Modelando el Mundo con funciones exponenciales y logaritmos

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1 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Guía de Aprendizaje Nº 3 Modelando el Mundo con funciones eponenciales logaritmos Educación Matemática Segundo nivel o ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes Adultas DE_604.indd :50

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3 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Guía de Aprendizaje Nº 3 MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Educación Matemática Segundo nivel o ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes Adultas

4 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática Educación -MODELANDO Matemática EL MUNDO -MODELANDO CON FUNCIONES EL MUNDO EXPONENCIALES CON FUNCIONES Y EXPONENCIALES LOGARITMOS Y LOGARITMO Ministerio de Educación Avda. Bernardo O Higgins 37, Santiago de Chile Guía de Aprendizaje N 3 MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Segundo Nivel o Ciclo de Educación Media Educación para Personas Jóvenes Adultas Primera edición, año 203 Inscripción Nº Autores: Mauricio Huircán Cabrera Katherina Carmona Valdés Colaboradores: Nicolás de Rosas Cisterna, Rosita Garrido Labbé, María Angélica Contreras Fernando, Pablo Canales Arenas Carolina Marambio Cárcamo. Walter Roberto Valdivieso Sepúlveda, Manuel Ernesto Urzúa Bouffanais. Edición: Jose Luis Moncada Campos Revisión Editorial Matemática: Carla Falcón Simonelli Coordinación Nacional de Normalización de Estudios División de Educación General Impreso por: RR Donnelle Año 203 Impresión de ejemplares 2

5 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo Segundo de Educación nivel o ciclo Media de - Educación Guía Nº 3Media - Guía Nº 3 Iconografía Información Atención Tips Página Web Actividad Actividad en el cuaderno Evaluación 3

6 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 4

7 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Presentación El material que la Coordinación Nacional de Educación de Adultos del Ministerio de Educación (Mineduc) pone a su disposición es una herramienta de apoo para los estudiantes del último nivel de Educación Media, a sea de la modalidad regular o fleible. En las siguientes páginas encontrará conceptos matemáticos, ejemplos resueltos de problemas actividades que se pueden desarrollar en clases o cuando estudie. Este material está dividido en tres guías de trabajo, en las que se abordan contenidos de funciones eponenciales funciones logarítmicas. Se inicia desde los contenidos más simples, para ir paso a paso hacia los más complejos, brindando un espacio de autonomía para el estudio de la matemática. El desarrollo de las unidades considera la secuencia didáctica inicio, desarrollo cierre, pone énfasis en mostrar ejemplos resueltos completos entregar otros que se solucionan con apoo del profesor o profesora; todo con la finalidad de fomentar la rigurosidad precisión del uso de los conceptos matemáticos que se tratan. La guía de trabajo Nº trata la valoración de la función eponencial su gráfica, para terminar desarrollando situaciones problemas que involucran el trabajo con funciones eponenciales. En la guía de trabajo Nº2 se trata la valoración de la función logarítmica, su gráfica ecuaciones, para terminar desarrollando situaciones que involucran el trabajo con funciones de este tipo. Una vez desarrolladas las guías de trabajo Nº Nº2 puedes reconocer a través de la visualización los gráficos de la función eponencial logarítmica. Es importante destacar que el proceso de aprendizaje de las matemáticas de otras ciencias es individual pasa por la dedicación el esfuerzo de la persona que aprende. Lo invitamos a trabajar en este material a descubrir cómo las matemáticas pueden audarle para la vida. 5

8 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática Educación -MODELANDO Matemática -MODELANDO MUNDO CON EL FUNCIONES MUNDO CON EXPONENCIALES FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOSY LOGARITMOS Guía de Guía trabajo de trabajo Nº Nº 2 Función eponencial algo algo más... más... Contenidos: Función eponencial. Gráficos de la función eponencial. Análisis de situaciones en diversos ámbitos que pueden ser modeladas por una función eponencial. 6

9 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 S CONOCIENDO LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Los modelos matemáticos son una aproimación a fenómenos del mundo real, las funciones logarítmicas eponenciales se ajustan de manera mu precisa a diversas situaciones campos de trabajo del hombre; tales como: Química, Física, Biología, Economía, Ingeniería otras, donde contribuen a describir los fenómenos que pueden modelar. El erudito Robert Malthus, considerado el padre de la demografía, publicó en 798 el libro Ensao sobre el principio de la población. Entre sus principales puntos plantea que: «La población tiende a crecer de acuerdo con una progresión geométrica, en tanto que los medios de subsistencia lo hacen en progresión aritmética». Observa atentamente el gráfico de crecimiento demográfico: Crecimiento de la población en millones de personas Millones de personas Año Fuente: TIPS En la naturaleza el tipo de crecimiento eponencial no es el más frecuente, pues las poblaciones no crecen indefinidamente debido a que la resistencia ambiental se opone a la epresión del potencial biológico de una población (capacidad para aumentar su densidad). Para profundizar más le invitamos a revisar este link: http: //recuerdosdepandora.com/historia/como-ha-crecido-tan-rapido-la-poblacion-mundial/ 7

10 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS FUNCIÓN EXPONENCIAL La epresión = a, o, f () = a, (0 < a < o a >) se denomina función eponencial donde el valor de a puede ser cualquier número positivo ecepto el. TIPS Recordemos que una función es una relación entre dos variables, en la que a cada valor de la primera variable independiente, le corresponde un único valor de la segunda variable dependiente Las funciones eponenciales, son relaciones funcionales en las cuales la variable independiente es el eponente de la potencia o parte de la potencia que conforma. La función que a cada número real le hace corresponder la potencia a se llama función eponencial de base a eponente. Ejemplos: Dada la función eponencial = f () = 3 su tabla correspondiente: = 3 0,0625 0,25 0,25 0, Podemos graficar esta función: TIPS Utilizando calculadora realiza la tabla de valores la grafica de la función eponencial f () = 5 8

11 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 ELEMENTOS DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL: f : IR IR + = f () = a a > 0, a La base a > hace que la función sea creciente: = a La base 0 < a < hace que la función sea decreciente: = a TIPS Recuerda que para graficar una función es necesario evaluar la función, construir una tabla de valores luego llevar a un gráfico. 9

12 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Evaluar una función realizar su gráfica. Observe atentamente el proceso de evaluación de la función. Dada la función f () = 3, evaluamos la función para =0. o Reemplazamos en su valor cero, f(0)=3 f(0)=. ) Completa con este mismo procedimiento los cuadros en blanco. Función Valor de a evaluar Función evaluada = 0 f (0) = 3 0 = = f ( ) = 3 0 f () = 3 = - = = -2 f (-) = 3 (...) = f () = 3 = f (-2) = 3-2 = - -2 = 2 f (2) = 3... = 2 2) Realiza la grafica de la situación función f () = 3 alor de la a evaluar Función a evaluada Pares ordenados que se llevan al gráfico = -=... (0,0) 2 - = 2-=... (,) = 4-=... (2,3) 3 3) 2 3 Determina - = 8-=... si la función es creciente (3,7) o decreciente 0

13 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Realice la gráfica de las funciones eponenciales, cada curva con un color distinto. TIPS a) b) =f () =2 = f () =2+ Puede descargar gratuitamente en español el programa Geogebra que permite graficar funciones. Qué podría concluir al observar la gráfica de las funciones? Cómo cree que será el gráfico de la función = f () =3 -?

14 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Realice la gráfica de las siguientes funciones eponenciales. a) b) =h () = ( 2 ) =f () = ( 2 ) + b) = f () = Qué podría concluir al observar la gráfica de las funciones? Cómo cree que será el gráfico de la función =f () = ( 2 ) -? 2

15 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 ) Complete las siguientes tablas ubique los puntos en el plano cartesiano esbozando la gráfica de la función eponencial: a) f () = 4 = 4 b) h() = = 4 + c) g() = = 4-2) Complete la tabla esboce las gráficas de las tres funciones en un solo plano cartesiano: a) t f (t) = ( 4 ) t h(t) = ( 3 ) t b) t f (t) = 2 t h(t) = 3 t

16 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS ) Complete la tabla de las funciones dadas, esboce sus gráficas compárelas: = f () = = f () = ( 3 ) ) Asocie cada función dada con su correspondiente esbozo de gráfica uniendo con una línea: f () = ( 3 ) f 2 () = -2 f 3 () = 4 9 f 4 () = ( ) f 5 () = 0 4

17 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 4) Complete la tabla valorando la función dada esboza su gráfica. a) t f (t) = ( 4 ) t h(t) = ( 3 ) t b) t f (t) = 2 t h(t) = 3 t

18 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS SITUACIONES Y PROBLEMAS QUE SE RESUELVEN UTILIZANDO LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Resolveremos algunas situacionesreales con la aplicación de funciones eponenciales: ) Las diferencias de presiones, que se producen al ascender una montaña, son la causa que algunas personas se apunen tengan fuertes dolores de oídos. Investigaciones científicas determinaron que la presión atmosférica está dada por la epresión: = f () = ( 9 0 ) : se mide en miles de metros. : se mide en atmósferas a) Realice la gráfica de la función. b) Qué presión ha a cuatro mil metros de altura? Solución: a) Para realizar la gráfica es necesario hacer una tabla de valores, evaluar la función ubicar los puntos correspondientes en el plano cartesiano: Como : se mide en miles de metros completaré la siguiente tabla: = f () = ( 9 0 ) b) El valor =4 indica cuatro mil metros de altura la tabla muestra el valor de = atmósferas. Respuesta: Por lo tanto a los cuatro mil metros ha atmósfera de presión. 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,

19 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Ejemplos de problemas que involucran funciones eponenciales: Como se eplicó anteriormente, las funciones eponenciales son mu útiles para describir algunas situaciones, como por ejemplo: ) El crecimiento demográfico de una población de bacterias, esta modelado por una función eponencial de la forma: P( t ) = P 2 t 0 donde: P 0 : es la población inicial de bacterias cuando t = 0 t : es el tiempo medido en horas Si la población bacteriana inicial es de 00 bacterias, complete la tabla según los tiempos en horas dados: t: tiempo en horas Población P(t) Sugerencia: Para completar la tabla, proceda reemplazando cada valor de t, en la función: P(t) = P 0 2 t P(t) =00 2 t Esbozo del gráfico de la función: P (0) = P (0) =00 = 00 P () = 00 2 P () =00 2 = 200 P (2) = P (2) =00 4 = 400 P (3) = P (3) =00 = P (4) = P (4) =00 6 =.600 P (5) = P (5) =00 = P (6) = P (6) =00 64 = = f (t ) = P 0 2 t

20 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Qué pasaría si P 0 = 0? Complete la siguiente tabla esboce el gráfico : P(t)=P 0 2 t --> P(t)= 2 t t : tiempo en horas Población P(t) 0 Realice el gráfico de la función: Si la población inicial (cuando t = 0 ) es 0 (P 0 = 0 ) Cuál será el tamaño de la población al cabo de 5 horas? Si la población inicial (cuando t = 0 ) es 20 (P 0 = 20) Cuál será el tamaño de la población al cabo de 7 horas? 8

21 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 2) Si se agregan 20 gramos de sal a una cantidad de agua, la cantidad q(t), de sal sin disolver luego de t segundos está dada por: q(t) = 20 ( 4 5 ) t a) Cuánta cantidad de sal sin disolver ha luego de 0 segundos? b) Esboce la gráfica después de completar la tabla t: (segundos) q(t) = 20 ( 4 5 ) t 6 6,6 3,4 3) El modelo aproimado de Jenss: = e 3,3- es considerado el más preciso para determinar la estatura de los niños menores de 7 años. Si es la estatura medida en centímetros es la edad medida en años. a) Completar la tabla de estatura de los niños menores de 7 años. : (años) 0 0,25 0,5 0, = e 3,3-52,5 59,8 75,2 02,5 4,9 b) Esboce la gráfica de la estimación de la estatura de los niños menores de 7 años. 9

22 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 4) Chile, los años 996, , tenía una población aproimada de , habitantes respectivamente. Actualmente, según el censo del año 2002, tiene una población aproimada de 5,5 millones de habitantes está creciendo a una tasa anual de,3%. Crecimiento que se ha ido desacelerando desde el año 992. Si se observan estos datos, o si se estudia esta situación con datos más completos del Instituto Nacional de Estadísticas (INE) se puede observar que este crecimiento no es constante; si lo fuese, tendríamos un crecimiento lineal, pero no ocurre así. Este tipo de crecimiento atiende más bien a un crecimiento eponencial que está determinado por la función: P(t) = P 0 e kt donde: P 0 : es la población inicial (cuando t = 0 ), k : es la tasa de crecimiento en porcentaje anual, t : es el tiempo medido en años, P (t) : es la población en el tiempo t. A partir de estos datos, responda: a) Qué población habrá en Chile en 0 años más en 50 años más, si sigue creciendo a esta misma tasa? b) Qué población habrá en Chile en 0 años más, si la tasa de crecimiento cae a la mitad de la actual? c) Si la tasa de crecimiento se duplica respecto de la tasa actual. Qué población habrá en Chile en 0 años más? 20

23 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Solución: Para resolver el problema, es necesario determinar la función: P (t) = P 0 e kt, en este caso, los datos permiten escribir la función así: P(t) = P 0 e kt P(t) = 5,5 e 0,03t P 0 = 5,5, millones es la población inicial el año 2002, (cuando t = 0), k =,3% k =,3 = 0,03, tasa anual de crecimiento. 00 a) Para t =0 años: P(t) = 5,5 e 0,03t P(0) = 5,5 e 0,03 0 = 5,5 e 0,3 = 7,652 Por lo tanto, después del 2002 habrá más de 7,7 millones de habitantes aproimadamente. Por qué? Determine la población en 50 años más. b) Para t =0 considerar la mitad de la tasa anterior, es decir; P(t) = 5,5 e 0,0065t P(0) = 5,5 e 0, = 5,5 e 0,065 = 6,54 millones Por lo tanto, después del 202 habrá más de 7,7 millones de habitantes aproimadamente. Por qué? c) Determine la población en 0 años más con una tasa de 2,6%. d) Con los datos determinados, esbozar la grafica de la función. 2

24 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS En Chile eistían dos cuerpos legales que regulaban la conducción bajo los efectos del alcohol: La Le de Alcoholes N 7.05 del año 969 contempla la figura penal del conductor del vehículo motorizado en estado de ebriedad la obligación a la prueba de alcoholemia. La Le de Tránsito N de 984 que establece el concepto de conducir bajo la influencia del alcohol sin estar ebrio lo tipifica como una infracción gravísima. La diferencia entre estos dos cuerpos legales está basada en una interpretación de las alcoholemias hechas por el Servicio Médico Legal en 972 que la Corte Suprema de Justicia recomendó a los tribunales del país, donde con gramo de alcohol por litro de sangre se considera al conductor en estado de ebriedad, entre 0,5 hasta 0,99 gr/litro será considerado bajo la influencia del alcohol sin estar ebrio. Investigaciones médicas recientes han propuesto un modelo matemático que indica porcentualmente la probabilidad de tener un accidente automovilístico al conducir bajo los efectos del alcohol, la cual está dada por la función de riesgo R() = 6 e k donde, : es la concentración de alcohol en la sangre, k: es una constante, R: es la probabilidad de tener un accidente (epresada en porcentaje). e : corresponde a 2,7. a) Al suponer que una concentración de gr. de alcohol en la sangre produce un riesgo del 00 % (R=00) de sufrir un accidente, en este caso el valor de la constante es 2,8, aproimadamente. Utilizando este valor de k, calcule el riesgo de sufrir un accidente si la concentración de alcohol en la sangre es de 0,5 gr/litro. Sugerencia: considere = 0,5 k = 2,8 b) Al suponer que una concentración es de gr. de alcohol en la sangre produce un riesgo del 80 % (R=80) de sufrir un accidente, el valor de la constante baja a 2,6. Utilizando este valor de k, calcule el riesgo si la concentración de alcohol en la sangre es de,5 gr/litro. Sugerencia: considere =,5 k = 2,6 22

25 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Guía de trabajo Nº 2 Función Logaritmo Contenido Función logaritmo. Notaciones de logaritmo. Propiedades de la función logarítmica. Ecuaciones logarítmicas Gráfica de funciones logarítmicas. 23

26 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS NOTACIONES DE LOGARITMO Logaritmo Valor del logaritmo = log a Argumento del logaritmo Base del logaritmo Logaritmo común: todo logaritmo de base 0, es llamado logaritmo común: log 0 = log > 0 Cuando la base es 0, no se escribe la base del logaritmo. Valor del logaritmo Logaritmo Natural = In Argumento del logaritmo La Base del logaritmo natural es el número e. Logaritmo natural: todo logaritmo de base e : es llamado logaritmo natural: In = log e Cuando la base es e, no se escribe la base del logaritmo se escribe: ln. se lee: logaritmo natural de Formas equivalentes A partir de la relación = log a = a, complete las siguientes tablas: Logaritmo Eponencial Eponencial Logaritmo 3 = log = = log = log = log = log = log 0 2 = In 7,344 = In e 8 = = log = = = = = ,24 = e = 0 3 En la siguiente dirección: se muestra la forma de determinar logaritmos valores eponenciales utilizando la calculadora. 24

27 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 LA FUNCIÓN LOGARITMO La función logaritmo, corresponde a la función inversa de la función eponencial: Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALE = a, (a > 0, a ) Si intercambiamos por resulta: = a, es la potencia a la que se eleva a para obtener.. / (*), reemplazando la palabra potencia por logaritmo, la epresión (*) se puede escribir así:, es el logaritmo de en base a. La epresión matemática correspondiente, queda escrita como: = log a = log a, es equivalente a: = a TIPS La función logaritmo es = f () = log a corresponde a la función inversa de la función eponencial con base a. Gráfica general de la función logaritmo 25

28 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel Eo ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - ELANDO Guía CON Nº FUNCIONES EL 3 MUNDO EXPONENCIALES CON FUNCIONES Y EXPONENCIALES LOGARITMOS Y LOGARITMO RITMOS Comparación Gráfica función eponencial Observa en la gráfica, en rojo la curva de la función eponencial = f () = a en azul la función logarítmica de = f () = log a = a = = a = = log a a > > o o < a < > 0 = log a TIPS La gráfica de la recta = se muestra para epresar de mejor forma la simetría respecto de las funciones logarítmica eponencial, que son una inversa de la otra. El valor de a, como base de la función eponencial como base del logaritmo, de acuerdo con los valores que tome, se gráfica de diferentes formas. Para profundizar más le invitamos a revisar este link: 26

29 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 ) a) Complete la tabla de datos: Con apoo de calculadora, completa cada tabla de valores dada luego esboza la gráfica de cada función logarítmica: 0,00 0,0 0, = log b) Realice la gráfica: 2) Dada la función =f () = ln a) Complete la tabla de datos: 0,05 0,4 0,37 2 = ln b) Esboce la gráfica:

30 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 3) Dada la función = f ()= log ( +2) a) Complete la tabla de datos: = log ( +2) -,999 -,99 -,5 - -0, b) Realice la gráfica: 4) Dada la función = f () = ln ( -2) a) Complete la tabla de datos: = ln (-2) 2,00 2,0 2, 2,5 e 3 e 2 e 3 b) Realice la gráfica:

31 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Propiedades de la función logaritmo. Todos los logaritmos de cualquier base poseen propiedades comunes, estas propiedades son: ) 2) 3) 4) 5) 6) 7) 8) Logaritmo de la unidad es cero Logaritmo de la base es la unidad Logaritmo de una potencia en la misma base es el eponente de la potencia. Logaritmo de un producto, es la suma de los logaritmos de los factores El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor: El logaritmo de una potencia es igual al producto del eponente por el logaritmo de la base: El logaritmo de una raíz de indice n es igual al reciproco del indice por el logaritmo de la cantidad subradical. log a = 0 log a a = log a a log a a = = log () = log + log a a a log - log a a a ( ) = log c log = c log a a Ejemplos: ) log 5 (5) = log log 5 2) log 3 ( 8) = log - log = log 3-4 3) 4) 5) log = 5 log 4 64 = 5 log 4 (4) 3 = 5 3 log 4 4 = 5 3 = 5 log 0 = log 0 = = In = 0 Utilizando la propiedad de los logaritmos, separa la epreción log 5 25a, en 29

32 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS ECUACIONES EXPONENCIALES Y LOGARÍTMICAS Las propiedades de las funciones eponenciales logaritmos, tratadas anteriormente, nos permiten resolver una serie de problemas relacionados con las ecuaciones eponenciales logarítmicas. Aprendamos a resolver ecuaciones eponenciales logarítmicas: Ejemplo : Resolvamos la ecuación 5 = 25 Puede utilizar dos formas: FORMA FORMA 2 5 = 25 5 = 25 log 5 5 = log 5 25 Aplicando función logaritmo, en base 5 a ambos lados de la igualdad. 5 = 5 3 Igualando bases log 5 5 = log 5 25 Aplicando propiedad de logaritmo: log b a = log b a = 3 Como las bases son iguales. Por lo tanto los eponentes deben ser iguales. = log 5 25 Propiedad: log a a = = log Propiedad de las potencias = 3 log 5 5 Propiedad de logaritmo log b a = log b a = 3 = 3 Aplicando propiedad de logaritmo log a a = 30

33 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Ejemplo 2: Resolvamos la ecuación 9 = 30 En este caso no es posible epresar 30 como potencia de base 9 por lo tanto aplicaremos la función logaritmo. 9 = 30 log 9 9 = log 9 30 Aplicando la función logaritmo, en base 9. log 9 9 = log 9 30 = log 30 log 9 Aplicando propiedades de los logaritmos. Aplicando cambio de base para calcular el logaritmo común. = log 30 0,9542 Haciendo el cálculo de los logaritmos. = 2,253 Dadas las ecuaciones eponenciales, resuélvalas en su cuaderno utilizando algunas de las formas trabajadas: ) 7 = 343 4) 2 = 256 2) 5 = 25 5) 4 = 00 3) 6 = 36 6) 9 = 8 3

34 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática Educación -MODELANDO Matemática EL MUNDO -MODELANDO CON FUNCIONES EL MUNDO EXPONENCIALES CON FUNCIONES Y EXPONENCIALES LOGARITMOS Y LOGARITMO TIPS Consideraciones en la solución de ecuaciones logarítmicas Ecuación logarítmica Para resolver ecuaciones logarítmicas debemos aplicar propiedad: log = log <=> = Ejemplo: ) Resolvamos la ecuación log (0 - ) = log ( + 4 ) Considerando que tenemos logaritmos de igual base, para que se cumpla la igualdad los argumentos también deben ser iguales. 0 - = + 4 Despejando : 0 - = = 5 = 5 9 2) Resolvamos la siguiente ecuación logarítmica. log log (-4) = - log = Utilizando la propiedad de resta de logaritmos tenemos: Intentaremos tener epresiones con logaritmos a ambos lados de la igualdad, para eso epresaremos - como logaritmo de base 0. log = log = = = = - 4 = -4 9 Ahora igualamos argumentos: Despejamos : Resuelva las siguientes ecuaciones: ) log - log ( + 2) = log 2 2) log ( + 5) + log (2 + 7) = 3) log 0 = log ( + 4) - log ( - 5) 32

35 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo Segundo de Educación nivel o ciclo Media de - Educación Guía Nº 3Media - Guía Nº 3 Resolver el problema utilizando la función logaritmo: A continuación se eponen ejercicios, en los que, en algunas etapas; ha que completar los pasos de resolución: ) Chile está ubicado en una franja geográfica llamada Cordón de fuego del Pacífico, donde se producen una gran cantidad de temblores por la alta concentración de volcanes activos que eisten en su territorio, somos uno de los países con maor etensión de montañas en el planeta. Pero, no tan solo esto hace peligroso vivir en este país, su ubicación sobre una de las placas tectónicas que rodean el océano Pacífico con más movimiento de la Tierra, convirtiéndolo en uno de los países más sísmicos del mundo donde se han registrado los terremotos más fuertes en la historia de nuestro planeta. Los terremotos son medidos por medio de dos escalas: la de Richter, que mide la magnitud de un sismo que da a conocer la energía liberada, la escala de Mercalli, que representa la violencia con que se siente un sismo en diversos puntos de la zona afectada, siendo más subjetiva porque la intensidad aparente de un terremoto depende de la intensidad del epicentro a la que se encuentra el observador; es una escala que va de I a XII, describe puntúa los terremotos más en términos de reacciones observaciones humanas que en términos matemáticos, a diferencia de la escala de Richter. Esta mide la energía del sismo en su epicentro se basa en su modelamiento logarítmico común de la amplitud máima de la onda medida en milímetros por medio de la función: M = log ( A 0 3 ), donde: M : es la magnitud del sismo. A : Amplitud del sismo medida en milímetros (mm) en un sismógrafo. El sismógrafo, mide la amplitud del movimiento telúrico. En este caso, el sismo tuvo una amplitud de 23 mm: a) Calcular la magnitud del sismo. b) Qué magnitud tiene un sismo de amplitud 25 mm? c) Completar la tabla graficar para las diversas amplitudes de sismos: Solución Complete lo que falta en cada caso: a) Para calcular la magnitud del sismo evaluamos A=23 mm en: M = log (A 0 3 ) M = log ( 0 3 )= b) Para calcular la magnitud del sismo evaluamos A=25 mm en: M = log (A 0 3 ) M = log ( 0 3 )= TIPS La escala de Richter, que mide la magnitud de un terremoto, se escribe en términos logarítmicos 33

36 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS c) Complete la tabla dada: A (Amplitud del sismo en mm) 0,00 0,0 0, M (Magnitud del sismo escala Richter) 0 3 3,9 Grafique la función: M = log ( A 0 3 ) con los datos de la tabla: ,08-0,84-0,6-0,36-0,2 0,2 0,36 0,6 0,84,

37 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 Resuelva de acuerdo a lo indicado: ) La sonoridad es medida en decibeles, para realizar esta medición son necesarios los logaritmos. La medición del volumen está dado por la función logarítmica: v () = 0 log ( -2) 0 donde, : intensidad del sonido medida en vatios por metro cuadrado. a) Realice una tabla para este problema. b) Realice una gráfica de la función volumen. c) En una sala de clases se registra una intensidad de sonido de 0 vatios por metro cuadrado. Cuál es volumen del ruido de la sala de clases? 2) El riesgo que corre una persona de sufrir un accidente automovilístico si ha bebido alcohol está dado aproimadamente por R() = 6,5 e k, donde R corresponde al porcentaje de riesgo corresponde a la concentración de alcohol (en gramos por litro de sangre). a) La función modela una situación de crecimiento o decrecimiento. Por qué? b) Determinar k, si se sabe que una concentración de 0,05 g/l corresponde a un 5% (R = 5) de riesgo. 35

38 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS 3) El número de personas contagiadas por un virus de una población P 0 se modela mediante la siguiente función: P N(t) = 0-0,7t, e, donde t está en días. funciones eponenciale a) Cuántas personas estarán infectadas después de 5 días si la población es de personas? b) En cuánto tiempo estará infectada la mitad de la población inicial? 4) Determine el valor de las siguientes epresiones: a) log 6 ( 36) + log ( 25) - log (00) b) log log log ) Aplicando las propiedades de los logaritmos, desarrolle las siguientes epresiones: a) log 6 3a a -/6 b) log 5a

39 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel Educación o ciclo Segundo de Matemática Educación nivel o ciclo Media -MODELANDO de - Educación Guía Nº EL 3Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMO FORMA DEL GRÁFICO DE LA FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA Gráfico de la función eponencial decreciente = a 0 < a < Gráfico de la función eponencial = a a > Gráfico de la función logarítmica decreciente Gráfico de la función logarítmica = log a 0 < a < = log a a > Qué es a? Qué es log a? Qué es a? 37

40 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática E -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES FUNCIONES Y LOGARITMOS EXPONENCIALES Y LOGARITM Observando atentamente cada gráfica. Escriba el nombre de la función que le corresponda a cada una según su forma: Función:... Función color rojo:... Función color azul:... Función color rojo:... Función color verde:... Función:... Función:... Función:... 38

41 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o ciclo -MODELANDO de Educación EL Media MUNDO - Guía CON Nº FUNCIONES 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMO Asocie cada función con la gráfica que la representa, uniendo con una línea: a) = log b) = 2 c) = ( 2 ) d) = log 5 39

42 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Matemática -MODELANDO EL MUNDO CON FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Selección Múltiple: Marque con una X la alternativa correcta: ) La gráfica Corresponde a: 6 5 a) = e b) = 3 c) = e - d) = ) Al aplicar la definición de logaritmo a la epresión = log e b, se obtiene: a) b = e b) b = e c) e = b d) e = e 3) El valor de log 3 27 es: a) 0,3 b) c) 3 d) 6 4) Si log a 9 = 2, entonces a es: a) -3 b) /3 c) 0,5 d) 3 5) Cuál de las siguientes epresiones es equivalente a: log 4 a c a) 4 log a + 4 log c - b) 4 log a - 4 log c + 4 log a log c c) 4 d) 4 log a + 4 log c + 40

43 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Segundo nivel o ciclo de Educación Media - Guía Nº 3 6) El valor es igual a: a) b) c) d) ) Si f (t)= t, Qué valor tiene f para t=? a) 40 b) c) 42 d) ) Si f ()= , entonces f (2) es igual a: a) 0 b) 80 c) - 40 d) 4 4

44 DE_604 guia de aprendizaje n3.pdf :56 Educación Segundo Matemática nivel o -MODELANDO ciclo de Educación EL MUNDO Media CON - Guía FUNCIONES Nº 3 EXPONENCIALES Y LOGARITMOS Bibliografía:. Decreto Supremo de Educación Nº 2 de 2009 que reemplaza el Decreto Nº 3 de 2003 sobre nivelación de estudios de adultos. MINEDUC. 2. Decreto Supremo de Educación Nº 257 de 2009 que deroga Decreto Supremo de Educación Nº 239 de 2004 sobre el marco curricular de la educación de adultos. 3. Peterson, John A. cols. (969). Teoría de la Aritmética. Ciudad de Méico, Méico: Editorial Limusa- Wile. 4. Zill, D. Dewar, J. (996) Álgebra Trigonometría. McGraw-Hill. Ciudad de Méico, Méico: Editora Prentice Hall. 5. Swokowski, E. Cole, J. (2002). Álgebra Trigonometría con Geometría Analítica. 2º Edición. Ciudad de Méico, Méico: Editorial Cengage. 6. De Oteza, E, Hernández, C. Lam, E. (996). Álgebra. Ciudad de Méico, Méico: Editorial Prentice Hall. 7. Campos, X Cruz, X. (2003). Álgebra. Santiago, Chile: Editorial Arraán. 8. Páginas de Internet recomendadas: Guía de trabajo número 2: funciones3/impresos/quincena0. pdf (página 72) Para graficar funciones: (programa descargable gratuito) 42

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