ALGORITMO DE PROGRAMACIÓN LINEAL BINARIA PARA LA OPTIMIZACIÓN DEL MUESTREO TECNOLÓGICO EN YACIMIENTOS LATERÍTICOS

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1 ALGORITMO DE PROGRAMACIÓN LINEAL BINARIA PARA LA OPTIMIZACIÓN DEL MUETREO TECNOLÓGICO EN YACIMIENTO LATERÍTICO Adys Marcos Ramírez Aberasurs y Ramó Edde Peña Abreu Cero de Ivesgacoes del Níquel, Carreera Yagrumae Km. 5 ½ Moa. Holguí. CP: 8333 Fa: , Tele.: , , , E-mal: aramrez@cl.moa.mbas.cu; rea@cl.moa.mbas.cu REUMEN Para las dusras mealúrgcas es mrescdble que revo al rocesameo de los merales, se coozca co recsó su comorameo e el roceso, las ruebas mealúrgcas a escala de Baco y Ploo ara las muesras de esas meas aora la ormacó ecesara. El muesreo ómo e yacmeos laerícos se realza medae u modelo leal baro o de oma de decsoes; es coocda la comledad comuacoal de dchos modelos. E el caso que os ocua se ege adcoalmee la cororacó de arculardades que o uede ser eresadas e ecuacoes, or lo que es aú más comleo. La solucó umérca es muy cososa, de comledad eoecal y ara obeer solucoes recsas es coveee la ulzacó de méodos drecos. De lo aeror se desrede la ecesdad de meorar los algormos esees y ulzar el aralelsmo como vía ara dsmur el emo de resuesa. E el resee rabao se eoe las meoras realzadas al méodo de eumeracó mlíca, ara el caso leal; las adaacoes a las eseccdades del roceso modelado, las cuales uero realzadas de al orma que acla la eecucó aralela y cocurree. e muesra los resulados de la eermeacó umérca y las comaracoes co los cálculos eórcos. ABTRACT I s esseal ha revous o he rocessg o merals o ow wh recso s behavour he rocess or meallurgc dusres, he meallurgc ess o bech ad lo scale corbue he ecessary ormao or he samles o hese ores. The omal samlg a deoss laerícos hrough a lear bary model or decsos mag s carred ou; he comuaoal comley o he aoremeoed models s ow. I he he eve ha occues us demads addoally he cororao o arculares ha ca o be eressed equaos, so ha comle s sll urher. The umercal soluo s cosly, o eoeal comley ad he ulzao o drec mehods s covee o oba recse soluos. The eed o mrove he ese algorhms ad o ulze he arallelsm as way o decrease he resose me s emed o he above. I rese wor s eose he mrovemes accomlshed o he mehod o mlc eumerao or he lear case; Adaaos o he secces o he modelled rocess, whch were accomlshed o such orm ha hey mae easy he arallel ad cocurre eecuo. The resuls o umercal eermeao ad he comarsos wh heorec calculaos are show. Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

2 INTRODUCCIÓN E las dusras mealúrgcas es mrescdble que revo al rocesameo de los merales, se coozca co recsó su comorameo e el roceso, las ruebas mealúrgcas a escala de Baco y Ploo ara las muesras de esas meas aora la ormacó ecesara. Para ello es morae que el muesreo realzado e los yacmeos laerícos, garace la seleccó óma de los uos de muesreo más rereseavos, de odo el maeral resee e esos yacmeos. Co ese roóso se ha desarrollado dversos rabaos, e los cuáles, el muesreo ómo se busca medae modelos leales baros o de oma de decsoes (Peña Abreu, 998); es coocda la comledad comuacoal de los algormos que los resuelve la cual aumea e la medda que se le corora al algormo arculardades del roceso, que o udero ser modeladas, ecarecedo comuacoalmee la solucó umérca. El roblema es ecorar la solucó al sguee modelo roueso or (Peña Abreu e al, 27): Ma,, β, { } ueo a: g G s ω ϑ Ω ; Ω C C,,2,3... l T M C La solucó algorímca debe coeer eseccdades del roceso, que o se ecuera elícamee e el modelo y que rasorma el roblema de rogramacó leal clásca, e la búsqueda del couo Ω(ε) de X ales que Má ( )ε, ε >, dode ε es u cero rago de oleraca admsble e la ucó obevo y es el mímo absoluo de ( ). Ω(ε) es la solucó óma del roblema, asocada a u couo de solucoes acbles del modelo, cuyo valor de la ucó obevo es cercao al ómo; eso ermrá escoger la solucó que resuelva la suacó real y que sea lo suceemee buea eedo como aró el valor ómo de la ucó obevo. Para dar solucó comuacoal a esos modelos ese dversos os de algormos, ere los que se ecuera el de eumeracó mlíca leal, ese es muy ecaz ues ecuera la solucó óma eaca; e su orma orgal es oco ecee desde el uo de vsa comuacoal ara resolver a Ω(ε). Como obevo se rouso desarrollarle ua varae que erma su mlemeacó aralela, ara aumear la ececa. METODOLOGÍA EMPLEADA La recolacó ssemazacó y el esudo deallado de la ormacó relacoada co el ema de los algormos baros, collevó al desarrollo de ua varae del algormo de eumeracó mlíca baro y su ause a las codcoes del modelo a solucoar. Asmsmo, aralelzar la ueva varae ermedo ser robada y ulzada e mcrocomuadoras. Es obvo que el uevo roblema es mucho más comleo que el roblema clásco de rogramacó leal (() M (())), y lo coee ara ε. E ese caso () es ua ucó leal y X es el couo de odos los vecores baros que cumle co u couo de resrccoes leales del o A b. Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

3 La dea básca del Algormo de eumeracó mlíca ara la rogramacó leal bara, cosse e geerar y eamar ua secueca de solucoes arcales, ara cada ua de las cuales o se busca el meor comleameo acble de o se demuesra que gú comleameo uede meorar el aeror or esa rama del árbol de solucoes, el cual se cosruye a la ar co las solucoes. E ambos casos el vérce se declara elorado, s eso sucede or el rmer caso, sgca que la búsqueda del meor comleameo X or esa rama del árbol ha ocurrdo eosamee y se escara su acbldad; s ocurre or el segudo caso eoces eso es el resulado de ua de las causas sguees, que se alcara como ruebas de eclusó e el orde que sgue:. La solucó arcal o es u comleameo acble. 2. La coa eror de la Fucó Obevo ecede (o sea la meor solucó hallada hasa la úlma solucó). es elorado or el uo ó 2, se reausa buscado de derecha a zquerda el rmer elemeo s subrayar que se ecuere y ese se comlemea y se subraya (o sea, se subsuye or el msmo co sgo coraro), luego los elemeos que le quede a la derecha se elma eso es debdo a que se rerocede e el árbol y e el vérce dode o se ha elorado ua arsa se clurá ara la eloracó y emeza ua ueva rama que dará lugar a oro comleameo y las arsas que se dearo e el reroceso ya o ereece obvamee a esa rama. Las ruebas de eclusó so alcadas de uevo e u eo or elorar la solucó arcal ausada. las ruebas o declara elorado el vérce eoces se aumea ara ormar ua ueva solucó arcal y el roceso se coúa eravamee hasa que odas las solucoes arcales so eloradas y odos los elemeos de queda subrayados. Varae del Algormo de Eumeracó Imlíca Leal El algormo que se cosruye es ua modcacó al algormo de eumeracó mlíca ara la rogramacó leal bara, or lo que se aalza solamee los asos del msmo que sure cambos. Prueba ara la búsqueda de u comleameo al que X Ω(ε) El meor comleameo de lo deoaremos or X y ese garaza el meor valor de la ucó obevo ara odos los comleameos ecorados hasa eoces. E el caso de mmzar, se debe cumlr que (X ) ε (.), dode ε es el valor de la ucó obevo ara el meor comleameo acble aes ecorado or el algormo. Para el roblema a solucoar e ese rabao (mamzar), queda de la orma sguee, (X ) ε, dode ε es el valor de la ucó obevo ara el meor comleameo acble aes ecorado or el algormo. E ambos casos la meodología desarrollada ara la búsqueda del meor comleameo de, esá basada e el msmo razoameo que se realza ara el algormo orgal de eumeracó mlíca ara la rogramacó leal bara. Acoameo E esa rueba al gual que e la aeror, se sgue ambé los msmos razoameos emleados e el algormo orgal de eumeracó mlíca, e cuao a descarar solucoes co ayuda de la coa Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

4 eror de la ucó obevo y su valor ara el meor comleameo ecorado or el algormo hasa la eracó acual. El roblema a cosderar e u vérce v del árbol de solucoes es el sguee: Ma F a ( ) ( C C ) ε b F {,}, F a y s,m (.2) Como el caso es de mamzar eoces C, () la coa sueror se obee asgádole, s s s F. Así C ε, s, e adcó Y ( y,..., ym), eoces () es ua solucó acble de (.2) y ambé Eloracó ε ε ε. Usado las coas como se euso aerormee, oe que a) ocurre cuado de (.2). La codcó b) se cumle s la coa eror de la Fucó Obevo ecede a msmo emo s ara algua, se cumle la codcó sguee: es solucó acble ε. Al M (, a F ) y s (.3) Eoces, el vérce queda elorado ya que gú comleameo a arr de esa rama logrará cumlr la resrccó. E al caso gú comleameo a arr de será acble y el vérce queda elorado. Para el caso de mmzar, el rocedmeo es aálogo al aeror co C y se obee: ε ε El vérce e ese caso queda elorado cuado se cumle algua de esas coas y además la resrccó (.3) ara algua. Como se uede observar el algormo ara lograr la solucó del uevo roblema laeado, es muy smlar al eueso ara el roblema de la rogramacó leal bara, ero co las modcacoes hechas a las ruebas que se ha elcado. Imlemeacó e Paralelo del Algormo de Eumeracó Imlíca Leal La solucó aralela de cualquer o de roblemas se uede realzar ulzado: Paralelsmo a ravés del ssema o del esaco. Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

5 Paralelsmo a ravés del méodo o aralelsmo a ravés del emo. E el rmer gruo se cluye los algormos que ulza el esaco del roblema y o el méodo de solucó. Meras que e el segudo gruo se cluye los algormos que ulza las ucoes cocurrees smuláeas (K. R. Jacso y. P. rse, 99). Para realzar ua aroada mlemeacó e aralelo del algormo de eumeracó mlíca, se debe eer e cuea los sguees creros: Cosrur el árbol de solucoes, dode sus vérces sea couos dsuos. Es decr, que la erseccó ere ellos sea vacía. Permedo calcular cada vérce de orma deedee a oros vérces. Alcar la regla de rechazo de al orma que o sea ecesaro calcular odas las ramas del árbol. K, F (..),, -,, Y s b C Ω ( ε ) Ω( ε ) { } Y s < ε < V - Elorado. Ese Vérces vvos? Reroceso e la solucó. Eso sgca subrayar y comlemear el úlmo elemeo s subrayar. END..m < s Méodo de seleccó Méodo 2 de seleccó KK Fgura.- Algormo de Eumeracó Imlíca Modcado ara el roblema Ω(ε). Procedmeo ara la cosruccó del árbol de solucoes ea v (,..., ) v {,..., } el vérce cal e él árbol de solucoes. E el rómo vel se orma las ramas, el úmero de varables baras,.., resees e la ucó obevo y que se derva del odo v, el úmero de ramas es gual a la cadad de uevos vérces que se orma a arr de seccoar v. Los vérces esá comuesos or las varables baras a elorar. Los odos a elorar ara ese vel so:,,...,,,,..., v,,...,, dode U s v v. v { }, v { },, { }, 2, 2,2 2,2 3,2 2 El sguee vel es cosrudo a arr del vérce que resea la meor solucó acble. Las uevas solucoes, so geeradas medae la uó dos a dos del meor vérce co las solucoes, 2, s Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

6 acbles que quedaro eloradas e el vel aeror. Esos odos esá ormados del sguee modo: v {,...,,...,,..., }, v {,...,,...,,..., },, v {,...,,...,,..., },,,,,2,2,2 2 Para ormar los veles sguees, se realza el msmo rocedmeo descro. Eoces el vel queda ormado del sguee modo: {,...,,...,,..., }, 2 {,...,,...,,..., },, {,...,,...,,..., } v,,, v,2,2,2 2 ^ Idca las varables que o será eloradas e el vérce.,2,,, v,,,,, Varable l del vérce m e el vel. l m e el vel que se esá elorado, o se ecuera ua solucó que meore la solucó escogda y acualzada como la más acble hasa eoces, se cocluye la búsqueda y se elge esa como la solucó del roblema. El árbol de solucoes se muesra e la gura 2. Algormo Paralelo del Eumeracó Imlíca Modcado Para la eecucó del algormo se emlea la ecología clee-servdor, la msma cosse e desgar u ordeador como servdor, ecargado de evar y recbr oda la ormacó rocesada or los ordeadores que acúa como clee durae la eecucó. El algormo erme dsmur los emos ulzados e la solucó del roblema, lograr u bue balace de carga ere los ordeadores y acoar el úmero de areas a realzar. Para la rearcó equava de la carga, el algormo desués de obeer el úmero de odos a elorar e el vel, calcula medae la dvsó c q dv ( ), la cadad de vérces que será asgados a cada uo de los rocesadores. E el caso que la dvsó coega reso, ese será asgado al rocesador que muesra el mayor redmeo e la eecucó de los cálculos. : Cadad de rocesadores dsobles. { },..., q : Toral de vérces a elorar e el vel. {,..., } {,,,..., } K {, 2,...,, },, 2,,2 2,2 3, {,...,,...,,..., } {,2,...,,2,...,,2,...,,2} K {,...,,...,,...,, },,, M {,...,,...,,..., } { },2,...,,2,...,,2,..., { } 2,...,,...,,,...,,,, Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

7 Fgura 2.- Árbol de olucoes. La regla de rechazo que se ulza cosse e buscar la solucó más acble ere odas las obedas e cada vel del árbol ulzado la eresó Má ( ), y,, al que Má ( ) > Má( ). Esa erme la osbldad de elmar ramas del árbol de solucoes, dode o es ecesaro elorar, debdo a que gua de las ramas elmadas coee e sus vérces hos, solucoes que sea más acbles que la ecorada. E la gura 3, se muesra el algormo dvddo or subrogramas. REULTADO DE LO EXPERIMENTO NUMÉRICO El algormo ara las corrdas secuecales, se codcó e leguae Vsual Basc. e ulzó u ordeador Iel (R) Core (TM) 2 Duo co 2 GB de memora RAM, la cadad de daos rocesada ue de 4 regsros, almaceados e ua abla Mcroso Oce Ecel. El emo obedo ara el roblema de m 4, ue de segudos, el cual, uede meorar e la medda que el algormo sea mlemeado e leguaes de rogramacó más ecees. Las corrdas e aralelo uero realzadas medae la ecología clee-servdor, la mlemeacó del algormo se desarrolló co el uso del leguae de rogramacó Delos, versó 7. e ulzaro 3 ordeadores, ere las cuales, dos ee caraceríscas smlares (Iel (R) Core (TM) 2 Duo co 2 Gb de memora RAM) y la ora (Peum 4 co rocesadores smles y GB de RAM) odas coecadas sobre ua LAM de Mbs. Fgura 3.- ubrogramas del Algormo Paralelo. a: Fuee omada de Zavala Díaz J. C. y Khachaurov V., 22 Para deermar s el algormo aralelo es rádo y eceemee aralelzado, demos (Zavala Díaz, 999): T - Aceleracó Paralela: T Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN

8 - Ececa Paralela: E Para el roblema de m 4, el emo obedo e u rocesador ue de segudos, cuado ulzamos los 3 rocesadores el emo de eecucó es de.785 segudos, eso es.82 y ua ececa de E 6.66%. Los resulados obedos muesra que el algormo aralelo ue correcamee mlemeado. Ese aumea su ececa e la medda que él úmero de vérces v aumea, lo cual os dca que ara roblemas co mayor úmero de resrccoes que requera de mas comuo el algormo aralelo será más ecee. Eso erme obeer y lograr resulados osvos e la vesgacó ya que el algormo aralelo ue creado ara deermar la solucó oma de roblemas de grades dmesoes. CONCLUIONE Co el esudo del algormo clásco de Eumeracó Imlíca ara la rogramacó leal bara, se logró ua varae de dcho algormo co las eseccdades del modelo a solucoar. Para su mlemeacó e aralelo, se creó u uevo algormo, ermedo ser evaluado comuacoalmee. E geeral, los emos obedos e las corrdas secuecales y e aralelo, muesra que la varae aralelzada, es ecee ara esos os de roblemas. REFERENCIA BIBLIOGRÁFICA K. R. Jacso ad. P. rse., 99. The oeal or Parallelsm Ruge-Kua mehods. Par : RK Formulas Esádar Form. Comuer cece Dearme. Uversy o Toroo, Caadá. Peña Abreu R.E Omzacó Combaora Alcada a la Idusra del Níquel. Tess e ocó del grado académco de Maser e Maemáca Alcada, UCLV, aa Clara. Peña Abreu R.E, Rodríguez Cardoa A, am Palaco C. 27. Modelo Maemáco ara la eleccó Óma de Muesras Tecológcas e Yacmeos Laerícos. CD de Memoras de la II Covecó Cubaa de Cecas de la Terra. IBN: Regsro CENDA: Nº:8-27. Zavala Díaz J. C., 999. Ua aoracó meodológca ara solucoar e orma aralela u roblema umérco comleo ulzado la varae elíca. Tess docoral, ITEM Camus Cueravaca. Zavala Díaz J. C. y Khachaurov V., 22. Programacó eera, el méodo del árbol de cubos, su algormo aralelo y sus alcacoes. Faculad de Coabldad Uversdad. Auóoma del Esado de Morelos. Memoras e CD-Rom, La Habaa, 4 al 8 de abrl de 2. IBN