El uso de la descomposición en valores singulares para el tratamiento de imágenes

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1 CIENCI Volume 7, úm. 4 (dcembre 011) 14 págas hp:// ISSN: Recbdo: 8 de agoso de 011 Revsado: 15 de sepembre de 011 Publcado: 0 de febrero de 01 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees Leoardo Colombo Isuo de Cecas Maemácas CSIC-UM-UC3M-UCM, Madrd e-mal: leo.colombo@cma.es pága web: hp:// Ramro Lafuee Uversdad Nacoal de Córdoba, rgea FaMF & CIEM e-mal: ramlaf@gmal.com 1. Iroduccó Hace ya alguos sglos, el uso de los valores sgulares y la descomposcó e valores sgulares ha sdo objeo de esudo de dferees dscplas maemácas como el aálss marcal, el aálss fucoal y las ecuacoes e dervadas parcales, ere oras; pero s duda, el ámbo e que mayor mpaco uvo y coúa eedo es el del álgebra leal umérca. Dchos valores ee ua auraleza geomérca, dada a coocer e prmer lugar por el maemáco alao Eugee Belram [1, 7]. E el sglo XIX Belram, juo co oros geómeras dferecales, buscaba reducr ua forma cuadráca a ua forma dagoal medae rasformacoes orogoales. Fue Belram que do comezo a ese esudo, y al problema de la descomposcó e valores sgulares. Belram resolvó u caso parcular del problema, pero clave e dspesable para los esudos que sguero e años poserores. Demosró que exse al reduccó cuado la marz de la forma bleal es real, o sgular y cuadrada, ecorado ua descomposcó del po T U V S dag ( ), 1 dode posvas de U yv so marces orogoales. Más aú, dchos valores so las raíces cuadradas T (o de T, ya que so marces semejaes). Oro esudo sobre formas bleales llevó a Camlle Jorda a obeer resulados smlares y más geerales que los obedos por Belram. Los esudos de Jorda [4] fuero luego couados por Welad y Laczos. Idepedeemee, Joh Sylveser propuso u algormo para reducr ua forma cuadráca a ora dagoal e [6], dode ambé mecoó la exseca de ua eracó smlar para dagoalzar ua forma bleal. Geomércamee, los valores sgulares de ua marz se puede defr como las logudes de los semejes de la hperelpse que se rasforma medae e la esfera udad; pero e ese maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 1

2 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee rabajo ulzaremos la defcó habual dada e los lbros de álgebra leal umérca, al gual que las éccas usuales e dcha dscpla. Vale la pea mecoar que el raameo de mágees uvo u gra mpaco e dversas áreas de la maemáca hace alguos años, prologádose hasa el día de hoy. l gual que sucede co la descomposcó e valores sgulares, muchas dscplas ceífcas esá eresadas e la relacó de las maemácas co el raameo (compresó, elmacó de rudo, desefoque, ec.) de mágees. La esadísca, la eoría de procesos esocáscos, el aálss armóco y la eoría del muesreo, la eoría de la formacó, el aálss umérco y la opmzacó, y, e geeral, la físca (s olvdar alguas ramas de la geería y la formáca) so alguas de las áreas que e la acualdad poe su erés e esos problemas. Para que el lecor se haga ua dea del uso acual del procesameo de mágees e la ecología, vamos a hacer refereca a los saéles Ladsa [5]. Esos so ua sere de saéles que orba crcularmee alrededor de la Terra, grabado mágees del erreo y de las cosas, de modo que cualquer lugar se pueda esear co mágees cada 8 días. Las mágees obedas por esos saéles so úles para esudar el rmo y la dreccó del crecmeo urbao, por ejemplo. La comudad agropecuara las ulza para aalzar la humedad del suelo y clasfcar la vegeacó. E cuao a los goberos, ésos puede deecar y esmar los daños provocados por desasres aurales. Y los orgasmos de proeccó del medo ambee las ulza para defcar la coamacó realzada por chmeeas y medr la emperaura del agua de ríos y lagos cercaos a plaas de eergía. Los sesores que esá corporados e los saéles oma see mágees smuláeamee de la regó de la Terra que se quera esudar. Cada mage se dgalza y se guarda e ua marz recagular, dode cada erada es u úmero que dca la esdad de señal de u puo (o píxel) de la mage. Dchas mágees suele eer mucha formacó redudae, la cual ocupa espaco ecesaramee, y uo raa de comprmrla para que eso o ocurra. Pero al compresó puede provocar que la mage resule legble. E ese rabajo dagaremos e la relacó que hay ere la descomposcó e valores sgulares y la compresó de mágees. Luego de roducr el ema medae ua revsó de los resulados prcpales que usaremos sobre la descomposcó e valores sgulares, veremos ua aplcacó de la msma a la compresó de mágees. Falmee, esudaremos ua aplcacó del méodo e la cual se resolverá u problema de mímos cuadrados cuya solucó será ua mage codfcada e forma de vecor.. Prelmares y oacó.1. cerca de la Descomposcó e Valores Sgulares (SVD) Los valores sgulares de ua marz de los auovalores de la marz smérca semdefda posva). Esos se ordea e sedo decrecee: m R se defe como las raíces cuadradas o egavas R, que sempre es defda o egava (o ( ) ( ) ( ) 0 1 p dode p m( m ). S el coexo lo perme, se ome la marz de su expresó y se deoa smplemee por: 1 p 0. S m R, co m, eoces exse marces UV S ales que USV, (1) Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

3 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee que sasface que sasface cuya dagoal es de ceros. Es decr: dode U es ua marz m m U U I, V es ua marz V V I, y S es ua marz m co u bloque superor dagoal (sedo 1 0 ), y u bloque feror ( m ) 1 S dag ( 1 ) 0 ( m) Esa descomposcó de como produco de res marces cumpledo las codcoes mecoadas se llama Descomposcó e Valores Sgulares, o SVD por sus sglas e glés ( Sgular Value Decomposo ). S r rg, eoces 1 r r1 0 O sea, que e caso de que sea de rago defcee ( r ), posee r valores sgulares ulos. Las columas de las marces U [ u1 u ] y V [ v1 v ] coee los vecores sgulares a zquerda y derecha, respecvamee, de ; a dfereca de los valores sgulares, ésos o esá uívocamee deermados. Se sobreederá e adelae que las afrmacoes que se haga sobre ellos so depedees de los vecores elegdos. Pero hay que eer cero cudado, ya que los vecores sgulares a derecha v de so vecores propos de y los vecores sgulares a zquerda u de so vecores propos de. S embargo, eso o sgfca que y cualesquera bases oroormales de vecores propos de pueda ser ulzadas como vecores sgulares a derecha e zquerda, respecvamee, de. Las columas v de cualquer marz orogoal V que dagoalce a puede servr como vecores sgulares por la derecha de, pero los vecores sgulares por la zquerda correspodees v fórmulas u s 1 r, es decr, y para 1 v v u 1 r v { u u u } se elge cualquer base oroormal de ker r r m u v 1 r demás, para los subespacos úcleo e mage de, se ee que ker spa{ v v } Im spa{ u u } r1 1 r u vee dados por las. També se cumple: dode spa deoa el subespaco geerado por dchos vecores. Co las oacoes k U [ u u ] V [ v v ] mk k 1 k k 1 k maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 3

4 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee se ee Im ImU y las relacoes mporaes ker Im Im ImV 1 Im m1 ker r r dode deoa la suma dreca orogoal... Descomposcó dádca La descomposcó dádca de la marz se obee drecamee de la descomposcó e valores sgulares mosrada e (1), y es la sguee: 1 u v T Se llama dada a oda marz de rago 1, de ahí el ombre de la expresó aeror. Esa ermología provee de la Físca, dode se habla de esores dádcos. Usaremos la orma especral de marces,.e. la orma ducda por las ormas euclídeas e m 1 y 1, max x 1 x x ( ) Se puede demosrar que 1.3. Teorema de Eckar y Youg Sguedo e el coexo aeror, dado u eero k, 0 k r, sea k T k uv 1 Eoces, el eorema de Eckar y Youg asegura que m X ( ). rgx k k. k 1 O sea, la marz de rago meor o gual a k que mmza la dsaca a (e orma ) es precsamee. E parcular, k m X ( ) rgx r r1 r 4 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

5 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee.4. Resolucó de problemas de cuadrados mímos por medo de la SVD Esudaremos ssemas de ecuacoes leales del po x b m dode es la marz del ssema, de escalares. x 1 es la cóga, y b m1 es u vecor arbraro E el caso de u ssema co gual cadad de cógas que ecuacoes ( m ), se puede hallar las solucoes medae méodos drecos, como por ejemplo elmacó gaussaa, descomposcó LU, Cholesky, ec. 1. E el caso de que esos méodos o pueda ser aplcados (por problemas de memora o empos de ejecucó muy grades) se puede ulzar méodos eravos, los cuales aproxma la solucó x progresvamee para luego, al cabo de cera cadad de eracoes, obeer ua solucó acepable. Cuado el ssema es compable, se ea buscar u x de modo al que x se aproxme a b ao como sea posble. O sea, se busca mmzar la expresó x b () E geeral, cuado m o hay u x que sasfaga x b. Es e esos casos dode se resuelve el problema de mmzar la expresó expuesa aerormee, ambé coocdo como problema de mímos cuadrados. Es posble demosrar que el x que mmza dcha expresó es la solucó del ssema leal ( x) b Para resolver ese po de ssemas, e los cuales la marz es cuadrada ( ), debemos cosderar dos casos: cuado el rago por columas de es compleo, y cuado o lo es (para más formacó, ver [, 3]). S rg( ), eoces es defda posva, y podemos resolver el ssema ulzado la descomposcó de Cholesky. S embargo, cuado rg( ) o puede ser ulzado ese méodo, ya que alguos auovalores de la marz so ulos. Es e esos casos dode se puede aplcar la Descomposcó e Valores Sgulares (SVD). Esudaremos el caso e el que el rago de la marz sea defcee, eso es, meor a la cadad de columas. m Dada la marz del problema ( m ), supogamos que rg( ) r, o sea, que es de rago defcee. E ese caso, o exse u úco x que mmza (), so que e realdad el cojuo de ales vecores es de dmesó r. Iearemos ecorar dchos x, y cosderar como solucó al problema el x de orma míma. Como vmos aerormee, exse exacamee r valores sgulares de que so o ulos, y esos so los úcos que fluye e la SVD de. Luego, escrbamos la SVD de como: S1 0 USV [ U1 U ] [ V1 V ] U1S1V (3) 1 Para la aplcacó de dchos méodos se debe supoer que el ssema es compable deermado. maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 5

6 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee rr dode S1 es ua marz dagoal (submarz de S ), e cuya dagoal se ecuera los U V represea las prmeras r valores sgulares o ulos de e orde decrecee, y 1 1 columas de las marces UV, respecvamee. Dada la descomposcó e (3), es posble demosrar que odas las solucoes al problema de mímos cuadrados so de la forma x V S U b V z co z u vecor arbraro de dmesoes adecuadas. Como las columas de V 1 y V so muuamee orogoales, eemos por el eorema de Págoras que x V S U b V z lo cual claramee se mmza omado z 0 (vecor ulo). De esa forma, coocedo la SVD de uesra marz, podemos obeer el x de orma míma que mmza (), medae la fórmula x V S U b b (4) , dode es la marz pseudo versa de Moore-Perose de (ver por ejemplo [3]). 3. Compresó de mágees medae el uso de la SVD E esa seccó preseamos ua aplcacó de la descomposcó e valores sgulares de ua marz, relacoada co la compresó de mágees (represeadas por marces) de ua maera más ecoómca Levaameo de mágees a parr de ua marz qué os refermos cuado hablamos de mágees represeadas por marces? S magamos la mage como ua abla de píxeles, cada uo co ua desdad deermada, lo que obeemos es e realdad ua marz, cuyas eradas dca el color (o valor de grs, s fuese e blaco y egro) de cada píxel de la mage e cuesó. De esa forma, podemos rabajar co las mágees como s fuera marces umércas cualesquera. Por ejemplo, la marz dedad (de ua deermada dmesó) represea, e érmos de mágees, u cuadrado blaco co su dagoal descedee pada de egro (los úmeros ere 0 y 1 os da la desdad de color grs que debe parse e cada píxel, asumedo que el 0 represea al color blaco puro y el 1 al egro). 3.. Compresó de la mage S uvéramos la ecesdad de evar ua mage e forma de marz, dgamos por correo elecróco, podría surgr el problema de que las dmesoes de la marz fuese exageradamee grades (por ejemplo, ua marz de x ), y e cosecueca la cadad de memora ecesara para guardar los daos que coee sería exremadamee grade. Mosraremos u méodo medae el cual, evado sólo formacó parcal de la marz (es decr, o la marz complea), logramos que se perda la meor cadad de formacó posble sobre la mage. 6 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

7 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee m que represea a la mage e cuesó lo que hacemos e prmer lugar es, Dada la marz a parr de su descomposcó e valores sgulares USV, obeer su descomposcó dádca T u v, (5) 1 dode u v so los vecores columa de U V respecvamee, y so los valores sgulares de la marz. El resulado prcpal que fudamea ese méodo es el eorema de Eckar y Youg, el cual asegura que s sólo coservamos los prmeros k érmos ( k ) de la expresó e (5), eoces la dsaca ere la marz obeda y es exacamee k 1. demás, el mecoado eorema os asegura que la marz k T k 1 u v es la más próxma a ere odas las se ecuera e orde marces de rago k. Como los valores sgulares 1 k k 1 decrecee (llegado cluso a ser ulos s rg ), eoces co la marz k eemos ua buea aproxmacó de uesra marz cal. Lo eresae de ese resulado es que para rasmr la marz ecesamos evar las columas de U y de V además de los valores sgulares de, meras que para coocer sólo ecesamos coocer k de los elemeos aes mecoados. Vale la pea señalar que, sorpredeemee, o hace fala demasados valores sgulares para obeer ua aproxmacó acepable de la mage. Como veremos e las mágees de ejemplo, co evar solo u cuaro, o cluso meos valores sgulares de uesra marz, podemos recosrur la mage cas a la perfeccó lgormos de Malab couacó presearemos los comados de Malab ecesaros para obeer la descomposcó e valores sgulares y para levaar mágees correspodees a las marces mecoadas aerormee. Malab presea ua mporae lbrería de mágees, codfcadas e forma de marces, las cuales se puede ulzar para lusrar lo expueso e esa seccó. Nosoros hemos elegdo la mage durer.ma. Esa es ua marz de 630 x 509. Para rabajar co ella, basa co cargarla a la memora de Malab de la sguee maera: load durer.m Y la marz correspodee a la mage durer.m queda guardada e la varable X. hora buscamos las marces U S y V de la SVD de x, medae la fucó svd de Malab: [U,S,V]=svd(X); Falmee, para mosrar la mage obeda al quedaros co sólo k valores (y vecores) sgulares, lo que debemos hacer es darle u valor a k, y escrbr el códgo ecesaro para levaar la mage correspodee: colormap(map) k=... mage(u(:,1:k)*s(1:k,1:k)*v(:,1:k) ) k k Malab es ua marca regsrada de Mah Works. maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 7

8 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee 3.4. Imágees para lusrar la dea Luego de aplcar repedas veces el méodo e Malab como mosramos aes, obeemos las mágees correspodees a los dferees valores de k. Observamos que la mage se ecuera perfecamee dsguble co k 40 valores sgulares, y que ya co 150 valores obeemos ua caldad cas déca a la coseguda co la oaldad de la marz (Fguras 1 y ). Fgura 1. Recosruccó de la mage usado la SVD. Fgura. Recosruccó de la mage usado la SVD. 8 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

9 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee 3.5. cerca de la mage Durer.m La mage que hemos escogdo para ese ejemplo, durer.m (Fgura 3), represea el grabado Melacolía I del por reacesa alemá lbrech Dürer, y se cosdera su obra más mserosa por la geomería y cuesoes maemácas que aparece e ella. Fgura 3. Melacolía I, de. Dürer. Dürer mafesa su erés haca la maemáca e esa obra. E ella se puede observar semcrcuferecas, poledros, esferas y, lo más llamavo, el cuadrado mágco que aparece e la pare superor derecha. Fgura 4. Dealle del cuadrado mágco e Melacolía I de. Dürer. Observemos la parculardad de ese cuadrado mágco (Fgura 4): odas las flas, columas, dagoales prcpales y submarces de suma el úmero mágco, 34. maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 9

10 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee 4. plcacó a la resolucó de u problema de cuadrados mímos couacó veremos ua aplcacó del méodo de descomposcó e valores sgulares para la resolucó de u ssema de ecuacoes parcular. E dcho ssema, lo que obedremos como solucó será ua mage (a dfereca de la seccó aeror, la mage esará codfcada e el vecor x y o e la marz ). Ese problema surge e la prácca, cuado queremos recosrur ua mage a parr de la emsó de rayos X e ua omografía compuerzada Recosruccó de mágees por emsó de rayos X e ua omografía compuerzada Ua omografía compuerzada brda ua mage dgalzada de ua regó plaa R, co el objevo de cosegur ua recosruccó e blaco y egro de la mecoada regó R. Para obeer la mage dgalzada, debe procederse de la sguee maera: ) Emarcar e u recágulo la zoa R a reproducr. ) Dvdr el recágulo e pequeños cuadrados, los deomados píxeles. ) Colorear cada cuadrado (píxel) asgádole u color e la gama blaco-egro, es decr, colorear de grs co ua esdad predeermada. S deoamos a la cadad de píxeles obedos eoces, cuao mayor sea, mejor será la caldad de la mage reproducda. El msmo procedmeo se puede aplcar s lo que se desea recosrur es u cuerpo co volume. E las mágees reproducdas por u omógrafo compuerzado la esdad del color asgado a cada píxel de la malla depede de la desdad del ejdo cuya mage se desea reproducr. Cosderado que, a pror, la desdad del cuerpo a recosrur es descoocda (es la cóga del problema a resolver), el omógrafo deberá procesar formacó que le perma ferr la desdad del cuerpo e cada uo de los píxeles de la malla. E lo que sgue haremos ua breve descrpcó del modo e que u omógrafo compuerzado opera cuado ea recosrur mágees plaas: ) Ua fuee exera al cuerpo a recosrur eme u rayo que aravesa al mecoado cuerpo. ) l aravesar el cuerpo el rayo ee ua pérdda de esdad, la que se supoe que es drecamee proporcoal a la desdad del cuerpo aravesado. ) U recepor exero recbe al rayo y mde la aeuacó oal sufrda por el rayo, a la que deoamos b. Supogamos que la regó a recosrur es aravesada por m rayos, umerados de 1 a m, y que la malla posee píxeles umerados de 1 a. Obsérvese que a parr del coocmeo del águlo que forma el rayo co la fuee emsora y del amaño de la malla, se puede deermar la logud del ramo de rayo que aravesa cada píxel 3. Deoamos a a la logud del rayo que aravesa el píxel j, y b a la aeuacó del rayo medda e el recepor. S supoemos que la desdad del cuerpo es cosae e cada píxel de la malla, y que el facor de aeuacó es proporcoal a la logud del ramo del rayo que aravesa el píxel j, la corbucó a la aeuacó oal del rayo debda al paso por el píxel j será eoces ax j j, para cero del rayo). j a j x j (que depede úcamee del píxel j y o 3 Obvamee el rayo o aravesa alguos píxeles, e cuyo caso la logud del ramo asocada a al píxel es cero para ese rayo. 10 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

11 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee sí, la aeuacó oal e el rayo provedrá de sumar la aeuacó sufrda a lo largo de odos los píxeles que el rayo aravesa; es decr, j1 ax j j debe cocdr co la aeuacó debe sasfacer b medda por el recepor. E oras palabras, las cógas aj x j b 1 m (6) j1 x j Para poder ferr la desdad del ejdo del píxel j, debemos hallar la aeuacó x j ocurrda al aravesar el píxel j. Teedo e cuea que u rayo sólo aravesa alguos píxeles, se deduce que para recosrur oda la mage se debe aravesar la regó por varos rayos y procesar e forma cojua la formacó obeda por odos ellos. Luego, debemos hallar los valores de x que sasface el ssema de ecuacoes (6), sedo m el úmero de rayos emdos por las fuees. Usado oacó marcal, recosrur la mage equvale a resolver el ssema x b. Cada fla de correspode a u rayo, y los elemeos de la fla -ésma de so a a a a 1 j, j sedo aj 0 s el rayo o pasa por el píxel j. Cabe desacar que: ) Para cosegur ua buea recosruccó de la mage debemos dvdr la regó e u úmero grade de píxeles ( grade) y usar muchos rayos para aravesarla ( m grade) 4. ) U rayo puede aravesar sólo uos pocos píxeles; por lo ao, la ecuacó asocada a cada rayo ee muchos coefcees a ulos. sí, la marz es dspersa (sparse e glés). j ) Obsérvese que s la cadad de rayos emdos es meor que la cadad de píxeles, m eoces el ssema edrá fas solucoes. E ese caso, quzás se desee hallar aquella solucó que da la meor aeuacó de píxeles. Tal solucó es la de míma orma. v) S la cadad de rayos emdos es mayor que la cadad de píxeles, m eoces el ssema podría o eer solucó. Lo msmo puede ocurrr s por errores de redodeo e las medcoes realzadas para cualquer a, el ssema resula compable. j 4 Nóese que el ssema es geeralmee de gra escala. maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 11

12 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee demás, la aeuacó de la eergía es ua egral de líea a lo largo de la rayecora del rayo, y b es el valor de esa egral, meras que cada ecuacó plaeada es ua suma de Rema. Eso dce que es alamee probable que el ssema plaeado sea cossee. E al suacó, ua posbldad eresae es hallar valores para sea a x que sasfaga que la dfereca x j pequeña como sea posble. Es decr, buscamos la solucó al problema de mímos cuadrados del ssema x b 4.. Preseacó y resolucó del problema medae SVD Resolveremos el problema de mímos cuadrados b m x x b dode es la marz que represea las logudes de los dferees rayos que aravesa la regó, b represea la aeuacó de cada rayo medda e el recepor, y x, la cóga, so las desdades de la regó e cada píxel. E uesro caso parcular, la marz es de dmesoes 144 x 144 y de rago aproxmadamee 15. Como rg( ), o podemos ulzar la ecuacó ormal y luego la descomposcó de Cholesky. Es por eso que resolveremos la cuesó hacedo uso de la SVD de la marz : USV Como ya hemos vso, la cóga x de meor orma que resuelve el problema vee dada por la fórmula (4): x V S U b b Para hallar la solucó x e la prácca, se puede proceder e Malab como explcaremos a couacó lgormos de Malab para la resolucó del problema Prmero debemos leer los daos de los archvos correspodees. Supogamos que eemos los daos de y b guardados e los archvos.da, b.da respecvamee. Eoces, los leemos e Malab co el sguee códgo: fd1=fope(.da ); =fscaf(fd1, %f %f,[ ]); fclose(fd1) fd=fope( b.da ); b=fscaf(fd, %f,[144,1]); fclose(fd) Para hallar la marz pseudoversa de basa co escrbr C=pv(). Luego, la solucó al problema de cuadrados mímos que esamos buscado es x=c*b. 1 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala

13 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee Recordemos que dcha solucó esá odavía e forma de vecor (de 144 x 1). Como represea ua mage, debemos raducr x a ua marz cuadrada Y, de 1 x 1, usado el comado de Malab Y = reshape(x,1,1);. hora sólo resa comparar ese resulado co la verdadera solucó del problema Esudo de los resulados obedos Nos eresa saber e cuáo dfere uesro resulado de la solucó real al problema. Para comparar las mágees, debemos coverr las marces que eemos (el vecor solucó obedo, y el que sabemos que es solucó real al problema) e mágees, y observar qué vel de smlud ecoramos lgormo de Malab para levaar mágees couacó preseamos el algormo para coverr ua marz e ua mage e blaco y egro. E Malab, debemos escrbr: fgure(a) magesc(y) colormap(gray) dode a es el úmero de mage que queremos asocarle, e Y es la marz a levaar Comparacó co la solucó "verdadera" Sólo resa ver las mágees que hemos obedo co los algormos ya expuesos y co la ayuda de Malab. Observamos e la Fgura 5 que las mágees o so compleamee guales; s embargo, la solucó obeda se aproxma muchísmo (y e varos lugares cocde exacamee) co la verdadera. Fgura 5. Solucó obeda vs. solucó real. 5. Coclusoes lo largo del rabajo hemos vso la ulzacó de la Descomposcó e Valores Sgulares para dsas aplcacoes. Co respeco a la compresó de mágees, vale la pea mecoar que es u ejemplo perfeco para mosrar el poder de alguas herrameas del Álgebra Leal Numérca (y e parcular de la SVD). maemacala Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) 13

14 El uso de la descomposcó e valores sgulares para el raameo de mágees L. Colombo, R. Lafuee Hemos poddo observar los cambos e las mágees a medda que k aumeaba, y llegamos a la coclusó de que lo prmordal para recuperar la formacó de la marz fuero sólo uos pocos u v ): los mayores. valores sgulares (co sus respecvos vecores demás, vmos cómo levaar ua mage (movados por la recosruccó de mágees por emsó de rayos X) resolvedo u ssema de ecuacoes co fas solucoes, plaeado el problema como uo de mímos cuadrados, pues esábamos rabajado co marces de rago defcee. Hemos vso cómo la solucó obeda (ua mage codfcada e forma de vecor) se aproxma mucho a la solucó real, mosrado e cera maera la efceca del méodo. S be la resolucó del problema de mímos cuadrados se podría haber realzado medae oro méodo, las dmesoes de uesro ssema o era demasado grades, por lo que o uvmos coveees al aplcar el méodo de la SVD, medae el cual se obuvo la solucó cas medaamee. 6. gradecmeos Los auores quere agradecer a Nélda Echebes (Uversdad Nacoal de La Plaa-rgea) sus crícas y recomedacoes. L. Colombo agradece al programa predocoral JE-Pre del CSIC, y R. Lafuee al CONICET-rgea. Referecas [1] ^ E. Belram: Sulle fuzo blar. Gorale d Maemache ad Uso degl Sude Delle Uversa 11 (1873), [] ^ J. Demmel: ppled umercal lear algebra (1 s ed.). SIM, [3] a b R. Hor, Ch. Johso: Topcs marx aalyss. Cambrdge Uversy Press, [4] ^ C. Jorda: Sur la réduco des formes bléares. Compes Redues de l cadéme des Sceces 78 (1874), [5] ^ NS: Ladsa Program, hp://ladsa.gsfc.asa.gov. [6] ^ J. Sylveser: ew proof ha a geeral quadrac may be reduced o s caocal form (ha s, a lear fuco of squares) by meas of a real orhogoal subsuo. The Messeger of Mahemacs 19 (1889), 1-5. [7] ^ I. Zaballa Tejada: Valores sgulares. Qué so? Para qué srve?, hp:// Sobre los auores Leoardo Colombo () es lcecado e Maemáca por la Uversdad Nacoal de La Plaa (rgea, 009). cualmee es becaro JE-Pre del Isuo de Cecas Maemácas (ICMT) e Madrd, dode realza su rabajo de ess docoral ulado sobre el ema Méodos geomércos y umércos para eoría de corol ópmo bajo la drecco del Dr. Davd Marí de Dego. Ramro Lafuee es lcecado e Maemáca por la Uversdad Nacoal de La Plaa (rgea, 009). cualmee es becaro de CONICET e FaMF (Uversdad Nacoal de Córdoba, rgea), para realzar su ess docoral bajo la dreccó del Dr. Jorge Laure sobre el ema El flujo de Rcc y las mércas soloes e varedades homogéeas. 14 Vol. 7, úm. 4 (dcembre 011) maemacala