum of B ( ( ) ), defed as Bc( ( ) ) m B ( ( ) ) 1. Whe solvg he paramercal programmg model (5) (see Hller, 22), a se of soluos s obaed mamsg he obecve fuco, depedg o parameer θ (Saf e al., 27). Ths s, for every θ, a opmal soluo (θ) s obaed wh respecve Z(θ) value ha oly sasfes cosras degree 1- θ. Ths opmum soluo s preseed o he decso-maker who chooses Z ad he correspodg p value. Wh hs formao s possble o buld he membershp fuco for he obecve fuco: 1 s Z c ( ) Z( c ( )) 1 s p c ( ) Z Z p c ( ) Z c ( ) Z p The opmal soluo for hs mehodology s obaed by akg (θ) wh opmum value z(θ) where θ s chose so ha μd(θ) = maθ μd(θ) = ma θ (m (Z(θ), Bc(θ) whch s he m operaor (see Fgure 1). (6) 1 1 Z Z μd(θ) B ( a ) = (1- θ). μd(θ) B ( a ) = (1- θ). θ θ θ θ Fgura 1. Fucó de membresía para las resrccoes y la fucó obevo. ara ese f Jméez e al. (27) usa la -orma del produco algebraco ere Z (θ) y B c (θ) para hallar el valor de θ. E el sguee eemplo prácco se descrbe más e dealle ese proceso. Fgure 1. Membershp fuco for cosras ad obecve fuco For hs purpose, Jméez e al., (27) have used he T-rule of he algebrac produc bewee Z(θ) ad Bc(θ) for fdg he θ value. Ths procedure s descrbed more deal he followg praccal eample. Formulacó del modelo MR co cerdumbre El prcpal obevo del pla de produccó es sasfacer la demada al meor coso posble. S embargo, las prevsoes de la demada o so sempre precsas, lo que e defva afeca el fucoameo de odo el ssema de produccó. Así por eemplo, al subesmarse la demada puede geerarse rouras de sock que colleva pérddas de veas, rerasos y, e defva, u mal servco; por oro lado, sobreesmar la demada puede llevar a eer ua gra cadad de maeras prmas o producos ermados e vearo. Es así como se acude a los socks de segurdad y auses de prevsoes de la demada de maera erdscplara; s embargo, los méodos usados para ese f so e muchas ocasoes subevos, por lo que es peree usar modelos dfusos para la plafcacó de la produccó (Arago e al., 28). El modelo de programacó leal paramérca que se propoe a couacó ee como obevo mmzar los cosos oales de u pla de requermeo de maerales (MR) co resrccoes de MR wh uceray model formulao The ma obecve of he produco pla s o sasfy demad a lower cos. However, demad forecasg s o always accurae, hereby affecg he behavour of he whole produco sysem. For eample, whe demad s uderesmaed, could geerae sockous whch ca lead o loss of sales, delays ad defely a bad servce; o he oher had, overesmag demad ca lead o havg a large amou of socks ad raw maerals veory. Compaes hus use safey socks ad provde for adusmes demad. However, he mehods used for such purpose are very subecve may cases, hus makg really mpora o use fuzzy models produco plag (Arago e al., 28). The paramerc leal programmg model proposed below was amed a mmsg oal coss for a MR volvg mullevel ad mul-perod capacy cosras. The coss cosdered he mo- NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) 99

5 USO DE LA ROGRAMACÓN LNEAL ARAMÉTRCA EN LA SOLUCÓN DE UN / ARAMETRC LNEAR ROGRAMMNG FOR A MATERALS REQUREMENT E español capacdad, mulvel y mulperíodo. Los cosos a ser cosderados e el modelo so los de ardaza, almaceameo, peddo y capacdad adcoada; es ecesaro aclarar que, para ese modelo, sólo se hará uso de los cosos margales, es decr, sólo se clurá aquellos que puede cambar como resulado de las decsoes omadas; el coso de las maeras prmas, por eemplo, o se clurá, dado que los gasos e ese aspeco se hace co depedeca del pla elegdo. gualmee, e la mayoría de las suacoes puede eclurse los cosos del empo regular de rabao. Además, al meos e el coro plazo, la plafcacó de la mao de obra, e cuao a coraacoes y despdos, ee poca cdeca e los cosos del pla, por lo que puede ser separada del modelo. Mmzar: T 1 1 ( A( ) H ( ) C( ) ) c. a : U ( k ), 1 y k, p k, 1 S K k 1 ( O( k, ) y k, =1,.., T, k=1,.., K LT( ) d ( ) ( D( ) p R( ), LT ( ) =1,..,, =1,., T, ( ) R ( ), 1 1 =1,..,, =1,., T y k, F ( k, ), M,, ;, ;, y k, Daos del modelo: =1,.., T, k=1,., K =1,..,, =1,., T ;,,1 =1,..,, =1,., T =1,.., T, k=1,., K : Número de compoees T: Horzoe de plaeacó R(): Número de compoees ecesaros para realzar compoees K: Número de recursos D(): Demada eera para el compoee e el perodo LT(): Tempo de sumsro del produco (): vearo cal del compoee U(k): Fraccó del recurso k ecesaro para ua udad del produco F(k,): Máma fraccó del recurso k que puede adcoarse e el período M: U úmero muy grade H(): Coso de almaceameo por período del produco C(): Coso oal de peddo (o preparacó) del produco O(k,): Coso por fraccó de capacdad adcoada al recurso k e el período. A(): Coso de ardaza por período para el produco : Cadad de peddo del produco e el período y k, : Fraccó adcoada del recurso k e el período δ : dcador baro de produccó para el produco e el período + : vearo del arículo llevado e el período - : Cadad del produco rerasado e el empo. (7) Eglsh dels were hose for delay, warehousg, orderg ad capacy audog; should be clarfed ha oly margal coss were used for hs model, e.g. oly coss were cluded ha could chage as a resul of a parcular decso made. Raw maeral coss were o cluded due o epedure o such maerals beg depede of he chose pla. Lkewse, coss assocaed wh regular work me were ecluded mos suaos. Moreover (a leas he shor erm), labour plag erms of hrg ad dsmssg has lle cdece o plaed coss whch s why such coss could be separaed from he model. Mmsg: T 1 1 ( A( ) H ( ) c. a : U ( k ) 1 y k, p k, 1 S C( ) ) K k 1 ( O( k, ) y =1,.., T, k=1,.., K LT( ) d ( ) ( D( ) p R( ), LT ( ) =1,..,, =1,., T, ( ) R ( ), 1 1 =1,..,, =1,., T y k, F ( k, ), M,, ;, ;, y k, Model daa: =1,.., T, k=1,., K =1,..,, =1,., T ; =1,.., T, k=1,., K, =1,..,, =1,., T : Number of compoes T: lag horzo R(): Number of compoes eeded for producg compoes. K: Number of resources D(): Eeral demad for compoe perod LT() : Lead me for produc () : al veory for compoe U(k) : k - resource fraco eeded for a u of produc F(k,): Mamum fraco of resource k whch ca be added perod M: A very hgh umber H(): erod warehousg coss for produc C(): Toal orderg coss for produc O(k,): Coss for he fraco of capacy added o resource k perod. A(): erod delay coss for produc : Order quay for produc perod yk,: Added fraco o resource k perod δ : bary dcaor of produco for produc perod +: veory of produc added perod -: amou of produc delayed me.,1 k, (7) 1 NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15)

6 ARANGO, SERNA, ÉREZ E español La cerdumbre e ese caso esá referda a las resrccoes de balace de vearo y la capacdad dspoble, por lo que θ ( θ 1) represea el vel co que se vola las resrccoes de vearo y de capacdad. Adcoal a esa ueva varable, se ha edo e cuea cero vel de oleraca p, defdo por p d y p c, los cuales represea, respecvamee, el vel mámo que puede alcazar la demada y la mayor proporcó e el que el recurso k puede esar o dspoble. Uo de los couos de resrccoes más mporaes e el modelo es el grupo de resrccoes de los requerímeos de maerales, las cuales esá defdas de la sguee maera: Eglsh hs case, uceray referred o cosras o veory balace ad avalable capacy, so ha, θ ( θ 1), represeed he level a whch veory cosras ad capacy were volaed. Addoally o hs ew varable, a cera olerace level p has bee ake o accou defed by p d ad p c, represeg, respecvely, mamum demad ad he hgher perceage by whch resource k would o be avalable. Oe of he model s mos mpora se of cosras was he group of maeral requreme cosras, defed as follows: LT ( ) 1, ( ) ( D ( ) ( R ( ), ) 1 1 (8) LT ( ) 1, ( ) ( D ( ) ( R ( ), ) 1 1 (8) Tal couo de resrccoes requere que la suma del vearo cal y la produccó para cada período debe ser mayor o gual al oal de la demada eera y la demada para los subesambles usados e los arículos. La demada requere ser sasfecha co lo producdo e períodos guales o aerores a - LT() para cada período, dado que el rabao ha de carse LT períodos aes de que pueda ser usado para sasfacer la demada. El produco R( ), acpa la demada para el arículo que resula cuado es compoee de u arículo ; ese produco es cero e la mayoría de los casos. ara permr peddos rerasados la resrccó aeror ambé puede omar valores egavos. ara ese f se defe a, como el vearo (egavo o posvo) del produco e el período, el cual esá deermado por Such cosras se requred ha he sum of he al veory ad produco for every perod was greaer ha or equal o he oal of he sum of eeral demad ad he demad of he sub-assembles used he producs. Demad eeded o be sasfed by he amou produced rece or prevous perods o - LT() for each perod, sce work had o be sared LT perods before could be used o sasfy demad. roduc R( ), acpaed he demad for produc ha resuled whe was a compoe of produc ; hs produc was ull almos all cases. The pas cosra could also be egave for allowg delayed orders. was hus defed as he veory (egave or posve) of produc perod, whch was deermed by: LT( ) ( ) ( D( ) ( R( ), ) (9) LT( ) ( ) ( D( ) ( R( ), ) (9) aredo de esa defcó, el couo de resrccoes de balace de los requermeos de maerales y demada es reevaluado para permr que esa rerasos e los peddos. or lo ao, e vez de usar la epresó se emplea la resrccó 1, ( D( ) (1) (11) la cual perme ua poscó egava del vearo. Al reemplazar, por la epresó que lo defe, la resrccó requermeo de maerales y demada se reduce a: From hs defo, he cosra se of he requreme balace of maeral ad demad was re-evaluaed o allow he esece of delays orders. sead of usg equao 1, he cosra equao 11 had o be used. 1, ( D( ) (1) (11) Ths allowed a egave veory value. Replacg for he epresso defg he cosra of maeral requreme ad demad was reduced o: LT ( ) 1, ( ) ( R ( ), ) 1 (12 ) LT ( ) 1, ( ) ( R ( ), ) 1 (12 ) S adcoal a eso se ha defdo a + como la cadad de produco e vearo y - la cadad de produco rerasado e el perodo, la sguee resrccó debe ser cumplda: f + s defed as he amou of produc veory ad - he amou of produc delayed perod, he followg cosra had o be accomplshed.,,, (13 ),,, (13 ) El sguee grupo de resrccoes e mporaca, so las de capacdad: The e group mporace were he capacy cosras: 1 ( U ( k ), 1 y k, (14 ) 1 ( U ( k ), 1 y k, (14 ) De acuerdo al lado derecho de la ecuacó, la capacdad del recurso k puede ser ecedda, co el coso que eso colleva, y de acuerdo a las lmacoes que se ega la fraccó era del recurso k e el período es represeada como y k,. Accordg o he rgh sde of he equao, he capacy of resource k could be eceeded, wh a assocaed cos ad wh some lmaos; he era fraco of resource k perod was represeed as y k,. NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) 11

7 USO DE LA ROGRAMACÓN LNEAL ARAMÉTRCA EN LA SOLUCÓN DE UN / ARAMETRC LNEAR ROGRAMMNG FOR A MATERALS REQUREMENT E español ara aalzar la solucó de ese modelo a ravés de éccas de programacó leal dfusa a couacó se descrbe u proceso dusral co la formacó ecesara para resolver el modelo MR propueso. Descrpcó del proceso dusral seleccoado El proceso de esamble de vehículos cosse geeralmee e res procesos: armado, pura y moae, los cuales se subdvde e varos subprocesos y acvdades. Dero de esos subprocesos desacamos el proceso de moae de pueras, que s be o es el más compleo de odos sí puede llegar a ser represeavo dada su mporaca e el esamble fal del vehículo. E la abla 2 se muesra las demadas míma y máma que se espera obeer e el rascurso de doce semaas del compoee de la puera zquerda. Tabla 2. revsó de la demada para el compoee puera zquerda. Semaa Demada M Demada Ma La eplosó de produco y el aálss poseror se realza sólo para la puera zquerda, cosderado que la puera derecha posee compoees smlares. E la abla 3 se da la lsa de maerales correspodee, dode S especfca el padre del cual hace pare el compoee (S4,11 eoces vdros -refereca 11-, es compoee de ssema de vdros -refereca 4-), y R represea la cadad del produco ho ecesaro para hacer el produco padre ; ambé se especfca los plazos de erega (s) e semaas, el vearo cal (v), cosos de almaceameo (Ca) del compoee por semaa, coso de peddos (Cp) y coso por ardaza del compoee (C). Las resrccoes de capacdad sólo esará referdas a la líea de esamble a la cual pereece el vehículo seleccoado. ara el proceso de moae de pueras esa capacdad se esma e el 15% del oal de la capacdad de la líea. Es así como, s la empresa cuea co u uro laboral de ocho horas, cco días a la semaa, se ee u oal de 4 horas semaales e la líea de produccó, de las cuales 6 esará desadas al moae de las pueras. S se cosdera además que la capacdad promedo de produccó de la líea es de 9 vehículos/ hora, el empo de esamble de ua puera es de 1 muo, o.1666 horas/puera. La empresa puede usar horas eras para cremear la capacdad dspoble. El coso de adcoar ua hora era es de $3.8. ara efecos práccos, la capacdad de la líea sólo puede ser aumeada u 1% a ravés de las horas eras. or ora pare, defrá a pc como el porceae e el que la seccó de moae puede o esar dspoble, para efecos práccos pc =,1, meras que pd esá defdo por la dfereca ere la demada máma y la demada míma (Tabla 2). Solucó del modelo Ese modelo se resuelve e dos pasos: rmer paso: se solucoa el modelo (5) a ravés de programacó leal paramérca y se fa los valores de Z y. ara eso el omador de decsoes puede esar eresado e eer u vel de sasfaccó e el couo de resrccoes superor a α =.4, por lo que se defe a Z = y p = (Tabla 4). Segudo paso: ua vez fados Z y p se elabora la fucó membresía para la fucó obevo, de dode se obee que: Eglsh The e seco descrbes a dusral process wh he requred formao for solvg he proposed MR model o aalyse he model soluo hrough fuzzy leal programmg echques. Descrpo of a seleced dusral process Vehcle assembly cosss of hree seps: pecg ogeher, pag ad assembly, whch are sub-dvded o several sub-processes ad acves. Door moug ca be hghlghed here as, alhough s o he mos comple process, ca be very represeave due o s mporace fal assembly. Table 2 shows he epeced mmum ad mamums he 12 week sudy forecasg lef door demad. Table 2. Forecasg lef door demad Week Demad m Demad ma The produc eplaao ad subseque aalyss s oly for he lef door (as he rgh door has he same compoes). Table 3 shows a ls of correspodg maerals where S represes he pare from whch par s a compoe (S 4,11 he glasses referece 11-, s a compoe of he glass sysem - referece 4) ad R represes he amou of producs ecessary for makg pare produc ; delvery mes (s) are specfed weeks, al veory (v), warehousg coss (Ca) of compoe by week, order coss (Cp), coss for delayg compoe (C). Capacy cosras oly refer o he assembly le o whch he seleced vehcle belogs. There s 15% esmaed door-moug capacy regardg oal assembly le capacy. f he compay has a sgle labour 8 hours/week shf, here s a 4-hour weekly assembly le whch 6 hours are desed o door-moug. The pas s he acual descrpo of compay shfs. f average assembly le produco capacy s 9 vehcles per hour, he door assembly me s oe mue or.166 hours per door. The compay ca use era labour hours for creasg avalable capacy. The coss volved usg every era hour are $3,8. For praccal purposes, le capacy ca oly be creased by 1% hrough era hours. Also, p c s defed as he perceage represeg assembly le o-avalably. For praccal purposes p c =.1. p d s defed by he dfferece bewee mamum ad mmum demad (see Table 2). Model soluo Ths model ca be solved wo seps. Frs sep: model (5) s solved hrough paramerc leal programmg ad values Z ad are fed. Decso-makers are hus eresed havg a cosra sasfaco level se above α=.4, whch s why Z = ad p = are defed (see Table 4). Secod sep: oce Z ad p have bee fed, a membershp fuco for he obecve fuco s se, obag: 12 NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15)

8 ARANGO, SERNA, ÉREZ E español Tabla 3. Lsa de maerales para el compoee puera zquerda. Ref Descrpcó R S Ts v Ca Cp C 1 uera zquerda Láma roquelada K Bsagra ,1 2 4 Ssema de vdros ,5 5 5 K proecor de agua ,1 1 6 erlla de bloqueo puera ,1 1 7 K Maa eror 1 1 1,1 1 8 ael K Maa eeror 1 1 5,1 1 1 K Chapa , Vdros ,5 12 K avbrador 1 4, K elécrco 1 4 2, Regulador de veaa 1 4, Copa de maa 1 7 3, Lberador de maa 1 7 3, Maa eror 1 7 3, K uercas y aradelas M 1 7 3, K uercas y aradelas ME 1 9 3,1 1 2 Bloqueo clídrco 1 9 3, Maa eeror 1 9 3, Sopore meálco 1 9 3, Caal de goma , Caal de elevacó de veaa , Maa/ boó , Rodllo ,1 1 Tabla 4. Couo de solucoes para el modelo (7). α =1- θ Z α =1- θ Z s c ( ) Z( ) 1 s c Z Z c Z p c Z p La represeacó gráfca de ese modelo se eseña e la Fgura 2. ara ecorar ua solucó ópma, co u vel de aspracó que sasfaga ao las fucoes de membresía de las resrccoes como la de la fucó obevo, se debe calcular el ídce de compabldad de cada solucó co los veles de aspracó del decsor (Jméez e al., 27). Z (1) Z (.9) Z (.8). 736 (15) Z (.7).8961 Z (.6).9395 Z (.5) Z (.4). 999 Table 3. Ls of maerals for he lef door Eglsh Ref Descrpo R S Ts v Ca Cp C 1 Lef door Samped shee meal Hge k Glass sysem Weaherproofg k Kob for door blockg eror hadle k ael eral hadle k Lock k Glass ,5 12 A-vbraor k Elecrcal k Wdow regulaor Hadle cup Hadle sprg eror hadle M ad washer k ME ad washer k Cyldrcal blockg Eeral hadle Meal suppor Rubber groove Wdow rase/lower groove Hadle/buo Roller Table 4. Soluo for model (5) α =1- θ Z α =1- θ Z s c Z c ( ) Z( ) 1 s Z c Z p (15) c Z p Ths model s graphcal represeao s depced Fgure 2. The compably de for each soluo havg he desred decso-makg levels mus be calculaed o fd a opmal soluo, havg a desred level sasfyg boh cosras ad obecve fuco membershp (Jméez e al., 27). Z (1) Z (.9) Z (.8). 736 Z (.7).8961 Z (.6).9395 Z (.5) Z (.4). 999 Fgura 2. Fucoes de pereeca para las resrccoes y fucó obevo del modelo (15). Fgure 2. Membershp fucos for cosras ad obecve fuco model (7) NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) 13

9 USO DE LA ROGRAMACÓN LNEAL ARAMÉTRCA EN LA SOLUCÓN DE UN / ARAMETRC LNEAR ROGRAMMNG FOR A MATERALS REQUREMENT E español ara ecorar la solucó opma correspodee debe elegrse θ al que μ D (θ) = ma θ μ D (θ) = ma θ (m (Z (θ), B c (θ)). ara ese f Jméez e al (27) usa la -orma del produco algebraco ere Z (θ) y B c (θ) para hallar el valor de θ, de la sguee maera: Eglsh θ mus be chose o fd he correspode opmal soluo so ha μ D (θ) = ma θ μ D (θ) = ma θ (m (Z (θ), B c (θ)). Jméez e al., (27) used he T-rule for he algebrac produc bewee Z (θ) ad B c (θ) o fd he value of θ, as follows: μ D (.4) =.4.99 =.399 μ D (.7) =.7.896=.627 μ D (1)=1= μ D (.4) =.4.99 =.399 μ D (.7) =.7.896=.627 μ D (1)=1= μ D (.5) =.5.969=.484 μ D (.8) =.8.73=.562 μ D (.5) =.5.969=.484 μ D (.8) =.8.73=.562 μ D (.6) =.6.939=.563 μ D (.9) =.9.394=.354 μ D (.6) =.6.939=.563 μ D (.9) =.9.394=.354 De acuerdo a esos resulados, se observa que co θ=.7 se obee el mayor vel de sasfaccó (.6272) co respeco a la fucó obevo: Z = ; Nvel de sasfaccó =.6272 Aálss de resulados S be el coso e el que se curre e la solucó obeda co esa meodología es alo e relacó co la mea razada para el pla, al cosderar la capacdad y la demada como valores ceros los cosos puede ser aú mucho mayores, por lo que el coso del pla Z = es ua solucó ermeda que equlbra los creros pesmsas y opmsas del omador de decsoes, además de sgfcar u vel de sasfaccó cercao al 63% co respeco al meor coso que se podría obeer e codcoes deales y deermsas. E la Fgura 3 se eseña el couo de solucoes para μ D (θ) y se muesra el vel mámo de sasfaccó al que podría asprarse co ua solucó dfusa. Accordg o hese resuls, ca be observed ha θ=.7 ca lead o obag a hgher sasfaco level (.6272) regardg obecve fuco. Z= ; Sasfaco level =.6272 Resul aalyss Eve f he cos curred he soluo obaed wh hs mehodology s hgh regardg he desred goal, whe cosderg capacy ad demad as uceray values, he coss could be much hgher. la cos Z= s a ermedae soluo balacg decso-makg pessmsc ad opmsc crera, besdes havg a sasfaco level ear o 63% regardg he lower cos ha ca be obaed deal ad deermsc codos. Fgure 3 shows he soluo for μ D (θ) ad he mamum sasfaco level ha ca be obaed wh a fuzzy soluo. Fgura 3. Couo de solucoes para μd Debe aoarse que, e la medda e que la formacó co la cual cuea el decsor sea más precsa, su vel de sasfaccó será mayor. or lo ao, la uldad de las meodologías aquí mosradas reduda e la admsó de veles de cerdumbre asocados e la formulacó de los coefcees y meas mplcados e las fucoes obevo, así como e las resrccoes y recursos del problema. Coclusoes U vel de sasfaccó de.62 puede o ser muy aracvo e la plafcacó dusral; s embargo, al cosderar los facores de cerdumbre herees al proceso producvo esa cfra cobra u mayor sgfcado, debdo e pare a la smplcdad de su cálculo y a su fácl erpreacó. La meodología aquí preseada es sólo u eemplo de las dferees aplcacoes que puede eer los couos dfusos y la lógca Fgure 3. Soluo for μd should be oced ha f a decso-maker has more accurae formao, he sasfaco level wll be hgher. So, he usefuless of he mehodology show here s he admsso of assocaed uceray levels coeffce formulao, he goals volved he obecve fuco ad he cosras ad he problem s resources. Coclusos A.62 sasfaco level cao be very aracve dusral plag; however, f cosderg he uceray facors here produco, hs umber akes o grea meag, paly due o he smplcy of s calculao ad easy erpreao The mehodology preseed here s us oe eample of he dffere applcaos for fuzzy ses ad fuzzy logc for faclag decso-ma- 14 NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15)

10 ARANGO, SERNA, ÉREZ E español dfusa para faclar la oma de decsoes e los procesos de produccó. El paso a segur es el de llevar esas éccas a la prácca y valdarlas co los resulados que se puede obeer a ravés de méodos covecoales co el f de esablecer la forma más apropada de decdr e eoros ceros. Ua de las bodades de la meodología epuesa es que la compledad de u modelo MR co resrccoes de capacdad o se afeca al cosderar la vaguedad e mprecsó de alguo de sus parámeros, por lo ao la programacó paramérca dfusa puede llegar a cosurse e ua efecva herramea de plaeacó dusral. S be la lógca dfusa o es la respuesa a odos los problemas que surge e los ssemas de produccó, sí cosuye ua herramea fáclmee eedble y maeable que puede ser usada e la mayoría de los programas de opmzacó. or oro lado, al cosderarse fucoes de pereeca más que fucoes de probabldad, se esá más acorde co la realdad que presea las plaas de produccó, dode la mprecsó esá presee e la mayoría de los procesos de oma de decsoes. Eglsh kg aalyss relaed o produco. These echques should lead o pracce ad be valdaed by resuls obaed hrough coveoal mehods amed a esablshg he mos approprae way of makg decsos evromes volvg uceray. A good aspec of he mehodology preseed here s ha he compley of a MR model wh capacy cosras s o affeced by cosderg he uceray ad mprecso of some of s parameers; fuzzy paramerc programmg ca hus be a effecve ool for dusral plag. Eve f fuzzy logc s o he aswer o all produco sysem problems, hs cosues a easy-o-udersad ad easy-o-maage ool ha ca be used mos opmsao programmes. Whe cosderg membershp sead of probablsc fucos, s also more realsc regardg real produco plas where uceray ad mprecso are preseed almos all decso-makg. Bblografía / Refereces Arago, D., Sera, C., Álvarez, K., Modelos Dfusos Aplcados a la laeacó de la roduccó., Cero de publcacoes Uversdad Nacoal de Colomba, Medellí, 29. Arago, D., Sera, C., érez, G., Aplcacoes de Lógca Dfusa a las Cadeas de Sumsro., Avace e Ssemas e formáca, Vol. 5, No. 3, Dc. 28, pp Be-Areh, D., Kumar R., Twar M., Aalyss of Assembly Operaos Dffculy Usg Ehaced Eper hgh-level Colored Fuzzy er e model., Robocs ad Compuer-egraed Maufacurg, Vol. 2, No. 5, 24, pp , Chaas, S., The Use of aramerc rogrammg Fuzzy Lear rogrammg., Fuzzy Ses ad Sysems, Vol. 11, 1983, pp Hller, F., Leberma, G., roduco o Operaos Research., Seveh edo, Mcgraw-Hll. New York, 21. Jméez, M., Areas, M., Blbao, A., Rodrguez, M. Lear rogrammg wh Fuzzy arameers: A eracve Mehod Resoluo., Europea Joural of Operaoal Research, Vol. 177, 27, pp Hop, N. V., A Heursc Soluo for Fuzzy Med-Model Le Balacg roblem., Europea Joural of Operaoal Research, Vol. 168, No. 3, 26, pp Mula, J., Aplcacoes de la Teoría de los Couos Dfusos e la lafcacó de la roduccó: U Esudo de la Leraura., Memoras V Cogreso de geería de Orgazacó, Legaés, sepembre, 24, pp Mula, J., oler, R., Garca, J., Models for roduco lag Uder Uceray: A revew., eraoal Joural of roduco Ecoomcs, 13, 26, pp Nu, J., Darall, J., Applcao of Fuzzy-MR- Fas Movg Cosumer Goods Maufacurg dusry., roceedgs of he 28 Wer Smulao Coferece, 28. ada, M., Nagaraa, R., Sazal Y., Fuzzy Lear rogrammg: a Moder Tool for Decso Makg., Joural Tekolog Vol. 37, 22, pp Reyoso, G., Grabo, B., Geese, L., Vero, S., egrao of Ucera ad mprecse Orders MR. Nh eraoal Mul-Coferece o Advaced Compuer Sysems., Coferece o roduco Sysem Desg, Supply Cha Maagem, 22. Saf M., Malek H., Zaemazad, E., A Noe O he Zmmerma Mehod for Solvg Fuzzy Lear rogrammg roblems., raa Joural of Fuzzy Sysems, Vol. 4, No. 2, 27, pp La, Y., Lu, Y., Su, G., Modelg Fuzzy Mul-erod roduco lag ad Sourcg roblem wh Credbly Servce Levels., Joural of Compuaoal ad Appled Mahemacs, 28. Zadeh, L., Fuzzy Ses ad Ther Applcaos o Cogve ad Decso rocesses., Academc ress c. Lodo NGENERÍA E NVESTGACÓN VOL. 3 No. 3, DECEMBER 21 (96-15) 15