RIESGO DE INTERÉS DE LAS OPERACIONES ACTUARIALES CLÁSICAS: UNA VALORACIÓN A TRAVÉS DE LA DURACIÓN

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1 RIEGO ITERÉ A OPERACIOE ACTUARIAE CÁICA: UA VAORACIÓ A TRAVÉ A URACIÓ J. Iñak e a Peña Eeba Iuo de Eudo Facero-Acuarale Uerdad del Paí Vaco REUE E el reee rabajo o rooemo realzar u efoque acuaral a la duracó que habualmee ee edo emleada e la rea fja bajo lo efoque ao facero de acaulay como ecoómco de Hck. embargo, o hay que oldar que e el camo acuaral lo flujo o eocáco, or lo que la deracó de la duracó debe de arr de ua óca robablíca, adquredo ua deomacó roa: duracó eerada. Adcoalmee y ae la hóe de cura de eré laa, que e el mudo aegurador má que ua hóe e u hecho real, earemo deermar la ereoe de la duracó eerada de la oeracoe acuarale má mle y cláca, la cuale o ermrá calcular la flueca que la aracoe del o de eré ee obre la rooe maemáca. u alor aromado lo coraaremo ae el alor real e u aál rácco que o demorará la alcabldad de la duracó eerada. Profeor Tular de la Uerdad del Paí Vaco. Iuo de Eudo Facero-Acuarale. Aeda ehedakar Agrre, BIBAO. Emal: 35

2 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... PAABRA CAVE uracó, rego de eré, geó aco y ao, muzacó.. ITROUCCIÓ Tao lo rofeoale del mudo aegurador como lo académco eá de acuerdo e la eeca de la flueca del la aracoe del o de eré obre la eroe realzada edo ua de la arable de mercado má deca. Ee roagomo e cluo mayor e éoca de ala olaldad e lo o de eré. E el aco de la edade aeguradora y ere u eroe eá demorada la eeca de ua relacó era ere el o de eré y el reco de mercado de lo aco e lo que ere, de forma que u cremeo de eo o de eré e aoca co bajada e lo mercado de alore y, or el coraro, u deceo de lo o de eré uele llear arejo u cremeo de lo reco de lo aco facero. Aí mmo, el o de eré e ua arable báca dero del coe del roo egoco aegurador y e habualmee coemlado como el mímo el de eró real y de crecmeo, fluecado gualmee la eecaa de crecmeo emrearal aí como el rearo de ddedo a u accoa. E ee coeo el aál del rego de eré e la eroe rea fja mayormee ha do raado amlamee a raé del coceo de la uracó y la Coedad. e hecho, dede u aarcó e ha coerdo e ua herramea habual dero del aál de eroe y e la geó del rego de eré del aco de la edad aeguradora. Ee arámero e emlea e la geó de aco y ao e el marco de la eraega muzadora cuyo f e el de corolar la eocó al rego de eré y, e u cao, cuafcar la oble érdda que uede cauar ua aracó adera de eo o de eré. 36

3 J. Iñak e a Peña Eeba Realmee la uracó o erea la medda del rego o aracó del alor de la carera de eroe ae aracoe del o de eré que afeca al aco facero. e hecho cuao mayor ea la aracó del o de eré, mayor erá la aracó del aco ae eo momeo. e forma aural y dede ua óca facera el coceo de uracó y Coedad ha emezado a eedere ambé al ao de la edad aeguradora, eeddo como ua medda de ebldad del alor de mercado de ee ao oblgacoe coracuale de ago de la edad aeguradora ae lo cambo de lo o de eré, alcado lo mmo rco que collearo a u aulaa roduccó e la rea fja, aí como a la cocluoe que e dera, como o que la uracó del ao de ua emrea aeguradora, eo e, la duracó de u comromo de ago, couye la bae ara u aál de la geó del rego de eré y que o erme dearrollar ua o ara eraega muzadora, acorde a la eecaa del ee eror. Adcoalmee el coocmeo de la aracó que eermee cada líea de egoco de la edad aeguradora co reeco a la aracó del o de eré o ermrá deñar ua eraega de eleccó de eroe má aca que la deñada reeco a ua muzacó cláca. E odo cao, hay que eñalar que el el de egacó e el camo de la oeracoe acuarale obre la alcacó de la uracó comaraamee co el lleado a cabo e la rea fja ha do ooramee feror y uede obedecer a la dfculad que rooca la auraleza robablíca de lo flujo ecoómco de ago que geera lo eguro que habualmee comercalza la emrea aeguradora. El objeo fudameal de ee rabajo e cera recamee e el efoque acuaral de la uracó y e la deermacó de la uracó e aquella oeracoe acuarale má mle y má cláca dero del ecor aegurador ae aracoe e lo o de eré, eedo e cuea que ea oeracoe uele ear emda bajo ua erucura de o de eré laa. 37

4 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó.... OBJETO TRABAJO El coceo de duracó de u aco facero fue calmee roducdo or acaulay [acaulay, 938] bajo u efoque facero, aí como or Hck [Hck, 939] bajo ua óca ecoómca. Por ua are acaulay codera la uracó como la medda de la da meda de lo aco, edo má efcee ee arámero que el lazo del aco haa u ecmeo. Cocreamee la defe como el ecmeo medo oderado de lo flujo ecoómco geerado or el aco facero, edo el facor de oderacó el alor acual facero de cada flujo ecoómco geerado obre el reco de mercado de dcho aco facero. Hkc, or ora are, doa de u efoque ecoómco a la uracó erreádola como la elacdad del reco del aco facero ae cambo e el o de eré. Poerormee Redgo [Redgo, 95] eablece lo rco que llea a la hoy coocda muzacó e lo que aeera e u do legado que Regla : El alor medo de lo aco debe gualar al alor medo de lo comromo de ago. Regla : a deró obre el alor medo de lo aco debe er mayor que la deró obre el alor medo de lo ago. El dearrollo oeror e ha baado rcalmee e el emleo de la uracó e el aco de la comañía aeguradora. e ea forma auore como Berwag y oro [977, 978, 99 y 99 ], ebowz [986, a y b ] alcádola a la muzacó, Fabozz [995], Toe [986] e la rea fja, ec., ha dearrollado el emleo de la uracó e el aco ero o e ha ahodado e el camo del ao de la edad aeguradora, alo ecaa erecoe [ & Pajer, 994]. 38

5 J. Iñak e a Peña Eeba E el reee rabajo eamo bucar la ereoe má eclla de la uracó ara ua erucura de o de eré laa bajo la cual e uele comercalzar la mayoría de lo roduco aeguradore hoy e día de aquella oeracoe acuarale má cláca, cororado e u cálculo lo ímbolo de comuacó, que auque aulaamee eá cayedo e deuo a faor del emleo de herramea formáca redeñada, cogue daro ua ráda formacó de lo comromo aegurado, aí de cómo e e afecado ae equeña aracoe e lo o de eré co lo que e comercalza. Eo e, cómo e e afecada la rooe maemáca coracualmee reflejada e el balace de la comañía aeguradora. El emleo de ua erucura de o de eré laa e debe a la guee razoe: - El emleo de ua erucura de o de eré laa o erme deducr ereoe acuarale báca ao e el alor acuaral de la reacoe como e el alor acuaral de la aoracoe co lo que ambé o ermrá u emleo e el cálculo de la uracó. - El emleo de u o de eré coae o facla el emleo de lo ímbolo de comuacó má habuale ermédoo calcular drecamee la flueca ecoómca que ee ua aracó aáea de ee o de eré écco obre el alor acuaral de lo comromo aumdo. - El roduco acuaral cláco e comercalzado bajo ua aucó de o de eré écco coae, coerador y a fuuro, cuado o eá fjado or ley, lo cual hace que el emleo de la hóe de erucura de o de eré laa ea ua realdad e el ecor aegurador, y lo cambo legale del o de eré écco ea cambo aáeo de la erucura de o de eré, eo e, collee delazameo aralelo. 39

6 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó A URACIÓ EPERAA El coceo de uracó que e emlea ara lo aco facero de rea fja e baa e ua corree de flujo ecoómco arable a lo largo del emo. embargo e la oeracoe acuarale la frecueca de ocurreca y el olume de ago a realzar e eocáco. e hecho la mayoría de lo eguro y rea acuarale e baa e ago a realzar ae la ocurreca o o de u eeo de muere o uereca. E ea eccó earemo defr el coceo de uracó Eerada a raé de u efoque acuaral free a lo efoque ya coocdo: facero y ecoómco. eermaremo u ereó, e bae a la deedeca del facor aleaoro, ero bajo la rema que el ago a realzar e coocdo e el cao de que e dé la cogeca coemlada, como e habual e el egoco de da. e hecho la mayoría de lo roduco de la comañía aeguradora e eglobaría dero de ea caegoría. 3.. Efoque acuaral Paramo de u modelo geeral e el que la cuaía y el emo e e afecado or el momeo del eeo aleaoro. Para ua eroa de edad, u da redual o u emo de da haa la muere e ua arable aleaora que la rereeamo or T. edo G u fucó de drbucó al que, G P T e la robabldad de que ua eroa a a la edad, fallezca e el racuro de año, eo e, ae de cumlr la edad. u fucó de dedad g e, d g d 4

7 J. Iñak e a Peña Eeba dode o dca la robabldad de u recé acdo alcace co da la edad. uoemo que e el ae e realza u ago b que erá aboado al fallecmeo y e el que la fucó de dedad e g. Aí mmo, e el correodee facor de acualzacó facero dede el ae -émo al orge o momeo cal. El alor acual de u ago -émo erá: Z T b T T que ambé erá ua arable aleaora ya que amba magude bt y T deede de la arable aleaora del emo de da haa la muere T. coocemo la fucó de ago, la de acualzacó facera y la fucó de dedad, odemo deermar el alor eerado de lo ago uueo ua duracó de la oeracó a da eera o alor acuaral como E Z T b E b T T g d Podemo defr la uracó Eerada de ee ago cero al fallecmeo como el emo medo de ago. Eo e: edo E T Z T Z b g E T T d y or ao obedríamo la ereó de la duracó eerada del ago al fallecmeo: 4

8 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... b b g d g d 3.. Efoque ecoómco Cuado el o de eré e coae el alor acuaral quedaría, b g d Y la derada co reeco al o de eré coae o dcaría u ebldad reeco a u cambo e ée: b g d eejado, b g d ddmo ambo membro ere el alor acuaral del ago robable b g d Eo e, la uracó Eerada cuado lo o de eré o coae. Obéree que el rmer membro de la ecuacó o dca la defcó de la elacdad del alor acuaral ae ua aracó del o de eré. Eo e, la uracó defda egú Hck e

9 J. Iñak e a Peña Eeba 3.3. Efoque facero Ua aracó del o de eré roocará ua aracó e la aloracó facera de lo comromo de ago. El ago robable e el momeo -émo erá: b g y el alor acual de dcho ago edrá deermado ara u o de eré coae como: d e ea forma, dado el alor facero de lo ago robable fuuro deermado e ua fecha dada, ee ua míma aracó e el o de reabldad de mercado e, el alor de la oblgacoe aumda cambará a e. E ee cao, odemo ecorar u ueo alor medae ua aromacó de acaur ara re érmo, dode la fucó e e. E el líme a cero de ee alor cremeal edremo, e d e e a rmera derada del alor de lo ago robable reeco al rego de eré ee dada como, d a eguda derada, reeco al mmo facor e: d 43

10 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó Quedado el alor de lo ago robable fuuro cuado ee u mímo cambo del alor del eré de mercado: e d e d e a aracó que eermea el alor de ea oblgacoe debdo a ua aleracó del o de eré edrá dada como: - e uuyedo y mlfcado: e d d e - d d e decr, e CXE e - dode el rmer érmo del egudo membro hace refereca a la uracó Eerada y el egudo érmo del egudo membro e refere a la Coedad Eerada CXE de lo ago robable fuuro aumdo, ae a aracoe del o de eré. Por lo ao, la uracó Eerada de u cojuo de ago aumdo or ua edad aeguradora e u egoco edrá dado or la ereó: d d ara ua erucura de o de eré de mercado laa de alor.

11 J. Iñak e a Peña Eeba 3.4. ueo alor acuaral El ueo alor acual acuaral que omaría el cojuo de comromo fuuro cuado ee ua aracó del o de eré de mercado e, emleado la uracó Eerada edrá dado como, luego, e - e e e Ea ereó o erme deermar el ueo alor que omará eo comromo ae aracoe del o de eré. e ee dearrollo clumo má érmo, lograremo ua aromacó mejor que ólo emleamo la uracó Eerada o ulzamo la uracó y la Coedad Eerada ara deermar el cambo del alor de la oblgacoe reeco a la aracó del eré, auque cremea la dfculad ara u alcacó rácca. 4. CARACTERÍTICA Como caraceríca geérca má morae que odemo mecoar de la uracó Eerada eemo:. Ua aracó del o de eré fluye e la aloracó facera de la oeracó acuaral y, e ee edo, e ua medda correca ara erear la ebldad del ago robable ae flucuacoe del o de eré.. lo ago a realzar o eródco, or ejemlo, ua rea emoral, el rego de eré afecará a ea magude y, or ao, el alor facero de lo ago erá dferee al calmee eablecdo. 45

12 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó la oeracó acuaral coe e u úco ago e, eoce u uracó Eerada e y ea oeracó e eble a la flucuacoe que eermee el o de eré. e ea forma, ara u dduo de edad, al que e le aboe u caal C, e el cao de que eé o dero de año, edrá ua uracó Eerada gual al momeo de ecmeo del caal que e debe aboar. E decr, : C C m m 4. la oeracó acuaral coe e ua ere de ago ere y, eoce la uracó Eerada omará u alor comreddo e el eralo de haa, y ua aracó del o de eré flurá e u aloracó. E el cao de que e uee coraada ua rea emoral coae or u more aual de C, a faor de u beefcaro de edad y a ercbr al fal de cada año y or año, la uracó Eerada edría dada como: 46

13 J. Iñak e a Peña Eeba C C m m C C m m... C... C m m Ia a m : m : El umerador queda defdo a raé de ua rea acuaral creag y el deomador or ua rea acuaral coae, amba a gual lazo. 5. a uracó Eerada aría e forma era al o de eré. Eo e, que ae flucuacoe al alza, la uracó Eerada dmuye y e roduce dmucoe e el o de eré, eoce el alor de la uracó Eerada e cremea. E lo guee eígrafe rocedemo a deermar lo alore de la uracó Eerada ara la oeracoe acuarale má cláca dcado u alor fal e ímbolo de comuacó geeralmee emleado. 5. CAPITAE IFERIO 5.. efcó Ea oeracó cláca de eguro de da coe e el aboo de u caal al aegurado al alcazar o ua edad deermada. E cao de que fallezca o e aboa cadad algua. E la oeracó acuaral má mle. El cálculo e realza a u deermado o de eré écco or lo que e garaza al meo ea reabldad e el cao de que el aegurado a y ercba ee caal. e ee e cuea la cuaía a aboar uoemo ua udad moeara aí como la robabldad de que el aegurado alcace dcha edad. E 47

14 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó uracó Eerada A raé de la formulacó geeral, E E E ógcamee la duracó eerada de u úco ago robable a u lazo de - año e recamee ee lazo Coedad Eerada A raé de la formulacó geeral de la coedad eerada ae ua aracó del o de eré y ara ua erucura de eré laa: E E E h - h - CXE h h h 6. RETA PERIÓICA 6.. efcó a rea coe e u cojuo de caale co ecmeo equdae cuyo ago e realza emre que el aegurado e ecuere co da e el momeo del cobro. a fucó de rea erme alorar ua ere de caale co edo facero-acuaral, cluyedo la cdeca cojua de la fucó facera y la robabldad de uereca. Todo lo caale que coforma la rea uede er de gual cuaía coae o uede arar eródcamee, guedo ua deermada ley de aracó geomérca, arméca, olómca, ec.

15 J. Iñak e a Peña Eeba Igualmee, la rea acuaral uede er alca agadera durae oda la da, emoral lmada a u úmero de año. E de deacar que lo ecmeo de lo caale uede comezar e el mmo momeo e el que e alora medaa o be ra u erodo de emo dferda. Ademá, eo ago uede aboare dero de u erodo de refereca, al fal de ee erodo oagable o or ecdo o al co de al erodo reagable o or acado. Úcamee raamo a couacó aquella rea coae má mle que o aquella ara la que odemo ecorar ereoe mlfcadora del cálculo de la uracó Eerada. 6.. uracó Eerada Poderamo emoralmee el more ecoómco acualzado correodee a la rea, or lo que e obee e el umerador ua rea arable e rogreó arméca de razó la udad, má coocda e la maemáca acuaral como rea creag. També e ee uo dgumo ere la rea alca y emorale, y dero de ea ere reagable o oagable 6...Rea alca Recordamo que o aquella cuyo ago e realza emre que el aegurado e ecuere o, o eedo gú líme emoral. a uracó Eerada de ea rea odría eare que ede a fo, embargo a medda que aa el emo la robabldad de uereca del aegurado e cada ez meor, or lo que coerge a u alor cero y fo. - Rea reagable El aboo de la reacó uara e realza or adelaado o al rco de cada erodo. Teemo la aradoja de que e el momeo cal o momeo e roduce u ago, luego u alor erá ulo e el cálculo del umerador de la uracó. Veamo u cálculo a raé de la formulacó geeral: 49

16 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... 5 ä Ia 3 3 E ímbolo de comuacó al ao de eré coae, ería: E cao de ear emleado rea coae fraccoada, la rea creag fraccoada la ereamo como ua aromacó leal de do rea fraccoar. Cuado u alor e ua udad moeara: Ia Iä Iä Co lo que ambé odemo llegar a ua ereó de la duracó eerada má eclla e u cálculo. - Rea oagable E ee cao lo aboo de la reacoe eródca e realza al fal de cada erodo. Poderado co el momeo de ago correodee, obeemo la ereó que o erme calcular de forma eclla la duracó eerada de ua rea alca oagable. a Ia 3 3 E fucó de ímbolo de comuacó deermamo u uracó Eerada: Cuado coderamo la rea fraccoada, la erolacó leal reulae e,

17 J. Iñak e a Peña Eeba Ia Ia Iä o cual o erme dearrollar ua formulacó eecífca y u alor e ímbolo de comuacó ara la uracó Eerada. 6...Rea Temoral a emoraldad de eo ago e da al ocurrr el rmero de eo do hecho: El fallecmeo del aegurado o alcazar ua deermada edad, líme refjado ara ercbr la reacoe. eededo del ecmeo de cada érmo de la rea, el cálculo de la uracó Eerada e dferee. - Rea reagable lo érmo e aboa al rco de cada erodo edremo ua uracó Eerada de: Ia ä : : a rea creag de coderar u ago fraccoado e -émo de año edría dada co ua udad moeara como rmer érmo: Iä : Iä : Ia : Pudedo obeer ua ereó roa ara la duracó eerada correodee. 5

18 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó Rea oagable Para ua rea oagable y emoral, la uracó Eerada e deermaría a raé de la dó de la rea creag emoral ere el alor de dcha rea coae emoral: : : a Ia Igualmee co ago fraccoado edríamo ua rea creag : : : Iä Ia Ia combacó leal de do rea de gual caraceríca, reagable y oagable, ero fraccoar Rea dferda E ea rea el aboo de la reacó ocurre erodo deué de coraare or lo que e el umerador de la uracó Eerada e defrá ua rea acuaral de érmo arable e rogreó arméca de rmer érmo y de razó de aracó arméca, la udad de emo Rea dferda y alca Al er dferda y alca, el aboo de la reacó e realza emre que el aegurado e ecuere o ra erodo, o eedo líme emoral de cobro. a uracó Eerada de ea ere de ago fuee reagable edría deermada como, ä Vä / / ;

19 J. Iñak e a Peña Eeba 53 E ímbolo de comuacó, ra mlfcar, reularía u cálculo eremadamee ecllo: lo ago fuee oagable 3 la uracó Eerada edría deermada como, Rea dferda y emoral El aboo de la reacó e realza emre que el aegurado e ecuere o ua ez haya aado erodo erodo de dfermeo y durae u mámo de erodo. a duracó eerada de ea ere de comromo robable aumdo fuee reagable queda defdo or el cocee de ua rea emoral Amba rea e ímbolo de comuacó ería: w h h / ä ä Vä ; y ä 3 E ee cao la duracó ería el cocee de do rea oagable, la del omador de érmo arable e rogreó arméca y el deomador coae: / / ; a Va alcazado la ereó dcada.

20 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó dferda de érmo arable e rogreó arméca ere la mma rea ero de érmo coae: / / ä Vä ; E ímbolo 4 ra la mlfcacó correodee reula, Para aboo de ago al fal de cada erodo u uracó Eerada ee deermada 5 como, 4 Icalmee e ímbolo de comuacó ería: / / ; ä Vä mlfcado alcazamo la ereó auada. 5 El cocee de ua rea dferda emoral oagable de érmo arable e rogreó arméca obre ua rea de la mma caraceríca ero coae: / / ; a Va

21 J. Iñak e a Peña Eeba 7. IIZACIOE E comú la eeca de roduco acuarale comercalzado ao a raé de comañía aeguradora como egrada e do lae de reó que coemle reacoe a oorgar e forma de cuaía úca y al ocurrr u deermado eeo fallecmeo, aldez, ec.. E ee cao, la reacó coe e u úco ago a ao alzado. o oeracoe que umra ea cadad deermada e el momeo e el que ocurre el hecho cauae de la reacó, e decr, la demzacó. Traaremo e ee eígrafe el alor de la demzacoe má comue y mle, ceraro e el aál y dearrollo del alor de cada ua de ella, ue ería objeo de la maemáca acuaral. Traaremo u alore y u equalee e ímbolo de comuacó co el f de deermar ua ereó mlfcada de la uracó Eerada. Hay que eer e cuea que el aboo del caal o cuaía a ao alzado e ecuera uedada al momeo e el que ocurre el hecho cauae, que or érmo medo coderaremo que ocurrrá a mad de año drbucó uforme de la alda del coleco. 7.. eguro a da eera 7... efcó E ee o de eguro e aboa u caal eulado calmee al ocurrr el fallecmeo al aegurado, lmacó emoral de la eeca del mmo. El fallecmeo del aegurado e ema que ocurre a mad de año bajo la hóe comú e la ceca acuaral de la drbucó uforme de alda, or lo que coderamo que lo ago al fallecmeo e realzará or érmo medo a medado de año. 55

22 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó uracó Eerada eermamo la uracó Eerada ae ua aracó del o de eré a raé de la ereó geeral y ara ua erucura de eré laa: h h h h e uero cao, q 3 q q,,, El umerador ee u lazo alco haa el fallecmeo del aegurado y e arable e rogreó arméca de razó la udad, luego o defe ua demzacó muy comú e la maemáca acuaral: la demzacó creag. Por lo ao odemo oer, w h 5 h h h q h A IA, Y e ímbolo de comuacó, R 7.. eguro emoral 7... efcó e caracerza or el aboo de u caal eulado e u corao de eguro al fallecmeo del aegurado, emre que dcho fallecmeo ocurra co aerordad a ua fecha deermada. u dearrollo e

23 J. Iñak e a Peña Eeba 57 ráccamee déco al eguro a da eera be ée eá acoado uerormee. Eo e, la reacó coe e el aboo de u caal de ua udad moeara e el momeo e el que ocurra el hecho cauae y e u lao mámo de año uracó Eerada A raé de la formulacó geeral e la que e odera emoralmee e el umerador lo ago robable acualzado, eemo: q q 3 q q,,,, Eo e, h 5 h h h q h : A IA :, Y e ímbolo de comuacó, R R 7.3. eguro dferdo efcó E ee cao la coberura del eguro de da eera o emoral o e medaa, o que comezará a dare dero de erodo emre que el aegurado e ecuere o. Ee or lo ao, u erodo de careca e el que el aegurado o uede er acreedor de la reacó, auque ocurra el hecho cauae de éa. Poerormee ra aar eo erodo el aegurado odrá deegar la reacó e el momeo e el que ocurra la cogeca.

24 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó uracó Eerada A raé de la ereó geeral e la que e odera emoralmee e el umerador lo comromo robable de ago acualzado, eemo la guee ereoe A da eera El umerador defe ua demzacó dferda de érmo arable e rogreó arméca, cuyo rmer érmo ería y la razó de cremeo e la udad 6 : /VA, /A E ímbolo de comuacó reularía: R Temoral El umerador de la uracó Eerada defe ua rea de érmo arable e rogreó arméca, al gual que e el eguro a da eera, ero e ee cao la reacó e aboa la cogeca ocurre e ua emoraldad de erodo 7. 6 el érmo e dferee a la udad, queda e fucó de ua demzacó coae y ua demzacó creag: VA C; π C A π IA C π R 7 El alor de ua demzacó de érmo arable e rogreó arméca e fucó de demzacoe má mle: 58

25 J. Iñak e a Peña Eeba 59 : /A /VA :, e ímbolo de comuacó reula, R R 8. EGURO IXTO o eguro aerore o ormalmee are de oro eguro o era a formar are de ua coberura má comlea. e hecho e aboa u caal e forma de caal úco dero de uo año o e forma eródca rea mera e el aegurado, e acoejable al meo ara lo rmero año ambé eer coraado u eguro ara cao de muere. Por ao la realdad a a ear formada de ua combacó de la oeracoe acuarale má mle co el f de obeer ua coberura de roeccó afacora y má comlea. 8.. efcó El eguro mo e caracerza or la combacó de u eguro emoral y de u caal dferdo. e ea forma e aboa u caal al fallecmeo del aegurado emre que el deceo ocurra co aerordad a ua edad deermada y e el cao de que alcace o R R C C C ; : : : π π π IA A VA

26 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... 6 dcha edad, recbrá e ee momeo el caal eulado calmee. Eo e, erá cero que e aboará el caal e la oeracó, embargo e decooce erá debdo al fallecmeo del aegurado o or alcazar o ua deermada edad. 8.. uracó Eerada Poderado lo flujo robable de ago co la emoraldad, q q q,,, l E el umerador del cálculo de la uracó Eerada odemo arecar lo rmero érmo que o defe ua demzacó creag y u úlmo érmo que o dca u caal dferdo de cuaía o el momeo del ago. Cocreamee E E : A IA : Y e ímbolo de comuacó lo cuale o erme u cálculo rádo y ecllo de ee lazo medo de ago, R R 9. AÁII PRÁCTICO Co el f de lurar el emleo de la uracó Eerada aí como u uldad rooemo uo cao rácco deededo del roduco báco de eguro, dode odremo arecar la aromacó del alor acuaral de la oblgacoe ae aracoe aáea del o de eré ara ua erucura laa, aí como el error comedo or el

27 J. Iñak e a Peña Eeba emleo de la uracó Eerada. E odo lo cao que e reea a couacó e ha emleado la guee hóe écca: 9..Hóe écca - e ha ecogdo u aegurado aró obre el que e emlea la abla de moraldad geeral GR-95 macula. - El o de eré écco co el que e comercalza el roduco acuaral correodee del 3,5% aual. - e codera ua oeracó acuaral ea, eo e, lbre de gao aboada a raé de ua rma úca. - a reacoe que e a a oorgar o coae. - a aracoe del o de eré eudada erá medda e uo báco, edo la aalzada de, y 5 uo báco, ao al alza como a la baja. Eo e, aracoe dede el 3,5% al 3,75%. 9..Caal dferdo U aegurado de 4 año ee coraado ee roduco a recbr. e u lazo de año, co lo que la roó maemáca correodee ería: 3, 5%. E ,43 u duracó eerada, al ólo er u úco ago dero de año, ería recamee eo año: E E 4 4 Ae ua aracó aáea del o de eré el ueo alor acuaral emado a raé de la duracó eerada lo obedríamo a raé de la ereó, 6

28 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... e 3,5% e 3, 5% 3, 5% dode obeemo lo guee reulado: Real Aromado fereca % 3,5% 8.43, ,3,733 -,87% 3,4% 8.369, ,67,69 -,4% 3,49% 8.333, ,46, -,% 3,5% 8.39, ,43,,% 3,5% 8.35,4 8.35,4, -,% 3,6% 8.89,3 8.89,,64 -,4% 3,75% 8.9,56 8.8,84,749 -,88% Gráfcamee, e uede arecar que ae equeño momeo del o de eré el error comedo or el emleo de la uracó Eerada o da uo reulado fracamee aceable. 6

29 J. Iñak e a Peña Eeba 9.3.Rea eródca Para el cao de la rea eródca aalzamo ao la rea alca como la emorale ara uo aegurado que acualmee ee 65 año co aboo de reacoe auale reagable de. al año. El alor de la rooe maemáca couda e cada cao erá, ara la rea alca: 3, 5%. ä 4.453,8 65 Y ara la rea emoral, 3, 5%. ä 65: 8.53,7 a uracó Eerada e cada cao acede ara la rea alca Ia ä E ímbolo de comuacó al ao de eré coae 3,5%, ería: ,96 año Y ara la rea emoral, edremo ua uracó Eerada de: Ia ä 65: 9 65: ,6 año Ae ua aracoe del o de eré como e ha auado, e obedrá lo guee reulado 63

30 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... Valca Temoral I Real Aromado fereca % Real Aromado fereca % 3,5% , ,33 74,9367 -,534% 8.48,4 8.4,48 6,764 -,834% 3,4% , ,4,8557 -,84% 8.569, ,8,77 -,34% 3,49% 4.59, 4.59,88,78 -,8% 8.85,3 8.85,,7 -,% 3,5% 4.453, ,8,,% 8.53,7 8.53,7,,% 3,5% 4.36, ,76,76 -,8% 8., 8.,,7 -,% 3,6% 4.94, ,,688 -,88% , ,6,7 -,34% 3,75% 39.99,5 39.7,3 7,4 -,59% 79.47, ,93 6,6654 -,839% e uede arecar ao umérca como gráfcamee que lo alore aromado ao e la rea alca como e la emoral o realmee cercao al erdadero alor, bajo la rema que hemo auado de equeña aracoe e el o de eré. o hay que oldar que la uracó Eerada e ua aromacó leal al erdadero alor, co lo que a momeo má grade de lo o de eré e roduce ua deacoe mayore. Igualmee e 64

31 J. Iñak e a Peña Eeba uede arecar que el mayor lazo de la rea alca a a collear mayore errore que la rea emoral. 9.4.Idemzacoe Para el cao de la demzacoe aalzamo ao u eguro a da eera, como emoral o mo ara u aegurado de 35 año y egú el cao haa la edad ormal de jublacó 65 año or u more de 6.. El alor de la rooe maemáca couda e cada cao erá, ara el eguro a da eera: 3, 5% 6. A35 4.8,67 ara el eguro emoral, y ara el eguro mo: 3, 5% ,9 A35 : 3 3, 5% 6. 3 E.756, A35 35 : 3 Ammo, la uracó Eerada e cada cao acede ara el eguro a da eera IA A R ,7 año ara el eguro emoral, IA A35 : 3 R R : ,45 año 65

32 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... y ara el eguro mo: IA 3 E E R R : A35 : ,76 año Ae ua aracoe del o de eré como e ha auado, e obedrá lo guee reulado Vda Eera Temoral I Real Aromado fereca % Real Aromado fereca % 3,5% 5.44, ,38 57,79 -,379% 4.65,4 4.65,35,593 -,9% 3,4% 4.68,4 4.63,35 4,787 -,377% 4.486, 4.487,48,79,85% 3,49% 4.34,7 4.34,74,566,4% 4.46, ,76,45,463% 3,5% 4.8,67 4.8, ,9 4.48,9 3,5% 4.3,4 4.3,6,794 -,566% 4.4,6 4.4,4,4 -,53% 3,6% 3.58, 3.56,99 8,89 -,369% 4.333,9 4.33,3,9667 -,6846% 3,75%.866,39.78,96 85,49 -,66397% 4.,94 4.,45,49 -,4843% eguro o I Real Aromado fereca % 3,5% 4.333, 4.8,96 5,438 -,8% 3,4% 3.373, ,39 6,7678 -,896% 3,49%.86,9.87,5,48,55% 3,5%.756,.756, 3,5%.695,7.694,97,3 -,33% 3,6%.56,48.45,63,8495 -,4897% 3,75%.89,7.3,6 59,99 -,778% Gráfcamee e uede ambé arecar lo errore aboluo reeco al erdadero alor: 66

33 J. Iñak e a Peña Eeba El error oo deecado e la demzacó duda correode a la aucó de la alda a mad de año. Por ora are odemo arecar que lo meore errore e roduce e la demzacó emoral la cual ee u lazo lmado, mera que el eguro mo al coderar u ago robable a lo 65 año e cao de da roduce ua deacó al ear má alejado e el emo. a mayore deacoe la odemo coemlar e el eguro a da eera. o obae ara ea aracoe del o de eré e uede arecar que el emleo de la uracó Eerada o roorcoa uo alore realmee cercao.. BIBIOGRAFÍA Berwag, George O. 977 Imuzao, urao ad he rucure of Iere Rae. The Joural of Facal ad Quaae Aaly, dcembre, Wahgo. Berwag, George O. 99 Aál de la duracó. a geó del rego de o de eré. Ed. Alaza Ecoomía y Faza. adrd. 67

34 Rego de eré de la oeracoe acuarale cláca: ua aloracó... Berwag G.O.; Kaufma George G. ad Khag Chuloo 978 urao ad Bod Porfolo Aaly; a Oerew. The Joural of Facal ad Quaae Aaly, oembre, Wahgo. Berwag G. O.; Charle J. Corrado Ad George G. Kaufma 99 Comug durao for bod orfolo. The Joural of Porfolo aageme, Fall, ew York. e a Peña, J. Iñak, 997 El rego de eré e eguro y eoe: ua aromacó acuaral. Prmer Premo eaequo º Colloquumm Ieracoal de Barceloa. Aale del Iuo de Acuaro Eañole, 3ª éoca, º, adrd. e a Peña, J. Iñak,. Plae de Preó ocal. Ed. Prámde. adrd. e a Peña, J. Iñak,.Aleraa al Payback e la eleccó de royeco de eró: a duracó. Aál Facero º 83, rmer cuarmere. adrd. Fabozz, Frak J Valuao of Fed Icome ecure ad erae. Ed. Frak J. Fabozz Aocae. ew Hoe. Hck, J.R. 939.Value ad Caal. Oford: Claredo Pre. ebowz, ar. 986 a The edcaed Bod Porfolo Peo Fud, Par I: oao ad Bac. The Facal Aaly Joural de Eero-Febrero, Vrga. ebowz, ar. 986 b The edcaed Bod Porfolo Peo Fud, Par II: Imuzao, Horzo achg ad Coge Procedure. The Facal Aaly Joural de arzo- Abrl, Vrga., ad X. & Pajer, Harry H Immuzao eaure for fe Cogece. The Procedg of he fourh AFIR Ieraoal Colloquum, Orlado. acaulay, F. 938 The oeme of Iere Rae, Bod Yeld ad ock Prce Ued ae ce.856. aoal Bureau of Ecoomc Reearch, ew York. Redgo, F.. 95 Reew of he Prcle of fe-offce Valuao. The Joural of he Iue of Acuare, 8, odo. Toe, Alde Ue of urao Aaly for he Corol of Iere Rae Rk. Publcado e el lbro de Pla, R.B. Corollg Iere Rae Rk, Joh Wlley & o, Ic., ew York. 68

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